江蘇省太倉市2024年中考四模數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．下列博物院的標識中不是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．2．下列各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左側△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙3．如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別AB、AC是上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處，且點A′在△ABC外部，則陰影部分的周長為（）cmA．1 B．2 C．3 D．44．一個布袋內只裝有1個黑球和2個白球,這些球除顏色不同外其余都相同,隨機摸出一個球后放回攪勻,再隨機摸出一個球,則兩次摸出的球都是黑球的概率是()A． B． C． D．5．如圖，有一矩形紙片ABCD，AB=10，AD=6，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點F，則的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．106．一輛客車從甲地開往乙地，一輛出租車從乙地開往甲地，兩車同時出發，它們離甲地的路程y（km）與客車行駛時間x（h）間的函數關系如圖，下列信息：（1）出租車的速度為100千米/時；（2）客車的速度為60千米/時；（3）兩車相遇時，客車行駛了3.75小時；（4）相遇時，出租車離甲地的路程為225千米．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．下列事件中，屬于不確定事件的是（）A．科學實驗，前100次實驗都失敗了，第101次實驗會成功B．投擲一枚骰子，朝上面出現的點數是7點C．太陽從西邊升起來了D．用長度分別是3cm，4cm，5cm的細木條首尾順次相連可組成一個直角三角形8．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，點D是OB上的動點，若PC＝6cm，則PD的長可以是（）A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm9．如圖，將邊長為8㎝的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN的長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm10．如圖，直線y=3x+6與x，y軸分別交于點A，B，以OB為底邊在y軸右側作等腰△OBC，將點C向左平移5個單位，使其對應點C′恰好落在直線AB上，則點C的坐標為（）A．（3，3） B．（4，3） C．（﹣1，3） D．（3，4）二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．某種水果的售價為每千克a元，用面值為50元的人民幣購買了3千克這種水果，應找回元（用含a的代數式表示）．12．如圖，點D在的邊上，已知點E、點F分別為和的重心，如果，那么兩個三角形重心之間的距離的長等于________．13．的倒數是_____________．14．如圖，正△ABO的邊長為2，O為坐標原點，A在x軸上，B在第二象限，△ABO沿x軸正方向作無滑動的翻滾，經第一次翻滾后得到△A1B1O，則翻滾2017次后AB中點M經過的路徑長為______．15．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為_____．16．如圖，正方形ABCD的邊長為，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足為點F，則EF的長是__________．17．在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為12厘米，則甲、乙兩地的實際距離是______千米．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）如圖，直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于A，B兩點，已知A點的縱坐標是2.（1）求反比例函數的解析式.（2）將直線沿x軸向右平移6個單位后，與反比例函數在第二象限內交于點C.動點P在y軸正半軸上運動，當線段PA與線段PC之差達到最大時，求點P的坐標.19．（5分）如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD，求證：AE=FB．20．（8分）（）如圖①已知四邊形中，，BC=b，，求：①對角線長度的最大值；②四邊形的最大面積；（用含，的代數式表示）（）如圖②，四邊形是某市規劃用地的示意圖，經測量得到如下數據：，，，，請你利用所學知識探索它的最大面積（結果保留根號）21．（10分）（1）（問題發現）小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC是等邊三角形，點D為BC的中點，且滿足∠ADE=60°，DE交等邊三角形外角平分線CE所在直線于點E，試探究AD與DE的數量關系．（1）小明發現，過點D作DF//AC，交AC于點F，通過構造全等三角形，經過推理論證，能夠使問題得到解決，請直接寫出AD與DE的數量關系：；（2）（類比探究）如圖2，當點D是線段BC上（除B，C外）任意一點時（其它條件不變），試猜想AD與DE之間的數量關系，并證明你的結論．（3）（拓展應用）當點D在線段BC的延長線上，且滿足CD=BC（其它條件不變）時，請直接寫出△ABC與△ADE的面積之比．22．（10分）已知：如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1，0)、B兩點（A在B左），y軸交于點C（0，-3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點D是線段BC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以B、C、E、P為頂點且以BC為一邊的平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．23．（12分）甲乙兩件服裝的進價共500元，商場決定將甲服裝按30%的利潤定價，乙服裝按20%的利潤定價，實際出售時，兩件服裝均按9折出售，商場賣出這兩件服裝共獲利67元．求甲乙兩件服裝的進價各是多少元；由于乙服裝暢銷，制衣廠經過兩次上調價格后，使乙服裝每件的進價達到242元，求每件乙服裝進價的平均增長率；若每件乙服裝進價按平均增長率再次上調，商場仍按9折出售，定價至少為多少元時，乙服裝才可獲得利潤（定價取整數）．24．（14分）如圖1，已知∠DAC=90°，△ABC是等邊三角形，點P為射線AD上任意一點（點P與點A不重合），連結CP，將線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，連結QB并延長交直線AD于點E．（1）如圖1，猜想∠QEP=°；（2）如圖2，3，若當∠DAC是銳角或鈍角時，其它條件不變，猜想∠QEP的度數，選取一種情況加以證明；（3）如圖3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的長．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、A【解析】

