難點與新考法06關于二次函數系數、幾何變換、最值等問題

（6大熱考題型）

題型一：關于二次函數系數a、b、c的結論判斷問題

題型二：二次函數與一元二次方程關系

題型三：二次函數圖像的平移

題型四：二次函數圖像的對稱

題型五：確定自變量取值范圍內的二次函數最值

題型六：已知自變量的取值范圍和最值,求參數

題型一：關于二次函數系數a、b、c的結論判斷問題

一、二次函數與a、b、c的關系

關系符號圖象特征

a決定拋物線a>0開口向上|a|越大，拋物線的開口小．

的開口方向

a<0開口向下

a、b共同決b=0對稱軸是y軸

定拋物線對

ab>0(a，b同號)對稱軸在y軸左側左同右異

稱軸的位置

ab<0((a，b異號))對稱軸在y軸右側

c決定了拋物c=0拋物線經過原點

線與y軸交

c>0拋物線與y軸交于正半軸

點的位置．

c<0拋物線與y軸交于負半軸

由b2-4ac確b2-4ac>0拋物線與x軸有兩個交點

定拋物線與

xb2-4ac=0拋物線與x軸有一個交點

軸交點的個

b2-4ac＜0拋物線與x軸沒有交點

數

二、引入其他參數的相關結論判斷

1.引人的參數為點坐標,常常考慮結合坐標軸求解;

2.引入的參數是與系數a,b,c結合的不等式,常常將該參數視為拋物線上點的橫坐標,結合最值求解;

3.引人的參數在一元二次方程中,常常把該方程看成拋物線與直線的交點問題,根據交點個數求解

【中考母題學方法】

【典例1】（2024·四川·中考真題）二次函數yax2bxca0的圖象如圖所示，給出下列結論：①c0；

b

②0；③當1x3時，y0．其中所有正確結論的序號是（）

2a

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【變式1-1】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數yax2bxca0的圖象與x軸交于點A3,0，

與y軸交于點B，對稱軸為直線x1，下列四個結論：①bc0；②3a2c0；③ax2bxab；④若

84

2c1，則abc，其中正確結論的個數為（）

33

A．1個B．2個C．3個D．4

【變式1-2】難點判斷需變形的關于a、b、c的關系式

（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示是二次函數yax2bxca0的部分圖象，該函數圖象的對稱軸是

直線x1，圖象與y軸交點的縱坐標是2，則下列結論：①2ab0；②方程ax2bxc0一定有一個

3

根在2和1之間；③方程ax2bxc0一定有兩個不相等的實數根；④ba2．其中，正確結論的

2

個數有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【變式1-3】難點引入其他參數的相關結論判斷

（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數yax2bxca0的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1，

則下列結論中：

b

①0②am2bmab（m為任意實數）③3ac1

c

④若Mx1,y、Nx2,y是拋物線上不同的兩個點，則x1x23．其中正確的結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【中考模擬即學即練】

1．（2024·山東東營·中考真題）已知拋物線yax2bxc(a0)的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（）

A．abc0B．ab0

C．3ac0D．am2bmab(m為任意實數)

2．（2024·廣東·模擬預測）如圖，拋物線yax2bxca0的對稱軸是直線x1，與x軸交于A，B兩點，

且OB3OA．給出下列4個結論：①abc0；②abc0；③7a3c0；④若m為任意實數，則

am2bmba．其中正確的個數是（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2024·湖北·模擬預測）如圖，已知開口向下的拋物線與x軸交于點6，0，對稱軸為直

2

線．則下列結論正確的有（）?=??+??+?

?=2211

①abc0；②abc0；③方程cxbxa0的兩個根為x,x；④拋物線上有兩點

1226

11

．??,?

