2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期末模擬卷

（河北專用）

（考試時間：90分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：冀教版（2012）第25章至第32章（圖形的相似+解直角三角形+反比例函數(shù)+圓+直線

與圓的位置關系+二次函數(shù)+隨機事件的概率+投影與視圖）。

5.難度系數(shù):0.65

第一部分（選擇題共36分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求的）

1.下列事件是隨機事件的是（）

A.三角形有且只有一個外接圓B.方程分2+2x+l=0是一元二次方程

C.直徑是圓中最長的弦D.同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等

4

2.如圖，在中，ZC=90°,cosA^-,則taiU的值為（）

3.如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點A,B,C,D,E,F,G在小正方形的頂點上,

則△4BC的外心是（）

C.點尸D.點G

4.如圖，在坡度i=l：石的山坡Z3上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離4c為2園，則斜坡上相鄰兩樹

2mC.4mD.4百m

A.甲和乙的作法都正確B.甲和乙的作法都錯誤.

C.甲的作法正確，乙的作法錯誤D.乙的作法正確，甲的作法錯誤

6.如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為8萬cm,

側面積為72萬cm?,則這個扇形的圓心角的度數(shù)是（）

C.90°D.100°

7.已知x=l是關于X的一元二次方程必-6》+左=0的一個根，點網(wǎng)-1,機）、。（2,"）均在反比例函數(shù)了=9

X

的圖象上，則關于加、〃的大小關系描述正確的是（）

A.m>n>0B.m>0>nC.n>m>0D.n>0>m

8.如圖是拋物線夕="2+法+。的圖象，則函數(shù)y=ax+b和y=￡在同一坐標系中的圖象是（)

X

連接oc,

x

過點C作軸，垂足為點〃，且=則下列結論正確的個數(shù)是（）

弘隨x的增大而減小，%隨工的增大而增大；③方程-xT="只有一個解

X

為x=-2；④當x<—2,必<%.

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.某農(nóng)場用籬笆圍成飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），已知計劃中的籬笆（不包括門）總長為12m,

現(xiàn)有四種方案（如圖）中面積最大的方案為（）

圖例

］墻

□門

A方案為一個封閉的矩形

B方案為一個等邊三角形，并留一處1m寬的門

C方案為一個矩形，中間用一道垂直于墻的籬笆隔開，并在如圖所示的三處各留1m寬的門

D方案為一個矩形，中間用一道平行于墻的籬笆隔開，并在如圖所示的四處各留1m寬的門

必為直徑的圓交于點E,則線段CE長度的最小值為（）

12.在平面直角坐標系中，如果點P的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)，則稱點尸為“美麗點”.例如：點

（1,-1）,（-2,2）,（6,-6）,…都是“美麗點”.若二次函數(shù)y=M+3x+l（g0）的圖象上有且只有

一個“美麗點”，且當-2<xW加時，函數(shù)y=（。-1）/+3工+1（。40）的最小值為:，最大值為7,貝

的取值范圍是（）

111

A.m<——B.m>——C.——'機D.——<m<l

2222

第二部分（非選擇題共84分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，滿分12分）

13.如圖，在正方形N8CD中，分別以點8,。為圓心，以正方形的邊長1為半徑畫弧，形成陰影部分，為

了估計陰影部分的面積，小美同學在正方形/8CD內(nèi)隨機擲小石塊，經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)小石塊落

在陰影部分的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則據(jù)此估計陰影部分的面積為.

Ai\D

14.圖1是一個瓷碗，圖2是其截面圖，碗體DEC呈拋物線狀（碗體厚度不計），碗口寬CD=12cm,此

時面湯最大深度EG=8cm.當面湯的深度ET為4cm時，湯面的直徑尸。長為.

15.如圖，。。的直徑=2百，AM,8N分別是它的兩條切線，DE與。。相切于點￡,并與BN

分別交于。，C兩點，AD=x,BC=y,則V關于x的函數(shù)表達式為.

