初二數(shù)學(xué)因式分解知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典總結(jié)整式乘除與因式分解概述定義:把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫作分解因式。意義:它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)的整式四則運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ);學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力。分解因式與整式乘法互為逆變形。因式分解的方法因式分解沒(méi)有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法，除法等。注意三原則1分解要徹底2最后結(jié)果只有小括號(hào)3最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正(例如:-3x^2+x=-x(3x-1))基本方法?提公因式法各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。具體方法:當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù);字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的;取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意:把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式?公式法如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法。22平方差公式:a-b=(a+b)(a-b);222完全平方公式:a?2ab，b,(a?b);注意:能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。3322立方和公式:a+b=(a+b)(a-ab+b);3322立方差公式:a-b=(a-b)(a+ab+b);32233完全立方公式:a?3ab，3ab?b=(a?b)(333222公式:a+b+c=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)222例如:a+4ab+4b=(a+2b)。(3)分解因式技巧1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。2.分解因式技巧掌握:?等式左邊必須是多項(xiàng)式;?分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示;?每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來(lái)多項(xiàng)式的次數(shù);?分解因式必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。注:分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。3.提公因式法基本步驟:(1)找出公因式;(2)提公因式并確定另一個(gè)因式:?第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母;?第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式;?提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié):1、單項(xiàng)式的概念:由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項(xiàng)式的次數(shù)。2,2abc,2如:的系數(shù)為，次數(shù)為4，單獨(dú)的一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是0。2、多項(xiàng)式:幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)。222a,2ab，x，1aa如:，項(xiàng)有、、、1，二次項(xiàng)為、，一次項(xiàng)為，常,2ab,2abxx數(shù)項(xiàng)為1，各項(xiàng)次數(shù)分別為2，2，1，0，系數(shù)分別為1，-2，1，1，叫二次四項(xiàng)式。3、整式:單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。注意:凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。4、多項(xiàng)式按字母的升(降)冪排列:3223如:x,2xy，xy,2y,13223按的升冪排列:,1,2y，xy,2xy，xx3223按的降冪排列:x,2xy，xy,2y,1x3223按y的升冪排列:,1，x，xy,2xy,2y3223按y的降冪排列:,2y,2xy，xy，x,1mnmn，aaa,5、同底數(shù)冪的乘法法則:(m,n都是正整數(shù))同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。235如:()()()ababab，，,，mnmnm,n6、冪的乘方法則:(都是正整數(shù))(a),a5210冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如:(,3),3mnmnnm冪的乘方法則可以逆用:即a,(a),(a)62332如:4,(4),(4)nnn7、積的乘方法則:(是正整數(shù))(ab),abn積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。32553525515105如:(=,2xyz)(,2),(x),(y),z,,32xyzmnm,na,a,aa,0,m,nm,n)8、同底數(shù)冪的除法法則:(都是正整數(shù)，且4333同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如:(ab),(ab),(ab),ab9、零指數(shù)和負(fù)指數(shù);0a,1，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。1p,a,0,p(是正整數(shù))，即一個(gè)不等于零的數(shù)的次方等于這個(gè)數(shù)的次方的,ppa,pa倒數(shù)。11,33如:2(),,2810、單項(xiàng)式的乘法法則:單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。注意:?積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。?相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則。?只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式?單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。?單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。23如:,2xyz,3xy,11、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，m(a，b，c),ma，mb，mcm,a,b,c即(都是單項(xiàng)式)注意:?積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。?運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。?在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。]