考研概率論復試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.若隨機變量X的期望E(X)和方差D(X)都存在，且X的分布函數為F(x)，則下列哪個不等式一定成立？

A.E(X)≥D(X)

B.E(X)≤D(X)

C.E(X)>D(X)

D.E(X)<D(X)

2.設隨機變量X服從正態分布N(μ,σ^2)，且E(X)=2，D(X)=4，則P{X≤1}的值大約為：

A.0.1587

B.0.8413

C.0.95

D.0.99

3.下列哪個是隨機變量X的概率密度函數？

A.f(x)=2x,x∈(0,1)

B.f(x)=2x,x∈(-∞,0)∪(0,1)

C.f(x)=2x,x∈(-∞,∞)

D.f(x)=2x,x∈[0,1]

4.若隨機變量X和Y相互獨立，且X服從標準正態分布N(0,1)，Y服從區間[0,1]上的均勻分布，則下列哪個結論不正確？

A.E(X)=0

B.E(Y)=1/2

C.D(X)=1

D.D(Y)=1/12

5.設隨機變量X服從泊松分布，其概率分布列為：

P{X=k}=k^2/3^k,k=0,1,2,3...

則X的期望值E(X)為：

A.3/2

B.2

C.3

D.1/2

二、填空題（每題5分，共15分）

1.若隨機變量X和Y相互獨立，且E(X)=1，D(X)=4，E(Y)=3，D(Y)=2，則E(X+Y)=______，D(X+Y)=______。

2.設隨機變量X服從區間[0,1]上的均勻分布，則P{1≤X≤2}的值等于______。

3.若隨機變量X服從參數λ=2的指數分布，則P{X≤1}的值等于______。

三、計算題（每題10分，共30分）

1.設隨機變量X服從區間[0,2]上的均勻分布，求X的方差D(X)。

2.設隨機變量X服從參數為1/2的泊松分布，求P{X≥2}。

3.設隨機變量X和Y相互獨立，且X服從標準正態分布N(0,1)，Y服從區間[0,1]上的均勻分布，求P{XY≥1}。

四、證明題（每題15分，共30分）

1.證明：若隨機變量X服從正態分布N(μ,σ^2)，則E(e^tX)=e^(μt+σ^2t^2/2)對任意實數t成立。

2.設隨機變量X和Y相互獨立，且X服從區間[0,1]上的均勻分布，Y服從參數為λ的指數分布，證明E(XY)=1/λ。

五、綜合題（每題20分，共40分）

1.設隨機變量X服從區間[-1,1]上的均勻分布，求隨機變量X^2的分布函數F(x)。

2.設隨機變量X和Y相互獨立，且X服從標準正態分布N(0,1)，Y服從參數為λ的指數分布，求隨機變量XY的分布函數F(x)。

六、應用題（每題25分，共50分）

1.一批產品中有合格品、次品和不合格品三種，其比例分別為80%、10%和10%?，F從這批產品中隨機抽取一個，求該產品為合格品的概率。

2.設一工廠的機器在生產過程中發生故障的概率為0.01，機器發生故障時，生產一件產品出現次品的概率為0.02?，F從該工廠生產的100件產品中隨機抽取一件，求該產品為合格品的概率。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.A.E(X)≥D(X)

解析：根據切比雪夫不等式，對于任意隨機變量X，有E(X)^2≥D(X)，即E(X)≥D(X)。

2.B.0.8413

解析：由于X服從正態分布N(2,4)，可以標準化為Z=(X-2)/2，然后查標準正態分布表得到P{Z≤-1}=0.1587，因此P{X≤1}=1-P{Z≤-1}=0.8413。

3.C.f(x)=2x,x∈(-∞,∞)

解析：概率密度函數必須在整個定義域上非負，并且積分值為1。選項C滿足這些條件。

4.D.D(Y)=1/12

解析：Y服從區間[0,1]上的均勻分布，其期望E(Y)=(0+1)/2=1/2，方差D(Y)=(1/2)^2=1/4。由于X和Y獨立，D(XY)=D(X)*D(Y)=1*1/4=1/4，不是1/12。

5.B.2

解析：根據泊松分布的期望公式E(X)=λ，這里λ=2，所以E(X)=2。

二、填空題答案及解析：

1.E(X+Y)=4，D(X+Y)=8

解析：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+3=4，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+2=6，但因為是獨立的，所以D(X+Y)=2*D(X)+2*D(Y)=2*4+2*2=8。

2.0

解析：由于X服從區間[0,1]上的均勻分布，P{1≤X≤2}為X在區間[1,2]的概率，而X的取值范圍是[0,1]，所以這個概率為0。

3.0.9

解析：根據指數分布的累積分布函數，P{X≤1}=1-e^(-λ*1)=1-e^(-2)≈0.9。

三、計算題答案及解析：

1.D(X)=1/3

解析：X服從區間[0,2]上的均勻分布，其期望E(X)=(0+2)/2=1，方差D(X)=(2-1)^2/12=1/3。

2.P{X≥2}=e^(-2)

解析：X服從泊松分布，P{X≥2}=1-P{X≤1}=1-(P{X=0}+P{X=1})=1-(e^(-2)+2e^(-2))=e^(-2)。

3.P{XY≥1}=1/2

解析：由于X和Y獨立，P{XY≥1}=P{X≥1}*P{Y≥1}。X服從標準正態分布，P{X≥1}=1-P{X≤1}=1-0.8413=0.1587。Y服從區間[0,1]上的均勻分布，P{Y≥1}=0。因此，P{XY≥1}=0*0.1587=0。

四、證明題答案及解析：

1.證明：E(e^tX)=e^(μt+σ^2t^2/2)對任意實數t成立。

解析：利用期望的線性性質和正態分布的性質，E(e^tX)=∫e^(tx)f(x)dx，其中f(x)是X的概率密度函數。通過積分計算可以證明等式成立。

2.證明：E(XY)=1/λ

解析：由于X和Y獨立，E(XY)=E(X)*E(Y)。X服從區間[0,1]上的均勻分布，E(X)=1/2。Y服從參數為λ的指數分布，E(Y)=1/λ。因此，E(XY)=(1/2)*(1/λ)=1/2λ。

五、綜合題答案及解析：

1.F(x)=1-(1-x)^2,x∈[0,1]

解析：X^2的分布函數F(x)=P{X^2≤x}。對于x∈[0,1]，有F(x)=P{X≤√x}=(1-(1-√x)^2)。

2.F(x)=1-(1-x)^2,x∈(-∞,∞)

解析：由于X和Y獨立，F(x)=P{XY≤x}=P{X≤√x}*P{Y≤√x}。X服從標準正態分布，P{X≤√x}=Φ(√x)，Y服從區間[0,1]上的均勻分布，P{Y≤√x}=√x。因此，F