2025年遼寧省初中學業水平模擬考試（一）數學試卷（本試卷共23小題滿分120分考試時長120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．參考公式：拋物線的頂點坐標是第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.如圖是由6個大小相同的正方體搭成的幾何體，其左視圖是（）A. B.C. D.2.在中學體育測試中，初一男生引體向上測試的滿分標準為13次．在一次引體向上測試中，小明的成績是12次，記為“”．如果小剛的成績記為“”，那么小剛的成績是（）A13次 B.14次 C.15次 D.16次3.“染色體”是人類“生命之書n中最長也是最后被破解的一章，據報道，第一號染色體中共有個堿基對，用科學記數法可表示為（）A. B. C. D.4.如圖，在菱形中，連接、，若，則的度數為（）A. B. C. D.5.下列運算正確的是（）A.a4+a5＝a9 B.a3?a4＝a12C.a8÷a4＝a2 D.（﹣2a2）3＝﹣8a66.在一個不透明的口袋中裝有3個白球，4個紅球和5個黑球，它們除顏色外都相同，從中隨機摸出一個球，則下列事件發生的概率為的是（）A.摸出白球 B.摸出紅球 C.摸出黑球 D.摸出白球或紅球7.下列圖形分別是可回收物、廚余垃圾、有害垃圾及其它垃圾標志，其中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

）A. B. C. D.8.九章算術中記載．“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”其大意是：“現有一些人共同買一個物品，每人出錢，還盈余錢；每人出錢，還差錢，問人數、物品價格各是多少？”設人數為人，物品的價格為錢，根據題意，可列方程組為(

)A. B. C. D.9.如圖，在菱形中，，，點G是線段上的動點，點M是線段上的動點，點E，F分別是線段，的中點，則線段的最小值是（）A.1 B.1.5 C.2 D.2.510.如圖，直線與軸，軸的交點分別為點，以為邊，在第二象限內作正方形，則點的坐標為（）A. B. C. D.第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.方程的解是_______12.在平面直角坐標系中，點，，線段經過平移得到，若點的坐標是，則點的坐標是________．13.如圖，在中，，若，，則為_______．14.如圖，拋物線與軸交于點，點，點在拋物線上，且在拋物線的對稱軸右側，若，則點的坐標為_____．15.如圖，矩形中，，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于長為半徑畫弧交于點P作射線，過點C作的垂線分別交，于點M，N，則的長為______．三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16計算：（1）；（2）．17.為了美化校園，我校欲購進甲、乙兩種工具，如果購買甲種3件，乙種2件，共需56元；如果購買甲種1件，乙種4件，共需32元．（1）甲、乙兩種工具每件各多少元？（2）現要購買甲、乙兩種工具共100件，總費用不超過1000元，那么甲種工具最多購買多少件？18.2023年6月5日是世界環境日，某學校舉辦了以“生態文明與環境保護”為主題相關知識測試．為了了解學生對“生態文明與環境保護”相關知識的掌握情況，現從七年級和七年級參與競賽的學生中各隨機選出20名同學的成績進行分析（單位：分，滿分100分），將學生競賽成績分為A，B，C，D四個等級，分別是：A：，B：，C：，D：．其中，七年級學生的競賽成績為：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；八年級等級C的學生成績為：81，82，83，86，87，88，89．兩組數據的平均數、中位數、眾數、方差如下表：學生平均數中位數眾數方差七年級85.286b59.66八年級85.2a9191.76根據以上信息，解答下列問題；（1）填空：___________，___________，___________；（2）根據以上數據，你認為在此次知識競賽中，哪個年級的成績更好？請說明理由；（一條理由即可）（3）若七年級有500名學生參賽，八年級有700名學生參賽，請估計兩個年級參賽學生中成績優秀（大于或等于90分）的學生共有多少人？19.某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．銷售單價x/元…1214161820…銷售量y/盒…5652484440…（1）y與x的函數表達式是____________________；（2）糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？20.如圖1，桔槔是古代漢族的一種農用工具，也是一種原始的汲水工具，它的工作原理基于杠桿原理，通過一根豎立的支架加上一根杠桿，當中是支點，末端懸掛一個重物，前段懸掛水桶．當人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提拉至所需處．這種工具可以省力地進行汲水，減輕勞動者的勞動強度．線段代表固定支架，與地面垂直，點、點分別代表重物和水桶（重物和水桶的大小忽略不計），線段是無彈力、固定長度的麻繩，，始終與地面垂直．．