和，若x12x2且x1x24，則y1y2

??2,?2

A．5個B．4個C．3個D．2個

4．（2024·廣東·模擬預測）如圖所示是拋物線yax2bxc(a0)的部分圖象，其頂點坐標為(1,n)，且與x

軸的一個交點在點(3,0)和(4,0)之間，則下列結論：①該拋物線與x軸的另一個交點在點(4,0)和(3,0)之

間；②abc0；③b24a(cn)；④關于x的一元二次方程ax2bxcn1有實數根．其中正確的

結論是（）

A．①②B．①③C．②③D．②④

5．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數yax2bxc（a，b，c為常數，a0）的圖象與x軸交

31

于點A,0，對稱軸是直線x，有以下結論：①abc<0；②若點1,y1和點2,y2都在拋物線上，

22

11

則yy；③am2bmab（m為任意實數）；④3a4c0．其中正確的有（）

1242

A．1個B．2個C．3個D．4個

6．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線yax2bxca0的圖象交x軸于點A3,0、B1,0，交

y軸于點C．以下結論：①abc0；②a3b2c0；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三

297

角形時，c7；④當c3時，在△AOC內有一動點P，若OP2，則CPAP的最小值為．其中

33

正確結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

2

7．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線yaxbxc過點C0,2與x軸交點的橫坐標分別為x1，

x2，且1x10，2x23，則下列結論：

①abc<0；

②方程ax2bxc20有兩個不相等的實數根；

③ab0；

2

④a；

3

⑤b24ac4a2．其中正確的結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

8．（2024·廣東·模擬預測）如圖，拋物線yax2bxca0與x軸交于點A1，0和B，與y軸的正半軸交

于點C．下列結論：①abc0；②4a2bc0；③2ab0；④3ac0，其中正確結論

是．

9．（2024·湖北·模擬預測）拋物線yax2bx1(a0)，對稱軸為x1．下列說法：①一元二次方程

2

ax2bx10有兩個不相等的實數根；②對任意的實數m，不等式am1bm10恒成立；③拋物

線yax2bx1經過點2，1；④若mn，且mn20，則am2bman2bn．正確的有（填

序號）．

1

10．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線yax2bxc的頂點A的坐標為,n，與x軸的一個交點

3

位于0和1之間，則以下結論：①abc0；②5b2c0；③若拋物線經過點6,y1,5,y2，則y1y2；

④若關于x的一元二次方程ax2bxc4無實數根，則n4．其中正確結論是（請填寫序號）．

題型二：二次函數與一元二次方程關系

一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函數y=ax2＋bx＋c=0圖象與x軸交點的橫坐標.

b2-4ac與0的關系二次函數與x軸交點個數一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況

b2-4ac>02個交點有兩個不相等的實數根

b2-4ac=01個交點有一個不相等的實數根

b2-4ac<00個交點沒有實數根

【中考母題學方法】

【典例2】（2024·四川達州·中考真題）拋物線yx2bxc與x軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于

1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結論正確的是（）

A．bc1B．b2C．b24c0D．c0

2

【變式2-1】（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線C1:yxmxm與x軸交于兩點A，B（A在B的左

2

側），拋物線C2:yxnxn(mn)與x軸交于兩點C，D（C在D的左側），且ABCD．下列四個結論：

①C1與C2交點為(1,1)；②mn4；③mn0；④A，D兩點關于(1,0)對稱．其中正確的結論

是．（填寫序號）

【變式2-2】（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知二次函數yx2bxc的圖像與x軸交于A(2,0)，B(1,0)

兩點．

(1)求b、c的值；

(2)若點P在該二次函數的圖像上，且PAB的面積為6，求點P的坐標．

【變式2-3】難點二次函數圖象與y=m的交點問題

（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數和二次函數知識，設計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）

所示，輸入x的值為2時，輸出y的值為1；輸入x的值為2時，輸出y的值為3；輸入x的值為3時，輸

出y的值為6．

(1)直接寫出k，a，b的值．

(2)小明在平面直角坐標系中畫出了關于x的函數圖像，如圖（2）．

Ⅰ．當y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍．

Ⅱ．若關于x的方程ax2bx3t0（t為實數），在0x4時無解，求t的取值范圍．

Ⅲ．若在函數圖像上有點P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標為m，Q的橫坐標為m1．小明對P，Q之