16.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC=2.4=60。將△4BC繞點C逆時針旋轉a角后得到

AA'B'C,當點A的對應點4落在力B邊上時，陰影部分的面積為.

B'

三、解答題（本大題共8小題，滿分72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（7分）（1）計算：sin245°->/27+1x（73-2006）°+6tan30°；

（2）計算：[一g]-3tan30°+|V3-2|.

18.（8分）2024年夏季奧運會在法國巴黎舉行，某4檔電視臺/、B、C、。在同一時間進行了現(xiàn)場直播,

直播節(jié)目表如下表所示.小夏和小王都是體育迷，他們在各自家里同一時間觀看了直播節(jié)目.

(1)小夏收看了乒乓球直播的概率為;

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求小夏和小王收看同一個直播節(jié)目的概率.

19.(8分)如圖是由棱長都為1cm的6塊小正方體組成的簡單幾何體.

主視圖左視圖俯視圖

(1)請在方格中畫出該幾何體的三個視圖.

(2)如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，最多可以再添加塊小

正方體，

(3)直接寫出添加最多的小正方體后該幾何體的表面積(包含底面).

20.(8分)材料閱讀:

光從空氣中射入水中時，傳播方向發(fā)生了偏折，這種現(xiàn)象叫做光的折射，我們

把入射角?的正弦值和折射角P的正弦值之比稱為折射率(")，即",已

4

知光線從空氣進入水中時的折射率為1.

問題解答：

如圖，矩形/3CD為盛滿水的水槽、一束光線從點尸射向水面上的點。，折射后照到水槽底部的點

Q.測得/NOQ=37。，NQ=12cm,若尸，。，C三點在同一條直線上，請依據(jù)相關材料回答以下問題:

(1)求的正弦值；

343

(2)求C。的長(結果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin37°?-,cos37°?-,tan37°?-).

21.(9分)已知，△N8C中，乙4=70。，以為直徑的。。與/C,的交點分別為。，E.

cc

⑴如圖①，求NCE。的大小；

(2)如圖②，當=時，求/C的大小.

22.(9分)如圖，在平面直角坐標系中，矩形048C的頂點。與坐標原點重合，A、C分別在坐標軸上,

點3的坐標為(4,2),直線龍+3分另I］交BC于點M,N,反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象經(jīng)

過點河，N.

⑴求反比例函數(shù)的表達式及點〃、N的坐標；

k1

(2)觀察圖象，當x>0時，寫出關于x的不等式一+「x-3>0的解集；

x2

(3)若點尸在第一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上，且△OCP的面積是四邊形面積的3倍，求點P的坐

標.

23.(11分)如圖為拋物線形拱橋平面示意圖，拱頂離水面2m,水面寬4m.以現(xiàn)有水平面的水平直線為x

軸，與拋物線形拱橋左邊交點為原點建立平面直角坐標系.

(1)求此拋物線解析式；

(2)如圖(1),若水面下降1m,水面寬度增加多少m?

(3)如圖(2),為保證行船安全，在汛期來臨之前，管理部門需要用一定長度的鋼板搭建一個可調(diào)節(jié)大

小的矩形“安全架”，露出水平面部分為DC-CB,使點C,。在拋物線上，點A,8為露出水面的

端點，若確保點A,3的間距不少于3m,求/D-DC-C8的最大長度.

24.(12分)如圖1,平行四邊形月3。中，AB1AC,4B=CD=6,44c3=30。，點P在邊40上運

動，以尸為圓心，尸/為半徑的OP與對角線/C交于A,E兩點，交4D于A,尸兩點.

