PAGE1-課時作業(yè)6平面對量1．[2024·北京八十中學(xué)月考]已知向量i與j不共線，且eq\o(AB,\s\up10(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up10(→))＝ni＋j，m≠1.若A，B，D三點(diǎn)共線，則mn＝()A.eq\f(1,2)B．2C．1D．－3解析：∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(AD,\s\up10(→))，設(shè)eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AD,\s\up10(→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λn，,m＝λ，))∴mn＝1.故選C.答案：C2．[2024·湖南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]已知m＝(5,12)，則與m方向相同的單位向量的坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)，\f(12,13)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析：設(shè)所求向量為n＝λm(λ>0)，∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，∴25λ2＋144λ2＝1，得λ＝eq\f(1,13)，∴n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)，\f(12,13))).故選A.答案：A3．[2024·河北邢臺月考]若向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(3，－4)，則c＝()A．3a＋bB．2aC．－a－2bD．a(chǎn)－3b解析：設(shè)c＝λa＋μb，∵a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(3，－4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ－2μ，,－4＝2λ＋μ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝－2，))∴c＝－a－2b.故選C.答案：C4．[2024·河南安陽一模]已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，若λa－b和2a＋b共線，則λA．2B.eq\f(1,2)C．－1D．－2解析：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，∴λa－b＝(λ＋1，－λ)，2a＋b＝(1，－2)，又λa－b和2a＋b共線，∴－λ＝－2(λ＋1)，∴答案：D5．[2024·四川綿陽一診]已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若a⊥b，則x＝()A．2B．－2C．1D．－1解析：∵a＝(1,2)，b＝(x,1)且a⊥b，∴a·b＝x＋2＝0，∴x＝－2.故選B.答案：B6．[2024·湖南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]在△ABC中，AB＝1，AC＝3，eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝1，則△ABC的面積為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(5)解析：eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))·(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝|eq\o(AB,\s\up10(→))|·|eq\o(AC,\s\up10(→))|·cosA－|eq\o(AB,\s\up10(→))|2＝1，∴cosA＝eq\f(2,3)，∴sinA＝eq\f(\r(5),3)，∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×1×3×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(\r(5),2).故選C.答案：C7．[2024·遼寧沈陽聯(lián)考]在△ABC中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(AN,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))，BN與CM交于點(diǎn)P，則eq\o(AP,\s\up10(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)bC.eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)bD.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b解析：如圖，M，P，C三點(diǎn)共線，則eq\o(AP,\s\up10(→))＝meq\o(AC,\s\up10(→))＋(1－m)eq\o(AM,\s\up10(→))＝mb＋eq\f(1,2)(1－m)a(m∈R)，又N，P，B三點(diǎn)共線，所以eq\o(AP,\s\up10(→))＝neq\o(AB,\s\up10(→))＋(1－n)eq\o(AN,\s\up10(→))＝na＋eq\f(1,3)(1－n)b(n∈R)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝\f(1,2)1－m，,m＝\f(1,3)1－n，))解得m＝eq\f(1,5)，n＝eq\f(2,5)，所以eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b.故選B.答案：B8．[2024·遼寧葫蘆島六中月考]已知a＝(2sin13°，2sin77°)，|a－b|＝1，a與a－b的夾角為eq\f(π,3)，則a·b＝()A．2B．3C．4D．5解析：∵a＝(2sin13°，2sin77°)＝(2sin13°，2cos13°)，∴|a|＝2，又|a－b|＝1，a與a－b的夾角為eq\f(π,3)，∴a·(a－b)＝1，即a2－a·b＝1，∴a·b＝3.故選B.答案：B9．[2024·廣西南寧摸底]若兩個非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a－b的夾角的余弦值是()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)解析：結(jié)合向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則可知a＋b，a－b，分別為以a，b為鄰邊的平行四邊形的對角線對應(yīng)的向量，因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|＝2|a|，所以此平行四邊形是矩形，且對角線與矩形的較長邊的夾角為eq\f(π,6)，數(shù)形結(jié)合可知向量a＋b與a－b的夾角為eq\f(2π,3)，夾角的余弦值為－eq\f(1,2).故選B.答案：B10．[2024·湖南懷化重點(diǎn)中學(xué)第三次聯(lián)考]如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且滿意BD＝eq\f(1,2)DC，過點(diǎn)D隨意作直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up10(→))＝meq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(AN,\s\up10(→))＝neq\o(AC,\s\up10(→))，則()A．m＋n＝2B．