專題31最值模型之將軍飲馬模型

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系

列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱為“將軍飲馬”。

將軍飲馬問(wèn)題從本質(zhì)上來(lái)看是由軸對(duì)稱衍生而來(lái)，同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋

或過(guò)橋），主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊

形背景下的將軍飲馬問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）..............................................................................................1

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）..............................................................................................5

模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值）..................................................................................................9

.................................................................................................................................................14

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）

條件：A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值。

模型（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：

模型（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：

圖（1）圖（2）

模型（1）：如圖（1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長(zhǎng)度。

模型（2）：如圖（2），作點(diǎn)A關(guān)于定直線m的對(duì)稱點(diǎn)A’,連結(jié)A’B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小

值即為：線段A’B的長(zhǎng)度。

例1．（2024·陜西西安·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，ABBC4，AD8，AG2，

ABC90，E是邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則AFGF的最小值為．

【答案】25

【分析】本題考查軸對(duì)稱中最短路線問(wèn)題，正方形的判定，勾股定理，靈活運(yùn)用將軍飲馬模型是解題的關(guān)

鍵．取AD的中點(diǎn)H連接BH，CH，CG，CF，證明出F點(diǎn)就是BH與AE的交點(diǎn)，四邊形BCHD是平

行四邊形，四邊形ABCH是正方形，利用將軍飲馬模型得到CG是AFGF的最小值，再在Rt△CGH中，

利用勾股定理求出CG即可．

【詳解】取AD的中點(diǎn)H連接BH，

BC4，AD8，AHHDBC4，

AD∥BC，四邊形BCDH是平行四邊形，BH∥CD，且點(diǎn)H為AD的中點(diǎn)，

AFAH1

∴，BH與AE的交點(diǎn)就是AE的中點(diǎn)F，連接CH，

AEAD2

AD∥BC，AHBC，四邊形ABCH是平行四邊形，

ABBC4，ABC90四邊形ABCH是正方形，A，C關(guān)于BH對(duì)稱，

連接CF，CG，則AFCF，AFGFCFGFCG，即AFGF的最小值為CG的長(zhǎng)，

在Rt△CGH中，CHAB4，GHAHAG322，

由勾股定理，得CGCH4GH2482225，故答案為：25．

例2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在YABCD中，AB4，AD5，ABC30，點(diǎn)M為直線BC上

一動(dòng)點(diǎn)，則MAMD的最小值為．

【答案】41

【分析】如圖，作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AD交BC于M，則AHAH，AHBC，AMAM，

當(dāng)M,M重合時(shí)，MAMD最小，最小值為AD，再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AD交BC于M，則AHAH，AHBC，

AMAM，∴當(dāng)M,M重合時(shí)，MAMD最小，最小值為AD，

1

∵AB4，ABC30，在YABCD中，∴AHAB2，AD∥BC，∴AA2AH4，AAAD，

2

∵AD5，∴AD425241，故答案為：41

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求最小值問(wèn)題，正確理解各性質(zhì)及掌

握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

例3．（2024·廣東·二模）如圖，菱形ABCD的一條對(duì)角線AC43，DAB60，P是對(duì)角線AC上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊DA，DC的中點(diǎn)，則PEPF的最小值是（）

A．2B．23C．4D．43

【答案】C

【分析】作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接PG，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知PEPFPFPG，證明四

邊形AGFD為平行四邊形，PEPFFGAD為最小值，再求出菱形ABCD的邊AD，即為PEPF的最

小值．

【詳解】解：如圖，連接BD，交AC于K，

∵菱形ABCD，∴AB∥CD，ABCDAD，KAKC23，ACBD，

∵DAB60∴DAC30，∴AD2DK，

∴AD2DK212，∴DK2，AD4，

作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接PG，∴PEPFPFPG，

∵點(diǎn)E為邊AD上的中點(diǎn)，則點(diǎn)G也為邊AB的中點(diǎn)，

∴當(dāng)點(diǎn)P、G、F在一條直線上時(shí)，PEPF有最小值，

連接FG交AC于P，∴當(dāng)P,P重合時(shí)，PEPFFG為最小值，

∵F,G為DC,AB的中點(diǎn)，∴DFAG，∴四邊形AGFD為平行四邊形，

∴FGAD4，∴PEPF的最小值是4，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱中的最短距離問(wèn)題、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，

