重難點專題08極值點偏移的十大類型

dan

題型1加法型構造一元差函數......................................................1

題型2乘法型構造一元差函數......................................................2

題型3構造輔助函數+構造一元差函數..............................................3

題型4比值代換法................................................................5

題型5對數均值不等式法..........................................................6

題型6加法型匯總................................................................7

題型7減法類型..................................................................8

題型8乘積型匯總...............................................................10

題型9平方類型.................................................................10

題型10商類型..................................................................11

題型1加法型構造一元差函數

駟』1重點

極值點偏移問題中（極值點為久0）,證明久1+%2>2%0或%1+%2<2配的方法：

①構造F（x）=/（%）-f（2x0-x）,

②確定F（x）的單調性，

③結合特殊值得到/'（*2）—f（2久0—x2）>?；騠（乂2）—f（2%0—犯）<。/再利用f（久1）=f。2）'

得到/O1）與f（2%0—冷）的大小關系，

④利用/（%）的單調性即可得到/+x2>2久0或Xi+x2<2x0.

【例題1】（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學?？寄M預測）已知函數/（久）=%-sin停工）-a

lnx,x=1為其極小值點.

（1）求實數a的值;

(2)若存在巧豐X2,使得f01)=/(%2)，求證：X1+%2>2.

【變式1-1]1.(2022?全國?高三專題練習)已知函數/(%)=|e2x-(e+l)ex+ex+|.

(1)求/(x)的極值.

(2)若/'01)=f。2)=/'(久3)，X1<x2<x3,證明：x2+x3<2.

【變式1-1】2.(2023?貴州畢節??？寄M預測)已知函數/(%)=(2%+a)lnx-3(x-a)

,a>0.

(1)當％21時，f(x)>0,求a的取值范圍.

1

(2)若函數f(久)有兩個極值點X1，X2,證明：xi+x2>2e~.

【變式1-1】3.(2022?江蘇南通?高三期中)已知/⑶=%3-ax2(aGR),其極小值為-4.

⑴求a的值；

(2)若關于x的方程/(x)=t在(0,3)上有兩個不相等的實數根久1,久2,求證：3<久1+%2<4.

【變式1-1】4.(2023?黑龍江牡丹江?牡丹江一中?？既?已知函數/(嗎=%2

(lnx-|a),a為實數.

(1)求函數/(久)的單調區間；

(2)若函數/(久)在x=e處取得極值，尸Q)是函數f(x)的導函數，且「(右)=尸(冷)，%i<x2,

證明：2<孫+冷<e

題型2乘法型構造一元差函數

③得到/(Xl)與f居)的大小關系后，將/(久I)置換為f。2)；

④根據%2與藍所處的范圍，結合/乃的單調性，可得到久2與藍的大小關系，由此證得結論.

【例題2](2022?北京市房山區良鄉中學高三期中)已知函數/⑴=Inx―久

(1)求函數f(x)單調區間；

(2)設函數g(x)=/(X)+a,若犯,刀26(0,e]是函數9(%)的兩個零點，

①求a的取值范圍；

②求證:%1%2<1.

【變式2-1]1.(2023秋?遼寧丹東?高三統考期末)已知函數/'(X)=ex-xlnx+x2-ax.

⑴證明:若awe+l,則/'0)20；

(2)證明：若/(久)有兩個零點X1,%2,則

【變式2-1】2.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=xlnx—ax+a.

⑴若x21時，/⑺20,求a的取值范圍；

(2)當a=1時，方程f(x)=b有兩個不相等的實數根燈,尤2,證明：問到<1.

【變式2-1]3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=3—”?最

(1)求/(比)在[1,+8)上的最小值.

1

(2)設g(久)=f(x)+%e7+x-lnx-a,若g(x)有兩個零點巧,冷，證明：久62<1.

【變式2-1]4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/Q)=Inx.

⑴證明：/(x+1)<X.

(2)若函數八(久)=2x/(x),若存在久1<久2使八01)=八(亞)，證明：打,久2〈了.

題型3構造輔助函數+構造一元差函數

極值點偏移問題的一般題設形式：

1.若函數f(x)存在兩個零點%1，%2且叼力％2,求證：叼+久2>2物(久0為函數f(久)的極值點)；

2.若函數"久)中存在%1，%2且打片久2滿足/'(9)=/(X2),求證：久I+%2>2%0(久0為函數f(x)

的極值點)；

3.若函數/■(>)存在兩個零點勺,%2且久1片尤2,令久0=\盤，求證：f(%0)>0；

4.若函數/"(%)中存在且片％2滿足=/(%2),令為=上受，求證：r(%0)>0.

