難點05一次函數反比例函數實際應用、面積、存在性、最值

（6大熱考題型）

題型一：方案選擇問題

題型二：費用最少、利潤最大問題

題型三：反比例函數面積問題

題型四：特殊三角形存在性問題

題型五：特殊四邊形存在性問題

題型六：最值問題

題型一：方案選擇問題

求最值的本質為求最優方案，解法有兩種：

①可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；

②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解，由一次函數的增減性可直接確定最優方案及

最值；若為分段函數，則應分類討論，先計算出每個分段函數的取值，再進行比較．

【提示】一次函數本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或

線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數表達式→確定函數增減性→根據自變量的取值范圍確定最值．

【中考母題學方法】

【典例1】（電話計費）（2023·四川·中考真題）某移動公司推出A，B兩種電話計費方式．

計費方式月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/min）被叫

A782000.25免費

B5000.19免費

108

(1)設一個月內用移動電話主叫時間為tmin，根據上表，分別寫出在不同時間范圍內，方式A，方式B的計

費金額關于t的函數解析式；

(2)若你預計每月主叫時間為350min，你將選擇A，B哪種計費方式，并說明理由；

(3)請你根據月主叫時間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計費方式．

【答案】(1)見解析；

(2)選方式B計費，理由見解析；

(3)見解析．

≤200＜≤＞

【分析】（1）根據題意，設兩種計費金額分別為y1、y2，分別計算t200,t500,t500,三個不同范

圍內的A、B兩種方式的計費金額即可；

（2）令t350，根據（1）中范圍求出對應兩種計費金額，選擇費用低的方案即可；

（3）令y1108，求出此時t的值t0，當主叫時間t＜t0時，方式A省錢；當主叫時間tt0時，方式A和B

＞

一樣；當主叫時間tt0時，方式B省錢；

【詳解】（1）解：根據題意，設兩種計費金額分別為y1、y2

當t200時，方式A的計費金額為78元，方式B的計費金額為108元；

200＜≤

t500,方式A的計費金額y178(t200)0.250.25t28，方式B的計費金額為108元；

當t＞500時，方式A的計費金額為y10.25t28，方式B的計費金額為y2108(t500)0.190.19t13

總結如下表：

主叫時間t/分鐘方式A計費(y1)方式B計費(y2)

t20078108

200＜t≤5000.25t28108

t＞5000.25t280.19t13

（2）解：當t350時，y10.2535028115.5

y2108

y1＞y2，故選方式B計費．

（3）解：令y1≤108，有0.25t28≤108解得t≤320

∴當t＜320時，方式A更省錢；

當t=320時，方式A和B金額一樣；

當t＞320時，方式B更省錢．

【點睛】本題考查了一次函數在電話計費中的應用，根據題意分段討論是求解的關鍵．

【變式1-1】（租車問題）（2023·內蒙古呼和浩特·中考真題）學校通過勞動教育促進學生樹德、增智、強體、

育美全面發展，計劃組織八年級學生到“開心”農場開展勞動實踐活動．到達農場后分組進行勞動，若每位老

師帶38名學生，則還剩6名學生沒老師帶；若每位老師帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生．勞動