間（含P，Q兩點）的圖像進行研究，當圖像對應函數的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫

出m的取值范圍．

【中考模擬即學即練】

1．（2024·湖北·中考真題）拋物線yax2bxc的頂點為1,2，拋物線與y軸的交點位于x軸上方．以

下結論正確的是（）

A．a<0B．c0C．abc2D．b24ac0

2．（2024·山西大同·模擬預測）已知mn0，若關于x的方程x22xn0的解為x1,x2x1x2，關于

2

x的方程x2xm0的解為x3,x4x3x4，則下列結論正確的是（）

A．x1x2x3x4B．x4x3x1x2

C．x3x1x2x4D．x3x4x1x2

3．（2024·浙江寧波·二模）已知二次函數yax2bxc(a,b,c是常數且a0)的圖象與x軸的交點坐標是

x1,0,x2,0,mx1x2mk，當xm時，yp，當xmk時，yq，則（）

ak2ak2

A．p，q至少有一個大于B．p，q都小于

44

ak2ak2

C．p，q至少有一個小于D．p，q都大于

44

2

4．（2024·貴州·模擬預測）已知拋物線yax2x3a的圖象上有三點Ax1,y1，Bx2,y2，C0,3，其

中x11x23，則下列說法錯．誤．的是（）

13

A．方程ax22x3axb有3個根，則b

4

B．y1y2

2

C．關于x的一元二次方程ax2x3am0(m0)的兩根為x3，x4，且x3x4，則x313x4

D．拋物線的頂點坐標為1,4

5．（2024·內蒙古呼倫貝爾·三模）如圖，已知坐標平面上有一頂點為A的拋物線，A點坐標為3,0，若此

拋物線又與直線y2交于B、C兩點，且VABC為正三角形，則可求得此拋物線與y軸的交點坐標

為．

2

6．（2024·福建廈門·二模）已知拋物線L1:ya(xh)2a0的頂點為點C，與x軸分別交于點A，B（點

A在點B左側），拋物線L2與拋物線L1關于x軸對稱，頂點為點D，若四邊形ACBD為正方形，則a的值

為．

7．（2024·浙江寧波·二模）二次函數yx2x3與坐標軸的交點個數為個．

8．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知拋物線yax2bxc（a,b,c為常數，且a0）經過點(m1,n)和(2m,n)，

3

有如下結論：①拋物線對稱軸為x；②abc0；③若(3,y),(4,y)兩點在拋物線上，且yy0，則方程

21212

2

axbxc0有一根滿足1x10；④過點(2,c2a)與拋物線有且只有一個公共點的直線有兩條．其中

正．確．的結論有（填正確結論的序號）．

9．（2024·湖南·模擬預測）我們不妨約定：在平面直角坐標系中，與x軸有交點的函數稱為“零點函數”，交

點的橫坐標稱為“零點”，例如：函數yx1與x軸的交點坐標是1,0，所以函數yx1是“零點函數”，1

是該函數的“零點”．

(1)請完成以下兩個小題：

①下列函數中，是“零點函數”的為（）

2

A．y2x3B．yC．yx22x2

x

②請寫出下列函數的“零點”：一次函數y2x2的“零點”是，二次函數yx22x1的“零點”是；

(2)已知二次函yax22bx3c是“零點函數”（a，b，c是常數，a0）．

①若a1,bcbc16，函數的“零點”是x1,x2，且函數與x軸的兩個交點之間的距離為8，與y軸的交

點在正半軸上，請求出這個函數的解析式；

2

②若一次函數y2x2c與二次函數yax2b1xc相交于點Ax3,y3和Bx4,y4，“零點函

數”yax22bx3c滿足下列條件：①abc0，②3a2bc3a2b5c0，試確定線段AB長度

的取值范圍．

2

10．（2024·浙江寧波·二模）已知拋物線yx2m3x3m6，點Ax1，y1和點Bx2，y2是該拋物

線與x軸的交點．

(1)若x10，3x24，求m的取值范圍；

(2)若x1+x21，現將拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，若直線yxn與新得到的函數圖象至少

