難點10相似三角形的常考題型

（9大熱考題型）

題型一：比例的性質(zhì)

題型二：黃金分割

題型三：相似多邊形的性質(zhì)

題型四：平行線分線段成比例定理

題型五：相似三角形的判定

題型六：相似三角形的性質(zhì)

題型七：相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合

題型八：相似三角形的實際應(yīng)用

題型九：圖形位似

題型一：比例的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·四川成都·中考真題）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨

3x

機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，則的值為．

8y

3

【答案】

5

3x3

【分析】本題考查簡單的概率計算、比例性質(zhì)，根據(jù)隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，

8xy8

進而利用比例性質(zhì)求解即可．

3

【詳解】解：∵隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，

8

x3x3

∴，則，

xy8y5

3

故答案為：．

5

a3

【變式1-1】（2023·甘肅武威·中考真題）若，則ab（）

2b

32

A．6B．C．1D．

23

【答案】A

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

【詳解】解：等式兩邊乘以2b，得ab6，

故選：A．

【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．

【變式1-2】（2023·浙江·中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是

一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．圖中橫線處應(yīng)填：

【答案】2

2

【分析】根據(jù)題意得出a2b,cb，進而即可求解．

2

ab

【詳解】解：∵2

bc

2

∴a2b,cb

2

a2b

2

∴c2，

b

2

故答案為：2．

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

xxy

【變式1-3】（2023·四川甘孜·中考真題）若2，則．

yy

【答案】1

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．

x

【詳解】解：2，

y

xyx

1211．

yy

故答案為：1．

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．

【中考模擬即學(xué)即練】

abbcac

1．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知abc0，且k，那么k的值是（）

cab

A．2B．1C．2或0D．2或1

【答案】D

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．

當abc0時，利用比的等比性質(zhì)求解；當abc0時，則abc，再代入求值即可．

abbcac

【詳解】解：①當abc0時，由等比性質(zhì)可得：k

abc

2abc

即：k2；

abc

②當abc0時，則abc，

abc

∴k1，

cc

所以k的值是2或1，

故選：D．

2．（2024·浙江寧波·二模）已知3a2bab0，則下列比例式正確的是（）

a2abb2a2

A．B．C．D．

3b32a3b3

【答案】D

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)進行計算，逐一判斷即可解答．

a2

【詳解】解：A、∵，

3b

∴ab6，

故A不符合題意；

ab

B、∵，

32

∴2a3b,

故B不符合題意；

b2

C、∵，

a3

∴2a3b,

故C不符合題意；

a2

D、∵，

b3

∴3a2b,

故D符合題意；

故選：D．

abc

3．（2024·廣東深圳·一模）已知0，且ab2c6，那么b．

654

【答案】10

【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，用k分別表示a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．設(shè)比值為k，利用比例的

性質(zhì)得到a6k,b5k,c4k，故6k5k8k6，求出k的值即可得到答案．

abc

【詳解】解：設(shè)k，

654

故a6k,b5k,c4k，

故6k5k8k6，

k2，

b2k10，

故答案為：10．

a32a

4．（2025·上海閔行·一模）如果，那么的值為．

b2ab

【答案】6

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)．利用比例的性質(zhì)，進行計算即可解答．

a3

【詳解】解：∵，

b2

∴設(shè)a3k，b2k，

2a23k

∴6，

ab3k2k

故答案為：6．

abc3x2yz

5．（2024·江西九江·模擬預(yù)測）已知，則（其中3x2yz0）的值是．

xyz3x2yz

3a2bc

【答案】

3a2bc

【分析】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．

xyz

設(shè)k，則xak,ybk,zck，代入原式化簡計算即可．

abc

abc

【詳解】解：∵，

xyz

xyz

∴

abc

xyz

設(shè)k，

abc

則xak,ybk,zck，

3x2yz3ak2bkck3a2bc

∴，

3x2yz3ak2bkck3a2bc

3a2bc

故答案為：．

3a2bc

題型二：黃金分割

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023·四川達州·中考真題）如圖，樂器的一根弦AB80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，