實踐結束后，學校在租車總費用2300元的限額內，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師．現

有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如下表所示

甲型客車乙型客車

載客量/（人/輛）4530

租金/（元/輛）400280

(1)參加本次實踐活動的老師和學生各有多少名？

(2)租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車________輛；

(3)學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？

【答案】(1)參加本次實踐活動的老師有6名，學生有234名

(2)6

(3)學校共有兩套租車方案，最少租車費用是2160元

【分析】（1）設參加本次實踐活動的老師有x名，根據“若每位老師帶38名學生，則還剩6名學生沒老師帶；

若每位老師帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生”列出方程求解即可；

（2）根據每輛車上至少有1名老師，參加本次實踐活動的老師有6名，得出汽車總數不超過6輛，根據要

2346

保證所有師生都有車坐，得出汽車總數不少于6輛，即可解答；

45

（3）設租用甲客車a輛，則租用乙客車6a輛，列出不等式組，解得4a5.1，設租車費用為y元，得

出y120a1680，根據一次函數增減性得出y隨a的增大而增大，即可解答．

【詳解】（1）解：設參加本次實踐活動的老師有x名，

38x640x6，

解得：x6，

∴38x63866234，

答：參加本次實踐活動的老師有6名，學生有234名；

（2）解：∵每輛車上至少有1名老師，參加本次實踐活動的老師有6名，

∴汽車總數不超過6輛，

∵要保證所有師生都有車坐，

234616

∴汽車總數不少于（輛），則汽車總數最少為6輛，

453

∴共需租車6輛，

故答案為：6．

（3）解：設租用甲客車a輛，則租用乙客車6a輛，

400a2806a2300

，

45a306a240

解得：4a5.1，

∵a為整數，

∴a4或a5，

方案一：租用甲客車4輛，則租用乙客車2輛；

方案二：租用甲客車5輛，則租用乙客車1輛；

設租車費用為y元，

y400a2806a120a1680，

∵1200，

∴y隨a的增大而增大，

∴當a4時，y最小，y120416802160，

綜上：學校共有兩套租車方案，最少租車費用是2160元．

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，一元一次不等式組的實際應用，一次函數的實際應用，

解題的關鍵是正確理解題意，根據題意找出數量關系，列出方程、不等式組、一次函數表達式．

【變式1-2】（購買方案）（2024·河南周口·三模）某家用電器廠生產一種電飯煲和一種電熱水壺，電飯煲每

個定價200元，電熱水壺每個定價60元．廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供以下兩種優惠方案：

方案一：每買一個電飯煲就贈送一個電熱水壺；

方案二：電飯煲和電熱水壺都按定價的80%付款．

某廚具店計劃購進80個電飯煲和x個電熱水壺x80．設選擇方案一需付款y1元，選擇方案二需付款y2元．

(1)分別寫出y1，y2關于x的函數表達式．

(2)當x200時．

①請通過計算說明該廚具店選擇上面哪種方案更省錢．

②若兩種優惠方案可以同時使用（使用方案一優惠過的商品不能再使用方案二優惠，使用方案二優惠過的

商品不能再使用方案一優惠），請你設計出更省錢的購買方案，并計算出該方案所需費用．

【答案】(1)y160x11200，y248x12800

(2)①該廚具店選擇方案二更省錢；②先按方案一購買80個電飯煲，再按方案二購買120個電熱水壺．該

方案所需費用為21760元

【分析】本題考查了用代數式表示和一次函數的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意正確列

出函數表達式．

（1）根據題目所給的兩個方案，分別列出代數表達式即可；

（2）①將x200分別代入（1）中得出的兩個函數表達式，即可解答；②先按方案一購買80個電飯煲，

再按方案二購買120個電熱水壺最省錢，計算即可．

【詳解】（1）解：根據題意可得：

y12008060x8060x11200，

y220080%806080%x48x12800．

（2）解：①當x200時，y1602001120023200，y2482001280022400．

∵2320022400，

∴該廚具店選擇方案二更省錢．

②更省錢的購買方案：

先按方案一購買80個電飯煲，再按方案二購買120個電熱水壺．

該方案所需費用為2008012080%6021760（元）．

【中考模擬即學即練】

1．（2024·河南周口·三模）春和75景明，草長鶯飛的四月和五月，全家最適合周末去附近的公園里踏青或爬

山，并且進行野餐，某便民商店計劃在春天踏春之際購進A，B兩種不同型號的野餐墊共100個，已知購進

A型號的野餐墊2個和B型號的野餐墊3個需要740元，購進A型號的野餐墊3個和B型號的野餐墊2個需要

710元．

(1)求該商店購進每個A型號和B型號的野餐墊的價格；

1

(2)該商店在調查后根據實際需求，現在決定購進A型號的野餐墊不超過B型號野餐墊數量的，為使購進

3

野餐墊的總費用最低，應購進型A號野餐墊和B型號的野餐墊各多少個?購進野餐墊的總費用最低為多少元?