有三個交點，求n的取值范圍．

題型三：二次函數圖像的平移

方法一:

(1)將拋物線解析式轉化成頂點式y=a(x-h)2+k,其頂點坐標為(h,k);

(2)保持拋物線y=ax2的形狀不變,將其頂點平移到(h,k)處,

方法二:

(1)將拋物線y=ax2+bx+c沿y軸向上(或向下)平移m(m>0)個單位,得拋物線y=ax2+bx+c+m(或

y=ax2+bx+c-m);

(2)將拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向左(或向右)平移m(m>0)個單位,得拋物線y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或

y=a(x-m)2+b(x-m)+c)具體平移方法如下:

平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c頂點式y＝a(x–h)2＋k平移口訣

左加

向左平移n個單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n個單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減

向上平移n個單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n個單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減

【中考母題學方法】

【典例3】（2024·山東濟寧·中考真題）將拋物線yx26x12向下平移k個單位長度．若平移后得到的拋

物線與x軸有公共點，則k的取值范圍是．

【變式3-1】（2024·福建泉州·模擬預測）二次函數yx22x3的圖象與x軸交于點A,B（A在B的左側），

將該函數圖象向右平移mm0個單位后與x軸交于點C,D（C在D的左側），平移前后的函數圖象相交于

點E，若AED90，則m的值為．

【變式3-2】（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線yx2xc與x軸交于點A1,0和點B，與y軸交

于點C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當0x2時，求yx2xc的函數值的取值范圍；

35

(3)將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求PAPM的

45

最小值．

【變式3-3】難點將拋物線沿斜直線平移轉化為2次沿坐標軸平移

（2024·四川瀘州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數yx2bxc的圖象與坐標軸相交于A、B、

C三點，其中A點坐標為3,0，B點坐標為1,0，連接AC、BC．

(1)求拋物線的解析式；

(2)將△COB沿x軸水平向右平移，平移過程中當C點再次落在拋物線上的位置記作C，求C的坐標和

tanCAC的值；

(3)動點P從點A出發，在線段AC上以每秒2個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點Q從點B出發，

在線段BA上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接PQ，

設運動時間為t秒．在P、Q運動的過程中，當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為多少？

【中考模擬即學即練】

1．（2024·四川眉山·二模）若將拋物線y=x2-2x+1先沿x軸方向向右平移1個單位，再沿y方向向下平移2

個單位，得到一條新拋物線，則新拋物線的解析式變為（）

A．yx22B．yx22

C．y(x2)22D．y(x2)22

2

2．（2024·云南曲靖·一模）將拋物線y7x31平移得到y7x2，下列平移方法正確的是（）

A．先向左平移3個單位，再向下平移1個單位

B．先向右平移3個單位，再向上平移1個單位

C．先向左平移1個單位，再向下平移3個單位

D．先向右平移1個單位，再向下平移3個單位

3．（2024·廣東惠州·模擬預測）函數y3x26x4的圖形向右平移3個單位向上平移1個單位長度后的解

析式為．

4.（2024·貴州貴陽·一模）二次函數yx26x5的圖象經過平移，其頂點恰好為坐標原點，則平移的最短

距離為．

5．（2024·湖南·三模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bxc(a，b，c為常數，且a0)與x

軸交于A1,0，B兩點，與y軸交于點，且拋物線的對稱軸為直線x=1．

?0,?3

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在直線BC下方的拋物線上有一點P，過點P作PMx軸，垂足為M，交直線BC于點N．若BMN的