B11j

圖1圖2

(1)當E為NC中點時，求NP的長；

⑵①如圖2,當。P與邊。相切于點M時，的的長為_____

②當/P=2時，通過計算比較弦AE和3的大小關系；

⑶當。尸與平行四邊形/BCD的邊8c恰好有一個公共點時,直接寫出近的值或取值范圍

2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期末模擬卷

（河北專用）

（考試時間：90分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：冀教版（2012）第25章至第32章（圖形的相似+解直角三角形+反比例函數(shù)+圓+直線

與圓的位置關系+二次函數(shù)+隨機事件的概率+投影與視圖）。

5.難度系數(shù):0.65

第一部分（選擇題共36分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求的）

1.下列事件是隨機事件的是（）

A.三角形有且只有一個外接圓B.方程32+2》+1=0是一元二次方程

C.直徑是圓中最長的弦D.同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等

【答案】B

【詳解】解：A、三角形有且只有一個外接圓，是必然事件，不是隨機事件，故該選項不符合題意；

B、方程◎2+2工+1=0（°片0）是一元二次方程，故原說法是隨機事件，故該選項符合題意；

C、直徑是圓中最長的弦是必然事件，不是隨機事件，故該選項不符合題意；

D、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等是必然事件，不是隨機事件，故該選項不符合題意;

故選：B.

4

2.如圖，在RtZUBC中，ZC=90°,cosA=~,則taiM的值為（）

【答案】B

Ar4,_________

【詳解】解：根據(jù)已知NC=90。，cos^=—=-,不妨設/。=期,/3=%,則3。=，/32一箱=3,

AB5

工心,BC3

故tarU=-----=—.

AC4

故選：B.

3.如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點A,B,C,D,E,F,G在小正方形的頂點上,

則AABC的外心是（）

A.點。B.點、EC.點尸D.點G

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)圖形可知，直線。尸是△N8C的8c邊上的中垂線，點尸在△NBC的43邊上的中垂線上,

故選：C.

4.如圖，在坡度i=l：g的山坡48上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離/C為2晶，則斜坡上相鄰兩樹

間的坡面距離4為（）

A.V3mB.2mC.4mD.4V5m

【答案】C

【詳解】解：由題意得：f=十，

即3。=+"=占26=2（111）,

由勾股定理得：AB=ylAC2+BC2=V12+4=4（m），

故選：C.

A.甲和乙的作法都正確B.甲和乙的作法都錯誤.

C.甲的作法正確，乙的作法錯誤D.乙的作法正確，甲的作法錯誤

【答案】A

【詳解】解：對于甲的作法：

連接（w

由作法得"垂直平分。p,

...OG=GP,

點M為以。尸為直徑的圓與。。的交點，

...ZPMO=90°,

OMLPM,

為。。的切線，所以甲的作法正確；

對于乙的作法：

由作法得尸D=P。，OD=BC,

?：OM=-BC,

2

,OM=DM,

：.PMX.OD,

.'PM為。。的切線，所以乙的作法正確；

故選：A.

6.如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為8/rcm,

側面積為72萬cm?,則這個扇形的圓心角的度數(shù)是（）

【答案】B

【詳解】解：設圓錐的母線長為/cm,扇形的圓心角為〃。,

:圓錐的底面圓周長為8萬cm,

圓錐的側面展開圖扇形的弧長為8萬cm,

由題意得：、x8nxl=72兀，解得：/=18,

2

則啜普=8兀，解得"=80,即扇形的圓心角為80。，

lot）

故答案為：B.

7.已知x=l是關于x的一元二次方程必-6》+左=0的一個根，點網(wǎng)-1,機）、。（2,"）均在反比例函數(shù)>=上口

X

的圖象上，則關于機、"的大小關系描述正確的是（）

A.m>n>0B.m>0>nC.n>m>0D.n>0>m

【答案】D

【詳解】解：1是關于x的一元二次方程--6x+a=0的一個根，

.二1—6+左=0

解得：k=5

?,?反比例數(shù)解析式為>5=-—3=2*

xx

???點P（T機）、。（2,〃）均在反比例函數(shù)>的圖象上，

—m=2n=2

m=-2,n=l

n>0>m,

故選：D.