【答案】(1)購進每個A型號野餐墊的價格為130元，購進每個B型號的野餐墊的價格為160元

(2)為使購進野餐墊的總費用最低，應購進A型號的野餐墊25個，B型號的野餐墊個，購進野餐墊的總費用

最低為15250元

【分析】本題考查了二元一次方程組、一次函數和不等式的應用，解題的關鍵是理解題意，正確列出等量

關系式．

（1）設購進每個A型號野餐墊的價格為x元，購進每個B型號野餐墊的價格為y元，根據題意列出二元一

次方程組即可求解；

（2）設該商店購進A型號野餐墊m個，總費用為w元，則購進B型號野餐墊100m個，根據題意得出

1

m100m，w30m16000，再根據一次函數的性質即可求解．

3

【詳解】（1）解：設購進每個A型號野餐墊的價格為x元，購進每個B型號野餐墊的價格為y元，

2x3y740

根據題意可得：，

3x2y710

x130

解得：，

y160

答：購進每個A型號野餐墊的價格為130元，購進每個B型號的野餐墊的價格為160元；

（2）設該商店購進A型號野餐墊m個，總費用為w元，則購進B型號野餐墊100m個，

由題意可得：

w130m160100m30m16000，

1

其中m100m，

3

解得：m25，

300，

w隨m的增大而減小，

當m25時，w最小，最小值為w30251600015250元，

答：為使購進野餐墊的總費用最低，應購進A型號的野餐墊25個，B型號的野餐墊75個，購進野餐墊的總

費用最低為15250元．

2．（2024·山西忻州·三模）“傳承紅色基因，賡續紅色血脈”．某中學八年級510名師生一起乘坐客車去參觀

八路軍太行紀念館，下面是王老師和小強、小國同學有關租車問題的對話．

王老師：“客運公司有A，B兩種型號的客車可供租用，A型客車每輛租金1000元，B型客車每輛租金800

元．”

小強：“七年級540人，租用6輛A型客車和4輛B型客車恰好坐滿．”

小國：“九年級525人，租用5輛A型客車和5輛B型客車恰好坐滿．”