學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決最短距離問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．

例4．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形BOC中，BOC＝60，OD平分BOC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E

為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)．若陰影部分周長(zhǎng)的最小值為22，則扇形的半徑OB的長(zhǎng)為．

3

【答案】2

【分析】本題主要考查扇形周長(zhǎng)的計(jì)算，軸對(duì)稱最短路徑的計(jì)算方法，掌握扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算方法，軸對(duì)稱

求最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可求出CODBOD30，作點(diǎn)D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，可

得CD最小，則扇形周長(zhǎng)最小，由此即可求解．

【詳解】解：∵OD平分BOC，BOC60，∴CODDOB30，

30r

設(shè)扇形的半徑OCOBr，∴的長(zhǎng)為：2r，陰影部分的周長(zhǎng)最小為22，

CD36063

如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD與OB交于點(diǎn)E，此時(shí)，CEEDCEEDCD的值

最小，即陰影部分的周長(zhǎng)最小，

∴CODCOBBOD90，∴CD2r，

r

即2r22，解得，r2，故答案為：2．

63

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）

條件：A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值。

模型（1）：點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：模型（2）：點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：

圖（1）圖（2）

模型（1）：如圖（1），延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，當(dāng)A、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’A-P’B|

＜AB，當(dāng)A、B、P共線時(shí)，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB的長(zhǎng)度。

模型（2）：如圖（2），作點(diǎn)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’交直線m于點(diǎn)P，此時(shí)PB=PB’。

當(dāng)A、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，

當(dāng)A、B、P共線時(shí)，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB’的長(zhǎng)度。

例1．（2024·河南南陽(yáng)·一模）如圖，已知ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線

CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為___△_．

【答案】6

【分析】作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于P，則點(diǎn)P就是使|PA-PB|的值最大的點(diǎn)，|PA-PB|=A′B，

連接A′C，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據(jù)角的和差關(guān)系得到∠

ACD=75°，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出A′BC是等邊三角形，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．△

【詳解】如圖，作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB并延長(zhǎng)交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是使PAPB的

值最大的點(diǎn)，PAPBAB，連接AC，

∵ABC為等腰直角三角形，ACBC6，∴CABABC45，ACB90，

∵BCD15，∴ACD75，∵點(diǎn)A與A′關(guān)于CD對(duì)稱，

∴CD⊥AA′，ACAC，CAACAA，∴CAA15，

∵AC=BC，∴ACBC，CAACAA15，∴ACA150，

∵ACB90，∴ACB60，∴△ABC是等邊三角形，∴ABBC6．故答案為：6

【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的

作出圖形是解題的關(guān)鍵．

例2．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形ABCD中，E為AB邊中點(diǎn)，而點(diǎn)F在DC邊上，P為對(duì)角線AC

所在直線上一動(dòng)點(diǎn)，已知AB8，DF2，且ABC60，則PFPE的最大值為．

【答案】23

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱中最值問(wèn)題，勾股定理．取AD的中點(diǎn)G，連接PG，易得PGPE，

故PFPEPFPGFG，即當(dāng)F,G,P共線時(shí)，PFPEFG最大，作PHAD于H，先后求出

HD,HF,GH，最后用勾股定理求FG即可．

【詳解】解：如圖，取AD的中點(diǎn)G，連接PG，四邊形ABCD是菱形AGAE,GAPEAP

AGAE

在APG和VAPE中GAPEAPAPG≌APE(SAS)PGPE

APAP

連接FGPFPEPFPGFG當(dāng)F,G,P共線時(shí)，PFPEFG最大，圖中P處

1

作PHAD于HDB60DFH30HDDF1FH22123

2

1

GDAD4GH413FGGH2FH223．即PFPE的最大值為．

223

例3．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期中）如圖，在正方形ABCD中，AB8，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO

的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM6．P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PMPN的最大值為．

【答案】2

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，最值問(wèn)題

等，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N，連接PN，根據(jù)對(duì)稱

性質(zhì)可知，PNPN，由此可得PMPNMN，當(dāng)P,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，取“”，此時(shí)即PMPN的值

CMCN1

最大，由正方形的性質(zhì)求出AC的長(zhǎng)，繼而可得ONON22，AN62，再證明，可

BMAN3

得NM∥AB，CMN90，判斷出△NCM為等腰直角三角形，求得NM長(zhǎng)即可得答案．

【詳解】解：如圖，以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N，連接PN，

根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PNPN，∴PMPNMN，當(dāng)P,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，取“”，