25

面積為，試求出點P的坐標；

8

(3)在（2）的條件下，將拋物線沿射線CA的方向平移10個單位長度，得到新的拋物線y，如圖2，點E

為新拋物線y上一點，點F為原拋物線對稱軸上一點，是否存在以點B，P，E，F為頂點的四邊形是平行

四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

6．（2024·重慶·一模）在平面直角坐標系中，拋物線yax2bx4（a，b是常數，a0），與x軸交于點A6,0

和點B2,0，與y軸交于點C．

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)如圖1，連接AC，點P為直線AC上方拋物線上的一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為E，交直線AC

于點F，過點P作PDAC，垂足為D．求△PDF周長的最大值以及此時點P的坐標；

2

(3)將拋物線yaxbx4（a，b是常數，a0），沿射線CB方向平移5個單位長度得到新拋物線y，點

Q是新拋物線上一點，連接CQ，當ACQCBACAB時，請求出點Q的坐標．

1

7．（2024·重慶·三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2bxc與x軸交于，B兩點，與

2

??4,0

y軸交于點C0,4，連接AC，BC．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，點P是直線AC下方拋物線上一動點，過點P作PQ∥BC交AC于點Q，求PQ最大值及此時點P

的坐標；

(3)如圖2，將拋物線沿射線CA方向平移22個單位長度得新到拋物線y，新拋物線y與直線AC交于點M，

N（M在N的左側），E是新拋物線y上一動點，當NMECABOCB時，寫出所有符合條件的點E

的坐標，并寫出求解點E的坐標的其中一種情況的過程．

8．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線yx2bxc與直線相交于A，B兩點，其中點A3,4，B0,1．

(1)求該拋物線的函數解析式．

1

(2)過點B作BC∥x軸交拋物線于點C，連接AC，在拋物線上是否存在點P使tanBCPtanACB．若

6

存在，請求出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．（提示：依題意補全圖形，并解答）

2

(3)將該拋物線向左平移2個單位長度得到y1a1xb1xc1a10，平移后的拋物線與原拋物線相交于點D，

點E為原拋物線對稱軸上的一點，F是平面直角坐標系內的一點，當以點B、D、E、F為頂點的四邊形

是菱形時，請直接寫出點F的坐標．

9．（2024·重慶·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bx3與x軸交于點A(1，0)、B(4，