根據以上對話，解答下列問題：

(1)分別求每輛A型客車和B型客車坐滿后的載客人數；

(2)因司機緊缺，客運公司只能給八年級師生安排10輛客車，要使八年級每位師生都有座位，八年級應租用

A，B兩種客車各多少輛才能使租金最少？

【答案】(1)每輛A型客車坐滿后載客60人，每輛B型客車坐滿后載客45人

(2)八年級租用4輛A型客車，6輛B型客車所需的租金最少

【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數的應用，

（1）設每輛A型客車坐滿后載客x人，每輛B型客車坐滿后載客y人，根據題意列出二元一次方程組，解

方程組即可求解；

（2）設租用m輛A型客車，(1m)輛B型客車，所需租金w元，先根據題意列出關于m的一元一次不等

式組，求出4m10，再表示出w1000m800(10m)200m8000，結合一次函數的性質求解即可．

【詳解】（1）設每輛A型客車坐滿后載客x人，每輛B型客車坐滿后載客y人．

6x4y540

根據題意得，

5x5y525

x60

解得．

y45

答：每輛A型客車坐滿后載客60人，每輛B型客車坐滿后載客45人．

（2）設租用m輛A型客車，(1m)輛B型客車，所需租金w元．

60m4510m510

根據題意得10m0，

m0

解得4m10，

w1000m800(10m)200m8000．

∵2000，

∴w隨m的增大而增大，

∴當m4時，w取最小值，

∴10m1046．

答：八年級租用4輛A型客車，6輛B型客車所需的租金最少．

3．（2024·山東青島·模擬預測）自2022年新課程標準頒布以來，某校高度重視新課標的學習和落實，開展

了信息技術與教學深度融合的“精準化教學”．該校計劃購買A，B兩種型號的教學設備，已知A型設備價格

比B型設備價格每臺高10%，用20000元購買B型設備的數量比用33000元購買A型設備的數量少5臺．

(1)求A，B型設備每臺的價格分別是多少元．

1

(2)該校計劃購買兩種設備共60臺，要求A型設備的數量不少于B型設備數量的．設購買a臺A型設備，

4

購買總費用為元，求關于a的函數表達式，并設計出購買總費用最低的購買方案．

【答案】(1)A，B型設備單價分別是2200，2000元

(2)200a12000012a60，當購買12臺A型設備，則購買B型設備48臺時，購買費用最低

【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，理解題意列出關系式是

解題的關鍵．

（1）設B型設備的單價為x元，則A型設備的單價為110%x元，根據題意建立分式方程，解方程即可

求解；

（2）設購買a臺A型設備，購買B型設備60a臺，根據題意建立一元一次不等式，求得最小整數解；根

據單價乘以數量即可求的與a的函數關系式，根據一次函數的性質即可求得最少購買費用．

【詳解】（1）解：設B型設備的單價為x元，則A型設備的單價為110%x元，

3300020000

根據題意得：5，

110%xx

解得x2000，經檢驗x2000是原方程的解，

∴A型設備的單價為110%20002200元；

答：A，B型設備單價分別是2200，2000元；

（2）設購買a臺A型設備，

1

購買B型設備60a臺，依題意，a60a．解得a12，

4

a的最小整數解為12，

購買總費用為元，2200a200060a200a120000，

200a12000012a60，

2000，隨a的增大而增大，

a12時，取得最小值，此時601248．

答：當購買12臺A型設備，則購買B型設備48臺時，購買費用最低．

4．（2024·湖南長沙·模擬預測）為響應國家關于推動各級各類生產設備、服務設備更新和技術改造的號召，

某公司計劃將辦公電腦全部更新為國產某品牌，市場調研發現，A

品牌的電腦單價比B品牌電腦的單價少

元，通過預算得知，用30萬元購買A品牌電腦比購買B品牌電腦多臺．

(110)0試0求A，B兩種品牌電腦的單價分別是多少元；10

3

(2)該公司計劃購買A，B

兩種品牌的電腦一共臺，且購買B

品牌電腦的數量不少于A品牌電腦的，試

5

求出該公司費用最少的購買方案．40

【答案】(1)A品牌電腦的單價是5000元，B品牌電腦的單價是6000元；

(2)該公司費用最少的購買方案為購買25臺A電腦，購買15臺B電腦，最少需要215000元．

【分析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）

找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系式．

（1）設A品牌電腦的單價是x萬元，則B品牌電腦的單價是x0.1萬元，利用數量總價單價，結合“用

30萬元購買A品牌電腦比購買B品牌電腦多臺”，可列出關于x的分式方程，解之檢驗后，可得出A品