如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸,對題中選項進行分析即可.【詳解】A、不是軸對稱圖形，符合題意；B、是軸對稱圖形，不合題意；C、是軸對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，不合題意；故選：A．【點睛】此題考查軸對稱圖形的概念，解題的關鍵在于利用軸對稱圖形的概念判斷選項正誤2、B【解析】分析：根據三角形全等的判定方法得出乙和丙與△ABC全等，甲與△ABC不全等．詳解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和圖乙的三角形中，滿足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和圖丙的三角形中，滿足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲與△ABC全等；故選B．點睛：本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．3、C【解析】

由題意得到DA′＝DA，EA′＝EA，經分析判斷得到陰影部分的周長等于△ABC的周長即可解決問題．【詳解】如圖，由題意得：DA′＝DA,EA′＝EA，∴陰影部分的周長＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE)＝AB＋BC＋AC＝1＋1＋1＝3(cm)故選C.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質以及折疊的問題，折疊問題的實質是“軸對稱”，解題關鍵是找出經軸對稱變換所得的等量關系.4、D【解析】試題分析：列表如下

黑

白1

白2

黑

（黑，黑）

（白1，黑）

（白2，黑）

白1

（黑，白1）

（白1，白1）

（白2，白1）

白2

（黑，白2）

（白1，白2）

（白2，白2）

由表格可知，隨機摸出一個球后放回攪勻，再隨機摸出一個球所以的結果有9種，兩次摸出的球都是黑球的結果有1種，所以兩次摸出的球都是黑球的概率是．故答案選D．考點：用列表法求概率．5、C【解析】

根據折疊易得BD，AB長，利用相似可得BF長，也就求得了CF的長度，△CEF的面積=CF?CE．【詳解】解：由折疊的性質知，第二個圖中BD=AB-AD=4，第三個圖中AB=AD-BD=2，

因為BC∥DE，

所以BF：DE=AB：AD，

所以BF=2，CF=BC-BF=4，

所以△CEF的面積=CF?CE=8；

故選：C．點睛：

本題利用了：①折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；②矩形的性質，平行線的性質，三角形的面積公式等知識點．6、D【解析】

根據題意和函數圖象中的數據可以判斷各個小題是否正確，從而可以解答本題．【詳解】由圖象可得，出租車的速度為：600÷6=100千米/時，故（1）正確，客車的速度為：600÷10=60千米/時，故（2）正確，兩車相遇時，客車行駛時間為：600÷（100+60）=3.75（小時），故（3）正確，相遇時，出租車離甲地的路程為：60×3.75=225千米，故（4）正確，故選D．【點睛】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．7、A【解析】