8.如圖是拋物線夕="2+法+。的圖象，則函數(shù)y=ax+b和y=￡在同一坐標系中的圖象是（）

【答案】B

【詳解】解：；拋物線>=?x2+bx+c的圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，與y軸交點在正半軸,

，Q〉0,b<0,c>0,

.??函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，函數(shù)>=￡在第一、三象限，

X

故選：B.

k

9.如圖，在直角坐標系中，直線必=r-1與坐標軸交于/,5兩點，與雙曲線以=一交于點G連接OC，

x

過點。作CMLx軸，垂足為點且04=/〃.則下列結論正確的個數(shù)是（）

①5三皿=1;②當x<0時，為隨x的增大而減小，％隨x的增大而增大;③方程-x-l=&只有一個解為x=-2；

X

④當x<-2,

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【詳解】解：當>=0時，x=-l,

.?.點

A0-1,

*.*AO=MA,

：.MO=2AO=2,

.?.點”（-2,0）,

把點x=-2代入y=_x_l中，

得了=1,

.?.點C（-2,l）,CM=1,

???^Cw=1cM-MO=1x2xl=l,

①結論正確；

由圖象可知，當x<0時，必隨x的增大而減小，%隨工的增大而增大，

②結論正確；

由圖象可知，一次函數(shù)>=-x-l與反比例函數(shù)y=-七交點在第二、四象限各有一個交點，

...方程X-1=上有兩個解，

X

...③結論錯誤；

由圖象可知，當x<-2,

④結論錯誤.

故正確的結論有①②，共計2個.

故選：B.

10.某農(nóng)場用籬笆圍成飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），已知計劃中的籬笆（不包括門）總長為12m,

現(xiàn)有四種方案（如圖）中面積最大的方案為（）

圖例

□門

A方案為一個封閉的矩形

B方案為一個等邊三角形，并留一處1m寬的門

C方案為一個矩形，中間用一道垂直于墻的籬笆隔開，并在如圖所示的三處各留1m寬的門

D方案為一個矩形，中間用一道平行于墻的籬笆隔開，并在如圖所示的四處各留hn寬的門

【答案】C

【詳解】解：對于A選項，所圖，設四邊的長為皿，則可知5c=（12-2x）m,

墻

A\|C

----------------'D

所以S=x(12-2x)=-2(x-3『+18,

即當43=3時，最大面積=18；

13

對于B選項，如圖，^AB=BC=x,則可得2x-l=12,即

墻

所以".6。。=3

22216

對于C選項，如圖，AB=CD=x,貝!尸=1_],所以5C=12_l_%_(%_1)+2=15—3x,

墻

575

即當/5=大時，最大面積=不；

24

對于D選項，如圖，^AB=CD=x,貝I]8C=12.2卜2）=8_尤,

墻

所以5=無(8—x)=-(x-4)，16；

故當48=4時，最大面積=16,

綜上可知，建成的飼養(yǎng)室中面積最大的方案是C.

故選：C.

11.如圖，在等腰RtZk48C中，ZBAC=90°,AB=AC,BC=4,點D是/C邊上一動點，連接即，以

M為直徑的圓交3。于點E,則線段CE長度的最小值為（）

A.20-2B.V10-V2C.石-亞D.V10-V5

【答案】B

【詳解】解：連接烈，

?//D為直徑的圓交8D于點E,

：.AAED=AAEB=90°,

取48的中點連接EM,EC,CM,

,/ABAC=90°,AB=AC,BC=4,

：.ZABC=ZACB=45°,

AB=AC=BCsin45°=242,

：.AM=BM=EM=-AB=yf2,

2

/.CM=」AC?+AM?=’(/j+(2⑹2=VlO,

,：EM+CE>CM,

.?.當E,M,C三點共線時，CE取得最小值，

最小值為：VW-V2,故選：B.