牌電腦的單價，再將其代入即可求出B品牌電1腦0的單價；

（2）設購買m臺A品牌電腦，則購買(40m)臺B品牌電腦，根據買B

品牌電腦的數量不少于A品牌電腦

3

的，可列出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設學校購買這些電腦需要w元，利用

5

總價單價數量，可找出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．

【詳解】（1）解：設A品牌電腦的單價是x萬元，則B品牌電腦的單價是x0.1萬元，根據題意得：

3030

10，

xx0.1

化簡得10x2x30

3

解得：x0.5，x（舍去），

125

經檢驗，0.5是所列方程的解，且符合題意，

∴A品牌電腦的單價是0.5萬元5000元，則B品牌電腦的單價是0.50.10.6萬元即6000元．

答：A品牌電腦的單價是5000元，B品牌電腦的單價是6000元；

（2）解：設購買m臺A品牌電腦，則購買(40m)臺B品牌電腦，

3

根據題意得：40mm，

5

解得：m25．

設學校購買這些電腦需要w元，則w5000m6000(40m)，

即w1000m240000，

10000，

w隨m的增大而減小，

當m25時，w取得最小值，最小值為w100025240000215000（元）．此時40m15，

∴該公司費用最少的購買方案為購買25臺A電腦，購買15臺B電腦，最少需要215000元．

題型二：費用最少、利潤最大問題

【中考母題學方法】

【典例2】（一次函數與二元一次方程組結合）（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）某超市從某水果種植基地

購進甲、乙兩種優質水果，經調查，這兩種水果的進價和售價如表所示：

水果種類進價（元/千克）售價（元/千克）

甲a22

乙b25

該超市購進甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進甲種水果30千克和乙種水果15千克需705

元．

(1)求a,b的值；

(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共150千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于50千克，且不大

于120千克．實際銷售時，若甲種水果超過80千克，則超過部分按每千克降價5元銷售．求超市當天銷售

完這兩種水果獲得的利潤y（元）與購進甲種水果的數量x（千克）之間的函數關系式（寫出自變量x的取

值范圍），并求出在獲得最大利潤時，超市的進貨方案以及最大利潤．

【答案】(1)a14，b19

2x90050x80

(2)y，購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元

3x130080x120

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的應用，解題的關鍵是∶

（1）根據“購進甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進甲種水果30千克和乙種水果15千克需

705元”列方程求解即可；

（2）分50x80，80x120兩種情況討論，根據總利潤等于甲的利潤與乙的利潤列出函數關系式，然

后利用一次函數的性質求解即可．

18a6b366

【詳解】（1）解：根據題意，得，

30a15b705

a14

解得；

b19

（2）解：當50x80時，

根據題意，得y2214x2519150x2x900，

∵20，

∴y隨x的增大而增大，

∴當x80時，y有最大值，最大值為2809001060，

即購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元；

當80x120時，

根據題意，得y22148022145x802519150x3x1300，

∵30，

∴y隨x的增大而減小，

∴x80時，y有最大值，最大值為38013001060，

即購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元；

2x90050x80

綜上，y，購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元．

3x130080x120

【變式2-1】（一次函數與二元一次方程組、不等式綜合）（2024·四川達州·中考真題）為拓寬銷售渠道，助

力鄉村振興，某鄉鎮幫助農戶將A、B兩個品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售．已知每件A品種柑橘禮盒比