∵在正方形ABCD中，ABBCCDAD8，∠ABC∠BCD∠CDA∠DAC90，∴

AC2AB82，∵O為AC中點(diǎn)，∴AOOC42，

∵N為OA中點(diǎn)，∴ON22，∴ONON22，∴AN62，

CMCN1

∵BM6，∴CMABBM862，∴，

BMAN3

∴NM∥AB，∴∠CMN∠CBA90，∵∠MCN45，

∴△NCM為等腰直角三角形，∴CMNM2，故答案為：2．

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）

模型（1）：兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)

條件：A，B為定點(diǎn)，在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。

兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)（圖1-2）；兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）

圖1-1圖1-1圖1-1圖2

模型（2）：一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)

條件：如圖2，A為定點(diǎn)，在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使三角形APQ的周長(zhǎng)（AP+PQ+QA）最小。

圖1-1圖1-1圖1-1圖2

模型（1-1）（兩點(diǎn)都在直線外側(cè)型）

如圖（1-1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長(zhǎng)度。

模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)型）

如圖（1-2），作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B’,連結(jié)AB’,根據(jù)對(duì)稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長(zhǎng)度。

模型（1-3）（兩點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)型）

如圖（1-3），作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B’,作點(diǎn)A關(guān)于定直線m的對(duì)稱點(diǎn)A’,連結(jié)A’B’,

根據(jù)對(duì)稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長(zhǎng)度。

模型（2）：如圖（2），作點(diǎn)A分別關(guān)于定直線m、n的對(duì)稱點(diǎn)A’、A’’,連結(jié)A’B,

根據(jù)對(duì)稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長(zhǎng)度。

例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE1，點(diǎn)P，Q分別

是邊BC，CD的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是（）

3943

A．B．C．D．

4255

【答案】B

【分析】作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，點(diǎn)A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AE，四邊形AEPQ的周長(zhǎng)最小，根

據(jù)S四邊形AEPQS正方形ABCDS△ADQS△PCQS△BEP，即可解．

【詳解】解：如圖1所示，作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，點(diǎn)A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AE，四邊形AEPQ

的周長(zhǎng)最小，

∵ADAD3，BEBE1，∴AA6，AE4．

∵DQ∥AE，D是AA的中點(diǎn)，∴DQ是△AAE的中位線，

1

∴DQAE2，CQDCCQ321，∵BP∥AA，∴△BEP∽△AEA，

2

BPBEBP1333

∴，即，BP，CPBCBP3，

AAAE64222

111

S四邊形AEPQS正方形ABCDS△ADQS△PCQS△BEP9ADDQCQCPBEBP

222

113139

93211，故選：B．

222222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角

形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出四邊形AEPQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，P、Q的位置．

例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，AOB30，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM3,ON5，

點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MPPQQN的最小值是（）

A．34B．35C．342D．352

【答案】A

【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值；

證出ONN′為等邊三角形，OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．

【詳解△】解：作M關(guān)于OB△的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，如圖所示：

連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：ONON5，OMOM3，∠N′OQ=∠M′OB=30°，

∴∠NON′=60°，MOM'60，∴△ONN′為等邊三角形，OMM′為等邊三角形，

△

∴∠N′OM′=90°，∴在RtM′ON′中，M′N′=325234．故選：A．

△

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱--最短路徑問(wèn)題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題

的關(guān)鍵．

例3．（23-24九年級(jí)上·陜西漢中·期中）（1）如圖①，在Rt△ABC中，B90，AB3，BC4．若點(diǎn)P

是邊AC上一點(diǎn)．則BP的最小值為．（2）如圖②，在Rt△ABC中，DB=90°，ABBC2，點(diǎn)E是

BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)，求PBPE的最小值．（3）公園內(nèi)有一條四邊形ABCD型環(huán)湖路，如

圖③．若AD2000米，CD1000米，A60，B90，C150．為滿足市民健身需求，現(xiàn)要修一

條由CE，EF，F(xiàn)C連接而成的步行景觀道，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上．為了節(jié)省成本，要使所修