【例題31(2023秋?黑龍江鶴崗?高三鶴崗一中校考開學考試)已知函數/(*)=aln^-x,g⑺

x

=ax-ae.(e=2.71828…為自然對數的底數)

(1)當a=1時，求函數y=/(*)的極大值；

(2)已知Xi,x26(0,+00),且滿足/(X1)>9(X2),求證：Xi+ae*2>2a.

【變式3-1】1.(2023?廣東茂名?茂名市第一中學?？既?已知函數/(x)=ax+(a—l)ln

1

x+xraeR-

(1)討論函數/(x)的單調性；

x

(2)若關于%的方程f(幻=%e-lnx+指兩個不相等的實數根的、%2,

(i)求實數a的取值范圍；

(")求證：『三〉試

【變式3-1】2.(2023?山東日照統考二模)已知函數/(x)=x-alnx.

(1)若/(%)21恒成立，求實數a的值：

X1x

(2)若比1>0,x2>0,e"i+lnx2>+x2,證明：e+2>-

【變式3-1]3.(2022秋?浙江杭州?高三浙江大學附屬中學?？计谥?已知函數/(X)=

(2e-x)lnx,其中e=2.71828…為自然對數的底數.

(1)討論函數f(x)的單調性;

_11

(2)若%1,%2e(0,1),且久21nxi-Xiln%2=2exp：2(lnxi-ln%2),證明：2e<~+—

<2e+1.

【變式3-1]4.(2023?全國?高三專題練習)已知函婁好⑺=x(l-Inx).

⑴討論/(%)的單調性;

(2)設a,b為兩個不相等的正數，S.b\na-a\nb=a-b,證明：2。+看

題型4比值代換法

中：黃"#占

比值換元的目的也是消參、減元，就是根據已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用

兩個極值點的比值作為變量，從而實現消參、減元的目的.設法用比值(一般用t表示)表

示兩個極值點，即1=*化為單變量的函數不等式，繼而將所求解問題轉化為關于珀勺函數

問題求解.

*/WVWWWWS/WW\A/WWW\A/WWWWWWWWW\/VWWWWW\/WWWWSA/VWWWSA/WWWWWW\A/WWWWWWWWW\AA/

【例題4](2023?北京通州統考三模)已知函數/⑴="—、ln￡(a>0)

(1)已知f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x—1,求實數a的值；

(2)已知f(x)在定義域上是增函數，求實數a的取值范圍.

2

(3)已知g(x)=/(x)+(有兩個零點的，%2,求實數a的取值范圍并證明>e.

【變式4-1】1.(2022?全國?高三專題練習)設函婁好⑴=e，(K—2)—弱爐+3/

⑴若"1,求fO)的單調區間；

(2)若/(%)存在三個極值點%1，%2,尤3,且％求k的取值范圍，并證明：％1+汽3>2

無2.

.1

【變式4-1】2.(2022?全國?高三專題練習)已知函數〃>)=/—a—2e*lnx(aeR),且

尸Q)是函數/(%)的導函數,

(1)求函數f(%)的極值;

(2)當a<1時，若方程/(嗎=。有兩個不等實根巧,久2，(均>%2).

(i)證明：ln%i-lnx2<^=;

(ii)證明：f'Oi久2)<0.

【變式4-1]3.(2023?四川綿陽?統考模擬預測)已知函數f(久)=xlnx-1x2-x+a(aGR)

在其定義域內有兩個不同的極值點.

(1)求a的取值范圍；

1+A

(2)記兩個極值點為久1，久2,且久1<x2.若421,證明：e<久1?蝎

【變式4-1】4.(2022?全國?高三專題練習)已知函數/(久)=In%.

(1)設函數g(x)=(-In久(teR),且g(x)<f(x)恒成立，求實數的勺取值范圍；

(2)求證:

2

⑶設函數y=/(%)-ax-|(aeR)的兩個零點久1、%2,求證：久i久2>2e.

題型5對數均值不等式法

中卜劃重點

兩個正數a和b的對數平均定義：L(a,b)=[高會缶*以

(a(a=b).<

對數平均與算術平均、幾何平均的大小關系：病WL(a力)W竽(此式記為對數平均不等

式)

取等條件：當且僅當a=b時，等號成立.

【例題5】(2022?全國?高三專題練習)已知函數了(久)=如《—為比2+i(aeR)(尸(x)為穴久)

的導函數).

⑴討論廣⑺單調性;

1

設刀是的兩個極值點，證明：。＜左＜?

(2)%1,2f(x)人1人21

【變式5-1]1.(2022?黑龍江?牡丹江市第二高級中學高三階段練習)已知函數f。)=xln

x--1ax2￡.