2x(2x,3y),3y(x，y)如:12、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則;多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加。(3a，2b)(a,3b)如:(x，5)(x,6)2213、平方差公式:注意平方差公式展開(kāi)只有兩項(xiàng)(a，b)(a,b),a,b公式特征:左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)。右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。(x，y,z)(x,y，z)如:22214、完全平方公式:(a,b),a,2ab，b公式特征:左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊有三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，而另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍。注意:2222a，b,(a，b),2ab,(a，b),2ab22(a,b),(a，b),4ab222222(,a,b),[,(a，b)],(a，b)(,a，b),[,(a,b)],(a,b)完全平方公式的口訣:首平方，尾平方，加上首尾乘積的2倍。15、三項(xiàng)式的完全平方公式:2222(a，b，c),a，b，c，2ab，2ac，2bc16、單項(xiàng)式的除法法則:單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。注意:首先確定結(jié)果的系數(shù)(即系數(shù)相除)，然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式242,7abm,49ab如:17、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則:多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加。()ambmcmmammbmmcmmabc，，,,,，,，,,，，即:18、因式分解:常用方法:提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……三、知識(shí)點(diǎn)分析:1.同底數(shù)冪、冪的運(yùn)算:mnm+na?a=a(m，n都是正整數(shù)).mnmn(a)=a(m，n都是正整數(shù)).a,2n82,64例題1.若，則a=;若，則n=27，3,(,3)2x，12009，x5,125例題2.若，求的值。(x,2)nm32,,，，,,，，x,2y2y,x例題3.計(jì)算練習(xí)2n6na,3a1.若，則=.xy-1yx-12.設(shè)4=8,且9=27,則x-y等于。2.積的乘方nnn(ab)=ab(n為正整數(shù)).積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.p43p,,，，,,，，，，n,m,m,n,n,m例題1.計(jì)算:3.乘法公式22平方差公式:，，，，a，ba,b,a,b222完全平方和公式:，，a，b,a，2ab，b222完全平方差公式:，，a,b,a,2ab，b2例題1.利用平方差公式計(jì)算:2009×2007,20082007例題2.利用平方差公式計(jì)算:(2200720082006,，3.(a,2b，3c,d)(a，2b,3c,d)5.因式分解:1.提公因式法:式子中有公因式時(shí)，先提公因式。2105axaybybx,，,例1把分解因式(分析:把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按的降冪排列，然xxy,5后從兩組分別提出公因式與，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取2a,b公因式(21052(5)(5)(5)(2)axaybybxaxybxyxyab,，,,,,,,,,解:說(shuō)明:用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法(本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試(2222例2把分解因式(abcdabcd()(),,,分析:按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式(22222222解:abcdabcdabcabdacdbcd()(),,,,,,，2222,,，,()()abcacdbcdabd,,，,,,，acbcadbdbcadbcadacbd()()()()說(shuō)明:由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律(由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用(2.公式法:根據(jù)平方差和完全平方公式22例題1分解因式925xy,3.配方法:2xx，,616例1分解因式222222解:xxxxx，,,，，，，,,,，,616233316(3)5,，，，,,，,(35)(35)(8)(2)xxxx說(shuō)明:這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解(當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)(4.十字相乘法:2(1)(型的因式分解xpqxpq，，，()這類式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是:(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1;(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積;(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和(22xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq，，，,，，，,，，，,，，()()()()()2因此，xpqxpqxpxq，，，,，，()()()運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式(例1把下列各式因式分解:22xx,，76xx，，1336(1)(2)6(1)(6),(1)(6)7,,，,,，,,,解:(1)2(？,，,，,，,,,,76[(1)][(6)](1)(6)xxxxxx3649,4913,，，,(2)2？，，,，，1336(4)(9)xxxx說(shuō)明:此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同(例2把下列各式因式分解:22xx，,524xx,,215(1)(2)24(3)8,(3)85,,,，,，,解:(1)2？，,,，,，,,，524[(3)](8)(3)(8)xxxxxx15(5)3,(5)32,,,，,，,,(2)2？,,,，,，,,，215[(5)](3)(5)(3)xxxxxx說(shuō)明:此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同(例3把下列各式因式分解:22222(1)(2)xxyy，,6()8()12xxxx，,，，222分析:(1)把看成的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是xxyy，,6,6yx23y,2y3(2)yyy，,,y，把分解成與的積，而，正好是一次項(xiàng)系數(shù)(,6y2xx，(2)由換元思想，只要把整體看作一個(gè)字母，可不必寫出，只當(dāng)作分解a2aa,，812二次三項(xiàng)式(2222解:(1)xxyyxyxxyxy，,,，,,，,66(3)(2)22222(2)()8()12(6)(2)xxxxxxxx，,，，,，,，,,，,，,(3)(2)(2)(1)