支撐點C是靠近點B的黃金分割點，即AC2ABBC，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐

點C，D之間的距離cm．（結(jié)果保留根號）

【答案】805160

【分析】本題考查了黃金分割，利用黃金分割的等積式得一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)ACxcm，則

2

BC80xcm，由AC2BCAB得x8080x，解方程求出AC的長，同理求出AC的長，進而可求

出點C，D之間的距離．

【詳解】解：設(shè)ACxcm，則BC80xcm，

AC2BCAB，

x28080x，

解得x140540,x240540（舍），

AC40540cm，

同理可求，BD40540cm，

∴ADABBD8040540=120405cm，

∴CDACAD40540120405=805160cm．

故答案為：805160．

【變式2-1】（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢

字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”

BC51

字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且，若NP2cm，則BC的長為cm（結(jié)

AB2

果保留根號）．

【答案】51/15

【分析】本題考查了黃金分割的定義，正方形的性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形ABPN是矩形，

BC51

根據(jù)黃金分割的定義可得，據(jù)此求解即可，熟記黃金比是解題的關(guān)鍵．

AB2

【詳解】∵四邊形MNPQ是正方形，

∴NP90，

又∵AB∥NP，

∴BANN180，

∴BAN90，

∴四邊形ABPN是矩形，

∴ABNP2cm．

BC51

又∵，

AB2

∴BC51cm，

故答案為：51．

【變式2-2】（2022·陜西·中考真題）在20世紀70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種

“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為

上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，即BE2AEAB．已知AB為2米，則線段BE的長為米．

【答案】51/15

AEBE51

【分析】根據(jù)點E是AB的黃金分割點，可得，代入數(shù)值得出答案．

BEAB2

【詳解】∵點E是AB的黃金分割點，

AEBE51

∴．

BEAB2

∵AB=2米，

∴BE（51）米．

故答案為：（51）．

【點睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）大自然是美的設(shè)計師，校園里一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”的美．如圖，

AP5151

點P是AB的黃金分割點，即，這個無理數(shù)約是（）

AB22

A．0.505B．0.618C．0.707D．0.828

【答案】B

【分析】本題考查了黃金分割的意義，無理數(shù)的估算．先估算得出2.252.3，據(jù)此求解即可．

【詳解】解：∵2.252.3，

∴1.2511.3，

51

∴0.60.65，

2

觀察四個選項，選項B符合題意；

故選：B．

2．（2024·安徽合肥·三模）古箏是一種彈撥弦鳴樂器，又名漢箏、秦箏，是漢民族古老的民族樂器，流行于

中國各地．若古箏上有一根弦AB90cm，支撐點C是靠近點A的一個黃金分割點，則BC（）

A．45545cmB．90545cm

C．45545cmD．135455cm

【答案】C

【分析】本題考查了黃金分割，根據(jù)黃金分割的定義進行計算即可得出答案，熟練掌握黃金分割的定義是

解此題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵AB90cm，支撐點C是靠近點A的一個黃金分割點，

5151

∴BCAB9045545cm，

22

故選：C．

3．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與

較大部分的比值，其比值為51．這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．如圖，

2

樂器上的一根弦長AB80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支

撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為cm．（結(jié)果保留根號）

【答案】805160

【分析】本題主要考查了黃金分割的定義，根據(jù)黃金分割的定義分別求出AC，DB，再根據(jù)線段的和差關(guān)

系進行計算即可解答．

【詳解】解：∵點C是靠近點B的黃金分割點，AB80cm，

5151

∴ACAB8040540cm，

22

∵點D是靠近點A的黃金分割點，AB80cm，

5151

∴DBAB8040540cm

22

∴CDACBDAB24054080805160cm，

∴支撐點C，D之間的距離為805160cm，

故答案為：805160．

4．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，將⊙O的圓周分成五等份，依次隔一個分點相連，即成一個正五角星形．此