(1)若f(X)在(0,+8)上單調遞減，求實數a的取值范圍.

(2)若卬/2是方程/(X)=。的兩個不相等的實數根，證明：%1+%2＞^.

【變式5-1】2.(2022?全國?高三專題練習)已知函數七)=lnx-ax,a為常數.

(1)若函數在x=1處的切線與x軸平行，求a的值；

(2)當a=1時，試比較尸(機)與尸弓)的大?。?/p>

(3)若函數有兩個零點M、X2,試證明x*?＞理.

【變式5-1]3.(2022?全國?高三專題練習)已知函婁好⑶=alnx+久+a存在兩個零點打,

X2.

(1)求a的取值范圍；

(2)證明：＞1.

【變式5-114.(2023?廣東廣州?廣州市從化區從化中學?？寄M預測)已知函數/(%)=In

x—ax2.

(1)討論函數/(%)的單調性：

(2)若久1出是方程/(x)=。的兩不等實根，求證：就+始＞2e；

題型6加法型匯總

【例題6】(2023春?江西宜春?高三?？奸_學考試)已知函數/(x)=3aln比-(a-3)x,

aER.

(1)當。=1時，求曲線g(%)=/(%)-3ln%-sin%在％=/處的切線方程；

(2)設%1,第2是僅%)=/(%)—(3a—2)lnx—3%的兩個不同零點，證明：。(萬+%2)＞4.

【變式6-1】1.(2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學校聯考階段練習)已知函數

f(x)=kx+In%—|fc(fcGR).

(1)求函數/(久)的單調區間和最大值；

(2)設函數g(x)=f(%)-kx+:有兩個零點句,久2,證明：%i+%2>2.

【變式6-1】2.(2023春?河北石家莊?高三校聯考階段練習)已知函數fO)=x21nx-a

(a￡R).

(1)求函數/(久)的單調區間；

2

(2)若函數/(%)有兩個零點%1、%2,證明1<X1+%2<相.

【變式6-1】3.(2023春?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=ax2+(a—2)￡—lnx

(aeR).

⑴討論〃支)的單調性;

(2)若/'(X)有兩個零點%,%2,證明：xx+x2>

【變式6-1】4.(2023?全國?高三專題練習)設函數f(x)=ln(%-1)—等2

(1)若/0)>。對Vxe[2,+8)恒成立，求實數k的取值范圍；

(2)已知方程畸以尚有兩個不同的根均、x2,求證：燈+久2>66+2,其中e=2.71828…

為自然對數的底數.

題型7減法類型

【例題7】(2023?全國?模擬預測)已知函數f(x)=(x—e—l)e'—N/+e2x.

(1)求函數f。)的單調區間與極值.

(2)若/'(久1)=/(久2)=)(X3)(Xl<%2<%3)，求證：出<e—l.

【變式7-1】1.(2021?常熟市月考)設函數f(x)=ln久，5(%)=a(x-l),其中aeR.

⑴若a=l,證明：當久>1時，/1(%)<g(x);

(2)設FQ)=/(%)-g(x)ex,且0<a。，其中e是自然對數的底數.

①證明F(x)恰有兩個零點；

②設劭如為尸(%)的極值點,久1為F(x)的零點，且巧>久o,證明：3%0-%i>2.

【變式7-1]2.(2021?黃州區校級模擬)已知函婁好⑶=axlnx-(a+l)lnx,/(%)的導

數為「(初

(1)當a>—1時，討論ro)的單調性；

□_______________-1

(2)設a>0,方程/'(x)="一刀有兩個不同的零點久1，冷。1<冷)，求證Xi+e>久2+『

【變式7-1】3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(久)=e，—2久—(a+1),g(x)=x2

+(a—l)x-(a+2)(其中ex2.71828是自然對數的底數)

(1)試討論函數f(x)的零點個數；

(2)當a>1時，設函數八(久)=/(久)—g(x)的兩個極值點為久1、冷且〈久2,求證：eX2-eX1

<4a+2.

【變式7-1】4.(2021?日照模擬)設函數f(x)=ex-^ax2-x.

(1)若函數”久)在R上單調遞增，求a的值；

(2)當a>1時,

①證明：函數/■(%)有兩個極值點Xi,X2(x1<x2),且%2-久I隨著a的增大而增大；

②證明：八久2)<1+隨尸.

【變式7-1】5.(2021春?麗水期中)已知函數/'(久)=2xlnx,g(x)=x2+ax-1,aER.

