初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識講義—初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識講義—有理數(shù)一、正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義(1)正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。根據(jù)需要有時(shí)在正數(shù)前面加上正號“+”，但是正數(shù)前面的正號“+”，一般省略不寫。負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號“-”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)前面的負(fù)號“-”不能省略。注：對于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡單地理解為帶“+”的數(shù)就是正數(shù)，帶“-”的數(shù)就是負(fù)數(shù)。eg：-a不一定是負(fù)數(shù)，因?yàn)樽帜竌可以表示任何數(shù)，當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，-a則是一個正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示0時(shí)，-a就是在0前面加上一個負(fù)號，仍是0,0不分正負(fù)。(2)具有相反意義的量正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。若用正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)就表示與其相反的量，反之亦然。常見的表示相反意義的量：零上和零下、前進(jìn)和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和虧損、升高和下降。(3)0的意義（重點(diǎn)理解）：數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線。0℃是一個確定的溫度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意義已經(jīng)不僅是表示“沒有”1、(2013山東德州)－1,0，0.2，，3中正數(shù)一共有個2、（2013廣西玉林市）既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)是（2013浙江麗水）如果零上2℃記作+2℃，那么零下3℃記作（）A.－3℃B.－2℃C.+3℃D.+2℃4、（2014浙江寧波）楊梅開始采摘啦！每框楊梅以5千克為基準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，記錄如圖，則這4框楊梅的總質(zhì)量是（）A．19.7千克B．19.9千克C．20.1千克D．20.3千克二、有理數(shù)的概念(1)正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。注：（1）正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。（2）正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。（3）對于小數(shù)，只有能化成分?jǐn)?shù)的小數(shù)才是有理數(shù)。（4）我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看做分?jǐn)?shù)，因此有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。（5）無限循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，因此它不是分?jǐn)?shù)，也不是整數(shù)，所以就不是有理數(shù)。(2)有理數(shù)的分類（重點(diǎn)）按數(shù)的種類分按有理數(shù)的性質(zhì)分有理數(shù)有理數(shù)注：（1）有理數(shù)的分類必須按同一標(biāo)準(zhǔn)，不漏、不重。（2）0和正整數(shù)統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)。（3）0和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為非正整數(shù)。（4）0和正有理數(shù)統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。（5）0和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)。1、下列個數(shù)中：中負(fù)分?jǐn)?shù)有個；負(fù)整數(shù)有個；自然數(shù)有個2、（寧波）下列各數(shù)是正整數(shù)的是（）A．－1B．2C．0．5 D．3、（上海）如下列分?jǐn)?shù)中，能化為有限小數(shù)的是（）(A)(B)；(C)；(D)4、（東陽縣）是（）A．負(fù)整數(shù) B．有理數(shù) C．整數(shù) D．負(fù)數(shù)三、數(shù)軸的概念(1)規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。(2)數(shù)軸的畫法（重點(diǎn)）畫數(shù)軸時(shí)，關(guān)鍵要體現(xiàn)數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度，三者缺一不可。(3)數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系（重點(diǎn)、難點(diǎn)）一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原點(diǎn)的距離是a個長度單位；表示數(shù)-a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是a個長度單位。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，正有理數(shù)可以用原點(diǎn)右邊（或上邊）的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊（或下邊）的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。(4)利用數(shù)軸比較大小（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1、數(shù)軸上的數(shù)的大小比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大2、有理數(shù)大小比較法則：（1）正數(shù)都大于0（2）負(fù)數(shù)都小于0（3）正數(shù)大于負(fù)數(shù)(5)兩個負(fù)數(shù)比較大小：距原點(diǎn)距離遠(yuǎn)的數(shù)比距離遠(yuǎn)點(diǎn)近的數(shù)小，即在原點(diǎn)的左側(cè)，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，數(shù)越小。1、如下圖所示，數(shù)軸中正確的是（）BB－101A－101C－101D2、（重慶潼南）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)分別對應(yīng)實(shí)數(shù)a、b，a、b的大小關(guān)系為3、（2013江蘇泰州市）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)P表示的數(shù)是－1，將點(diǎn)P向右移動3個單位長度得到點(diǎn)P’，則點(diǎn)P’表示的數(shù)是：四、相反數(shù)(1)相反數(shù)的概念：在數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離相等，且只有_______的兩個數(shù)，我們稱它們互為______。規(guī)定：零的相反數(shù)是_______。概念的理解：

