二十四棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)棱長為a的正四面體的表面積為()A.312a2 B.38a2 C.34a2 D.【解析】選D.因為正四面體的各面都是全等的等邊三角形,又該正四面體的棱長為a,所以該正四面體的表面積為S=4×12×a×a2-(a2.(5分)如圖,ABC-A'B'C'是體積為1的棱柱,則四棱錐C-AA'B'B的體積是()A.13 B.12 C.23 【解析】選C.因為VC-A'B'C'=13V柱=1所以VC-AA'B'B=1-13=2【補償訓練】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點P是面A1B1C1D1內任意一點,則四棱錐P-ABCD的體積為()A.16 B.13 C.12 【解析】選B.因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點P是平面A1B1C1D1內任意一點,所以點P到平面ABCD的距離d=AA1=1,S正方形ABCD=1×1=1,所以四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD=13×AA1×S正方形ABCD3.(5分)(2024·銅陵高一期中)某施工隊要給一個正四棱錐形的屋頂鋪設油氈進行防水,已知該四棱錐的高為3m,底面邊長是8m,接縫處忽略不計,則需要油氈的面積為()A.48m2 B.80m2 C.100m2 D.144m2【解析】選B.設該正四棱錐的斜高為h'.因為高為3m,底面邊長是8m,所以根據勾股定理得h'=32+(82)

24.(5分)一個封閉的正三棱柱容器,高為3,內裝水若干(如圖甲,底面處于水平狀態),將容器放倒(如圖乙,一個側面處于水平狀態),這時水面與各棱交點E,F,F1,E1分別為所在棱的中點,則圖甲中水面的高度為()A.32 B.74 C.2 D【解析】選D.如題圖乙,因為E,F,F1,E1分別為所在棱的中點,所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的體積V=S梯形EFCB×3=34S△ABC×3=94S△ABC.設題圖甲中水面的高度為h,則S△ABC×h=94S△ABC,解得h5.(5分)(多選)一個長方形的長為8,寬為4,將它沿與邊平行的線折3次折疊成一個正四棱柱,則此正四棱柱的體積可能為()A.4 B.8 C.16 D.24【解析】選BC.若以長為正四棱柱的高,則V=1×1×8=8;若以寬為正四棱柱的高,則V=2×2×4=16.6.(5分)(多選)已知某幾何體的直觀圖如圖所示,其中底面為長為8,寬為6的長方形,頂點在底面投影為底面中心,高為4.該幾何體的體積和側面積分別用V和S表示,則()A.V=64 B.V=32C.S=40+242 D.S=40+122【解析】選AC.幾何體的體積為V=13·S矩形·h=13×6×8×4=64.正側面及相對側面底邊上的高為h1=42+32=5.左、右側面的底邊上的高為h2=42+42=42.故幾何體的側面積為S=2×7.(5分)若正方體的表面積為96,則正方體的體積為__________.

【解析】設正方體的棱長為a,則6a2=96,解得a=4,故正方體的體積V=a3=43=64.答案:648.(5分)(2024·泉州高一期中)若正四棱臺的上底邊長為2,下底邊長為8,高為3,則它的體積為__________.

【解析】由題知棱臺上下底面面積分別為S=2×2=4,S'=8×8=64,且高為3,故棱臺體積為V=13(S+S'+SS')h=13(4+64+答案:849.(5分)如圖,在三棱柱ABC-A'B'C'中,若E,F分別為AC,AB的中點,平面EC'B'F將三棱柱分成體積分別為V1(棱臺AEF-A'C'B'的體積)、V2的兩部分,則V1∶V2=__________.

【解析】設三棱柱的高為h,底面面積為S,體積為V,則V=V1+V2=Sh.因為E,F分別為AC,AB的中點,所以S△AEF=14所以V1=13hS+14S+S·S4=V2=V-V1=512Sh.所以V1∶V2=7∶5答案:7∶510.(10分)已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成的,如圖所示,其中長方體的長、寬、高分別為4,3,3,三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形,側棱長為3,求此幾何體的體積與表面積.【解析】該幾何體的體積:V=4×6×3+12表面積:S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+12×4×3×2+32【綜合應用練】11.(5分)(多選)如圖,已知正六棱柱的最大對角面的面積為1m2,互相平行的兩個側面的距離為1m,這個六棱柱的體積、側面積分別用V,S側表示,則()A.V=334m3 B.V=3C.S側=2m2 D.S側=3m2【解析】選BD.設正六棱柱的底面邊長為am,高為hm,則2ah=1,3a=1,解得a=33,h=32,所以V=34×332×6×32=34(m3),S側=6×33×12.(5分)魯班鎖起源于中國古代建筑的榫卯結構.魯班鎖類玩具比較多,形狀和內部的構造各不相同,一般都是易拆難裝.圖①是一個魯班鎖玩具,圖②是該魯班鎖玩具的直觀圖,每條棱的長均為2,則該魯班鎖玩具的表面積為()A.8(6+62+3) B.6(8+82+3)C.8(6+63+2) D.6(8+83+2)【解析】選A.由題圖,可知該魯班鎖玩具可以看成是由一個正方體截去了8個相同的正三棱錐而得到的,且被截去的正三棱錐的底面邊長為2,側棱長為2,則該魯班鎖玩具的表面積為6×4×(1+2)2-4×12×2×2+8×12×2×3=8(6+62+3).13.(5分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E是AB的中點,將△ADE,△BEC分別沿ED,EC向上折起,使A,B重合于點P,則三棱錐P-CDE的體積為__________.

【解析】根據題意,折疊后的三棱錐P-CDE的各棱長都相等,且等于1,根據此三棱錐構造相應正方體(如圖),則該正方體的棱長為22,故正方體的體積為223=24,所以三棱錐P-CDE的體積為24-4×13×12×22×2答案:214.(10分)某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均為正方形,側面為全等的等腰梯形的四棱臺A1B1C1D1-ABCD,其上部是一個底面與四棱臺的上底面重合,側面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.現需對該零部件表面進行防腐處理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(單位:cm),若加工處理費為0.2元/cm2,則需支付加工處理費多少元?【解析】因為四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,側面是全等的矩形,所以該零部件上部的表面積S1=S四棱柱上底面+S四棱柱側面=A2B22+4AB·AA2=102+4×10×30=1300(cm又四棱臺A1B1C1D1-ABCD的上下底面均是正方形,側面是全等的等腰梯形,所以該零部件下部的表面積S2=S四棱臺下底面+S四棱臺側面=A1B12+4×12×(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4×12×(10+20)×則該實心零部件的表面積S=S1+S2=1300+1120=2420(cm2),0.2×2420=484(元).15.(10分)在三棱臺ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱錐A1-ABC,三棱錐B-A1B1C,三棱錐C-A1B1C1的體積之比.【解析】設三棱臺的高為h,S△ABC=S,則S△A所以VA1-ABC=13S△ABC·VC-A1B1C又V臺=13h(S+4S+2S)=73所以VB-A1B1C=73Sh-S?3-4S?3所以三棱錐A1-ABC,B-A1B1C與C-A1B1C1的體積比為1∶2∶4.【補償訓練】在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M為AE的中點,設E-ABCD的體積為V,連接MB,MC,那么三棱錐M-EBC的體積為多少?【解析】設點B到平面EMC的距離為h1,點D到平面