（1）如圖2，當水桶C的位置低于地面時，，求這個桔槔支架的高度；（2）如圖3，向上提水桶C，當時，求此時水桶C到地面的距離（結果精確到）．（參考數據：，，）21.如圖，點在的邊上，，頂點在以為直徑的上，過作交的延長線于點，交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求陰影部分面積．22.如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，對角線所在的直線繞點O順時針方向旋轉，旋轉中直線分別交邊于點，．將四邊形沿直線折疊得到四邊形（點的對應點分別為，線段交邊于．）（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接，若，求證：；（3）若，①如圖3，點在點左側時，求的長；②如圖4，點在點右側時，直接寫出長．23.在平面直角坐標系中，給出如下定義：點是圖形上的任意一點，點是圖形上的任意一點，若存在直線滿足且（或且），則稱直線是圖形與的“區分直線”．例如：如圖，正方形的頂點分別在軸，軸的正半軸上，點的坐標為，直線是函數的圖象與正方形的一條“區分直線”．（1）在直線中，是圖函數的圖象與正方形的“區分直線”的為_____；（2）若直線是圖函數的圖象與正方形的“區分直線”，且直線與函數的圖象有公共點，求公共點的坐標；（3）如圖，第一象限的等腰直角三角形的兩腰分別與坐標軸平行，點在點的右側，點在點的上方，直角頂點的坐標是與的“區分直線”有且只有一條，求此“區分直線”的函數表達式；（4）正方形的邊在軸上，其他三邊都在軸的右側，點是此正方形的中心，直線是函數的圖象與正方形的“區分直線”，若，“區分直線”有且只有一條時，求的值；若存在“區分直線”，直接寫出的取值范圍．

2025年遼寧省初中學業水平模擬考試（一）數學試卷（本試卷共23小題滿分120分考試時長120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．參考公式：拋物線的頂點坐標是第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.如圖是由6個大小相同的正方體搭成的幾何體，其左視圖是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據三視圖的定義，從左邊看到的圖形是左視圖，即可判斷．【詳解】解：根據立體圖可知該左視圖是底層有2個小正方形，第二層左邊有1個小正方形．故選：B．【點睛】本題考查了三視圖，解題的關鍵是明確左視圖是從物體的左邊觀察得到的圖形．2.在中學體育測試中，初一男生引體向上測試的滿分標準為13次．在一次引體向上測試中，小明的成績是12次，記為“”．如果小剛的成績記為“”，那么小剛的成績是（）A.13次 B.14次 C.15次 D.16次【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了正負數的實際應用，正負數是一對具有相反意義的量，若相對于標準次數不足用負數表示，那么相對于標準整理超出用正數表示，據此求解即可．【詳解】解：∵滿分標準為13次，小明的成績是12次，記為“”．∴如果小剛的成績記為“”，那么小剛的成績是次．故選：D．3.“染色體”是人類“生命之書n中最長也是最后被破解的一章，據報道，第一號染色體中共有個堿基對，用科學記數法可表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，表示時關鍵要確定的值以及的值．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正整數；當原數的絕對值時，是負整數．【詳解】解：．故選：D．4.如圖，在菱形中，連接、，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質，以及求余角，設、相交于點O，由菱形的性質可得出，在利用余角的定義即可求出答案．【詳解】解：設、相交于點O，∵四邊形菱形，∴，∴，∵，∴，故選：C．5.下列運算正確的是（）A.a4+a5＝a9 B.a3?a4＝a12C.a8÷a4＝a2 D.（﹣2a2）3＝﹣8a6【答案】D【解析】【分析】利用合并同類項的法則，同底數冪的乘法和除法的法則，冪的乘方與積的乘方的法則對各項進行運算即可．【詳解】解：A、兩項不是同類項，不能合并，故不符合題意；B、a3?a4=a7，故不符合題意；C、a8÷a4=a4，故不符合題意；D、（-2a2）3=-8a6，故符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查合并同類項，冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘除法，解題的關鍵是對相應的運算法則的掌握．6.在一個不透明的口袋中裝有3個白球，4個紅球和5個黑球，它們除顏色外都相同，從中隨機摸出一個球，則下列事件發生的概率為的是（）A.摸出白球 B.摸出紅球 C.摸出黑球 D.摸出白球或紅球【答案】B【解析】【分析】本題考查了概率公式，先算出總球數，再分別算出每種球的概率，即可作答．【詳解】解：依題意，（種），∴白球的概率是；∴紅球的概率是；∴黑球的概率是；故選：B．7.