第18章勾股定理義務教育滬科版數學八年級下冊18.1勾股定理探究在行距、列距都是1的方格網中，任意作出幾個以格點為頂點的直角三角形，分別以三角形的各邊為正方形的一邊，向形外作正方形，如圖18-1.并以S1，S2與S3；分別表示幾個正方形的面積.圖18－1觀察圖18－1(1)，并填寫：S1＝__________個單位面積；S2＝__________個單位面積；S3＝__________個單位面積.9918觀察圖18－1(2)，并填寫：S1＝__________個單位面積；S2＝__________個單位面積；S3＝__________個單位面積.91625圖18－1(1)，(2)中三個正方形面積之間有怎樣的關系，用它們的邊長表示，是：_______________________.a2＋b2＝c2通過上面的探究，你能發現直角三角形三邊的長之間有怎樣的關系嗎?定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.因此，我們稱上述定理為勾股定理國外稱為畢達哥拉斯定理.漢代數學家趙爽把勾股定理敘述成：勾股各自乘，并之為弦實，開方除之即弦.如果直角三角形的兩直角邊用a，b表示，斜邊用c

表示，那么勾股定理可表示為a2

＋

b2

＝

c2.已知：如圖18－2(1)，在Rt△ABC

中∠C

＝90°，AB

＝c，BC

＝a，AC

＝

b.求證：a2

＋b2＝c2.下面，用面積計算來證明這個定理.證明取4個與Rt△ABC

全等的直角三角形，把它們拼成如圖18－2(2)所示的邊長為a＋b的正方形EFGH.

從圖中可見，A1B1＝B1C1

＝C1D1＝A1D1＝c.因為∠B1A1E＋∠A1B1E

＝90°，而∠A1B1E

＝∠D1A1H，因此∠B1A1E

＋∠D1A1H

＝90°，∠D1A1B1

＝90°.同理：∠A1B1C1

＝

∠B1C1D1＝∠C1D1A1

＝90°，所以四邊形A1B1C1D1，是邊長為c的正方形.正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面積分別記作S正方形EFGH和S正方形A1B1C1D1則S正方形EFGH－

4S△ABC＝S正方形A1B1C1D1

化簡，得a2

＋b2＝c2.例題例1現有一樓房發生火災，消防隊員決定用消防車上的云梯救人，如圖.已知云梯最多只能伸長到10m，消防車高3m.救人時云梯伸至最長，在完成從9m高處救人后，還要從12m高處救人，這時消防車要從原處再向著火的樓房靠近多少米?(精確到0.1m)分析：如圖，設A是云梯的下端點，AB

是伸長后的云梯，B

是第一次救人的地點，D是第二次救人的地點，過點A的水平線與樓房ED

的交點為O.則OB

＝9－3＝6(m)，OD

＝12－3＝9(m).根據勾股定理，得AO2＝AB2－OB2＝102－62＝64.解方程，得AO＝8(m).設AC

＝x，則OC

＝8－x，于是根據勾股定理，得OC2＋OD2＝CD2，即

(8－x)2＋92＝102，從而可以解出x.請根據上述分析寫出解題過程.例2已知：如圖18－4，在Rt△ABC中兩直角邊AC

＝5，BC

＝12.求斜邊上的高

CD

的長.解在Rt△ABC中，AB2

＝AC2

＋BC2

＝52

＋122

＝169，

又∵Rt△ABC的面積

練習1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.(1)a

＝6，b

＝8，求c；

1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.(2)a

＝8，c

＝17，求b.

2.如圖，樓梯的高度為2m，樓梯坡面的長度為4m，要在樓梯的表面鋪上地毯，那么地毯的長度至少需要多少米?(精確到0.1m)由題意知：∠C

＝90°，AB

＝4m，AC

＝2m

3.(1)如圖，長3m的梯子斜靠著墻，梯子

底端離墻底0.6m，問梯子頂端離地

面多少米?(精確到0.1m)

(2)題(1)中，若梯子的頂端自墻面下滑了0.9m，那么梯子的底端沿地面向外滑

動的距離是否也為0.9m?說明理由.

設水池的深度為x尺，由題意得：x2＋52＝(x＋1)2，解得：

x＝12，則x＋1＝13.答：水深12尺，蘆葦長13尺數學天地長度為正整數的算術平方根的線段，可以用尺規作圖的方法作出來.下面介紹一種有趣的方法，你能說出其中的道理嗎?

圖18－5圖18－5

······如上繼續下去，可以作出長度為任一正整數的算術平方根的線段.習題18.11.在△ABC中，∠C

＝90°，填空：(1)如果AB＝10，

BC∶AC＝3∶4，那么BC＝_______，AC＝______；(2)如果AC＝1，

∠B＝30°，那么AB＝_______，BC＝_______；682

2.已知：在△ABC中，AB

＝AC

＝17，BC

＝16.

求△ABC的高AD的長.如圖所示∵AB

＝

AC

＝17∴△ABC是等腰三角形∵AD是△ABC的高，BC

＝16.

3.已知直角三角形的三邊長是三個連續自然數，求三

邊長.設三邊長分別為x－1，x

，x＋1由勾股定理可得(x－1)2＋x2＝(x＋1)2解得x1＝0(舍去)，x2＝4，∴三邊長分別為3，4，5.4.求邊長為a的等邊三角形的面積.

5.如圖，從電線桿上離地面h

＝8m的點A

處，向地面

拉一條長l

＝12m的纜繩，這條纜繩拉直后在地面上

點B處固定，點B

離電線桿底部點C

的距離是多少米?(精確到0.1m)

6.如圖，要修一個塑料蔬菜大棚，棚寬b

＝3m，高h

＝1.5m，長l＝10m.求覆蓋在頂上的長方形塑料薄膜

需要多少平方米?(精確到0.1m2)

7.