0)兩點，交y軸于點C．

(1)求拋物線的表達式；

(2)點P是直線BC上方拋物線上的一動點，連接AC，過點P作PD∥AC交BC于點D，求線段PD長的最

大值及此時P的坐標；

(3)在（2）中線段PD長取得最大值的條件下，過P點作BC的平行線，交y軸于點F，將該拋物線向左平

3

移2個單位長度，再向上平移個單位得到拋物線y，點M為y上的一動點，過M點作y軸的平行線，

2

交直線PF于點N，連接MF，將線段MN沿直線MF翻折得到線段MK，當點K在y軸上時，請寫出所有

符合條件的點K的坐標，并寫出求解點K坐標的其中一種情況的過程．

10．（2024·重慶·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bx2與x軸交于A1,0，

?4,0

兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

(1)求拋物線的表達式；

(2)連接BC，點P直線BC上方拋物線上（不與B、C重合）的一動點，過點P作PFBC交x軸于點F，

25

PE∥x軸交直線BC于點E，求PEPF的最大值及此時點P的坐標；

5

(3)將原拋物線沿射線BC方向平移25個單位得到新拋物y，點Q為新拋物上y軸左側的一動點，過點Q作

QN∥y軸，過點C作CN∥x軸，直線QN與直線CN相交于點N，連接QC，將QCN沿直線QC翻折，

若點N的對應點N恰好落在坐標軸上，請直接寫出點N的坐標，并選擇一個你喜歡的點寫出求解過程；若

不存在，請說明理由．

11．（2024·重慶南岸·模擬預測）如圖，拋物線yax2bx2與x軸交于點A1,0,B4,0兩點（點A在點B

的左側），與y軸交于點C．

(1)求拋物線的表達式；

(2)連接BC，點P是直線BC上方的拋物線上一動點，連接PC,PB，求四邊形PCOB面積的最大值及此時點

P的坐標；

2

(3)將拋物線yaxbx2沿射線BC方向平移25個單位得到新拋物線y，點Q為新拋物線上y軸左側的一

動點，過點Q作QN∥y軸，過點C作CN∥x軸，直線QN與直線CN相交于點N，連接QC，將△QCN沿

直線QC翻折，若點N的對應點N恰好落在坐標軸上，請直接寫出點N的坐標，并選擇一個點寫出求解過

程；若不存在，請說明理由．

1

12．（2024·重慶·三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2bxc與直線AB交于點A2,0，

4

．直線BC經過點C4,0．

?0,3

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作PMBC于點M，作PNAB于點N，求

5PM13PN的最大值及此時點P的坐標；

(3)將拋物線沿射線BA方向平移13個單位長度得到新拋物線y，點D為平移后的拋物線y與x軸負半軸的

交點，將點D向下平移一個單位得到點E，在直線AE上確定一點Q，使得BAE2BQA，請直接寫出

所有符合條件的點Q的坐標．

13．（2024·重慶九龍坡·模擬預測）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線yax2xc與x軸交于A，

5

B2，0兩點，與y軸交于點C，如圖所示．點D為拋物線的頂點，點E1,是拋物線上的一點．

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是直線AE上方拋物線上一動點，過點P分別作PM∥BC交x軸于點M，PN∥x軸交直線AE于點

45

N．求PMPN的最大值及此時點P的坐標；

5

35

(3)將拋物線沿AE方向平移個單位長度得到新拋物線，點D￠是新拋物線的頂點，點F是點E平移后的

2

對應點，點G是新拋物線上一動點，連接BF．當DBFFBG90時，請直接寫出所有符合條件的點

G的坐標．

14．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bx3與x軸交于A1,0，B兩點，

5

交y軸于點C，拋物線的對稱軸是直線x．

2

(1)求拋物線的表達式；

(2)點P是直線BC下方對稱軸右側拋物線上一動點，過點P作PD∥x軸交拋物線于點D，作PEBC于點E，

5

求PDPE的最大值及此時點P的坐標；

2

5

(3)將拋物線沿射線BC方向平移5個單位，在PDPE取得最大值的條件下，點F為點P平移后的對應

2

點，連接AF交y軸于點M，點N為平移后的拋物線上一點，若NMFABC45，請直接寫出所有符

合條件的點N的坐標．

15．（2024·重慶開州·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bx2與x軸交于，

??2,0?4,0

兩點，與y軸交于點C，連接BC．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1：P是直線BC上方拋物線上一動點，連接PB、PC，求四邊形PBOC面積的最大值以及此時點P

的坐標；

(3)如圖2，將拋物線沿射線AC的方向平移22個單位長度得到新拋物線y1，Q為新拋物線y1上一動點，作

直線BQ交AC所在的直線于點D，是否存在點Q滿足條件ADBABCCAB，若存在，請寫出所有

符合條件的點Q的坐標，并把求其中一個點Q的坐標的過程寫出來．

題型四：二次函數圖像的對稱

1.拋物線上兩點若關于直線，則這兩點的縱坐標相同，橫坐標與x=的差的絕對值相等；

?

???

2若二次函數與x軸有兩個交點，則這兩個交點關于直線x=對稱；

?

???

3二次函數y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關于y軸對稱；二次函數y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的

圖象于x軸對稱.

