2024-2025學年九年級數學上學期期末模擬卷

（蘇州專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：130分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：蘇科版九年級上冊+下冊。

5.難度系數：0.8o

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知的直徑為4,04=4,則點/在（）

A.OO內B.上C.OO外D.無法確定

2.關于x的一元二次方程/+履-1=0的根的情況是（）

A.無實數根B.有一個實數根

C.有兩個相等的實數根D.有兩個不相等的實數根

3.為了解甲，乙兩種甜玉米產量的情況，農科院各用10塊自然條件相同的試驗田進試驗，得到的各試驗

田每公頃的產量繪制統計圖如圖，下列判斷正確的是（）

A.甲種甜玉米平均產量大B.乙種甜玉米平均產量大

C.甲種甜玉米產量波動大D.乙種甜玉米產量波動大

4.對于二次函數>=3（工-1）2+3的性質，下列描述正確的是（）

A.開口向下

B.對稱軸是直線x=-l

C.頂點坐標是（3,1）

D.>=3（》-1）2+3的圖象可由〉=3工2+3的圖象向右平移1個單位得到

5.如圖，四邊形是。。的內接四邊形，ZAOC=142°,則24BC的度數是（）

A.109°B.142°C.45°D.19°

6.如圖，ZUBC中，44cB=90。，25=30°,將△4BC繞點C按逆時針方向旋轉，得到△/?C,若點A

的對應點H恰好落在邊4B上，連接貝han/3'/C的值為（）

B

7.如圖，四邊形4BCD中，AD=CD=4,AB=BC,ZADC=120°,/4BC=90。，點。為/C的中點,

分別以A、C為圓心NO為半徑作圓得扇形NE尸與扇形CHG（NEAF、N77CG為圓心角），則圖中陰

影部分的面積為（）

FQH

A.16-4^3-5^B.12—4百—4%

C.12+4V3-57TD.24+84一5萬

8.如圖，矩形45。各邊中點分別是E、F、G、H,AB=2^3,BC=2,/為2B上一動點，過點M作

直線若點〃從點A開始沿著48方向移動到點3即停（直線/隨點”移動），直線/掃過矩形內

部和四邊形EFGH外部的面積之和記為S.設/M=x,則S關于x的函數圖象大致是（）

第II卷

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.某次演講比賽中，小東同學在演講內容、演講能力、演講效果三個方面的成績（百分制）如表：若對演

講內容、演講能力、演講效果分別賦權5、3、2,則小東同學此次演講比賽的平均成績（百分制）是.

演講內容演講能力演講效果

分數908085

10.如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機停留在某塊方磚上，那么小球最終停留在黑色區域

的概率是

11.已知拋物線”加+bx+c經過4（1,加），B（3,機）兩點，貝！|-3的值為

2a

12.如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點/、8、C都在格點（網格線的交點）上，圓M經過

點/、B、C、D,貝iJtanZBDC的值為

13.如圖，正五邊形/8CDE的邊力B,4E與。。分別相切于點M,N,點P在疝上，連接PM,PN,

則的度數為

14.如圖，在△N8C中，ZC=90°,。。是△4BC的內切圓,切點分別為。、E、F,若NC=3,BC=4,

則。。的半徑為

15.如圖，在及A45C中，/C=90。，ZABC=30°,4C=2,點尸是邊力B上一動點（不與A、3重合）,

以4尸為直徑的0。交ZC于點。，連接DB交0。于點E,連接CE,當點尸在邊4B上移動時，則CE的

最小值為.

16.定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這

個三角形的“等底”如圖，己知4〃/2，4與4之間的距離為3.“等高底”△NBC是鈍角三角形，且

43c>90。，△N8C的“等底”5。在直線4上，點A在直線3△N2C有一邊的長是8c的6倍.將

△ABC繞點C按順時針方向旋轉45。得到△/'3'C,HC所在直線交4于。，貝UCD=.

三、解答題：本題共11小題，共82分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（6分）計算：2023。-6cos30。+,1

18.（6分）解方程：（x-2）2+龍（x-2）=0.

19.（6分）已知關于x的方程/-"+°-1=0的根為X,、x2.

⑴當〃=4時,求％1+%2+再，％2的值;

⑵若方程的一個根再=6,求。的值與另一個根乙.