12.在平面直角坐標系中，如果點P的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)，則稱點P為“美麗點”.例如：點

(1,-1),(-2,2),(百，一?),…都是，，美麗點，，.若二次函數(shù)>="2+3X+1(awO)的圖象上有且只有一

個“美麗點”，且當時，函數(shù)y=(a-l)x2+3x+l(a^O)的最小值為。，最大值為7,則根的取

值范圍是()

A.m<--B.m>——C.一』W加W1D.--<m<\

2222

【答案】C

【詳解】解：,?,二次函數(shù)》="2+3%+1(〃。0)的圖象上有且只有一個“美麗點”，

**?ax2+3%+1=-%,整理得，ax2+4x+1=0,

**?A=42—4Q=0,

解得，Q=4,

331

.,.函數(shù).=(4_1)-2+3X+]=3%2+3欠+]的對稱軸為工=_2(4_])=_2*(4_1)=_5，

...圖象的開口向上，函數(shù)有最小值,

.,.當X=-；時，函數(shù)y=+3x+l（。#0）的最小值為:，

當x=-2時，y=3x（-2）2+3x（-2）+l=7,即函數(shù)的最大值，

：》=-2關于對稱軸直線工=的對稱點為x=1,

—4機41,故選：C.

2

第二部分（非選擇題共84分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，滿分12分）

13.如圖，在正方形/BCD中，分別以點8,。為圓心，以正方形的邊長1為半徑畫弧，形成陰影部分，為

了估計陰影部分的面積，小美同學在正方形月8co內(nèi)隨機擲小石塊，經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)小石塊落在

陰影部分的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則據(jù)此估計陰影部分的面積為.

【答案】0.6

【詳解】解：由題意得，陰影部分的面積為1x1x0.6=06；故答案為：0.6.

14.圖1是一個瓷碗，圖2是其截面圖，碗體DEC呈拋物線狀（碗體厚度不計），碗口寬CD=12cm,此

時面湯最大深度EG=8cm.當面湯的深度ET為4cm時，湯面的直徑尸。長為

【詳解】解：如圖，以E為原點，直線斯為，軸，過E且平行CD直線為x軸建立平面直角坐標系,

y

設拋物線解析式為了=辦2,

由題意得點C（6,8）,

2

**.8=62xtz,解得：。=§，

???拋物線解析式為

9

當y=4時，4=-x2,解得:X=±3V2,

???尸卜3后,4）,0（3萬4）,

尸0=6后（cm）,

故答案為：6A/5cm.

15.如圖，。。的直徑/8=2百，AM,3N分別是它的兩條切線，DE■與。。相切于點E,并與4攸，BN

分別交于。，C兩點，AD^x,BC=y,則V關于x的函數(shù)表達式為.

3

【答案】

y=X-

【詳解】解：如圖，作DFLBN交BC于點、F,

BFCN

VAM,BN分別是。。的兩條切線,

ABVAM,ABLBN,

又?：DF1BN,

ABAD=ZABF=NBFD=90°,

，四邊形袒￡0是矩形，

BF=AD=x,CF=陽=湛,

BC=y,

FC=BC—BF=y—x,

?.?QE與。。相切于點石，且ZM,5N分別是。。的兩條切線，

DE=DA=x,CE—CB-y,

則。C=QE+CE=x+y,

在Rt△。bC中，根據(jù)勾股定理可得：

DC2=FC2+DF2,

即：（x+?=（y-Jr）?+（2百）,

3

整理，得：孫=3,即：y=±,

X

?.」關于X的函數(shù)表達式為＞=3±,故答案為：y=3±.

XX

16.如圖，在△ABC中，^ACB=90°,BC=2.44=60。將△4BC繞點C逆時針旋轉a角后得到

^A'B'C,當點A的對應點H落在4B邊上時，陰影部分的面積為.

B'

AA'B

【答案】2"工

32

【詳解】解：如圖所示，設A'B：BC交于點D,

B'

???AC=A'C且NN=60。，

A/。'是等邊三角形.