的這條步行景觀道最短，即CEEFFC的值最小，求此時(shí)BE，DF的長(zhǎng)．（路面寬度忽略不計(jì)）

12

【答案】（1）；（2）PBPE的最小值為5；（3）BE的長(zhǎng)為500米，DF的長(zhǎng)為1000米

5

【分析】（1）過(guò)B作BPAC于P，由垂線段最短可知，BPAC時(shí)，BP的值最小，由面積法即可求解；

（2）作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，EE，PE，BE交AC于P，由E，E關(guān)于直線AC對(duì)稱，

可知PBPEPBPEBE，當(dāng)B，P，E共線時(shí)，此時(shí)PBPE最小，最小值為BE的長(zhǎng)度，根據(jù)

B90，ABBC2，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得CECE1，BCE90，再用勾股定理可得答案；

（3）作C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接DM，CM，CM交AD于H，作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N，連接BN，

延長(zhǎng)DC，AB交于G，連接NG，連接MN交AB于E，交AD于F，由C，N關(guān)于AB對(duì)稱，C，M關(guān)于AD

對(duì)稱，CENE，CFMF，當(dāng)N，E，F(xiàn)，M共線，CEEFCF最小，根據(jù)A60，ABC90，

BCD150，可得ADC60，MCDCMD30，即得DH500米，CHMH5003米，

CM10003米，由ADC60，A60，知△ADG是等邊三角形，從而CGDGCD1000米，同

1

理可得CGNG1000米，BNGBCG30，即得BGCG500米，BCBN3BG5003米，

2

BN

故CN10003米CM，知CNMCMN30，在RtBNE中，BE500米，在RtMHF中，

3

MH

FH500米，即得DFFHDH1000米．

3

【詳解】解：（1）過(guò)B作BPAC于P，如圖：

由垂線段最短可知，BPAC時(shí)，∵ABC90，AB3，∴AC=AB2+BC2=5，

11341212

∵SAB·BCAC·BP，∴BP；故答案為：；

ABC22555

（2）作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，EE，PE，BE交AC于P，如圖：

∵E，E關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴PEPE，∴PBPEPBPEBE，

當(dāng)B，P，E共線時(shí)，PBPE最小，最小值為BE的長(zhǎng)度，

∵B90，ABBC2，∴ACB45，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE1，

∵E，E關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴ACEACB45，CECE1，∴BCE90，

在Rt△BCE中，BEBC2CE222125，∴PBPE的最小值為5；

（3）作C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接DM，CM，CM交AD于H，作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N，連接BN，

延長(zhǎng)DC，AB交于G，連接NG，連接MN交AB于E，交AD于F，如圖：

∵由C，N關(guān)于AB對(duì)稱，C，M關(guān)于AD對(duì)稱，

∴CENE，CFMF，∴CEEFCFNEEFMFMN，

當(dāng)N，E，F(xiàn)，M共線時(shí)，此時(shí)CEEFCF最小；

∵A60，B90，C150，∴ADC60，

∵C，M關(guān)于AD對(duì)稱，∴MDHCDH60，CHDMHD90，

1

∴MCDCMD30，∴DHCD500米，由勾股定理得DH5003米，∴CM2CH10003米，

2

∵ADC60，A60，∴△ADG是等邊三角形，∴DGAD2000米，∴CGDGCD1000米，

∵BCD150，∴BCG30，∵C，N關(guān)于AB對(duì)稱，∴C，B，N共線，BNGBCG30，

1

∴BGCG500米，由勾股定理得BC3BG5003米，∴CN10003米CM，∴CNMCMN，

2

∵BCD150，MCD30，∴NCM120，∴CNMCMN30，

BN5003MH5003

在RtBNE中，BE500（米），在RtMHF中，F(xiàn)H500（米），

3333

∴DFFHDH5005001000（米），答：BE的長(zhǎng)為500米，DF的長(zhǎng)為1000米．

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和

性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題．

1．（2024·河南周口·一模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別為AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AMBN，DM，

AN交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PF．若AB4，則PEPF的

最小值為（）

9

A．101B．2102C．5D．

2

【答案】B

【分析】先根據(jù)SAS得DAM≌ABN，進(jìn)而可得AED90，由此可得E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在是以AD為直徑