20.（6分）下圖是用幾個電子元件組成的一個電路系統，當且僅當從/到2的電路為通路狀態時，系統

正常工作，系統正常工作的概率稱為該系統的可靠，每個元件正常工作的概率均為;，當某元件不能

正常工作時，該元件在電路中將形成斷路.

4?_—?B4?-E>]~~[Ml~?B

圖1圖2

（1）如圖1,只用1個電子元件①，該電路為斷路的概率為；

⑵如圖2,用2個電子元件①、②組成一個電路系統，求系統正常工作的概率.（用畫樹狀圖或列表方

法求解）

21.（6分）如圖，在A/BC中，乙4=30。"=45。鳳=36.

⑴求/C的值.

⑵求△4BC的面積（結果保留根號）.

22.(8分)1963年3月5日，毛澤東主席親筆題詞號召全國人民“向雷鋒同志學習”，“雷鋒精神”激勵著一

代又一代中國人.今年3月5號，某校團委組織全校師生開展“學習雷鋒精神，志愿做義工活動”，活動

結束后學校隨機調查了部分同學的義工活動時間，并用得到的數據繪制了不完整的統計圖，根據圖中

信息回答下列問題：

(1)將條形統計圖補充完整;

(2)扇形圖中“1.5小時”部分圓心角是一度，活動時間的眾數是小時,中位數是小時；

(3)若該學校共有900名學生參與義工活動，請你估計工作時長一小時以上(不包括一小時)的學生人

數.

23.(8分)如圖，P是。。外一點，尸/是。。的切線，A是切點，5是。。上一點，且融=PB,延長30

分別與切線尸4相交于C、。兩點.

⑴求證：依是。。的切線；

(2)”為依邊上的中線，若4。=4,CQ=2,求紗的值.

24.（8分）如圖1是安裝在斜屋面上的熱水器，圖2是安裝該熱水器的側面示意圖.已知斜屋面的傾斜角

為25。，長度為2米的真空管也與水平線出的夾角為45。，安裝熱水器的鐵架水平管8c長0.2米，求:

圖1

（1）/。的長度（結果精確到0.1米）.

⑵鐵架垂直管CE的長度（結果精確到0」米）.(>/2?1,41,sin25°?0.42,

cos25°~0.91tan25°=0.47）

25.（8分）某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批玩具進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機

構.根據市場調查，這種玩具一段時間內的銷售量，（個）與銷售單價x（元/個）之間的關系為：

y=-30x+600,這種玩具的進價為6元/個.

（1）按照上述市場調查的銷售規律，求銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數關系式；

（2）若這種玩具的進貨成本不超過1080元，要想獲得最大的利潤，試確定這種玩具的銷售單價，并求出

此時的最大利潤.

26.(10分)綜合與探究：

如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=?x2-2x+c與x軸交于點/(TO)和點C,與丁軸交于點B

(0,3),點P是拋物線上點A與點。之間的動點(不包括點A,點C).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,動點P在拋物線上，且在直線4B上方，求A/AP面積的最大值及此時點P的坐標；

(3)如圖2,過原點。作直線/交拋物線于M、N兩點，點X的橫坐標為加，點N的橫坐標為〃.求證:

加〃是一個定值.

27.(10分)定義：若一個函數的圖象上存在橫、縱坐標之和為加(機為正整數)的點，則稱該點為這個

函數圖象的“加系關聯點例如，點。,0)是函數＞=3》-3的圖象的“1系關聯點”。

⑴在函數①k-x+3.②y=③歹=%2+級+1的圖象上存在“2系關聯點”的函數是；(填序號)

(2)若函數”士的圖象的“3系關聯點”與函數歹=2x+b的圖象的“6系關聯點”首尾順次相連恰好構成等

x

腰三角形，求6的值；

(3)若函數y=、2+加x+2的圖象存在唯一的“加系關聯點”，當，+1時，函數y=/+加x+2的最小

值為T,求，的值.

2024-2025學年九年級數學上學期期末模擬卷

（蘇州專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：130分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：蘇科版九年級上冊+下冊。

5.難度系數：0.8o

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知的直徑為4,04=4,則點/在（）

A.OO內B.上C.OO外D.無法確定

【答案】C

【詳解】解：的直徑為4,

二的半徑為2,

,：OA=4>2,

???點A與的位置關系是點在圓外，

故選：C.

2.關于x的一元二次方程/+h-1=0的根的情況是（）

A.無實數根B.有一個實數根

C.有兩個相等的實數根D.有兩個不相等的實數根

【答案】D

【詳解】解：：Y+日-1=0,

??6Z—1,b—k,c——1,

A-b2-4ac-k2-4xlx(-1)=A:2+4>0.