MN

時點M是線段AD，BE的黃金分割點，也是線段NE，AH的黃金分割點，則．

AM

【答案】51

2

【分析】本題考查了黃金分割，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵．連接AE，根據(jù)題意可得：ABDE，從而利用等弧所對的圓周角相等可得AEBDAE，進而可

得MAME，然后利用黃金分割的定義進行計算即可解答．

【詳解】解：連接AE，

∵將O的圓周分成五等份，

∴ABDE，

∴AEBDAE，

∴MAME，

∵點M是NE的黃金分割點，

MENM51

∴，

NEME2

NM51

∴

AM2

故答案為：51．

2

5．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）活動一：某數(shù)學(xué)興趣小組在研究“黃金比例與黃金矩形”，閱讀課本時發(fā)現(xiàn)可

以通過折疊得到黃金矩形．請根據(jù)每一步的操作完成以下填空．（假設(shè)原矩形紙片的寬MN為2cm）

①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然

后把紙片展平，則NC______cm；

②如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，則

AC_______cm；

③折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖3中所示的AD處，

則ADAB_______cm；

CD

④展平紙片，按照所得到的點D折出DE，則_______，我

BC

們將這個比值稱為黃金比，將寬與長的比等于黃金比的矩形稱為

黃金矩形，如圖4矩形BCDE就是一個黃金矩形．

活動二：類似的，我們將底與腰的比等于黃金比的等腰三角形稱為黃金三角形．

如圖，已知線段a，請你根據(jù)以下步驟作出以2a為腰長的黃金三角形ABC．（要求：尺規(guī)作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法）

步驟一：作一條線段GH，使得GH的長度等于ABC的腰長；

步驟二：作一條線段PQ，使得PQ的長度等于ABC的底邊長；

步驟三：作黃金三角形ABC．

51

【答案】（1）活動一：①2；②1；③51；④；

2

（2）見解析

【分析】活動一：利用折疊的性質(zhì)和勾股定理解答即可；

活動二：利用作一條線段等于已知線段的方法，黃金分割的作法和SSS公理解答即可．

【詳解】解：活動一：

①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平，則NCMN2cm；

1

②如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，則ACANNC1cm；

2

③折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖3中所示的AD處，則

ADABAC2BC212225cm；

CD51

④展平紙片，按照所得到的點D折出DE，DEBC2cm,CDADAC51cm，則；

BC2

活動二：

步驟一：作一條線段GH，使得GH的長度為2a，

步驟二：1．過點H作HLGH于點H，

2．在HL上截取HEa，連接GE，

3．在EG上截取EKa，

51

4．以點G為圓心，以GK為半徑畫弧交GH于點M，則點M為GH的黃金分割點，GM的長度等于GH，

2

則GM的長度等于ABC底邊的長度，即GMPQ，如圖：

步驟三：作ABC，作線段BCGM，分別以B,C為圓心，以GM為半徑畫弧，兩弧交于點A，連接

AB,AC，如圖，

則ABC為黃金三角形．

【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，黃金分割的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，基

本作圖，本題是操作性題目，熟練掌握基本作圖的知識和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

6．（2024·江蘇鹽城·二模）【教材呈現(xiàn)】蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊課本P52第2題