【中考母題學方法】

【典例4】（2024·陜西西安·模擬預測）已知二次函數yax2bxc（a、b、c為常數，且a0）的圖象經

過A(n6,m)，B(4n,m)，M3,t210，N(d,6t)四點，且點B在點A的右側，則d的值不可能是（）

A．4B．2C．2D．4

【變式4-1】（2024·內蒙古包頭·模擬預測）已知拋物線y2mx24mx5m0經過3,n和a,n兩點，

則a值為．

【變式4-2】根據局部對稱后求交點個數

（2024·湖南常德·一模）將拋物線yx22x3中x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，圖像的其余部分

不變，得到的新圖像與直線yxm有4個交點，則m的取值范圍是（）

2121

A．m5B．m5C．m3D．m3

44

【變式4-3】根據對稱特征確定參數值

（2024·吉林·二模）如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線yax26axc經過點A和B5，0(點A在點B

5

的左側)，與y軸相交于點C0,．

4

(1)求此拋物線的解析式．

(2)點D為拋物線的頂點，點P在拋物線的對稱軸上(不與點D重合)，將線段PD繞點P順時針旋轉90，

點D恰好落在拋物線上的點Q處．

①點D的坐標為．

②求點Q的坐標．

(3)如圖②，將圖①中拋物線在x軸下方部分圖象沿x軸折疊到x軸上方，與原拋物線在x軸上方的圖象組

成新的圖象．

①當x1時，圖象所對應的解析式為．

②再將新圖象沿x軸向左平移m個單位長度，若平移后的圖象在1x0范圍內，y隨x的增大而增大，

直接寫出m的取值范圍．

【中考模擬即學即練】

1．（2024·湖北武漢·模擬預測）我們定義一種新函數：形如yax2bxca0,b24ac0的函數叫做“鵲

橋”函數．數學興趣小組畫出一個“鵲橋”函數yx2bxc的圖象如圖所示，下列結論正確的是（）

我

A．當x1時，函數的最大值是4

B．函數值y隨x的增大而增大，則x3

C．關于x的方程x2bxc3的所有實數根的和為4

D．當直線yxm與該圖象恰有三個公共點時，則m1

2

2.（2024·黑龍江大慶·模擬預測）平面直角坐標系中，已知拋物線y1ax3ax4a（a是常數，且a＜0），

直線AB過點0,n﹣5n5且垂直于y軸．當a=-1時，沿直線AB將該拋物線在直線上方的部分翻折，

其余部分不變，得到新圖象G，圖象G對應的函數記為y2，且當5x2時，函數y2的最大值與最小值之

差小于7，則n的取值范圍為．

2

3．（2024·江蘇無錫·二模）已知二次函數yaxbx2a0，點Ak,y1，B6,y2，Ck4,y1均在該二

次函數的圖象上，且2y2y1，則k的取值范圍為．

4．（2024·四川達州·二模）如圖，將拋物線yx22x3在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得

到一新函數圖象．若一次函數yxm的圖象與新函數圖象有4個公共點，則m的取值范圍

是．

5．（2025·上海奉賢·一模）二次函數yax2bxc(a0)的圖象經過點A0,m,B2,m,C2,n,D6,m，

m

其中m、n為常數，那么的值為．

n

范圍內的二次函數最值

自變量取值范圍圖象最大值最小值

無

當x=時，二次函數取

?

???

得最小值

2

a>04????

4?

無

全體實數當x=時，二次函數取

?

???

得最大值

2

a<04????

4?

當時，二次函數取

x=x2當x=時，二次函數取

?

得最大值y2???

得最小值

2

4????

4?

當時，二次函數取

x=x1當x=時，二次函數取

?

得最大值y1???

得最小值

2

4????

4?

x1≤x≤x2a>0

當x=x2時，二次函數取當x=x1時，二次函數取

得最大值y2得最小值y1

【中考母題學方法】

【典例5】（2024·四川內江·中考真題）端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．市場上豬肉粽的進價比豆沙粽

的進價每盒多20元，某商家用5000元購進的豬肉粽盒數與3000元購進的豆沙粽盒數相同．在銷售中，該

商家發現豬肉粽每盒售價52元時，可售出180盒；每盒售價提高1元時，少售出