.??方程/+辰一i=o有兩個不相等的實數根.

故選：D.

3.為了解甲，乙兩種甜玉米產量的情況，農科院各用10塊自然條件相同的試驗田進試驗，得到的各試驗

田每公頃的產量繪制統計圖如圖，下列判斷正確的是（）

甲種甜E米的產量乙種甜長米的產年

A.甲種甜玉米平均產量大B.乙種甜玉米平均產量大

C.甲種甜玉米產量波動大D.乙種甜玉米產量波動大

【答案】C

【詳解】從圖中看到，甲，乙兩種甜玉米平均產量相近，甲種甜玉米產量的波動比乙的波動大.

故選：C.

4.對于二次函數》=3（x-ir+3的性質，下列描述正確的是（）

A.開口向下

B.對稱軸是直線x=-l

C.頂點坐標是（3,1）

D.y=3（x-iy+3的圖象可由y=3/+3的圖象向右平移1個單位得到

【答案】D

【詳解】解：A、；二次函數y=3（x-l>+3中,a=3>0,

.??該二次函數圖象的開口向上，故該選項錯誤，不符合題意；

B、該二次函數圖象的對稱軸為直線x=l,故該選項錯誤，不符合題意；

C、該二次函數圖象的頂點坐標為。,3）,故該選項錯誤，不符合題意；

D、y=3（x-ir+3的圖象可由y=3x?+3的圖象向右平移1個單位得到，該選項正確，符合題意,

故選：D.

5.如圖，四邊形4BCD是OO的內接四邊形，ZAOC=142°,則-4BC的度數是（）

A.109°B.142°C.45°D.19°

【答案】A

【詳解】解：；NO=；4OC='x142。=71。，而/B+ZD=180。，

22

4=180。-71°=109°.

故選：A.

6.如圖，ZUBC中，ZACB=90°,/B=30。,將△4BC繞點C按逆時針方向旋轉，得到△/?C,若點A

的對應點H恰好落在邊48上，連接貝han/B'/C的值為（）

V3

D,

52

【答案】C

【詳解】解：如圖：設49，交BC于點、D,E,

在△4BC中，ZACB=90°,

---ZB=30°,

/.ABAC=60°,

由旋轉可知：AC=A,C,

：AACA是等邊三角形，

ZACA=60°,

.?.〃。'=90。-60。=30。，

由旋轉可知：ZB,A,C=ZBAC=60°,

NCDA'=30°+60°=90°,

AfC=AC=2ArD,

設A'D=x,CE=y,

:.AC=2ArD=2x,

DC=垂＞AD=y/3x，

：.DE=CD-CE=y/3x-y,

ArBr=AB=2AC=4x,

B'D=AB'-A'D=3x,

?「ZBDAr=ZBCA=90°,

??.AD//AC、

ADB'E=AB1AC,

/.tanADB'E=tanNB'AC,

.DE_CE

??~—，

B'DAC

.y/3x-yy

??-----------=—,

3x2x

.2A/3X

??y=-------，

5

.,R4「2A/3X1V3

..tan/BA.C=-----x—=—.

52x5

故選：c.

7.如圖，四邊形4BCD中，AD=CD=4,AB=BC,ZADC=120°,ZABC=9Q°,點。為4c的中點,

分別以A、C為圓心NO為半徑作圓得扇形/E尸與扇形CHG（NEAF、N8CG為圓心角），則圖中陰影

部分的面積為（）

A.16-473-5^B.12-46-4%

C.12+473-5^-D.24+873-5^-

【答案】C

【詳解】解：如圖：連接D。，

?.-AD=CD=4,N4DC=120。，點。為/C的中點，

ADAC=ZDCA=30°,AO=OC,DOIAC,

DO=^AD=2,AO=V16-4=2G,4c=4A/3，

則=g/CxDO=；x46x2=4石，

?；AB=BC,//BC=90。，點。為/C的中點，

ABAC=NBCA=45°,

AB=BC=276,

貝US/BC=；/8X8C=；X2&X2C=12，

:分別以A、C為圓心NO為半徑作圓得扇形/E尸與扇形C//G（ZEAF.NHCG為圓心角）,

AEAF=AHCG=30。+45。=75。,S扇形四=S扇形CGH=菽*（2⑹萬=2.5萬，

^AADC+S—Bc—2s扇形"￡尸=4拒+12-5n,

則圖中陰影部分的面積為12+4石-5萬.