B品種柑橘禮盒的售價少20元．且出售25件A品種柑橘禮盒和15件B品種柑橘禮盒的總價共3500元．

(1)求A、B兩種柑橘禮盒每件的售價分別為多少元？

(2)已知加工A、B兩種柑橘禮盒每件的成本分別為元、60元、該鄉鎮計劃在某農產品展銷活動中售出A、

50

B兩種柑橘禮盒共盒，且A品種柑橘禮盒售出的數量不超過B品種柑橘禮盒數量的1.5倍．總成本不

超過54050元．要使1農00戶0收益最大，該鄉鎮應怎樣安排A、B兩種柑橘禮盒的銷售方案，并求出農戶在這次

農產品展銷活動中的最大收益為多少元？

【答案】(1)A、B兩種柑橘禮盒每件的售價分別為80,100元

(2)要使農戶收益最大，銷售方案為售出A種柑橘禮盒595盒，售出B種柑橘禮盒405盒，最大收益為34050元

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用；一元一次不等式的應用，一次函數的應用；

（1）設A、B兩種柑橘禮盒每件的售價分別為a元，b元，根據題意列出二元一次方程組，即可求解；

（2）設售出A種柑橘禮盒x盒，則售出B種柑橘禮盒1000x盒，根據題意列出不等式組，得出595x600，

設收益為y元，根據題意列出函數關系式，進而根據一次函數的性質，即可求解．

【詳解】（1）解：設A、B兩種柑橘禮盒每件的售價分別為a元，b元，根據題意得，

a20b

25a15b3500

a80

解得：

b100

答：A、B兩種柑橘禮盒每件的售價分別為80,100元；

（2）解：設售出A種柑橘禮盒x盒，則售出B種柑橘禮盒1000x盒，根據題意得，

x1.51000x

50x601000x54050

解得：595x600

設收益為y元，根據題意得，y8050x100601000x10x40000

∵100

∴y隨x的增大而減小，

∴當x595時，y取得最大值，最大值為105954000034050（元）

∴售出B種柑橘禮盒1000595405（盒）

答：要使農戶收益最大，銷售方案為售出A種柑橘禮盒595盒，售出B種柑橘禮盒405盒，最大收益為34050

元．

【變式2-2】（一次函數與分式方程結合）（2024·四川眉山·中考真題）眉山是“三蘇”故里，文化底蘊深厚．近

年來眉山市旅游產業蓬勃發展，促進了文創產品的銷售，某商店用960元購進的A款文創產品和用780元購

進的B款文創產品數量相同．每件A款文創產品進價比B款文創產品進價多15元．

(1)求A，B兩款文創產品每件的進價各是多少元？

(2)已知A，B文創產品每件售價為100元，B款文創產品每件售價為80元，根據市場需求，商店計劃再用不

超過7400元的總費用購進這兩款文創產品共100件進行銷售，問：怎樣進貨才能使銷售完后獲得的利潤最大，

最大利潤是多少元？

【答案】(1)A款文創產品每件的進價80元，B文創產品每件的進價是65元；

(2)購進A款文創產品60件，購進B款文創產品40件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是1800元．

【分析】（1）設A款文創產品每件的進價a元，則B文創產品每件的進價是a15元，根據題意，列出分

式方程即可求解；

（2）設購進A款文創產品x件，則購進B款文創產品100x件，總利潤為W，利用一次一次不等式求出

x的取值范圍，再根據題意求出W與x的一次函數，根據一次函數的性質解答即可求解；

本題考查了分式方程的應用，一次函數的應用，根據題意，列出分式方程和一次函數解析式是解題的關鍵．

【詳解】（1）解：設A款文創產品每件的進價a元，則B文創產品每件的進價是a15元，

960780

根據題意得，，

aa15

解得a80，

經檢驗，a80是原分式方程的解，

∴801565

答：A款文創產品每件的進價80元，則B文創產品每件的進價是65元；

（2）解：設購進A款文創產品x件，則購進B款文創產品100x件，總利潤為W，

根據題意得，80x65100x7400，

解得x60，

又由題意得，W10080x8065100x5x1500，

k50，w隨x的增大而增大，

當x60時，利潤最大，

∴購進A款文創產品60件，購進B款文創產品40件，獲得的利潤最大，W最大56015001800，

答：購進A款文創產品60件，購進B款文創產品40件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是1800