的圓上．延長(zhǎng)AB至F使BFBF，得F與F關(guān)于直線BC對(duì)稱．連接OF交BC于P點(diǎn)，交圓O于E點(diǎn)，

則PEPFPEPFOFOE，此時(shí)PEPF的值最小，根據(jù)勾股定理求出OF的長(zhǎng)，即可得PEPF的

最小值．

【詳解】∵ABCD是正方形，DADB，DAMABN90，

又AMBN，DAM≌ABN(SAS)，ADMBAN，

又DAEBAN90，DAEADM90，AED90，

∴E點(diǎn)在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)AD的中點(diǎn)為O，則R2，

延長(zhǎng)AB至F使BFBF，則F與F關(guān)于直線BC對(duì)稱，

連接OF交BC于P點(diǎn)，交圓O于E點(diǎn)，則PFPF，PEPFPEPFOFOE，

此時(shí)P、E、F三點(diǎn)共線，因此PEPF的值最小．在RtOAF中，OA2，AF426，

OF2262210，OFOE2102，∴PEPF的最小值為2102，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題是一道動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和最值問(wèn)題的綜合性題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

直徑所對(duì)圓周角等于90度、軸對(duì)稱的性質(zhì)．找出E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．

2．（2024·山東泰安·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB6，AD5，點(diǎn)E是AD邊的點(diǎn)，ED3，點(diǎn)F是

線段CD上一點(diǎn)，連接EF，以EF為直角邊作等腰直角EFG，F(xiàn)G為斜邊，連接AG，則AGEG的最小

值為（）

13

A．6B．210C．D．35

2

【答案】B

1

【分析】過(guò)點(diǎn)G作GHAD于H，則可證明VEDF≌VGHE，得GHDE3；取AB中點(diǎn)O，則AOAB3，

2

則點(diǎn)G在直線OG上運(yùn)動(dòng)，連接BG，則BGAG，AGEGBGEG，當(dāng)E、G、B三點(diǎn)共線時(shí)BGEG

最小，從而AGEG最小，由勾股定理即可求得最小值．

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GHAD于H，則GHE90°，GEHEGH90；

四邊形ABCD是矩形，DDAB90，F(xiàn)EG90，DEFGEH90，DEFEGH；

EFEG，VEDF≌VGHE(AAS)，GHDE3；

1

取AB中點(diǎn)O，連接GO，則AOAB3，GHAO3，四邊形AHGO是平行四邊形，

2

DAB90，四邊形AHGO是矩形，GOAB，則點(diǎn)G在直線OG上運(yùn)動(dòng)；

連接BG，則GO垂直平分AB，BGAG，AGEGBGEG，

當(dāng)E、G、B三點(diǎn)共線時(shí)BGEG最小，從而AGEG最小，

QAEADDE2，則由勾股定理BEAE2AB2436210，即AGEG的最小值為210．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，

確定點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑是解題的關(guān)鍵．

3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上，ABC120，

點(diǎn)A3,0，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PDPE的最小值是（）

3

A．3B．5C．D．3

222

【答案】A

【分析】直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)

B，連接BE，則線段BE的長(zhǎng)即是PD+PE的最小值．

【詳解】如圖：連接BE，∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，

，

∵直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小

∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長(zhǎng)度即是PD+PE的最小值．，

∵菱形ABCD，ABC120，點(diǎn)A3,0，∴CDB60,DAO30，OA3，

∴OD3,ADDCCB23∴△CDB是等邊三角形∴BD23

1

∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DECD3,且BE⊥CD，∴BEBD2DE23故選：A．

2

【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長(zhǎng)．

4．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=10，AD42，點(diǎn)P是邊AD上

一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接PB，PC．點(diǎn)M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，連接MN，AM，DN，點(diǎn)E

在邊AD上，ME∥DN，則AMME的最小值是（）

A．23B．3C．32D．42

【答案】C

11

【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得AMBP，DNCP，通過(guò)證明四邊形MNDE是平行四

22

1

邊形，可得MEDN，則AMMEAMDNBPCP，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)M，則

2

BPCPBPPM，點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，BPPM的值最小，最小值為BM．

【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，BAPCDP90，AD∥BC，

111

點(diǎn)M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，AMBP，DNCP，MNBC，MN∥BC，

222

AD∥BC，MN∥BC，MN∥BC，又ME∥DN，四邊形MNDE是平行四邊形，

1

MEDN，AMMEAMDNBPCP，

2

如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接PM，BM，則BPCPBPPM，

當(dāng)點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，BPPM的值最小，最小值為BM，

在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=210，BCAD42，

22

BMBC2MC24221062，

1

AMME的最小值BM32，故選C．

2

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，

軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問(wèn)題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思