故選：C.

8.如圖，矩形/BCD各邊中點分別是E、F、G、H,AB=20BC=2,X為力B上一動點，過點M作

直線/1/3,若點/從點A開始沿著2B方向移動到點8即停（直線/隨點/移動），直線/掃過矩形內部

和四邊形EFGH外部的面積之和記為S.設/V=x,則S關于x的函數圖象大致是（）

【詳解】解：如下圖所示，當初點的運動過程在/E段

貝U由題意可知$=$△HAE+黑GHD-S/^EOM-S&GPS

??,四邊形/8CQ是矩形，直線H、E、F、G為AD、AB、BC、C。的中點

??SAHAE-S4GHD，S4E0M-S叢GPS

S—2sAi1AE~2s4EOM

S.?=-AE-AH,AH=-AD=-BC=\,AE=-AB=4i

AHAAEF2222

??,直線/_L/B

：.ZOME=ZA=90°

：.MAESQME

AHOM

AE~ME

h

：.OM=—ME

3

又?；ME=AE—AM=6—x

/.OM=—ME=

3

同理當在BE段時S=S.HAE+§△GHD+SeEO、M\+S4GP、S\

即S=2sAHAE+2sAEOM

同理可以得到=—M,E

113

MxE=AMi-AE=x-^

.?.aM=9ME=9（x-石）

S=2'加上+2S,E°M=石+9（x一百『

綜上所述當M點的運動過程在北段時S=2S.E-2S，EO.=百-苧（G-xJ,二次函數開口向下；當河

點的運動過程在班段時$=若+*1-有/，二次函數開口向上；

故選：D.

第II卷

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.某次演講比賽中，小東同學在演講內容、演講能力、演講效果三個方面的成績（百分制）如表：若對演

講內容、演講能力、演講效果分別賦權5、3、2,則小東同學此次演講比賽的平均成績（百分制）是.

演講內容演講能力演講效果

分數908085

【答案】86

90x5+80x3+85x2”

【詳解】解:---------------------------------------------二86（分）

5+3+2

小東同學此次演講比賽的平均成績（百分制）是86分.

故答案為：86.

10.如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機停留在某塊方磚上，那么小球最終停留在黑色區域

的概率是.

【答案】|

【詳解】解：???由圖可知，黑色方磚可拼成3塊，共有9塊方磚,

??.黑色方磚在整個地板中所占的比值|3=1

???小球最終停留在黑色區域的概率是g,

故答案為：—.

11.已知拋物線＞=辦2+樂+＜：經過/（1,加），3（3,%）兩點，則-二的值為________.

2a

【答案】2

【詳解】解：依題意，因為拋物線夕=依2+法+。經過/（I,m）,3（3,加）兩點，且/（I,m）,2（3,機）兩

點的縱坐標相等

所以/（1,町與8（3,相）關于對稱軸x=對稱，

2a

b1+3_

n即rr----=----=2,

2a2

故答案為：2.

12.如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點/、B、。都在格點（網格線的交點）上，圓M經過

點4、B、C、D,則tan/BOC的值為

【詳解】解：連接/3，AC,BC,如圖所示:

?.?點A,B,C都在格點（網格線的交點）上，經過點A,B,C,D,

:.NBDC=NBAC,BC=3,BA=2,

,：Z.ABC=90°,

tanZBDC=tanABAC==—,

BA2

_,3

故答案為：—.

13.如圖，正五邊形的邊AB,NE與。。分別相切于點”，N,點尸在加上，連接PM,PN,

則ZMPN的度數為.

【答案】144°

【詳解】解：如圖，連接＜W,ON,在優弧4B上取一點。，連接。“，QN,

A

Q

???五邊形48CDE是正五邊形，

（5-2）x180°

——』--------=108°

5

??,正五邊形/3CDE的邊力B,/E與0。分別相切于點M,N,

ZOMA=ZONA=90°,

AMON=360°-90°-90°-108°=72°,

ZMQN=；AMON=36°,

???四邊形PMQV是圓內接四邊形，

ZMPN+ZMQN=180°,

r./MPN=180°-36°=144°.

故答案為：144。.

14.如圖，在△4BC中，ZC=90°,是△4BC的內切圓，切點分別為。、E、F,若/C=3,BC=4,

則。。的半徑為.