元．

【變式2-3】（一次函數與分式方程、不等式結合）（2024·內蒙古赤峰·中考真題）一段高速公路需要修復，

現有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊

單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等．

(1)求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；

(2)為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的

工期，兩隊最多能修復公路多少千米？

【答案】(1)甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；

(2)15天的工期，兩隊最多能修復公路105千米．

【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用．

（1）設甲隊平均每天修復公路x千米，則乙隊平均每天修復公路x3千米，根據“甲隊單獨修復60千米

公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等”列分式方程求解即可；

（2）設甲隊的工作時間為m天，則乙隊的工作時間為15m天，15天的工期，兩隊能修復公路w千米，

求得w關于m的一次函數，再利用“甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍”求得m的范圍，利用一次

函數的性質求解即可．

【詳解】（1）解：設甲隊平均每天修復公路x千米，則乙隊平均每天修復公路x3千米，

6090

由題意得，

xx3

解得x6，

經檢驗，x6是原方程的解，且符合題意，

x39，

答：甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；

（2）解：設甲隊的工作時間為m天，則乙隊的工作時間為15m天，15天的工期，兩隊能修復公路w千

米，

由題意得w6m915m3m135，

m215m，

解得m10，

∵30，

∴w隨m的增加而減少，

∴當m10時，w有最大值，最大值為w310135105，

答：15天的工期，兩隊最多能修復公路105千米．

【中考模擬即學即練】

1．（2024·四川德陽·中考真題）羅江糯米咸鵝蛋是德陽市非物質文化遺產之一，至今有200多年歷史，采用

羅江當地林下養殖的鵝產的散養鵝蛋，經過傳統秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．為

了迎接端午節，進一步提升糯米咸鵝蛋的銷量，德陽某超市將購進的糯米咸鵝蛋和肉粽進行組合銷售，有A、

B兩種組合方式，其中A組合有4枚糯米咸鵝蛋和6個肉粽，B組合有6枚糯米咸鵝蛋和10個肉粽．A、B

兩種組合的進價和售價如下表：

價格AB

進價（元/件）94146

售價（元/件）120188

(1)求每枚糯米咸鵝蛋和每個肉粽的進價分別為多少？

(2)根據市場需求，超市準備的B種組合數量是A種組合數量的3倍少5件，且兩種組合的總件數不超過95

件，假設準備的兩種組合全部售出，為使利潤最大，該超市應準備多少件A種組合？最大利潤為多少？

【答案】(1)16元，6元

(2)25件，3590元

【分析】本題考查二元一次方程組的應用、不等式的應用和一次函數的性質，根據題意列出式子是本題的

關鍵．

（1）根據表格與“A組合有4枚糯米咸鵝蛋和6個肉粽，B組合有6枚糯米咸鵝蛋和10個肉粽”即可列方程

求解；

（2）設A種組合的數量，表示出B種組合數量，根據“兩種組合的總件數不超過95件”列不等式求出A種

組合的數量的最大值，再根據題意表示出利潤的表達式，根據一次函數的性質即可求得結果．

【詳解】（1）解：設每枚糯米咸鵝蛋的進價x元，每個肉粽的進價y元．

根據題意可得：

4x6y94

，

6x10y146

解得：

x16

，

y5

答：每枚糯米咸鵝蛋的進價16元，每個肉粽的進價6元．

（2）解：設該超市應準備m件A種組合，則B種組合數量是3m5件，利潤為W元，

根據題意得：m3m595，

解得：m25，

則利潤W12094m1881463m5152m210，

可以看出利潤W是m的一次函數，W隨著m的增大而增大，

∴當m最大時，W最大，

即當m25時，W152252103590，

答：為使利潤最大，該超市應準備25件A種組合，最大利潤3590元．

2．（2024·四川廣安·中考真題）某小區物管中心計劃采購A，B兩種花卉用于美化環境．已知購買2株A種

花卉和3株B種花卉共需要21元；購買4株A種花卉和5株B種花卉共需要37元．

(1)求A，B兩種花卉的單價．

(2)該物管中心計劃采購A，B兩種花卉共計10000株，其中采購A種花卉的株數不超過B種花卉株數的4

倍，當A，B兩種花卉分別采購多少株時，總費用最少？并求出最少總費用．

【答案】(1)A種花卉的單價為3元/株，B種花卉的單價為5元/株

(2)當購進A種花卉8000株，B種花卉2000株時，總費用最少，最少費用為34000元

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，根據題意列出方

程組，不等式以及一次函數關系式是解題的關鍵．

（1）設A種花卉的單價為x元/株，B種花卉的單價為y元/株，根據題意列出二元一次方程組，解方程組

即可求解；

（2）設采購A種花卉m株，則B種花卉(10000m)株，總費用為W元，根據題意列出不等式，得出m8000，

進而根據題意，得到W3m5(10000m)，根據一次函數的性質即可求解．

【詳解】（1）解：設A種花卉的單價為x元/株，B種花卉的單價為y元/株，

2x3y21

由題意得：，

4x5y37

x3

解得：，

y5

答：A種花卉的單價為3元/株，B種花卉的單價為5元/株．

（2）解：設采購A種花卉m株，則B種花卉(10000m)株，總費用為W元，

由題意得：W3m5(10000m)2m50000，

m4(10000m)，

解得：m8000，

在W2m50000中，

20，

W隨m的增大而減小，

當m8000時W的值最小，

W最小280005000034000，

此時10000m2000．

答：當購進A種花卉8000株，B種花卉2000株時，總費用最少，最少費用為34000元．

3．（2024·云南·中考真題）A、B兩種型號的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜歡．

某超市銷售A、B兩種型號的吉祥物，有關信息見下表：

成本（單位：元/個）銷售價格（單位：元/個）

A型號35a

B型號42b

若顧客在該超市購買8個A種型號吉祥物和7個B種型號吉祥物，則一共需要670元；購買4個A種型號

吉祥物和5個B種型號吉祥物，則一共需要410元．

(1)求a、b的值；

(2)若某公司計劃從該超市購買A、B兩種型號的吉祥物共90個，且購買A種型號吉祥物的數量x（單位：

4

個）不少于B種型號吉祥物數量的，又不超過B種型號吉祥物數量的2倍．設該超市銷售這90個吉祥物

3

獲得的總利潤為y元，求y的最大值．

注：該超市銷售每個吉祥物獲得的利潤等于每個吉祥物的銷售價格與每個吉祥物的成本的差．

a40

【答案】(1)