NACA'=60°,

"CB=90°-60°=30°,

NCA'D=ZA=60°，

：.ZCDA'=90°,

NB'CB=ZA'CB'-NA'CB=90°-30°=60°,

ZCB'D=30°，

CD^-CB'=-CB^-x2^\,

222

B'D=722-l2=y/3,

S“CDB.=gxCDxO2，=gxlx73=-y-,

_60x^x22_2%

扇形-一360一—'T'

則陰影部分的面積為：-71-^-

32

故答案為：2%-且.

32

三、解答題（本大題共8小題，滿分72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（7分）（1）計算：sin245°-V27+1X（V3-2006）°+6tan30°；

（2）計算:-3tan30°+|V3-2|.

（1c

【詳解】解：（1）原式=--3V3+-xl+6x^

I2J23

=--3A/3+-+2V3

22

二1-百；（4分）

（2）原式=—2—3x3+2—G

3

=-2-V3+2-V3

=-2A/3.（7分）

18.（8分）2024年夏季奧運會在法國巴黎舉行，某4檔電視臺/、B、C、。在同一時間進行了現(xiàn)場直播,

直播節(jié)目表如下表所示.小夏和小王都是體育迷，他們在各自家里同一時間觀看了直播節(jié)目.

（1）小夏收看了乒乓球直播的概率為;

（2）請用列表或畫樹狀圖的方法求小夏和小王收看同一個直播節(jié)目的概率.

【詳解】（1）解：小夏收看了乒乓球直播的概率為5,

故答案為：；；（2分）

（2）解：列表如下:

小夏

ABcD

小王

A(4/)(43)(40(40

B(B⑷（B,B）(BQ（B,D）

C(")(c，0（c,。）

D(…)(D,B)(“)

（5分）...共有16種等可能的結果，其中能同時看同一個直播節(jié)目的有4種，（6分）

41

（兩人同時看同一個直播節(jié)目）=7=了.（8分）

164

19.（8分）如圖是由棱長都為1cm的6塊小正方體組成的簡單幾何體.

主視圖左視圖俯視圖

（1）請在方格中畫出該幾何體的三個視圖.

（2）如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，最多可以再添加塊小正

方體，

（3）直接寫出添加最多的小正方體后該幾何體的表面積（包含底面）.

【詳解】（1）解：如圖所示.

（3分）

主視圖左視圖俯視圖

（2）解：：要保持主視圖和左視圖不變，

可在原圖最底層、離視線最近的單獨的小正方體的左右兩側各添加1塊小正方體，即最多可以再添加2

塊小正方體，

故答案為：2.（5分）

（3）解：..?小正方體的棱長都為1cm,

/.1塊小正方形的面積=1x1=1cm2,

這堆幾何體的表面積=（5+3+6）x2=28cm2；

答：添加最多的小正方體后該幾何體的表面積為28cm，（8分）

20.（8分）材料閱讀：

光從空氣中射入水中時，傳播方向發(fā)生了偏折，這種現(xiàn)象叫做光的折射，我們把入射角

\法線；

smOLV1空氣

a的正弦值和折射角"的正弦值之比稱為折射率（"），即〃=蔡而，已知光線從空氣進

4

入水中時的折射率為

問題解答：

如圖，矩形N8CO為盛滿水的水槽、一束光線從點尸射向水面上的點。，折射后照到水槽底部的點。.測

得/NOQ=37。，NQ=12cm,若尸，。，C三點在同一條直線上，請依據(jù)相關材料回答以下問題：

pM

D

NQC

⑴求的正弦值；

一一34

（2）求。。的長（結果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin37°?-,cos37°?j,tan37°?).

