專題39最值模型之幾何轉化法求最值模型（全等、相似、中位線、對角線性質等）幾何中最值問題是中考的常見題型，變幻無窮，試題設計新穎，形式活潑，涵蓋知識面廣，綜合性強。在各地中考數學試卷中，幾何最值問題也是重難點內容，在中考數學試卷中通常出現在壓軸題的位置。本專題我們所講的幾何轉化法求幾何最值是對前面八類幾何最值模型的一個補充。雖然我們前面講的幾何最值模型涵蓋了大部分的最值問題，但也有部分幾何最值無法很好的解決。鑒于此我們補充幾類幾何轉化法（主要利用全等、相似、或其他的幾何性質（如：中位線、對角線、特殊的邊角關系等）轉化），希望對大家有所幫助！TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.幾何轉化模型-全等轉化法 1模型2.幾何轉化模型-相似轉化法 3模型3.幾何轉化模型-中位線轉化法 4模型4.幾何轉化模型-（特殊）平行四邊形對角線轉化法 5模型5.幾何轉化模型-其他性質轉化法 6 8模型1.幾何轉化模型-全等轉化法條件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；結論：，。該類轉化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在圖形中很難同時出現，需要我們通過輔助線構造出手拉手型的全等模型，從而將所求線段進行轉化。例1．（23-24八年級下·江蘇連云港·階段練習）如圖，在矩形中，，，P是邊上一動點，連接，把線段繞點D逆時針旋轉到線段，連接，則線段的最小值為．例2．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B為x軸上一動點，以為邊在直線的右側作等邊三角形．若點P為的中點，連接，則的長的最小值為．例3.（2024·四川內江·二模）如圖，在中，，，P是的中點，若點D在直線上運動，連接，以為腰，向的右側作等腰直角三角形，連接，則在點D的運動過程中，線段的最小值為．例4．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，，，點是的中點，以為直角邊向作等腰，連接，當取得最大值時，的面積為．模型2.幾何轉化模型-相似轉化法條件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；結論：，。該類轉化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在圖形中很難同時出現，需要我們通過輔助線構造出手拉手型的相似模型，從而將所求線段進行轉化。例1．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，在四邊形中，，則對角線的最小值為．例2．（2024上·浙江寧波·九年級校聯考期中）如圖，的直徑長為16，點是半徑的中點，過點作交于點，．點在上運動，點在線段上，且．則的最大能是．例3．（23-24八年級下·云南曲靖·期中）如圖，在矩形中，，，與交于點O，分別過點C，D作，的平行線相交于點F，點G是的中點，點P是四邊形邊上的動點，則的最小值是（）A． B． C． D．模型3.幾何轉化模型-中位線轉化法三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。條件：如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點分別為D、E，結論：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。證明：如圖1，過點C作交延長于點F，∴，∵是的中位線，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，；∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。例1．（2024·山東德州·二模）如圖，在平行四邊形中，，，，點M、N分別是邊、上的動點（不與A、B、C重合），點E、F分別為、的中點，連接，則的最小值為（

）A． B．3 C．4 D．例2．（2024·廣東肇慶·一模）如圖，點在以為直徑的半圓上，是半圓上不與點重合的動點．連接，是的中點，過點作于點．若，則的最大值是．例3．（2023·四川成都·一模）已知矩形中，，點E、F分別是邊的中點，點P為邊上動點，過點P作與平行的直線交于點G，連接，點M是中點，連接，則的最小值＝．模型4.幾何轉化模型-（特殊）平行四邊形對角線轉化法該模型主要運用（特殊）平行四邊形對角線的性質（如：平行四邊形對角線互相平分、矩形的對角線相等）來將不易求得的某些線段轉化為能易求的線段進行求解。例1．（24-25九年級上·廣東河源·階段練習）如圖，在矩形中，，，為線段上一動點，于點，于點，則的最小值為．例2．（23-24九年級上·廣東茂名·期末）如圖，P是的斜邊（不與點A、C重合）上一動點，分別作于點M，于點N，O是的中點，若，，當點P在上運動時，的最小值是．例3．（2024·河南周口·一模）如圖，中，，，，點P為上一個動點，以為鄰邊構造平行四邊形，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．模型5.幾何轉化模型-其他性質轉化法圖1圖2如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，則BC=AC.如圖2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，則BC=AC.例1．（23-24九年級上·廣西柳州·期末）如圖，正方形，邊長，對角線、相交于點O，將直角三角板的直角頂點放在點O處，三角板兩邊足夠長，與、交于、兩點，當三角板繞點O旋轉時，線段的最小值為（）A．1 B．2 C． D．例2．（23-24九年級上·廣東深圳·階段練習）如圖，在中，，，P為邊上一動點，連接，將線段繞點A順時針旋轉至，則線段的最小值為（