b50

(2)564

【分析】本題考查了一次函數、一元一次不等式、二元一次方程組的應用，根據題意正確列出方程和函數

解析式是解題的關鍵．

（1）根據“購買8個A種型號吉祥物和7個B種型號吉祥物，則一共需要670元；購買4個A種型號吉祥物

和5個B種型號吉祥物，則一共需要410元”建立二元一次方程組求解，即可解題；

4

（2）根據“且購買A種型號吉祥物的數量x（單位：個）不少于B種型號吉祥物數量的，又不超過B種型

3

360

號吉祥物數量的2倍．”建立不等式求解，得到x60，再根據總利潤A種型號吉祥物利潤B種型

7

號吉祥物利潤建立關系式，最后根據一次函數的性質即可得到y的最大值．

8a7b670

【詳解】（1）解：由題知，，

4a5b410

a40

解得；

b50

（2）解：購買A種型號吉祥物的數量x個，

則購買B種型號吉祥物的數量90x個，

4

且購買A種型號吉祥物的數量x（單位：個）不少于B種型號吉祥物數量的，

3

4

x90x，

3

360

解得x，

7

A種型號吉祥物的數量又不超過B種型號吉祥物數量的2倍．

x290x，

解得x60，

360

即x60，

7

由題知，y4035x504290x，

整理得y3x720，

y隨x的增大而減小，

當x52時，y的最大值為y352720564．

4．（2024·黑龍江綏化·中考真題）為了響應國家提倡的“節能環保”號召，某共享電動車公司準備投入資金購

買A、B兩種電動車．若購買A種電動車25輛、B種電動車80輛，需投入資金30.5萬元；若購買A種電動

車60輛、B種電動車120輛，需投入資金48萬元．已知這兩種電動車的單價不變．

(1)求A、B兩種電動車的單價分別是多少元？

(2)為適應共享電動車出行市場需求，該公司計劃購買A、B兩種電動車200輛，其中A種電動車的數量不多

于B種電動車數量的一半．當購買A種電動車多少輛時，所需的總費用最少，最少費用是多少元？

(3)該公司將購買的A、B兩種電動車投放到出行市場后，發現消費者支付費用y元與騎行時間xmin之間的

對應關系如圖．其中A種電動車支付費用對應的函數為y1；B種電動車支付費用是10min之內，起步價6元，

對應的函數為y2．請根據函數圖象信息解決下列問題．

①小劉每天早上需要騎行A種電動車或B種電動車去公司上班．已知兩種電動車的平均行駛速度均為

300m/min（每次騎行均按平均速度行駛，其它因素忽略不計），小劉家到公司的距離為8km，那么小劉選

擇______種電動車更省錢（填寫A或B）．

②直接寫出兩種電動車支付費用相差4元時，x的值______．

【答案】(1)A、B兩種電動車的單價分別為元、3500元

(2)當購買A種電動車66輛時所需的總費用最1少00，0最少費用為535000元

(3)①B②5或

【分析】本題考查40了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用；

（1）設A、B兩種電動車的單價分別為x元、y元，根據題意列二元一次方程組，解方程組，即可求解；

（2）設購買A種電動車m輛，則購買B種電動車200m輛，根據題意得出m的范圍，進而根據一次函數

的性質，即可求解；

（3）①根據函數圖象，即可求解；

②分別求得y1,y2的函數解析式，根據y2y14，解方程，即可求解．

【詳解】（1）解：設A、B兩種電動車的單價分別為x元、y元

25x80y305000

由題意得，

60x120y480000

x1000

解得

y3500

答：A、B兩種電動車的單價分別為元、3500元

1000

（2）設購買A種電動車m輛，則購買8種電動車200m輛，

1

由題意得:m200m

2

200

解得：m

3

設所需購買總費用為w元，則w1000m3500200m2500m700000

25000，w隨著m的增大而減小，

m取正整數

m66時，w最少

w最少700000250066535000元

()

答：當購買A種電動車66輛時所需的總費用最少，最少費用為535000元

（3）解：①∵兩種電動車的平均行駛速度均為300m/min，小劉家到公司的距離為8km，

80002

∴所用時間為26分鐘，

3003

根據函數圖象可得當x20時，y2y1更省錢，

∴小劉選擇B種電動車更省錢，

故答案為：B．

②設y1k1x，將20,8代入得，

820k1

2

解得：k

5

2

∴yx；

15

當0x10時，y2=6，

當x10時，設y2k2xb2，將10,6，20,8代入得，

610kb

22

820k2b2

1

k

解得：25

b24

1

∴yx4

25

依題意，當0x10時，y2y14

2

即6x4

5

解得：x5

當x10時，y2y14

12

即x4x4

55

解得：x0（舍去）或x40

故答案為：5或．

5．（2024·黑龍江4大0興安嶺地·中考真題）為了增強學生的體質，某學校倡導學生在大課間開展踢毽子活動，

需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5個共需200元；購買甲種品牌

毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元．

(1)購買一個甲種品牌毽子和一個乙種品牌毽子各需要多少元？

(2)若購買甲乙兩種品牌毽子共花費1000元，甲種品牌毽子數量不低于乙種品牌毽子數量的5倍且不超過乙

種品牌毽子數量的16倍，則有幾種購買方案？

(3)若商家每售出一個甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）的條件下，

學校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】(1)購買一個甲種品牌毽子需15元，購買一個乙種品牌毽子需10元

(2)共有3種購買方案

(3)學校購買甲種品牌毽子60個，購買乙種品牌毽子10個，商家獲得利潤最大，最大利潤是340元

【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數的應用，

（1）設購買一個甲種品牌毽子需a元，購買一個乙種品牌毽子需b元，根據題意列出二元一次方程組，問

題得解；

3

（2）設購買甲種品牌毽子x個，購買乙種品牌毽子100x個，根據題意列出一元一次不等式組，解不

2

等式組即可求解；

3

（3）設商家獲得總利潤為y元，即有一次函數y5x4100x，根據一次函數的性質即可求解．

2

10a5b200

【詳解】（1）解：設購買一個甲種品牌毽子需a元，購買一個乙種品牌毽子需b元．由題意得：，

15a10b325

a15

解得：，

b10

答：購買一個甲種品牌毽子需15元，購買一個乙種品牌毽子需10元；

100015x3

（2）解：設購買甲種品牌毽子x個，購買乙種品牌毽子100x個．

102

3