想．

5．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，E是線段AB上一點(diǎn)，VADE和BCE是位于直線AB同側(cè)的兩個(gè)等邊

三角形，點(diǎn)P,F分別是CD,AB的中點(diǎn)．若AB4，則下列結(jié)論錯(cuò)．誤．的是（）

A．PAPB的最小值為33B．PEPF的最小值為23

C．CDE周長(zhǎng)的最小值為6D．四邊形ABCD面積的最小值為33

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)AD,BC，則ABQ是等邊三角形，觀察選項(xiàng)都是求最小時(shí)，進(jìn)而得出當(dāng)E點(diǎn)與F重合時(shí)，則

Q,P,F三點(diǎn)共線，各項(xiàng)都取得最小值，得出B，C，D選項(xiàng)正確，即可求解．

【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)AD,BC，依題意QADQBA60∴ABQ是等邊三角形，

∵P是CD的中點(diǎn)，∴PDPC，∵DEACBA，∴ED∥CQ

∴PQCPED,PCQPDE，∴PDE≌PCQ∴PQPE，

∴四邊形DECQ是平行四邊形，則P為EQ的中點(diǎn)，如圖所示，

11

設(shè)AQ,BQ的中點(diǎn)分別為G,H，則GPAE,PHEB

22

∴當(dāng)E點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P在GH上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E點(diǎn)與F重合時(shí)，即AEEB，

1

則Q,P,F三點(diǎn)共線，PF取得最小值，此時(shí)AEEBAEEB2，

2

則△ADE≌△ECB，∴C,D到AB的距離相等，則CD∥AB，

3

此時(shí)PFAD3此時(shí)VADE和BCE的邊長(zhǎng)都為2，則AP,PB最小，

2

32

∴PF23，∴PAPB2237∴PAPB27，

2

或者如圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于GH對(duì)稱點(diǎn)B，則PBPB，則當(dāng)A,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，APPBAB

2

此時(shí)ABAB2BB422327故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，

根據(jù)題意可得P,Q,F三點(diǎn)共線時(shí)，PF最小，此時(shí)PEPF3，則PEPF23，故B選項(xiàng)正確；

CDE周長(zhǎng)等于CDDECECDAEEBCDABCD4，即當(dāng)CD最小時(shí)，CDE周長(zhǎng)最小，

如圖所示，作平行四邊形GDMH，連接CM，

∵GHQ60,GHMGDM60，則CHM120

如圖，延長(zhǎng)DE,HG，交于點(diǎn)N，則NGDQGH60，NDGADE60

∴△NGD是等邊三角形，∴NDGDHM，

NPDHPC

在NPD與△HPC中，NCHP60∴NPD≌HPC

PDPC

∴NDCH∴CHMH∴HCMHMC30

∴CM∥QF，則CMDM，∴DMC是直角三角形，

1

在△DCM中，DCDM∴當(dāng)DCDM時(shí)，DC最短，DCGHAB2

2

∵CDPC2PC∴CDE周長(zhǎng)的最小值為2226，故C選項(xiàng)正確；

∵NPD≌HPC∴四邊形ABCD面積等于SADESEBCSDECSADES平行四邊NEBH

∴當(dāng)△BGD的面積為0時(shí)，取得最小值，此時(shí)，D,G重合，C，H重合

3

∴四邊形ABCD面積的最小值為322=33，故D選項(xiàng)正確，故選：A．

4

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得出當(dāng)E

點(diǎn)與F重合時(shí)得出最小值是解題的關(guān)鍵．

6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上，且BE1，F(xiàn)為對(duì)

角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF，EF，則CFEF的最小值為．

【答案】17

【分析】連接AE交BD于一點(diǎn)F，連接CF，根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)CFEFAE最小，利用勾股

定理求出AE即可．

【詳解】解：如圖，連接AE交BD于一點(diǎn)F，連接CF，

∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，∴AFCF，

∴CFEFAFEFAE，此時(shí)CFEF最小，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AD4,ABC90，∵點(diǎn)E在AB上，且BE1，

∴AEAB2BE2421217，即CFEF的最小值為17故答案為：17．

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)P，Q分別在邊AD，BC上，且PQ經(jīng)