【答案】1

【詳解】解：連接斤，貝lj8=OE=O尸,

A

設OD=r,

在RtA^SC中，AB=JAC?+BC。=5，

?JOO是△ABC的內切圓，切點分別為。、E、F,

：.OD1AB,OE1BC,OF1AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF,

又：ZC=90°,

二四邊形OECF為正方形，

CE=CF=r,

'：BE=4-r,AF=3—尸,

.?.AB=BD+AD=BE+AF=A-r+3-r=l-2r,

而=5,

7-2r=5,

：.r=l,即。。的半徑為1

故答案為：1.

15.如圖，在比A4BC中，/C=90。，ABC=3Q°,/C=2,點尸是邊4B上一動點（不與A、6重合），

以4斤為直徑的。。交/C于點。，連接DB交0。于點E,連接CE,當點尸在邊力B上移動時，貝UCE的最小

【答案】2H4

【詳解】解：在△4BC中，ZACB=90°,ZABC=30°,

AB=2AC=4,BC=AB1-AC2=A/42-22=273>^SAC=60°,

連DF,AE,EF,

尸為的直徑，

/ADF=ZAEF=90°,

ZAFD=ZAED=90°-ZBAC=90°-60°=30°,

ZAEB=180。-30。=150。為定角，

E在以4B為弦所對圓心角為60。的圓弧上運動，

設該圓圓心為N,連NE,CN,AN,BN,則//A?=60。，AN=BN,

.a/BN為等邊三角形，

AB=BN=AN=4,/ABN=60°,

NCBN=90°,

:.CN=^BC2+BN2=712+16=2A/7，

又EN=BN=4.

由兩點之間線段最短知：CE+NE>CN,

:.CE>CN-EN=2y/7-4,

二當C、E、N在一直線時.CE有最小值為：2V7-4.

故答案為：2b-4.

16.定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這

個三角形的“等底”如圖，已知4〃右，4與72之間的距離為3.“等高底”△/8C是鈍角三角形，且

NABC>90°,沙蛇的“等底”2C在直線4上，點A在直線aMBC有一邊的長是BC的6倍.將zX/BC

繞點C按順時針方向旋轉45。得到△48'C,HC所在直線交乙于。，則CQ=.

Ar

【詳解】解：分別過點A作在，3c于點￡,點。作。F//C于點/，如圖所示:

由題意可得：BC=AE=\AACA'=A5°,

ADFC是等腰直角三角形,

,/4//12,

：.ZDAF=NACE,

VAELBC,DF1AC,

：.ZAEC=ADFA=4DFC=90°,

/.AAECS^DFA,

①當48=島。=3行時，則在RtzX48E中，由勾股定理得：BE=^AB2-AE2=6>

：.EC=BC+BE=9,

.?.在Rtz^/EC中，由勾股定理得：AC=^EC2+AE2=35/10>

,/LAECsADFA,

AE]_

BP—=—

DFAFAFEC3

ADFC是等腰直角三角形,

AFC=DF=^AF,CD=?CF,

/.AF+FC=4FC=AC=3710,

/.CF=，

4

?3廂歷_3加

??CD-------XV2-,

42

②當4C=屬。=3指時，則在Rt^/EC中，由勾股定理得：EC7AC?-AE2=6=2BC，

AAECS^DFA,

AEECnnDFAE1

..岳=7F'即行=正=5'

,/△DFC是等腰直角三角形，

Z.FC=DF=^AF,CD=gCF，

：.AF+FC=3FC=AC=3y[5,

/.CF=y[5,

/.CD=V5xV2=Vw：

綜上所述：CD二處或屈;

2

故答案為逃或所；

2

三、解答題：本題共11小題，共82分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(6分)計算：20230-gcos3()o+|&-l|.

【詳解】解：原式=1-6亞T

2

=1--+V2-1

2

=V2--1.................................................................6分

18.(6分)解方程：(x-2y+x(x-2)=0.

【詳解】解：(x-2y+x(x-2)=0

(x-2)(2x-2)=0

.,.x-2=0或21-2=0

解得：玉=2,%2=1.............................................................6分

19.(6分)已知關于x的方程—+Q_1=O的根為、x2.

(1)當〃=4時，求再+%2+項,％2的值;

（2）若方程的一個根再=6,求。的值與另一個根￡.