如圖1，點P是線段AB的黃金分割點，且PAPB，S1表示以PA為一邊的正方形的面積，S2表示以AB為

長、PB為寬的矩形的面積，請根據(jù)教材內(nèi)容，嘗試解決以下兩個問題：

（1）若AB10，則PA（結(jié)果保留根號）；

（2）S1S2（填“”、“”或“”)．

【初步探究】

（3）將圖1補成矩形DEGF，如圖2，小明猜想點P在矩形DEGF的對角線DG上，請幫助小明判斷其猜

想是否正確，并說明理由．

【深入探究】

（4）如圖3，已知線段AB為O的弦，請利用無刻度直尺和圓規(guī)，在線段AB上作一點P，在圓上作一點

FBPQ51

Q，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）

PAAQ2

【答案】（1）555；（2）；（3）正確，理由見解析；（4）見解析

【分析】（1）利用黃金分割比解答即可；

（2）利用黃金分割的性質(zhì)得到：設(shè)PB(51)k，則PA2k，ABPAPB(51)k，利用矩形的性質(zhì)，

正方形的性質(zhì)和矩形的面積公式解答即可；

（3）連接DP，GP，過點P作PHAB，交DE于點H，交GF于點I，利用黃金分割比的性質(zhì)和相似三

角形的判定與性質(zhì)得到PGIDPB，再利用平角的定義解答即可；

（4）利用線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理解答即可得出線段AB的黃金分割點；再利用相似三角形的判

定與性質(zhì)解答即可．

【詳解】解：（1）點P是線段AB的黃金分割點，且PAPB，

PA51

，

AB2

AB10，

PA555．

故答案為：555；

（2）點P是線段AB的黃金分割點，且PAPB，

PB51

．

PA2

設(shè)PB(51)k，則PA2k，ABPAPB(51)k．

222

S1PA4k，S2(51)k(51)k4k，

S1S2，

故答案為：；

（3）小明猜想點P在矩形DEGF的對角線DG上，小明的猜想正確，理由：

連接DP，GP，過點P作PHAB，交DE于點H，交GF于點I，如圖，

則四邊形DBPH，四邊形DBAE，四邊形PIGA，四邊形PFGA為矩形，

DHPB，PAIG，PIBFAB，EDABFG，DBPPIG90，

四邊形HPAE為正方形，

PAHEAEBD，

BDPA，

點P是線段AB的黃金分割點，且PAPB，

PAPB

，

ABPA

IGPB

，

PIBD

DBPPIG，

PIG∽DBP，

PGIDPB．

PGIIPG90，

DPBIPG90，

DPBBPIIPG9090180，

點D，P，G在同一直線上，

點P在矩形DEGF的對角線DG上；

（4）①．過點O作OMAB于點M，

②．過點B作AB的垂線，在此垂線上截取BCBM，

③．連接AC，以點C為圓心，BC為半徑畫弧交AC于點D，

④．以點A為圓心，以AD為半徑畫弧，交AB于點P，則點P為AB的黃金分割點．

⑤．以點B為圓心，以AP的長為半徑畫圓交圓O于點Q，

⑥．連接AQ，PQ，則點Q為所求的點．如圖：

【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段的

垂直平分線的性質(zhì)，線段的黃金分割，相似三角形的判定與性質(zhì)，基本作圖，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌

握黃金分割的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

題型三：相似多邊形的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'﹐已

OA1

知=，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A'B'C'D'的面積是（）

OA'3

A．4B．6C．16D．18

【答案】D

【分析】兩圖形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．

【詳解】解：由題意可知，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'相似，

22

S驏OA驏11

由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：ABCD=琪=琪=，

桫'桫

SA'B'C'D'OA39

又四邊形ABCD的面積是2，

∴四邊形A'B'C'D'的面積為18，

故選：D．

【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．

【變式3-1】（2023·山東·中考真題）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使

DA邊落在DC邊上，點A落在點H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點B落在點G處，折痕為CF．若

矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD1，則CD的長為（）

A．21B．51C．21D．51

【答案】C

【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得DHCG1，設(shè)CD的長為x，則HGx2，再根據(jù)相似多

EHHG1x2

邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．

CDADx1

【詳解】解：，由折疊可得：DHAD，CGBC，

∵矩形ABCD，

∴ADBC1，

∴DHCG1，

設(shè)CD的長為x，則HGx2，

∵矩形HEFG，

∴EH1，

∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似，

EHHG1x2

∴，即，

CDADx1

解得：x21（負值不符合題意，舍去）

∴CD21，

故選：C．

【點睛】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖ABCD與YAEFG關(guān)于點A成位似圖形，若他們的位似比為2:3，則