2m＋nC.eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝2D.eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3解析：連接AD，因?yàn)镸，D，N三點(diǎn)共線，所以eq\o(AD,\s\up10(→))＝λeq\o(AM,\s\up10(→))＋(1－λ)eq\o(AN,\s\up10(→))＝λmeq\o(AB,\s\up10(→))＋(1－λ)neq\o(AC,\s\up10(→)).又BD＝eq\f(1,2)DC，所以eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，所以eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λm＝\f(2,3)，,1－λn＝\f(1,3)，))解得eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3.故選D.答案：D11．[2024·江西南昌二中期末]已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)解析：∵a與b的夾角為鈍角，∴－2λ－1<0，即λ>－eq\f(1,2).又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．故選C.答案：C12．[2024·山東淄博一中期中]已知|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up10(→))＝meq\o(OA,\s\up10(→))＋neq\o(OB,\s\up10(→))，m，n∈R，若eq\o(OA,\s\up10(→))與eq\o(OB,\s\up10(→))的夾角為60°，且eq\o(OC,\s\up10(→))⊥eq\o(AB,\s\up10(→))，則eq\f(m,n)的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,6)C．6D．4解析：通解∵|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝2，eq\o(OA,\s\up10(→))與eq\o(OB,\s\up10(→))的夾角為60°，∴eq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＝3.又eq\o(OC,\s\up10(→))⊥eq\o(AB,\s\up10(→))，∴eq\o(OC,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＝0.又eq\o(OC,\s\up10(→))＝meq\o(OA,\s\up10(→))＋neq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))，∴(meq\o(OA,\s\up10(→))＋neq\o(OB,\s\up10(→)))·(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＝0，即－meq\o(OA,\s\up10(→))2＋(m－n)eq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＋neq\o(OB,\s\up10(→))2＝0，∴－9m＋3m－3n＋4n＝0，∴n＝6m，∴eq\f(m,n)＝eq\f(1,6).故選B.優(yōu)解如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，∵|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝2，eq\o(OA,\s\up10(→))與eq\o(OB,\s\up10(→))的夾角為60°，∴eq\o(OB,\s\up10(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(OA,\s\up10(→))＝(3,0)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(－2，eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up10(→))＝(3m＋n，eq\r(3)n)．又eq\o(OC,\s\up10(→))⊥eq\o(AB,\s\up10(→))，∴eq\o(OC,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＝0，∴－6m－2n＋3n＝0，∴n＝6m，∴eq\f(m,n)＝eq\f(1,6).故選B.答案：B13．[2024·天津二十四中月考]已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，則|p＋q|的值為________．解析：∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝eq\r(13).答案：eq\r(13)14．[2024·安徽合肥一模]若非零向量a，b滿意a⊥(a＋2b)，則eq\f(|a＋b|,|b|)＝________.解析：通解∵a⊥(a＋2b)，∴a·(a＋2b)＝0，∴a2＋2a·b＝0，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝b2，∴|a＋b|＝|b|，∴eq\f(|a＋b|,|b|)＝1.優(yōu)解如圖，在△OAB中，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，令eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋2b，則eq\o(AB,\s\up10(→))＝2b，∵a⊥(a＋2b)，∴OA⊥OB，∴eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b，∴|a＋b|＝|b|，∴eq\f(|a＋b|,|b|)＝1.答案：115．[2024·黑龍江鶴崗一模]如圖，A，B分別是射線OM，ON上的兩點(diǎn)，給出下列向量：①eq\o(OA,\s\up10(→))＋2eq\o(OB,\s\up10(→))；②eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up10(→))；③eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up10(→))；④eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up10(→))；⑤eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up10(→)).若這些向量均以O(shè)為起點(diǎn)，則終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的有________．(填序號)解析：如圖，若點(diǎn)P在陰影部分內(nèi)(包括邊界)，過點(diǎn)P作AB的平行線與OA，OB的交點(diǎn)分別為C，D，連接OP，則eq\o(OP,\s\up10(→))＝αeq\o(OC,\s\up10(→))＋βeq\o(OD,\s\up10(→))，其中α＋β＝1，α≥0，β≥0，若設(shè)eq\o(OP,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))＋μeq\o(OB,\s\up10(→))(λ≥0，μ≥0)，明顯0≤λ≤α，0≤μ≤β，所以0≤λ＋μ≤1且λ≥0，μ≥0，給出的5個向量中，只有②④滿意條件0≤λ＋μ≤1且λ≥0，μ≥0，所以終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的有②④.答案：②④16．[2024·北京人大附中期中]已知平面上有四點(diǎn)O，A，B，C，向量eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))滿意eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，eq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→