第6章圖形的相似6.5

相似三角形的性質1相似三角形對應線段的比等于相似比2相似三角形周長的比等于相似比3相似三角形面積的比等于相似比的平方CONTENTS1新知導入試一試：根據所學知識，按要求完成下列內容.B′A′C′CAB（1）△ABC和△A′B′C′的相似比是_______；（2）△ABC的面積是_______；△A′B′C′的面積是_______.1:2312CONTENTS2課程講授相似三角形對應線段的比等于相似比問題1如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應高的比是多少？試著證明你的結論.BACC′A′B′

如圖，分別作出△ABC

和△A'

B'

C'

的高AD和A'

D'

．DD'△ABC

和△A'

B'

C'

對應高的比是k已知：如圖，△ABC和△A'B'C'中，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，AD和A'

D'是

△ABC

和△A'

B'

C'

的高．求證：AD和A'

D'的比是k.BACDC′A′B′D'證明：∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B＝∠B'

，又∵△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，

∴△ABD∽△A'B'D'，∴==k.

A'

D'ADABA'B'相似三角形對應線段的比等于相似比相似三角形對應線段的比等于相似比問題2如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，類比對應高的關系，說說它們對應中線、對應角平分線的比是多少？BACC′A′B′對應中線、角平分線的比也等于相似比k.

相似三角形對應線段的比：相似三角形對應線段（對應高、對應中線、對應角平分線）的比等于相似比.相似三角形對應線段的比等于相似比例1如圖，AF是△ABC的高，點D、E分別在AB、AC上，且DE//BC，DE交AF于點G.設DE=6，BC=10，GF=5，求點A到DE、BC的距離.相似三角形對應線段的比等于相似比DAEFCBG解：由DE//BC，∠AFB=90°，得∠AGD=90°，即AG⊥DE.于是，AG、AF的長分別為點A到DE、BC的距離.在△ADE和△ABC中，∵DE//BC，∴

△ADE∽△ABC.∴(相似三角形對應線段的比等于相似比)，即.由此，得AG=7.5，AF=AG+5=12.5，即點A到DE、BC的距離分別為7.5、12.5.練一練：若△ABC∽△DEF，相似比為3∶2，則對應角平分線的比為（）A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶9相似三角形對應線段的比等于相似比A相似三角形周長的比等于相似比問題3如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的周長比是多少？BACC′A′B′相似三角形的周長比等于相似比k.相似三角形周長的比等于相似比問題4根據所學知識，試著證明你的猜想.已知：如圖，△ABC和△A'B'C'中，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k．求證：△ABC和△A'B'C'的周長比是k.BACC′A′B′證明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，B'C'ABA'B'BC==C'A'CA=k∴AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，∴∴AB+BC+CAA'B'+B'C'+C'A'=kA'B'+kB'C'+kC'A'A'B'+B'C'+C'A'=k

歸

納：相似三角形周長的比等于相似比．類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長的比等于相似比．

相似三角形周長的比等于相似比練一練：若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周長為15cm，則△A′B′C′的周長為（）A.18cmB.20cmC.cmD.cm

相似三角形周長的比等于相似比B相似三角形面積的比等于相似比的平方問題5我們已經知道相似三角形對應的高等于相似比，那么相似三角形的面積比等于多少？BACC′A′B′DD'312相似三角形面積的比等于相似比的平方由前面的結論，我們有BACDC′A′B′D'=k·k=k2＝

歸

納：相似三角形面積的比等于相似比的平方．類似地，我們還可以得到：相似多邊形面積的比等于相似比的平方．

相似三角形面積的比等于相似比的平方例2在比例尺為1：500的地圖上，測得一個三角形地塊ABC的周長為12cm，面積為6cm2，求這個地塊的實際周長和面積．相似三角形面積的比等于相似比的平方解：設實際三角形地塊A′B′C′，那么△ABC∽△A′B′C′，且相似比∴∴△A′B′C′的周長＝12×500=6000(cm)=60(m)，△A′B′C′的面積＝6×5002=1500000(cm2)=150(m2).答：這個三角形地塊的實際周長為60m，面積為150m2.練一練：已知△ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1∶3，則△ABC與△A1B1C1的面積比為（）A.1∶1B.1∶3C.1∶6D.1∶9

D相似三角形面積的比等于相似比的平方CONTENTS3隨堂練習1.將一個三角形改成與它相似的三角形，如果面積擴大為原來的9倍，那么周長擴大為原來的（）A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍B2.兩個相似三角形的最短邊長分別為5cm和3cm，它們的周長之差為12cm，那么大三角形的周長為（）A.14cmB.16cmC.18cmD.30cmD3.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點，EC交BD于點F，則△BEF與△DCB的面積比為（）A.B.C.D.D4.已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB邊上的中線，C′D′是A′B′邊上的中線，CD=4cm，C′D′=10cm，AE是△ABC的一條高，AE=4.8cm，求△A′B′C′中對應高A′E′的長.解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB邊上的中線，C′D′是A′B′邊上的中線，且AE，A′E′是對應的高線，∴A′E′=12cm.=，∴

AE

CDA′E′C′D′10即

4.8

4=，A′E′5.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周長分別為20cm和25cm，且BC=5cm,DF=4cm，求EF和AC的長.解：∵相似三角形周長的比等于相似比，∴=，

EF

25BC20∴EF=×BC=×5=（cm）.4

54

5425同理可得，

=，

EF

20

25DF∴EF=×DF=×4=（cm）.54

54

5

16

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE∶EB=1∶2.（1）求△AEF與△CDF的周長比；（2）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF的值.解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴△CDF∽△AEF.∵AE∶EB=1∶2，∴AE∶AB=1∶3,∴AE∶CD=1∶3,∴△AEF與△CDF的周長比為1∶3.6.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE∶EB=1∶2.（1）求△AEF與△CDF的周長比；（2）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF的值.∴S△CDF=9S△AEF=54cm2.解：（2）∵△CDF∽△AEF，