根據事件發生的可能性大小判斷相應事件的類型即可．【詳解】解：A、是隨機事件，故A符合題意；B、是不可能事件，故B不符合題意；C、是不可能事件，故C不符合題意；D、是必然事件，故D不符合題意；故選A．【點睛】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．8、A【解析】

過點P作PD⊥OB于D，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PC＝PD，再根據垂線段最短解答即可．【詳解】解：作PD⊥OB于D，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，∴PD＝PC＝6cm，則PD的最小值是6cm，故選A．【點睛】考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，垂線段最短的性質，熟記性質是解題的關鍵．9、A【解析】分析：根據折疊的性質，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設CN=x，則DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根據勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長．詳解：設CN=xcm，則DN=（8﹣x）cm，由折疊的性質知EN=DN=（8﹣x）cm，而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=1．故選：A．點睛：此題主要考查了折疊問題，明確折疊問題其實質是軸對稱，對應線段相等，對應角相等，通常用勾股定理解決折疊問題．10、B【解析】令x=0，y=6，∴B（0，6），∵等腰△OBC，∴點C在線段OB的垂直平分線上，∴設C（a，3），則C'（a－5，3），∴3=3（a－5）+6，解得a=4，∴C（4，3）.故選B.點睛：掌握等腰三角形的性質、函數圖像的平移.二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、（50-3a）.【解析】試題解析：∵購買這種售價是每千克a元的水果3千克需3a元，∴根據題意，應找回（50-3a）元．考點：列代數式.12、4【解析】

連接并延長交于G，連接并延長交于H，根據三角形的重心的概念可得，，，，即可求出GH的長，根據對應邊成比例，夾角相等可得，根據相似三角形的性質即可得答案．【詳解】如圖，連接并延長交于G，連接并延長交于H，∵點E、F分別是和的重心，∴，，，，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：4【點睛】本題考查了三角形重心的概念和性質及相似三角形的判定與性質，三角形的重心是三角形中線的交點，三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍．13、【解析】先把帶分數化成假分數可得:,然后根據倒數的概念可得:的倒數是,故答案為:.14、（+896）π．【解析】

由圓弧的弧長公式及正△ABO翻滾的周期性可得出答案．【詳解】解：如圖作⊥x軸于E,易知OE=5,,,觀察圖象可知3三次一個循環,一個循環點M的運動路徑為==,翻滾2017次后AB中點M經過的路徑長為,故答案：【點睛】本題主要考查圓弧的弧長公式及三角形翻滾的周期性，熟悉并靈活運用各知識是解題的關鍵．15、或1【解析】

圖1，∠B’MC=90°，B’與點A重合，M是BC的中點，所以BM=，圖2，當∠MB’C=90°，∠A=90°，AB=AC,∠C=45°，所以Rt是等腰直角三角形，所以BM=+1，所以CM+BM=BM+BM=+1，所以BM=1.【詳解】請在此輸入詳解！16、2【解析】

設EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．【詳解】設EF=x，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，