【詳解】（1）解：在中，/NO0=37。，NQ=12cm,

NO4

ON=—^?12x-=16(cm),（1分）

tan3703

??,我們把入射角。的正弦值和折射角。的正弦值之比稱為折射率（〃），即〃=麗，已知光線從空氣進入水

4

中時的折射率為

.sinZPOM_4八

,*sinZNOQ~39（3刀）

4434

sinZPOM=—xsin37°?—x—=—；（4分）

3355

（2）解：?/ZPOM=ZCON,

4

/.sinZPOM=sinZCON=-,(5分)

CN4

???在RtZXCON中，smZCON=—=~,

設CN=4xcm,則OC=5xcm,

:.ON=y/0C2-CN2=7(5X)2-(4X)2=3x(cm),(6分)

3x=16,

解得：x=g,(7分)

64

.-.C^=4x=y(cm),

r.CQ=CN_N0*_12=99.3(cm),

答：。。的長約為9.3cm.（8分）

21.（9分）已知，ZUBC中，44=70。，以為直徑的0。與4C,2。的交點分別為。，E.

cc

（1）如圖①，求NCED的大??；

（2）如圖②，當DE=8E時，求—C的大小.

【詳解】⑴解：???四邊形/瓦汨是圓內(nèi)接四邊形,

4+ZD￡B=180°,

N4=70°,

：.NDEB=110°,

o

/.ZC￡Z>=180°-110=70°:（4分）

（2）解：連接NE,（5分）

?/DE=BE,

ZBAE-ZDAE=|ABAC=35°.（6分）

是。。的直徑，

/.ZAEB=90°.（7分）

在RtA/CE中，ZC=90°-35°=55o.（9分）

22.（9分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形0/3C的頂點。與坐標原點重合，A、。分別在坐標軸上,

點B的坐標為（4,2）,直線y=-gx+3分別交48,于點〃，N,反比例函數(shù)了=3》>0）的圖象經(jīng)過

點/，N.

~O\Cx

（1）求反比例函數(shù)的表達式及點M、N的坐標；

ki

（2）觀察圖象，當x>0時，寫出關于x的不等式一+彳》-3>0的解集；

（3）若點P在第一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上，且△OC尸的面積是四邊形BMON面積的3倍，求點P的坐標.

【詳解】（1）解：：8（4,2）,四邊形0/2。是矩形，

OA=BC=2,

將y=2代入y=-gx+3得：2=-1x+3,

解得x=2,

??.粗2,2）,（2分）

把〃的坐標代入>=（得：2=5

x2

解得左=4,

4

???反比例函數(shù)的表達式是歹=—.

將x=4代入y=-gx+3得：y=l,

，N（4,1）.（4分）

41

（2）解：當％>0時，——3>0的解集為0<x<2或x>4.（5分）

x2

（3）解：由題忌可得：S四邊形8MoN=S矩形Q43C-S/OM~~S&CON

=4x2--x2x2-|x4xl=4,（6分）

,/△OCP的面積是四邊形即/ON面積的3倍，

^AOCP=3x4=12,（7分）

即gx4力=12,解得力=6,（8分）

二尸（9分）

23.（11分）如圖為拋物線形拱橋平面示意圖，拱頂離水面2m,水面寬4m.以現(xiàn)有水平面的水平直線為x

軸，與拋物線形拱橋左邊交點為原點建立平面直角坐標系.

圖⑴圖⑵

（1）求此拋物線解析式；

（2）如圖（1）,若水面下降1m,水面寬度增加多少m?

（3）如圖（2）,為保證行船安全，在汛期來臨之前，管理部門需要用一定長度的鋼板搭建一個可調(diào)節(jié)大小的

矩形“安全架”，露出水平面部分為使點C,。在拋物線上，點A,3為露出水面的端點，

若確保點A,3的間距不少于3m,求3-DC-C5的最大長度.

【詳解】（1）解：由題意得拋物線經(jīng)過點（0,0）,頂點為（2,2）,

設解析式為：y=a（x-2）~+2,（1分）

代入（0,0）得：a（0-2）2+2=0,

解得：（2分）

17

???解析式為：y=--（x-2）-+2；（3分）

1

（2）解：當了=-1,貝IJ一]（工一2『9+2=-1,

解得：X）=2+V6,X2=2-V6,（5分）

則此時水面寬度為2+痛-（2-6）=2&m,（6分）

原先水面寬度為4m,

,水面寬度增加（2后-4）m；