經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)2考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的極值點(diǎn)為：

A.x=-1

B.x=0

C.x=1

D.x=2

2.若等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a，b，c，且a+c=2b，則該數(shù)列的公差為：

A.1

B.2

C.3

D.4

3.已知直線y=2x+1與圓x^2+y^2=1相切，則該直線與圓的切點(diǎn)坐標(biāo)為：

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(-1,-1)

D.(-1,1)

4.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,+∞)

D.(0,1)

5.若等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a，b，c，且a*c=b^2，則該數(shù)列的公比為：

A.1

B.2

C.1/2

D.1/3

6.已知函數(shù)f(x)=ln(x)在區(qū)間(0,+∞)上的導(dǎo)數(shù)f'(x)為：

A.1/x

B.x

C.1

D.-1/x

7.設(shè)矩陣A=[23;45]，則A的行列式值為：

A.1

B.2

C.3

D.4

8.若函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值為2，則該函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的最小值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

9.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，公差為d，首項(xiàng)為a_1，則S_n的表達(dá)式為：

A.S_n=n(a_1+a_n)/2

B.S_n=n(a_1+a_n)/2+d

C.S_n=n(a_1+a_n)/2-d

D.S_n=n(a_1+a_n)/2+2d

10.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，則f(x)的零點(diǎn)為：

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=4

二、填空題（每題2分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-x，則f'(x)=________。

2.等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1，3，5，則該數(shù)列的公差為________。

3.已知直線y=2x+1與圓x^2+y^2=1相切，則該直線與圓的切點(diǎn)坐標(biāo)為________。

4.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x)在區(qū)間(0,+∞)上的導(dǎo)數(shù)f'(x)為________。

5.設(shè)矩陣A=[23;45]，則A的行列式值為________。

6.若函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值為2，則該函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的最小值為________。

7.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，公差為d，首項(xiàng)為a_1，則S_n的表達(dá)式為________。

8.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，則f(x)的零點(diǎn)為________。

9.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________。

10.若等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a，b，c，且a*c=b^2，則該數(shù)列的公比為________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。

2.設(shè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1，3，5，求該數(shù)列的公差。

3.已知直線y=2x+1與圓x^2+y^2=1相切，求該直線與圓的切點(diǎn)坐標(biāo)。

4.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x)在區(qū)間(0,+∞)上的導(dǎo)數(shù)f'(x)，求f'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

5.設(shè)矩陣A=[23;45]，求A的行列式值。

6.若函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值為2，求該函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的最小值。

7.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，公差為d，首項(xiàng)為a_1，求S_n的表達(dá)式。

8.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的零點(diǎn)。

9.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-x，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

10.若等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a，b，c，且a*c=b^2，求該數(shù)列的公比。

四、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.某公司計(jì)劃投資100萬元購買設(shè)備，預(yù)計(jì)設(shè)備使用年限為5年，年折舊率為20%，設(shè)備報(bào)廢后的殘值為10萬元。若設(shè)備每年可帶來利潤15萬元，求該設(shè)備投資回收期（不考慮資金的時(shí)間價(jià)值）。

2.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要10天完成，乙單獨(dú)做需要15天完成。若甲乙合作做這項(xiàng)工程，每天可以完成工程總量的1/5，求甲乙合作完成這項(xiàng)工程所需的時(shí)間。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)=f(b)，則存在至少一個(gè)點(diǎn)c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2.證明：等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)之和與它們之間的項(xiàng)數(shù)成等比數(shù)列。

六、綜合題（每題20分，共40分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。

2.已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2，6，18，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和S_10。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B.x=0

解析思路：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x^2-1=0，解得x=-1或x=1。通過判斷f''(x)的符號(hào)，得知x=0為極值點(diǎn)。

2.B.2

解析思路：等差數(shù)列中，a_2=a_1+d，a_3=a_1+2d。由題意得a_1+a_3=2a_2，即a_1+a_1+2d=2(a_1+d)，解得d=2。

3.C.(-1,-1)

解析思路：將直線方程代入圓的方程，得2x+1+x^2=1，化簡得x^2+2x=0，解得x=-1或x=0。將x=-1代入直線方程得y=-1。

4.A.1/x

解析思路：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0得e^x=1，解得x=0。在x=0的左側(cè)f'(x)<0，在右側(cè)f'(x)>0，因此x=0是f(x)的極小值點(diǎn)。

5.A.1

解析思路：等比數(shù)列中，a_2=a_1*r，a_3=a_2*r。由題意得a_1*a_3=a_2^2，即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2，解得r=1。

6.A.1/x

解析思路：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=1/x。由于x>0，f'(x)>0，因此f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增。

7.B.2

解析思路：行列式計(jì)算公式得A的行列式值為2*5-3*4=10-12=-2。

8.A.0

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3可因式分解為f(x)=(x-1)(x-3)。在區(qū)間[1,3]上，x-1≥0，x-3≤0，因此f(x)≥0。又因?yàn)閒(1)=0，所以f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為0。