∴BD=AB=4+4，EF=BF=x，

∴BE=x，

∵∠BAE=22.5°，

∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，

∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠AED=∠DAE，

∴AD=ED，

∴BD=BE+ED=x+4+2=4+4，

解得：x=2，

即EF=2.17、【解析】

本題可根據比例線段進行求解.【詳解】解：因為在比例尺為1:50000的地圖上甲，乙兩地的距離12cm，所以，甲、乙的實際距離x滿足12:x=1:50000，即x=12=600000cm=6km.故答案為6.【點睛】本題主要考查比例尺和比例線段的相關知識.三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）；（2）P（0,6）【解析】試題分析：（1）先求得點A的坐標，再利用待定系數法求得反比例函數的解析式即可；（2）連接AC，根據三角形兩邊之差小于第三邊知：當A、C、P不共線時，PA-PC<AC；當A、C、P不共線時，PA-PC=AC；因此，當點P在直線AC與y軸的交點時，PA-PC取得最大值.先求得平移后直線的解析式，再求得平移后直線與反比例函數的圖象的交點坐標，最后求直線AC的解析式，即可求得點P的坐標.試題解析：令一次函數中，則，解得：，即點A的坐標為（-4，2）．∵點A（-4，2）在反比例函數的圖象上，∴k=-4×2=-8，∴反比例函數的表達式為．連接AC，根據三角形兩邊之差小于第三邊知：當A、C、P不共線時，PA-PC<AC；當A、C、P不共線時，PA-PC=AC；因此，當點P在直線AC與y軸的交點時，PA-PC取得最大值.設平移后直線于x軸交于點F，則F（6，0）設平移后的直線解析式為，將F（6，0）代入得：b=3∴直線CF解析式：令3=，解得：，∴C（-2，4）∵A、C兩點坐標分別為A（-4，2）、C（-2，4）∴直線AC的表達式為，此時，P點坐標為P（0，6）.點睛：本題是一次函數與反比例函數的綜合題，主要考查了用待定系數法求函數的解析式、一次函數與反比例函數的交點坐標，熟練運用一次函數及反比例函數的性質是解題的關鍵.19、見解析【解析】

根據CE∥DF，可得∠ECA=∠FDB，再利用SAS證明△ACE≌△FDB，得出對應邊相等即可．【詳解】解：∵CE∥DF

∴∠ECA=∠FDB，在△ECA和△FDB中∴△ECA≌△FDB，

∴AE=FB．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質和平行線的性質；熟練掌握平行線的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．20、（1）①；②；（2）150＋475＋475.【解析】

（1）①由條件可知AC為直徑，可知BD長度的最大值為AC的長，可求得答案；②連接AC，求得AD2＋CD2，利用不等式的性質可求得AD?CD的最大值，從而可求得四邊形ABCD面積的最大值；（2）連接AC，延長CB，過點A做AE⊥CB交CB的延長線于E，可先求得△ABC的面積，結合條件可求得∠D＝45°，且A、C、D三點共圓，作AC、CD中垂線，交點即為圓心O，當點D與AC的距離最大時，△ACD的面積最大，AC的中垂線交圓O于點D'，交AC于F，FD'即為所求最大值，再求得

△ACD′的面積即可．【詳解】（1）①因為∠B＝∠D＝90°，所以四邊形ABCD是圓內接四邊形，AC為圓的直徑，則BD長度的最大值為AC，此時BD＝，②連接AC，則AC2＝AB2＋BC2＝a2＋b2＝AD2＋CD2，S△ACD＝ADCD≤（AD2＋CD2）＝（a2＋b2），所以四邊形ABCD的最大面積＝（a2＋b2）＋ab＝；（2）如圖，連接AC，延長CB，過點A作AE⊥CB交CB的延長線于E，因為AB＝20，∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，所以AE＝ABsin60°＝10，EB＝ABcos60°＝10，S△ABC＝AEBC＝150，因為BC＝30，所以EC＝EB＋BC＝40，AC＝＝10，因為∠ABC＝120°，∠BAD＋∠BCD＝195°，所以∠D＝45°，則△ACD中，∠D為定角，對邊AC為定邊，所以，A、C、D點在同一個圓上，做AC、CD中垂線，交點即為圓O，如圖，當點D與AC的距離最大時，△ACD的面積最大，AC的中垂線交圓O于點D’，交AC于F，FD’即為所求最大值，連接OA、OC，∠AOC＝2∠AD’C＝90°，OA＝OC，所以△AOC，△AOF等腰直角三角形，AO＝OD’＝5，OF＝AF＝＝5,D’F＝5＋5，S△ACD’＝ACD’F＝5×（5＋5）＝475＋475，所以Smax＝S△ABC＋S△ACD＝150＋475＋475.【點睛】本題為圓的綜合應用，涉及知識點有圓周角定理、不等式的性質、解直角三角形及轉化思想等．在（1）中注意直徑是最長的弦，在（2）中確定出四邊形ABCD面積最大時，D點的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性很強，計算量很大，難度適中．21、（1）AD=DE；（2）AD=DE，證明見解析；（3）．【解析】試題分析：本題難度中等．主要考查學生對探究例子中的信息進行歸納總結．并能夠結合三角形的性質是解題關鍵．試題解析：（10分）（1）AD=DE．（2）AD=DE．證明：如圖2，過點D作DF//AC，交AC于點F,∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．又∵DF//AC，∴∠BDF=∠BFD=60°∴△BDF是等邊三角形，BF=BD，∠BFD=60°，∴AF=CD，∠AFD=120°．∵EC是外角的平分線，∠DCE=120°=∠AFD．∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD．∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，∴∠FAD=∠EDC．∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE；（3）．考點：1．等邊三角形探究題；2．全等三角形的判定與性質；3．等邊三角形的判定與性質．22、（1）；（2）；（3）P1（3，-3），P2（，3），P3（，3）．【解析】