【詳解】（1）?.,當。=4時，方程為F-4x+3=0,

xt+x2=4,xtx2=3,

X]+x2+再,x2=4+3=7；..............................3分

（2）?.?方程x2-ax+a-l=0的根為X]、聲，

又占=6

xx+x2=a,xxx2=a—\,

16+X,=Q

即Ar

fa=7

解得：，，...............................6分

乂=1

20.（6分）下圖是用幾個電子元件組成的一個電路系統，當且僅當從/到3的電路為通路狀態時，系統

正常工作，系統正常工作的概率稱為該系統的可靠，每個元件正常工作的概率均為:，當某元件不能正常

工作時，該元件在電路中將形成斷路.

_?B/?~~EMI[Ml~?B

圖1圖2

（1）如圖1,只用1個電子元件①，該電路為斷路的概率為；

（2）如圖2,用2個電子元件①、②組成一個電路系統，求系統正常工作的概率.（用畫樹狀圖或列表方法求

解）

【詳解】（1）解：只用1個電子元件①，該電路為斷路的概率為:；

故答案為：1；..............................3分

（2）解：每個元件正常工作分別記為：%,4,每個元件不能正常工作分別記為：至，

用2個電子元件①，②組成一個電路系統，所有情況如下表：

（凡出）（凡，喝

R（凡此）（R,瓦）

?.?從A到5的電路共4種等可能結果，其中該電路為正常狀態的有1種,

，該電路為正常狀態的概率為;...............................6分

21.（6分）如圖，在ZX/BC中，=30°,ZS=45°,5C=372.

⑴求/C的值.

（2）求△NBC的面積（結果保留根號）.

【詳解】（1）解：如圖，過點。作CDL/8于點Z）.

在Rtz\5CD中，ZS=45°,BC=3叵,

S￡>=SC-cos45°=3V2x—=3,

2

CD=BD=3,

在Rt^/CD中，

■.■ZA=30°,

AC=6；..............................3分

（2）解：由（1）知：在中，AC=6,CD=3,

AD=^62-32=3-\/3，

??.AB=AD+BD=3也+3

-?-S?=；xABxCD3r................................................................6分

22.（8分）1963年3月5日，毛澤東主席親筆題詞號召全國人民“向雷鋒同志學習”，“雷鋒精神”激勵著一

代又一代中國人.今年3月5號，某校團委組織全校師生開展“學習雷鋒精神，志愿做義工活動”，活動結束

后學校隨機調查了部分同學的義工活動時間，并用得到的數據繪制了不完整的統計圖，根據圖中信息回答

下列問題：

（1）將條形統計圖補充完整；

（2）扇形圖中“1.5小時”部分圓心角是一度，活動時間的眾數是小時,中位數是小時；

（3）若該學校共有900名學生參與義工活動，請你估計工作時長一小時以上（不包括一小時）的學生人數.

【詳解】（1）解：工作時間為1小時的有30人，占調查人數的30%,

.??此次調查的人數為：30+30%=100（人）

二工作時間為1.5小時的人數有：100-12-30-18=40（人），

補全統計如圖所示：

（2）解：扇形圖中“1.5小時”部分圓心角為：

40

360°x=144°,

100

活動時間出現次數最多的是1.5小時，出現40次,

.??眾數為：1.5小時,

將loo個學生的活動時間從小到大排序后處在第50、51位的都是L5小時，

.??中位數為：至）=1.5（小時），

2

故答案為：144,1.5,1.5；.............................................................6分

（3）解：900乂當薩=522（人），

估計工作時長一小時以上（不包括一小時）的學生人數是522人.............................6分

23.（8分）如圖，P是。。外一點，尸/是。。的切線，A是切點，3是OO上一點，且P4=PB,延長30

分別與。。、切線PN相交于C、。兩點.

⑴求證：網是G)o的切線；

⑵3為依邊上的中線，若工。=4,CQ=2,求0。的值.

