開大微積分考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.下列函數(shù)中，不是初等函數(shù)的是（）

A.\(y=x^2\)

B.\(y=\sinx\)

C.\(y=\lnx\)

D.\(y=\frac{1}{x}\)

2.若函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=1\)處可導(dǎo)，則\(f'(1)\)等于（）

A.-2

B.0

C.2

D.3

3.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值是（）

A.0

B.1

C.\(\frac{1}{2}\)

D.不存在

4.設(shè)\(f(x)=x^2+2x+1\)，則\(f(2)\)的值是（）

A.7

B.8

C.9

D.10

5.下列各數(shù)中，屬于無窮小量的是（）

A.\(\frac{1}{x}\)

B.\(x\)

C.\(x^2\)

D.\(\frac{1}{x^2}\)

二、填空題（每題5分，共25分）

1.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是__________。

2.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)是__________。

3.極限\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)的值是__________。

4.若\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1\)，則\(f(0)\)的值是__________。

5.函數(shù)\(y=e^x\)的反函數(shù)是__________。

三、計算題（每題10分，共30分）

1.計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2x}{x^2}\)。

2.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+4x-1\)的導(dǎo)數(shù)。

3.求函數(shù)\(y=\ln(x^2+1)\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)值。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)\neqf(b)\)，則存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

2.證明：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可導(dǎo)，且\(f'(x)\)在\([a,b]\)上恒大于0，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增。

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.一質(zhì)點在直線運動，其速度\(v(t)=t^2-2t\)（單位：m/s），求從\(t=1\)秒到\(t=3\)秒內(nèi)質(zhì)點所經(jīng)過的位移。

2.已知函數(shù)\(y=e^x\)在點\((0,1)\)處的切線方程，求該切線與\(y\)軸的交點坐標(biāo)。

六、綜合題（每題10分，共20分）

1.求函數(shù)\(y=\sqrt{x^2-4}\)的定義域、值域和導(dǎo)數(shù)。

2.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，求\(f'(x)\)的零點，并討論\(f(x)\)的單調(diào)性。

試卷答案如下：

一、選擇題答案：

1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

解析思路：

1.初等函數(shù)包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等，故選D。

2.對函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-3\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)，故選B。

3.根據(jù)三角函數(shù)極限公式，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，故選B。

4.代入\(x=2\)到\(y=x^2+2x+1\)得\(y=2^2+2\cdot2+1=9\)，故選C。

5.無窮小量是指當(dāng)\(x\to\infty\)或\(x\to0\)時，函數(shù)值趨于0的函數(shù)，故選A。

二、填空題答案：

1.\((0,+\infty)\)

2.\(3x^2+2x\)

3.2

4.1

5.\(y=\lnx\)

三、計算題答案：

1.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2\sinx\cosx-2x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2\sinx}{x}\cdot\lim_{x\to0}\cosx-\lim_{x\to0}\frac{2x}{x^2}=2\cdot1-2=0\)

2.\(y'=3x^2-6x+4\)

3.\(y'=\frac{2}{x+1}\)，在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)值為\(y'(1)=\frac{2}{1+1}=1\)

四、證明題答案：

1.證明：由拉格朗日中值定理，存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

2.證明：由導(dǎo)數(shù)的定義，若\(f'(x)>0\)，則函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增。

五、應(yīng)用題答案：

1.位移\(S=\int_{1}^{3}v(t)dt=\int_{1}^{3}(t^2-2t)dt=\left[\frac{1}{3}t^3-t^2\right]_{1}^{3}=\frac{1}{3}\cdot3^3-3^2-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3-1^2\right)=9-9-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)米。

2.切線方程為\(y-1=e^0(x-0)\)，即\(y=x+1\)。切線與\(y\)軸的交點為\((0,1)\)。

六、綜合題答案：

1.定義域：\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)，值域：\((-\infty,0]\cup[0,+\infty)\)，導(dǎo)數(shù)：\(y'=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)。

2.\(f'(x)=3x^2-12