（1）將的坐標代入拋物線中，求出待定系數的值，即可得出拋物線的解析式；

（2）根據的坐標，易求得直線的解析式．由于都是定值，則的面積不變，若四邊形面積最大，則的面積最大；過點作軸交于，則可得到當面積有最大值時，四邊形的面積最大值；（3）本題應分情況討論：①過作軸的平行線，與拋物線的交點符合點的要求，此時的縱坐標相同，代入拋物線的解析式中即可求出點坐標；②將平移，令點落在軸（即點）、點落在拋物線（即點）上；可根據平行四邊形的性質，得出點縱坐標（縱坐標的絕對值相等），代入拋物線的解析式中即可求得點坐標．【詳解】解：（1）把代入，可以求得∴（2）過點作軸分別交線段和軸于點，在中，令，得設直線的解析式為可求得直線的解析式為：∵S四邊形ABCD設當時，有最大值此時四邊形ABCD面積有最大值（3）如圖所示，如圖：①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥BC交x軸于點E1，此時四邊形BP1CE1為平行四邊形，

∵C（0，-3）

∴設P1（x，-3）

∴x2-x-3=-3，解得x1=0，x2=3，

∴P1（3，-3）；

②平移直線BC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當BC=PE時，四邊形BCEP為平行四邊形，

∵C（0，-3）

∴設P（x，3），

∴x2-x-3=3，

x2-3x-8=0

解得x=或x=，

此時存在點P2（，3）和P3（，3），

綜上所述存在3個點符合題意，坐標分別是P1（3，-3），P2（，3），P3（，3）．【點睛】此題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的判定和性質、二次函數的應用等知識，綜合性強，難度較大．23、（1）甲服裝的進價為300元、乙服裝的進價為1元．（2）每件乙服裝進價的平均增長率為10%；（3）乙服裝的定價至少為296元．【解析】

（1）若設甲服裝的成本為x元，則乙服裝的成本為（500-x）元．根據公式：總利潤=總售價-總進價，即可列出方程．（2）利用乙服裝的成本為1元，經過兩次上調價格后，使乙服裝每件的進價達到242元，利用增長率公式求出即可；（3）利用每件乙服裝進價按平均增長率再次上調，再次上調價格為：242×（1+10%）=266.2（元），進而利用不等式求出即可．【詳解】（1）設甲服裝的成本為x元，則乙服裝的成本為（500-x）元，根據題意得：90%?（1+30%）x+90%?（1+20%）（500-x）-500=67，解得：x=300，500-x=1．答：甲服裝的成本為300元、乙服裝的成本為1元．（2）∵乙服裝的成本為1元，經過兩次上調價格后，使乙服裝每件的進價達到242元，∴設每件乙服裝進價的平均增長率為y，則，解得：=0.1=10%，=-2.1（不合題意，舍去）．答：每件乙服裝進價的平均增長率為10%；（3）∵每件乙服裝進