(1)若對任意x6[1,+8),不等式fQ)Wg(x)恒成立，求a的取值范圍；

(2)若函數八(理=:(%)|-2a有3個不同的零點犯，X2,%3(￡1<%2<%3)-

(i)求證：X1+%2>|；

(ii)求證：%3—%2>Vl+2a—V1—2a.

題型8乘積型匯總

【例題8】(2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預測)已知/⑶=2%-sinx-VHlnx.

(1)當。=1時，討論函數“幻的極值點個數；

(2)若存在X1,久2(0〈久1<%2)，使/'(久1)=/'(久2),求證：X1X2<a..

【變式8-1]1.(2023秋?湖北黃岡?高三流水縣第一中學校考階段練習)已知函數-x)=X

(Inx—a),g(x)=^-+a—ax.

(1)當X21時，—Inx—2恒成立，求a的取值范圍.

(2)若g(x)的兩個相異零點為Xi,x2,求證：久2〉e2.

x

【變式8-1】2.(2023?新疆?校聯考二模)已知函數/(X)=e-^+2ax,aeR,其中e

為自然對數的底數.

(1)若f(x)有兩個極值點，求a的取值范圍；

(2)記/(X)有兩個極值點為久1、%2,試證明：%i%2V2(%i+%2)—3.

【變式8-1]3.(2022秋?遼寧?高三遼寧實驗中學?？茧A段練習)已知函數/(%)=2%-sin

x+minx,g(%)=/(%)+sin%.

(1)求函數g(x)的單調區間和極值；

(2)若存在X]久2€(0,+8),且當巧時，f(久1)=/(久2)，證明：簧<1.

【變式8-1】4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=x—sinx—tanx+alnx+b,

⑴求證：2x<sinx+tanx,xe

(2)若存在%1、x2e(0,,且當小片犯時，使得/(X。=/3)成立，求證：箸<L

題型9平方類型

【例題9】(2023秋?遼寧大連?高三大連市第二十高級中學?？奸_學考試)已知函數久支)=

IrU+l

ax,

⑴討論f(x)的單調性;

(2)若(e%i產=(e%2)a(e是自然對數的底數),且巧>0,%2>0,小去%證明：解+成

>2.

【變式9-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知函數了(切=等—如

(1)若f(x)<-1,求實數a的取值范圍；

(2)若/'㈤有2個不同的零點燈,久2(打〈久2),求證：2信+3始>得

【變式9-1】2.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/■(萬尸嘿

⑴討論f(x)的單調性；

(2)若(合力皿=(ex?)"1且％i>0,%2>0，久14乂2,證明：J好+必>魚.

【變式9-1]3.(2021?浙江模擬)函數f(久)=Inx-ax2+1.

(1)若a=l,求函數y=/(2%-1)在x=1處的切線；

(2)若函數y=/'(>)有兩個零點/,久2,且<久2,

(i)求實數a的取值范圍；

(ii)證明：虐―xi〈衛瀉.

【變式9-1】4.(2022?全國?高三專題練習)已知函數/(%)=%—sinxcos%—aln%,aER.

(1)當a=o時，求曲線y=/(x)在點售,/(勃處的切線方程；

(2)若/(租)=/(幾)，0<m<n,求證：m2+n2>\a\.

題型10商類型

【例題10](2021?新疆模擬)已知函數f⑺=Inx-ax+|x2.

⑴當a=|時，求f。)的單調區間；

(2)已知心￡/1,%1,冷(町〉”2)為函數fO)的兩個極值點，求曠=筌詈^一1e的最大值.

【變式10-1】1.(2021春?湖北期末)已知函數f(x)=ae-x+ln%-l(aER).

(1)當aWe時,討論函數f(x)的單調性;

(2)若函數/(久)恰有兩個極值點加久2(%i<%2),且久1+冷〈歿磬，求爭勺最大值.

【變式10-1]2.(2021?寧德三模)已知函數f(%)=ae-x+In%-l(aGR).

(1)當aWe時,討論函數f(x)的單調性:

(2)若函數fO)恰有兩個極值點久i，%2(久i〈久2)，且治+支2三21n3,求募的最大值.

【變式10-1]3.(2021?新鄉三模)已知函婁好(x)=Inx.

(1)求函數g(x)=//(久)的單調區間；

(2)證明：,%2￡[1,+8),fQ1%2)WQ1+%2)(1—

【變式10-1]4.(2021春?海曙區校級期中)已知函數”久)=:—x+alnx.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)已知a<|,若f⑶存在兩個極值點xi，久2,且求等+等的取值范圍.

乙人1人2

111■1111in

1.(2023?江西景德鎮?統考模擬預測)已知函數f(嗎=(、+1”+加)

(1)若函數/(x)在