ABCD與YAEFG的面積比為（）

A．4:9B．1:9C．2:3D．1:3

【答案】A

【分析】本題考查的是位似圖形的概念和性質(zhì)，掌握位似圖形的概念、相似多邊形的面積比等于相似比的

平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的概念得到ABCD與YAEFG相似，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)計算，得到

答案．

【詳解】解：∵ABCD與YAEFG關(guān)于點A成位似圖形，他們的位似比為2:3，

∴ABCD與YAEFG相似，他們的相似比為2:3，

2

24

∴ABCD與YAEFG的面積比為4:9，

39

故選：A．

2．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，裝裱一幅寬45cm、長60cm的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原

矩形畫相似，裝裱上去的上下部分寬都為12cm，若裝裱上去的左右部分的寬都為xcm(x20)，則x（）

A．9B．12C．16D．18

【答案】A

【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，解分式方程的運用，根據(jù)相似的性質(zhì)“對應(yīng)邊成比例”即可求解．

【詳解】解：根據(jù)題意，大矩形的長為：6012284（cm），寬為：452xcm，

∵大矩形與原矩形畫相似，

60456045

∴或，

84452x452x84

解得，x9或x33.520（不符合題意，舍去），

檢驗，當x9時，原分式方程的分母不為0，有意義，

∴x9，

故選：A．

3．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測）我國習(xí)慣上對開本的命名是以幾何級數(shù)來命名的，全張紙對折后的大小為對

開，再對折為4開紙，再對折為8開紙，再對折為16開紙，以此類推，如圖，全張矩形紙ABCD沿EF對

AB

開后，再把矩形紙EBCF沿GH對開，依此類推．若各種開本的矩形都相似，那么等于（）

AD

2

A．0.618B．C．2D．2

2

【答案】C

【分析】該題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)．

根據(jù)矩形ABCD與矩形ADFE相似，且矩形ABCD的面積是矩形ADFE面積的2倍，根據(jù)相似圖形面積比

是相似比的平方，即可得；

【詳解】解：∵矩形ABCD的面積是矩形ADFE面積的2倍，

∵各種開本的矩形都相似，

2

AB

2，

AD

AB

2，

AD

故選：C．

4．（2024·浙江寧波·一模）如圖，點O為四邊形ABCD內(nèi)的一點，連結(jié)OA,OB,OC,OD，若

OAOBOCOD1

，則四邊形ABCD的面積與四邊形ABCD的面積比為（）

OAOBOCOD4

A．1:2B．1:4C．1:8D．1:16

【答案】D

【分析】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，得出兩四邊形的相似比是解題關(guān)鍵．利用位似圖形的定義得出

1

四邊形ABCD與四邊形ABCD的位似比為，進而得出面積比，即可得出四邊形ABCD的面積與四邊形

4

ABCD的面積比．

OAOBOCOD1

【詳解】解：∵，

OAOBOCOD4

1

∴四邊形ABCD與四邊形ABCD的位似比為，

4

∴四邊形ABCD與四邊形ABCD的面積比為1:16，

故選：D．

5．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，已知ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為AB，CD，AD，BC上