9.A.S_n=n(a_1+a_n)/2

解析思路：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。由于a_n=a_1+(n-1)d，代入得S_n=n/2*(2a_1+a_n)。

10.B.2

解析思路：等比數(shù)列中，a_2=a_1*r，a_3=a_2*r。由題意得a_1*a_3=a_2^2，即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2，解得r=2。

二、填空題

1.e^x-1

解析思路：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=e^x-1。

2.2

解析思路：等差數(shù)列中，a_2=a_1+d，a_3=a_1+2d。由題意得a_1+a_3=2a_2，即a_1+a_1+2d=2(a_1+d)，解得d=2。

3.(-1,-1)

解析思路：將直線方程代入圓的方程，得2x+1+x^2=1，化簡得x^2+2x=0，解得x=-1或x=0。將x=-1代入直線方程得y=-1。

4.1/x

解析思路：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=1/x。

5.2

解析思路：行列式計(jì)算公式得A的行列式值為2*5-3*4=10-12=-2。

6.0

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3可因式分解為f(x)=(x-1)(x-3)。在區(qū)間[1,3]上，x-1≥0，x-3≤0，因此f(x)≥0。又因?yàn)閒(1)=0，所以f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為0。

7.S_n=n(a_1+a_n)/2

解析思路：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。由于a_n=a_1+(n-1)d，代入得S_n=n/2*(2a_1+a_n)。

8.B.2

解析思路：等比數(shù)列中，a_2=a_1*r，a_3=a_2*r。由題意得a_1*a_3=a_2^2，即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2，解得r=2。

9.1/x

解析思路：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=1/x。

10.A.1

解析思路：等比數(shù)列中，a_2=a_1*r，a_3=a_2*r。由題意得a_1*a_3=a_2^2，即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2，解得r=1。

三、解答題

1.f'(x)=3x^2-6x+9

解析思路：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-6x+9。

2.d=2

解析思路：等差數(shù)列中，a_2=a_1+d，a_3=a_1+2d。由題意得a_1+a_3=2a_2，即a_1+a_1+2d=2(a_1+d)，解得d=2。

3.切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)

解析思路：將直線方程代入圓的方程，得2x+1+x^2=1，化簡得x^2+2x=0，解得x=-1或x=0。將x=-1代入直線方程得y=-1。

4.f'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)

解析思路：對(duì)f'(x)求導(dǎo)得f''(x)=-1/x^2。由于x>0，f''(x)<0，因此f'(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增。

5.行列式值為2

解析思路：行列式計(jì)算公式得A的行列式值為2*5-3*4=10-12=-2。

6.最小值為0

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3可因式分解為f(x)=(x-1)(x-3)。在區(qū)間[1,3]上，x-1≥0，x-3≤0，因此f(x)≥0。又因?yàn)閒(1)=0，所以f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為0。

7.S_n=n(a_1+a_n)/2

解析思路：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。由于a_n=a_1+(n-1)d，代入得S_n=n/2*(2a_1+a_n)。

8.零點(diǎn)為2

解析思路：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1可因式分解為f(x)=(x-1)(x^2-2x+1)。由二次方程x^2-2x+1=0，解得x=1，因此f(x)的零點(diǎn)為2。

9.單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)

解析思路：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0得e^x=1，解得x=0。在x=0的左側(cè)f'(x)<0，在右側(cè)f'(x)>0，因此x=0是f(x)的極小值點(diǎn)。

10.公比為2

解析思路：等比數(shù)列中，a_2=a_1*r，a_3=a_2*r。由題意得a_1*a_3=a_2^2，即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2，解得r=2。

四、應(yīng)用題

1.投資回收期為4.5年

解析思路：投資回收期=投資額/每年利潤=100/15=6.67，向下取整得4年，實(shí)際回收期應(yīng)為4.5年。

2.甲乙合作完成這項(xiàng)工程所需的時(shí)間為3天

解析思路：甲單獨(dú)做需要10天完成，乙單獨(dú)做需要15天完成。甲乙合作每天完成工程總量的1/5，即每天完成工程總量的1/5+1/15=2/15。完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為1/(2/15)=7.5天，向上取整得8天。但甲乙合作需要完成5/15=1/3的工程，所以實(shí)際所需時(shí)間為8/5=1.6天，向上取整得2天。甲乙合作完成這項(xiàng)工程所需的時(shí)間為3天。

五、證明題

1.證明：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)=f(b)。根據(jù)介值定理，存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。由于f(a)=f(b)，則f(c)=0。又因?yàn)閒'(c)=lim(x→c)(f(x)-f(c))/(x-c)，代入f(c)=0得f'(c)=0。

2.證明：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a_1，公差為d。根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a_n=a_1+(n-1)d。則a_n+a_m=a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=2a_1+(n+m-2)d。設(shè)等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)之和為S