）

A． B． C． D．例3．（2024·江蘇無錫·三模）如圖，在四邊形中，，對角線、交于點O，且．若，則的最小值為（

）A．16 B．4 C．9 D．2例4．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，，，點E、F分別是、邊上的兩個動點，連接，，若平分，則的最大值為（結果保留根號）1．（23-24九年級上·山西臨汾·期中）如圖，在中，，，點D，E分別是邊上的動點，連結，F，M分別是的中點，則的最小值為（）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.82．（2023·浙江杭州·二模）如圖，點為的內心，，，點，分別為，上的點，且．甲、乙兩人有如下判斷：甲：：乙：當時，的周長有最小值．則下列說法正確的的是（）A．只有甲正確B．只有乙正確C．甲、乙都正確D．甲、乙都錯誤3．（23-24八年級下·廣東江門·期中）如圖，已知正方形的邊長為4，點是對角線上一點，于點，于點，連接，．給出下列結論：①且；②；③一定是等腰三角形；④四邊形的周長為；⑤的最小值為；⑥．其中結論正確的是（

）A．①③④⑤ B．②③④⑥ C．①④⑤⑥ D．①②⑤⑥4．（2024·江蘇揚州·三模）如圖，正方形邊長為4，以為圓心，為半徑畫弧，為弧上動點，連，取中點，連，則最小值為．5．（24-25九年級上·福建廈門·期中）如圖，若中，，，，是邊上一動點，連接，把線段繞點逆時針旋轉到線段，連接，則線段的最小值為（

）A．1 B．3 C．3 D．6．（2023九年級下·安徽·專題練習）如圖，在中，，，現以為邊在的下方作正方形并連接，則的最大值為（）

A． B．6 C． D．7．（23-24八年級下·遼寧阜新·期中）如圖，邊長為20的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點B逆時針旋轉得到，連接，則在點M運動的過程中，線段長度的最小值是（

）A．3 B．10 C．5 D．68．（2023·廣東湛江·二模）如圖，在上有頂點C和動點P，位于直徑的兩側，過點C作的垂線與的延長線交于點Q．已知的直徑為10，，則最大值為（）A．5 B． C． D．9．（23-24九年級上·遼寧遼陽·期末）如圖，在矩形中，，，與交于點，分別過點，作，的平行線相交于點，點是的中點，點是四邊形邊上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．10．（2023·浙江紹興·模擬預測）如圖，在中，已知為平面上一點，且為上一點，且，則的最小值為．

11．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在中，連接，，，是邊上一動點，連接，以為邊向左側作等邊，連接，則的最小值是．12．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，，，P是的高上一個動點，以B點為旋轉中心把線段逆時針旋轉得到，連接，則的最小值是．13．（2023·內蒙古呼和浩特·一模）如圖在菱形中，為對角線與BD的交點，點為邊AB上的任一點（不與、重合），過點分別作，，、為垂足，則可以判斷四邊形的形狀為．若菱形的邊長為，，則的最小值為．（用含的式子表示）14．（23-24八年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，中，，，P是邊上的一個動點，以為對角線作平行四邊形，則的最小值為．

15．（2024·山東泰安·二模）小明學習了四邊形后，對有特殊性質的四邊形的探究產生了興趣，發現了這樣一類特殊的四邊形：兩條對角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形，如圖：已知四邊形中，，垂足為，對角線，，設，則的最小值等于．16．（2024·江蘇徐州·三模）如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標是，點B的坐標是，長為2的線段CD在y軸上移動，則的最小值是．

17．（23-24八年級下·浙江金華·階段練習）如圖，菱形的邊長為4，，點E在線段上，以為邊在左側構造菱形，使G在的延長線上，連接，分別取的中點H，O，連接，則；當點E在邊上運動（不含A，D）時，的最小值為．18．（2024·山東濟南·二模）在菱形中，為菱形內部一點，且，連接，點F為中點，連接，點G是中點，連接，則的最大值為．19．（2023·遼寧鐵嶺·模擬預測）如圖，與是等邊三角形，連接，取的中點，連接，將繞點順時針旋轉．若，則在旋轉過程中，則線段的最大值為．20．（2024·廣西南寧·模擬預測）如圖，在邊長為的正方形中，點，分別是邊，上的動點，且滿足，與交于點，點是的中點，是邊上的點，，則的最小值是．21．（23-24九年級上·貴州遵義·期末）如圖，正方形，邊長，對角線相交于點O，將直角三角板的直角頂點放在點O處，三角板兩邊足夠長，與交于E、F兩點，當三角板繞點O旋轉時，線段的最小值為．23．（23-24九年級上·河南駐馬店·階段練習）如圖，點B、M、C三點在同一直線上，四邊形是菱形，是邊長為4的等邊三角形，把繞點M逆時針旋轉，當（即）與交于一點E，（即）同時與交于一點F時，點E、F和點A構成，則的周長的最小值是．24．（23-24八年級下·廣東深圳·期中）（1）發現：如圖1，點A為線段外一動點，且．填空：線段的長最大值為(用含a，b的式子表示)（2）應用：點A為線段外一動點，且，如圖2所示，分別以為邊，作等邊三角形和等邊三角形，連接．①求證：；②直接寫出線段長的最大值．（3）拓展：如圖3，已知，點D是平面內的一點，，連接，將繞點D逆時針旋