下列圖形分別是可回收物、廚余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的標志，其中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，即可一一判定．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選不符合題意；B、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．8.九章算術中記載．“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”其大意是：“現有一些人共同買一個物品，每人出錢，還盈余錢；每人出錢，還差錢，問人數、物品價格各是多少？”設人數為人，物品的價格為錢，根據題意，可列方程組為(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據“每人出元，還盈余元；每人出元，則還差元”，即可得出關于，的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：設人數為人，物品價格為錢，依題意，得．故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．9.如圖，在菱形中，，，點G是線段上的動點，點M是線段上的動點，點E，F分別是線段，的中點，則線段的最小值是（）A.1 B.1.5 C.2 D.2.5【答案】B【解析】【分析】本題考查菱形的性質，勾股定理，三角形的中位線的性質等知識，利用垂線段最短求出的最小值是解題的關鍵．先利用菱形的性質求出，根據垂線段最短可知，根據中位線的性質可知從而得解．【詳解】解：連接、，與交于點O，∵四邊形是菱形，，∴，，又∵，∴，∵點G是線段上的動點，，∴，∵點E，F分別是線段，的中點，即是的中位線，∴，∴，故選：B．10.如圖，直線與軸，軸的交點分別為點，以為邊，在第二象限內作正方形，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據直線的關系式可求出點A、點B的坐標，即可得的長，證明得，，可得出點C的坐標．【詳解】解：如圖，過點C作軸，垂足為N．∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴，，即，，∵四邊形是正方形，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴點．故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質，一次函數圖象與坐標軸的交點，全等三角形的判定與性質，坐標與圖形的性質，證明是解答本題的關鍵．．第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.方程的解是_______【答案】x=9【解析】【分析】觀察可得最簡公分母是x（x-3），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解．【詳解】解：方程的兩邊同乘x（x-3），得3x-9=2x，解得x=9．檢驗：把x=9代入x（x-3）=54≠0．∴原方程的解為：x=9．故答案為：x=9．12.在平面直角坐標系中，點，，線段經過平移得到，若點的坐標是，則點的坐標是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了圖形的平移變換，注意左右移動改變點的橫坐標，左減，右加；上下移動改變點的縱坐標，下減，上加．求原來點的坐標正好相反．直接利用平移中點的變化規律求解即可．【詳解】解：線段經過平移得到，若點的坐標是，，橫坐標從1到，說明是向左移動了，縱坐標從到1，說明是向上移動了，則點的坐標是，即．故答案為：．13.如圖，在中，，若，，則為_______．【答案】18【解析】【分析】此題重點考查相似三角形的判定與性質．先利用等高的兩個三角形面積的比等于底的比求得，則，由，證明，得，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：18．14.如圖，拋物線與軸交于點，點，點在拋物線上，且在拋物線的對稱軸右側，若，則點的坐標為_____．【答案】##【解析】【分析】本題考查了垂直平分線的判定，拋物線與坐標軸的交點坐標，以及拋物線上點的坐標，解決此題的關鍵是和合理的推理正確的計算．由得點P在線段的垂直平分線上，求出的中點坐標為，然后解方程即可求解．【詳解】解：∵，∴點P在線段的垂直平分線上，∵拋物線與y軸交于點C，∴，∵，∴的中點坐標為，∴P點縱坐標為，在中，令，可得，解得，（舍去），∴P點坐標為，故答案為．15.如圖，矩形中，，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于長為半徑畫弧交于點P作射線，過點C作的垂線分別交，于點M，N，則的長為______．【答案】【解析】【分析】由作圖可知平分，設與交于點O，與交于點R，作于點Q，根據角平分線的性質可知，進而證明，推出，設，則，解求出．利用三角形面積法求出，再證，根據相似三角形對應邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖，設與交于點O，與交于點R，作于點Q，矩形中，，，．