的點，且EF∥BC，GH∥AB，GH分別與EF，BF相交于點M，N，若AEMG∽EBCF，則△BHN

的面積一定可以表示為（）

11

A．SSB．SS

2EBCFAEFD2EBHNGMFD

11

C．SSD．SS

2ABHGGHCD2EBHNAEMG

【答案】B

【分析】如圖，過點A作AQEF于點Q，過點E作EPBC于點P，過N作NWBC于W，設(shè)D，

BE

設(shè)AEa，EMb，k，由AEMG∽EBCF，得BEak，BCbk，再證AEFEBP，四

AE

邊形AEMG，四邊形AEFD，四邊形ABHG，四邊形BCFE，四邊形MHCF，四邊形GHCD，四邊形EBHM

都是平行四邊性質(zhì)，得EFBCbk，CFEBak，BHEMb，NHWD，MFbk1，

進而利用面積公式即可得解．

【詳解】解：如圖，過點A作AQEF于點Q，過點E作EPBC于點P，過N作NWBC于W，設(shè)D，

BE

設(shè)AEa，EMb，k，

AE

∵AEMG∽EBCF，

BEBC

∴k，

AEEM

∴BEak，BCbk，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，EBPD，

∵EF∥BC，GH∥AB，

∴EF∥BC∥AD，GHABCD，

∴AEFEBP，四邊形AEMG，四邊形AEFD，四邊形ABHG，四邊形BCFE，四邊形MHCF，四

邊形GHCD，四邊形EBHM都是平行四邊性質(zhì)，

∴EFBCbk，CFEBak，BHEMb，NHWD，

∴MFbk1，

∵AQEF于，EPBC，

∴EPBEsinEBPaksin，AQAEsinAEFasin，

∴SEBHMSGMFDabksinabk1sinabsinSAEMG．

∵GH∥CD，

∴BHNC，BNHBFC，

∴△BHN∽△BCF，

HNBHHNb

∴，即，HNa．

CFBCakbk

∵NWBC，

∴NWNHsinNHWasin，

111

∴SBHNWabsinSS．

BHN222EBHNGMFD

故選B．

【點睛】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，相似形的性質(zhì)，

熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

6．（2023·海南海口·模擬預(yù)測）有一張矩形紙片ABCD(ABBC)，M、N分別是AD，BC的中點，現(xiàn)沿

線段MN將矩形紙片一分為二，如果所得的兩張矩形紙片與原來的矩形紙片相似，那么AB:BC的值

為．

【答案】1:2

【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)．熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

設(shè)ABCDa，BCAD2b，0a2b，則AMbBN，由所得的兩張矩形紙片與原來的矩形紙片相

ABBCa2b

似，可得矩形ABCD和矩形AMNB相似，則，即，可求a2b，進而可求AB:BC的值．

AMMNba

【詳解】解：∵矩形ABCD，

設(shè)ABCDa，BCAD2b，0a2b，則AMbBN，

∴四邊形ABNM是矩形，

∵所得的兩張矩形紙片與原來的矩形紙片相似，

∴矩形ABCD和矩形AMNB相似，

ABBCa2b

∴，即，

AMMNba

解得，a2b或a2b（舍去），

∴AB:BCa:2b2:21:2，

故答案為：1:2．

題型四：平行線分線段成比例定理

【中考母題學(xué)方法】

1

【典例1】（2024·山東濟南·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，分別以點A和B為圓心，以大于AB的

2

長為半徑作弧，兩弧相交于點E和F，作直線EF，再以點A為圓心，以AD的長為半徑作弧交直線EF于

點G（點G在正方形ABCD內(nèi)部），連接DG并延長交BC于點K．若BK2，則正方形ABCD的邊長為（）

535

A．21B．C．D．31

22

【答案】D

【分析】連接AG，設(shè)EF交AB于點H，正方形邊長為2x，由作圖知，AGAD2x，EF垂直平分AB，

得到AHBHx，AHG90，由勾股定理得到GH3x，證明ADGHBC，推出DGGK，推出

GHx1，得到3xx1，即得2x31．

【詳解】連接AG，設(shè)EF交AB于點H，正方形邊長為2x，

由作圖知，AGAD2x，EF垂直平分AB，

1

∴AHBHABx，AHG90，

2

∴GHAG2AH23x，

∵BAD90，

∴AD∥GH，

∵AD∥BC，

∴ADGHBC，

DGAH

∴1，

GKHB

∴DGGK，

∵BK2，

1

∴GHADBKx1，

2

∴3xx1，

31

∴x，

2

∴2x31．

故選：D．

【點睛】本題主要考查了正方形和線段垂直平分線綜合．熟練掌握正方形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾

股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，梯形中位線性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．