過(guò)點(diǎn)O，AB6，AP3，BC8，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)．則EPQ周長(zhǎng)的最小值為．

【答案】10210/21010

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段和的最小值計(jì)算；作P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P，連接PQ，

交AB于E，連接PE，則PEQE的最小值為PQ，證明出△EPQ周長(zhǎng)的最小值為PQPQ，作PFBC

于F，PHBC于H，利用勾股定理求出PQ和PQ即可．

【詳解】解：如圖，作P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P，連接PQ，交AB于E，連接PE，

PEPE，PEQE的最小值為PQ，EPQ周長(zhǎng)的最小值為PQPQ，

作PFBC于F，PHBC于H，AP3，PA3FB，

點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)稱中心，PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，APCQ3

∵BC8，BQ5，F(xiàn)Q8，PFAB6，PQ10，

PHAB6，HQ532，PQ210，EPQ周長(zhǎng)的最小值為10210．

8．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在四邊形ACBD中，BACBAD60，ACBADB90，BC6，

連接CD、AB交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，點(diǎn)P為CE的中點(diǎn)，連接OP、DP，則OPDP的

最小值為．

【答案】6

【分析】本題考查全等三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定、軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，找到對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化線段是

解題關(guān)鍵．

過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線分別交AC、BC于點(diǎn)M、N，由點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CE的中點(diǎn)可得到

點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，MN為ABC的中位線，求證△ABC≌△ABD，用等腰三角形“三線合一”證明

ABCD，所以MNCD，即點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于MN對(duì)稱，所以DPOPDPCPCD，同時(shí)證明△BCD

是等邊三角形，CDBC6，即OPDP的最小值為6．

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB分別交AC、BC于點(diǎn)M、N，

∵點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CE的中點(diǎn)∴點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，且MN為ABC的中位線，

ACBADB

∵在ABC和△ABD中BACBAD60，∴ABC≌ABDAAS，

ABAB

∴BCBD,ABCABD906030，∴ABCD，CBD60，

∴MNCD，△BCD是等邊三角形，∴點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于MN對(duì)稱，∴DPOPDPCPCD，

又∵CDBC6∴OPDP的最小值為6．

9．（2024·陜西商洛·三模）如圖，點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E為AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接OE，作

OFOE交CD于點(diǎn)F，連接EF，P為EF的中點(diǎn)，G為邊CD上一點(diǎn)，且CD4CG8，連接PA，PG，

則PAPG的最小值為．

【答案】229

【分析】如圖，連接OA，OD，由題意知，OAEODF45，AOD90，OAOD，由

AOEAODDOE，∠DOF∠EOF∠DOE得，∠AOE∠DOF，證明AOE≌DOFASA，則

OEOF，EOF是等腰直角三角形，由P是EF中點(diǎn)，則OPEF，OPF90，PFO45POF，

如圖，過(guò)O作OMAD于M，過(guò)O作ONCD于N，由OPFONF180，可知O，P，F(xiàn)，N四點(diǎn)

共圓，由PFPF，可得PNFPOF45，進(jìn)而可得P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，如圖，延長(zhǎng)MN，作點(diǎn)A關(guān)

'1

于MN對(duì)稱的點(diǎn)A'，過(guò)A'作A'HCD于H，連接A'G交MN于P'，連接AP'，由題意知DHAHAB4，

2

A'P'AP'，且A'P'P'GAP'P'G，可知當(dāng)A'，P'，G三點(diǎn)共線時(shí)，AP'P'G值最小，在RtA'GH中，

由勾股定理得，A'GA'H2HG2，計(jì)算求解A'G的值即可．

【詳解】解：如圖，連接OA，OD，

由題意知，OAEODF45，AOD90，OAOD，∵OFOE，∴EOF90AOD，

∵AOEAODDOE，DOFEOFDOE，∴∠AOE∠DOF，

AOEDOF

在△AOE和DOF中，∵OAOD，∴AOE≌DOFASA，

OAEODF

∴OEOF，∴EOF是等腰直角三角形，∵P是EF中點(diǎn)，∴OPEF，

∴OPF90，PFO45POF，如圖，過(guò)O作OMAD于M，過(guò)O作ONCD于N，∴ONF90，

∵OPFONF180，∴O，P，F(xiàn)，N四點(diǎn)共圓，∵