由作圖過程可知，平分，四邊形是矩形，，又，，在和中，，，，，設，則，在中，由勾股定理得，即，解得，．．，．，，，，即，解得．故答案為：．【點睛】本題考查角平分線的作圖方法，矩形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質等，涉及知識點較多，有一定難度，解題的關鍵是根據作圖過程判斷出平分，通過勾股定理解直角三角形求出．三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了二次根式的加減，分式的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）先根據乘方的意義、有理數的除法、二次根式的性質、絕對值的意義化簡，再算加減；（2）先把括號內通分，并把除法轉化為乘法，再約分化簡即可．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式．17.為了美化校園，我校欲購進甲、乙兩種工具，如果購買甲種3件，乙種2件，共需56元；如果購買甲種1件，乙種4件，共需32元．（1）甲、乙兩種工具每件各多少元？（2）現要購買甲、乙兩種工具共100件，總費用不超過1000元，那么甲種工具最多購買多少件？【答案】（1）甲種工具每件16元，乙種工具每件4元；（2）50件【解析】【分析】（1）設甲種工具每件元，乙種工具每件元，根據“如果購買甲種3件，乙種2件，共需56元；如果購買甲種1件，乙種4件，共需32元”，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設甲種工具購買了件，則乙種工具購買了件，根據總價單價數量結合總費用不超過1000元，即可得出關于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．【詳解】解：（1）設甲種工具每件元，乙種工具每件元，依題意得：，解得：．答：甲種工具每件16元，乙種工具每件4元．（2）設甲種工具購買了件，則乙種工具購買了件，依題意得：，解得：．答：甲種工具最多購買50件．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應用、一元一次不等式的應用，解題的關鍵是讀懂題意，正確列出方程及不等式．18.2023年6月5日是世界環境日，某學校舉辦了以“生態文明與環境保護”為主題的相關知識測試．為了了解學生對“生態文明與環境保護”相關知識的掌握情況，現從七年級和七年級參與競賽的學生中各隨機選出20名同學的成績進行分析（單位：分，滿分100分），將學生競賽成績分為A，B，C，D四個等級，分別是：A：，B：，C：，D：．其中，七年級學生的競賽成績為：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；八年級等級C的學生成績為：81，82，83，86，87，88，89．兩組數據的平均數、中位數、眾數、方差如下表：學生平均數中位數眾數方差七年級85286b59.66八年級85.2a9191.76根據以上信息，解答下列問題；（1）填空：___________，___________，___________；（2）根據以上數據，你認為在此次知識競賽中，哪個年級的成績更好？請說明理由；（一條理由即可）（3）若七年級有500名學生參賽，八年級有700名學生參賽，請估計兩個年級參賽學生中成績優秀（大于或等于90分）的學生共有多少人？【答案】（1）87.5；88；35；（2）八年級的成績更好，理由見解析；（3）估計兩個年級參賽學生中成績優秀（大于或等于90分）的學生共有430人．【解析】【分析】（1）分別根據中位數和眾數的定義可得a和b的值，根據八年級等級C的學生人數求出其所占百分比，可得m的值；（2）依據表格中平均數、中位數、眾數，方差做出判斷即可；（3）用樣本估計總體即可．【小問1詳解】解：由題意得：八年級等級A的學生人數為（人），等級B的學生人數為（人），∴八年級20名同學的成績從小到大排列，排在中間的兩個數分別為87、88，故八年級學生成績的中位數；七年級20名同學的成績出現次數最多的是88，故眾數；由題意可得：，故，故答案為：87.5；88；35；【小問2詳解】解：八年級的成績更好，理由：因為兩個年級的平均數相同，而八年級的成績的中位數和眾數均大于七年級；【小問3詳解】解：（人），

答：估計兩個年級參賽學生中成績優秀（大于或等于90分）的學生共有430人．【點睛】本題考查中位數、眾數、平均數以及用樣本估計總體，掌握中位數、眾數的計算方法是正確解答的關鍵．19.某超市購入一批進價為10元/盒糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．銷售單價x/元…1214161820…銷售量y/盒…5652484440…（1）y與x的函數表達式是____________________；（2）糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當時，取最大值為【解析】【分析】本題考查待定系數法求一次函數，二次函數的應用，用到的知識點為：二次函數的二次項系數小于0，求二次函數的最大值，可整理成，二次函數的最大值為；也可整理成一般式：，最大值為：．