【變式4-1】（2024·山東·中考真題）如圖，點E為ABCD的對角線AC上一點，AC5，CE1，連接DE

并延長至點F，使得EFDE，連接BF，則BF為（）

57

A．B．3C．D．4

22

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助

線是解題關(guān)鍵．

CEDEDC

解法一：延長DF和AB，交于G點，先證DEC∽GAE，得到，再證BGF∽AGE，得

AEGEAG

BFFG3

到，即可求得結(jié)果；

AEEG4

解法二：作FH∥AB交AC于點H，證明出CDE≌HFEAAS，得到HECE1，F(xiàn)HCD，然后證明

出四邊形ABFH是平行四邊形，得到BFAHACCH3．

【詳解】解：解法一：延長DF和AB，交于G點，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，DCAB即DC∥AG，

∴DEC∽GAE

CEDEDC

∴，

AEGEAG

∵AC5，CE1，

∴AEACCE514，

CEDEDC1

∴，

AEGEAG4

DEDE1

又∵EFDE，，

GEEFFG4

EF1

∴，

FG3

DCDC1

∵，DCAB，

AGABBG4

DC1

∴，

BG3

EFDC1

∴，

FGBG3

BGFG3

∴

AGEG4

∴AE∥BF，

∴BGF∽AGE，

BFFG3

∴

AEEG4

∵AE4，

∴BF3．

解法二：作FH∥AB交AC于點H

∴CDEHFE，DCEFHE，

又∵EFDE，

∴CDE≌HFEAAS，

∴HECE1，F(xiàn)HCD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD∥AB，CDAB，

∴HF∥AB，HFAB，

∴四邊形ABFH是平行四邊形，

∴BFAHACCH3．

故選：B．

【變式4-2】（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在VABC中，O是邊AB的中點．按下列要求作圖：

①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段BO于點D，交BC于點E；

②以點O為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段OA于點F；

③以點F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G，點G與點C在直線AB同側(cè)；

④作直線OG，交AC于點M．下列結(jié)論不一定成立的是（）

A．AOMBB．OMCC180

1

C．AMCMD．OMAB

2

【答案】D

【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，平行線的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，先根據(jù)作圖得出AOMB，根據(jù)平行線的判定得出OM∥BC，根據(jù)平行

AMAO

線的性質(zhì)得出OMCC180，根據(jù)平行線分線段成比例得出1，即可得出AMCM．

CMOB

【詳解】解：A．根據(jù)作圖可知：AOMB一定成立，故A不符合題意；

B．∵AOMB，

∴OM∥BC，

∴OMCC180一定成立，故B不符合題意；

C．∵O是邊AB的中點，

∴AOBO，

∵OM∥BC，

AMAO

∴1，

CMOB

∴AMCM一定成立，故C不符合題意；

1

D．OMAB不一定成立，故D符合題意．

2

【變式4-3】（2024·重慶·中考真題）如圖，在VABC中，延長AC至點D，使CDCA，過點D作DE∥CB，

且DEDC，連接AE交BC于點F．若CABCFA，CF1，則BF．

【答案】3

【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例證AFEF，進而得DECDAC2CF2，AD4，再證明

CAB≌DEA，得BCAD4，從而即可得解．

【詳解】解：∵CDCA，過點D作DE∥CB，CDCA，DEDC，

FACA

∴1，CDCADE，

FECD

∴AFEF，

∴DECDAC2CF2，

∴ADACCD4，

∵DE∥CB，

∴CFAE，ACBD，

∵CABCFA，

∴CABE，

∵CDCA，DECD，

∴CADE，

∴CAB≌DEA，

∴BCAD4，

∴BFBCCF3，

故答案為：3，

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判

定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵．

【變式4-4】（2023·湖南益陽·中考真題）如圖，在ABCD中，AB6，AD4，以A為圓心，AD的長為

1

半徑畫弧交AB于點E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作

2

射線AF，交DE于點M，過點M作MN∥AB交BC于點N．則MN的長為．

【答案】4

【分析】由尺規(guī)作圖可知，射線AF是BAD的角平分線，由于ADAE4，結(jié)合等腰三角形“三線合一”

得M是DE邊中點，再由MN