【詳解】(1)證明：連接。4,

^OBP^OAP(SSS),

NOBP=NOAP,

丁尸力是O。的切線，A是切點，

C.OAVPA,

：./CUP=90。，

ZOBP=90°,

：.OBVBP,

〈OB是半徑，

???05是O。的切線；..............................4分

(2)解：連接/C,設。4=/，則00=2+小

Q

VAQ=4,CQ=2fZOA2=180°-ZOAP=90°,

OA2+AQ2=OQ2即r2+42=(r+2)2,

解得，尸=3,

OA=3,BC=6,

設BP=x,則=

???尸3是圓。的切線，

NPBQ=90°,

???BQ2+BP2=PQ\X2+(6+2)2=(x+4『，

解得，%=6,

BP=6,

為我邊上的中線，

BD=3,

：?QD=J(6+2>+32=V73.............................................................8分

24.（8分）如圖1是安裝在斜屋面上的熱水器，圖2是安裝該熱水器的側面示意圖.已知斜屋面的傾斜角

為25。，長度為2米的真空管AB與水平線ND的夾角為45。，安裝熱水器的鐵架水平管2C長0.2米，求:

圖1圖2

（1）40的長度（結果精確到0.1米）.

（2）鐵架垂直管CE的長度（結果精確到0.1米）.（及21.41,sin25°?0.42,cos25°?0.91tan25°=0.47）

【詳解】（1）解：如圖，過點3作即，于尸,

圖2

則四邊形3FDC為矩形，

Z.。尸=8C=0.2米，

在RM4B尸中，9=2米，ZBAF=45°,

貝！|力歹=4B-cosZR4尸=2x（米），

2

AD=AF+DF=\A\+0.2~\.6（米），

答：40的長度約為1.6米；..............................4分

（2）解：在RtA/8尸中，居=2米，ZBAF=45°,

歷

貝IjB尸=/B-sinNB/F=2xJQ1.41（米），

2

在RM/DE中，血）=1.61米，ZEAD=25°,

貝l]OE=NO-tanZ&4O°1.61x0.4710.76（米），

：.CE=CD-DE=1.41-0.16^0.1（米），

答：鐵架垂直管CE的長度約為0.7米................................8分

25.（8分）某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批玩具進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機

構.根據市場調查，這種玩具一段時間內的銷售量V（個）與銷售單價x（元/個）之間的關系為：y=-30x+600,

這種玩具的進價為6元/個.

（1）按照上述市場調查的銷售規律，求銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數關系式；

（2）若這種玩具的進貨成本不超過1080元，要想獲得最大的利潤，試確定這種玩具的銷售單價，并求出此時

的最大利潤.

【詳解】（1）解：由題意得

w=（x-6）y

=（x-6）（-30x+600）

=—30%2+780x—3600，

/.w=-30x2+780%-3600；.............................................................4分

（2）解：由題意得

（-30x+600）x6<1080,

解得：x>14,

W=-30X2+780X-3600

=-30（X-13）2+1470

*/-30<0,

.,.當x>13時，w隨著x的增大而減小，

而14>13

.,.當x=14時，w取得最大值為^=-30x(14-13)2+1470=1440(元)，

故此時的銷售單價為14元/個時，最大利潤為1440元................................8分

26.(10分)綜合與探究：

如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線尸ax?-2x+c與x軸交于點/(-3,0)和點C,與y軸交于點B(0,3),

點P是拋物線上點A與點C之間的動點(不包括點A,點C).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,動點P在拋物線上，且在直線N3上方，求ANAP面積的最大值及此時點P的坐標；

(3)如圖2,過原點。作直線/交拋物線于M、N兩點，點M的橫坐標為相，點N的橫坐標為〃.求證：mn

是一個定值.

【詳解】(1)解：把點2(-3,0)和點B(0,3)的坐標代入y=ax2-2x+c,

9。+6+c=0

得到:

c=3

U=-1

解得:

c=3

..?拋物線的解析式為歹=-一―2X+3；............................................................3分

(2)解：如下圖所示，過點P作尸“IIP軸，交AB于點H,

設直線的解析式為y=kx+b,

把點/(-3,0)和點8(0,3)的坐標代入y=kx+b,

—3左+6=0

可得:

6=3

k=\

解得:

b=3

???直線48的解析式為y='+3,

設點尸的橫坐標為》,則點尸的縱坐標為-2X+3,

.二點〃的橫坐標為％,點H的縱坐標為x+3,

PH=-——2x+3-(x+3)=_12—3x,

x2X,

S.APB-S“PH+S&BPH-2*[。一(一3)](-12-3x^=~~~2

整理得:=-|x2-|X=-|(^2+3x)=-|^X+|^+y,

327

.??可知當x=-彳時，△/%的面積有最大值，最大值是?，

28

當x=_g時，y=_J_2x+3=—1―_2*[_：]+3=?,

此時點尸的坐標為卜■!，