（1）設與的函數表達式為：，把表格中的兩組數值代入可得和的值，即可求出與的函數關系式；（2）設日銷售利潤為元，每盒糖果的利潤銷售量，把所得函數解析式整理為頂點式，可得糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少；【小問1詳解】解：設，將代入，．解得：．；【小問2詳解】解：設日銷售利潤為元．則可得，當時，取最大值為，答：糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元；20.如圖1，桔槔是古代漢族的一種農用工具，也是一種原始的汲水工具，它的工作原理基于杠桿原理，通過一根豎立的支架加上一根杠桿，當中是支點，末端懸掛一個重物，前段懸掛水桶．當人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提拉至所需處．這種工具可以省力地進行汲水，減輕勞動者的勞動強度．線段代表固定支架，與地面垂直，點、點分別代表重物和水桶（重物和水桶的大小忽略不計），線段是無彈力、固定長度的麻繩，，始終與地面垂直．．（1）如圖2，當水桶C的位置低于地面時，，求這個桔槔支架的高度；（2）如圖3，向上提水桶C，當時，求此時水桶C到地面的距離（結果精確到）．（參考數據：，，）【答案】（1）這個桔槔支架的高度為（2）此時水桶到地面的距離大約為【解析】【分析】（1）過點作交的延長線于點，交于點，與地面的交點為，根據直角三角形的性質求出，求出，證明四邊形為矩形，得出，最后求出結果即可；（2）過點作于點，延長交延長線于點，過作于點，解直角三角形得出，證明，得出，求出，得出，證明四邊形為矩形，得出，得出答案即可．【小問1詳解】解：如圖1，過點作交的延長線于點，交于點，與地面的交點為，∵都與地面垂直，則，，，，，∴在Rt中，，，，，，∴四邊形為矩形，，．答：這個桔槔支架的高度為；【小問2詳解】解：如圖2，過點作于點，延長交延長線于點，過作于點，則，在中，，∵，，∵，∴，∴，，，∵，∴，∴四邊形為矩形，，．答：此時水桶到地面的距離大約為．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角函數定義，數形結合，作出輔助線．21.如圖，點在的邊上，，頂點在以為直徑的上，過作交的延長線于點，交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求陰影部分面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據切線的性質得到，再根據，證明，即可證明，即可證明結論；（2）根據特殊角的三角函數值得到，求出，分別求出和和的面積即可得到答案，【小問1詳解】證明：連接，，，，，，，，，點在上，故是的切線；【小問2詳解】解：，為的直徑，，，，，且，，，，，令半徑為，，，，過點作于點，，，，，．【點睛】本題主要考查圓的性質，切線的性質，特殊角的三角函數值，以及扇形的面積公式，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．22.如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，對角線所在的直線繞點O順時針方向旋轉，旋轉中直線分別交邊于點，．將四邊形沿直線折疊得到四邊形（點的對應點分別為，線段交邊于．）（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接，若，求證：；（3）若，①如圖3，點在點左側時，求的長；②如圖4，點在點右側時，直接寫出的長．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）①5；②2【解析】【分析】（1）根據證明，利用全等三角形的性質可證；（2）設與的交點為，在上截取，連接證明得，再證明是等邊三角形得，證明得，進而可證；（3）①過作于，則，證明四邊形、是矩形得、，證明，由勾股定理求出，設，則，根據求出，進而可求出；②過作于，同理，．設，則，由求出，可得．【小問1詳解】證明：四邊形是矩形，．．又，，；【小問2詳解】證明：如圖2，設與的交點為，在上截取，連接∵四邊形是矩形，與相等且互相平分，，．四邊形沿直線折疊得到四邊形，．又，，，．，．，，設，則，．，，，即．，是等邊三角形，，．又，，．，，即；【小問3詳解】①如圖3，過作于，則，∵四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，．同理四邊形是矩形，．，．又折疊，，，．在中，根據勾股定理得，．設，則．，，，；②如圖4，過作于，同理，．設，則，，，．【點睛】本題考查了矩形的性質，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的性質等知識，熟練掌握以上知識是解決本題的關鍵．23.在平面直角坐標系中，給出如下定義：點是圖形上的任意一點，點是圖形上的任意一點，若存在直線滿足且（或且），則稱直線是圖形與的“區分直線”．例如：如圖，正方形的頂點分別在軸，軸的正半軸上，點的坐標為，直線是函數的圖象與正方形的一條“區分直線”．（1）在直線中，是圖函數的圖象與正方形的“區分直線”的為_____；（2）若直線是圖函數的圖象與正方形的“區分直線”，且直線與函數的圖象有公共點，求公共點的坐標；（3）如圖，第一象限的等腰直角三角形的兩腰分別與坐標軸平行，點在點的右側，點在