（1）互為相反數(shù)的兩個數(shù)分別在原點(diǎn)的______，且到原點(diǎn)的_____相等，（2）一般地，數(shù)a的相反數(shù)是______，（3）在一個數(shù)的前面添上“—”號，就表示這個數(shù)的相反數(shù)。(2)多重符號的化簡：化簡雙重符號的規(guī)律可簡述為：同號得“”，異號得“”。例如：化簡：—（+10）=（2）-0=（3）—（—20）=（4）+（+3）=（5）+（—0.15）=1、（2014云南昆明）的相反數(shù)是（）A.B.C.2D.2、（2013福州）3的相反數(shù)是（）A．－3B.C.3D.3、（本溪中考)如果與1互為相反數(shù)，則a+2等于（）A．2 B． C．1 D．五、絕對值：(1)數(shù)軸上，表示____________________________叫做這個數(shù)的絕對值。－5的絕對值記作：|－5|；(2)絕對值法則：①正數(shù)的絕對值是___________；②0的絕對值是____；③負(fù)數(shù)的絕對值是_________________。想一想：（3）含有字母的絕對值的化簡求值（重點(diǎn)、難點(diǎn)）化簡絕對值要分兩步走，即“先判后去”——先判斷這個數(shù)是正數(shù)、零還是負(fù)數(shù)，再由絕對值的意義確定去掉絕對值的符號的結(jié)果是等于它本身還是等于它本身的相反數(shù)或零。1、（2014云南省）|﹣|=（）A．﹣B．C．﹣7D．72、（2014舟山）﹣3的絕對值是（）A．﹣3B．3C．D．3、（2014四川瀘州）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則x+y的值為（）A．﹣2B．2C．﹣4D．44、已知，則的值為（）A.B.C.D.以上答案均不正確六、有理數(shù)的大小比較★在數(shù)軸上，越在右方的數(shù)________(1)負(fù)數(shù)小于____，0小于______，負(fù)數(shù)小于_____數(shù)；(2)兩個正數(shù)，應(yīng)用已有的方法比較（絕對值大數(shù)大）；(3)兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的___________.1、（2014廣東）在1，0，2，﹣3這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．1B．0C．2D．-32、（2014武漢）在實(shí)數(shù)﹣2，0，2，3中，最小的實(shí)數(shù)是（）A．-2B．0C．2D．33、（2014菏澤）比﹣1大的數(shù)是（）A．﹣3B．﹣C．0D．﹣14、（2014珠海）比較大小：﹣2﹣3．七、有理數(shù)的運(yùn)算（1）有理數(shù)的加法1、把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運(yùn)算叫作有理數(shù)的加法。2、兩個有理數(shù)相加，有以下幾種情況：①兩數(shù)都是正數(shù)；②兩數(shù)都是負(fù)數(shù)；③兩數(shù)異號，即一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)；④一個是正數(shù)，一個是0；⑤一個是負(fù)數(shù)，一個是0；⑥兩個數(shù)都是0.（2）有理數(shù)的加法法則1、有理數(shù)的加法法則共有4條：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時(shí)，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；（3）互為相反的兩個數(shù)相加得0；（4）一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)。★一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)總結(jié)：有理數(shù)加法的運(yùn)算步驟①先判斷屬于法則中的哪種類型；②再依法則判斷和的符號；③判斷利用絕對值的和還是絕對值的差進(jìn)行計(jì)算．上述步驟可以概括為：“一定二求三加減”1、（2014武漢）計(jì)算：﹣2+（﹣3）=2、（2014遵義）﹣3+（﹣5）的結(jié)果是（）A．-2B．-8C．8D．23、（2013安徽）下面的數(shù)中，與－3的和為0的是（）A.3B.－3C.D.（3）有理數(shù)的減法1、有理數(shù)的減法，就是已知兩個有理數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運(yùn)算。2、有理數(shù)的減法與加法互為逆運(yùn)算。3、任意兩個數(shù)都可以進(jìn)行減法運(yùn)算。4、幾個有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分構(gòu)成：（1）性質(zhì)符號；（2）數(shù)字即數(shù)的絕對值。5、有理數(shù)的減法法則內(nèi)容：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即。這里的表示任意有理數(shù)。1、（2013黔東南）計(jì)算－1－2等于（）A、1B、3C、－1D、－32、（2013山西）計(jì)算：﹣2﹣5的結(jié)果是（）A．﹣7 B． ﹣3 C．3 D．73、（2013珠海）計(jì)算＝.4、（2014臺灣）算式743×369﹣741×370之值為何？()A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3（3）有理數(shù)的乘法★有理數(shù)乘法法則：①同號兩數(shù)相乘得正，并把絕對值相乘。（兩個負(fù)數(shù)相乘簡稱：負(fù)負(fù)得正）②異號兩數(shù)相乘得負(fù)，并把絕對值相乘。③0乘以任何數(shù)還得0。★多個有理數(shù)連乘，①如果奇數(shù)個負(fù)數(shù)，積得負(fù)；②如果偶數(shù)個負(fù)數(shù)，積得正。（4）有理數(shù)的除法因?yàn)椋撼砸粋€數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，所以有理數(shù)除法的商的符號確定的方法和乘法一樣。（5）有理數(shù)的乘方，讀作的平方（或二次方）．，讀作的立方（或三次方）．，讀作的四次方．一般地，個相同的因數(shù)相乘：記作：讀作的次方，或者讀作的次冪．求個相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方；乘方的結(jié)果叫做冪．★一個數(shù)可以表示成這個數(shù)本身的一次方，例如，（指數(shù)1通常省略不寫）★負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；★正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)．練一練(3)11=12=13=14=1n=0n=====★★（6）有理數(shù)的混合運(yùn)算到目前為止，對有理數(shù)來說，我們學(xué)過的運(yùn)算有：加、減、乘、除、乘方；運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減。如果右括號，先算括號里面的。1、（2014安徽省）計(jì)算（－2）×3的結(jié)果是（）A.－6B.6C.－5D.52、(20XX年天津市)計(jì)算（﹣6）×（﹣1）的結(jié)果等于（）A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣13、（三明中考）如果□則□內(nèi)應(yīng)填的實(shí)數(shù)是（）A．B． C．D．4、(2013江蘇蘇州)計(jì)算：23=（2014四川綿陽）2﹣2=（2014陜西)計(jì)算：=（7）近似數(shù)與有效數(shù)字1.準(zhǔn)確數(shù)：完全符合實(shí)際的數(shù)。近似數(shù)：和準(zhǔn)確數(shù)非常接近的數(shù)，近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)接近的程度叫做精確度。2．有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到末尾數(shù)字為止，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。3.近似數(shù)的精確度有兩種形式：1）精確到哪一位，2）保留幾個有效數(shù)字。4.近似數(shù)和有效數(shù)字的確定方法①對一般數(shù)字的近似數(shù)有兩個原則：一是非零數(shù)字都是有效數(shù)字；二是前面的“0”都不是有效數(shù)字，夾在非零數(shù)字中間的“0”和后面的“②對帶有計(jì)數(shù)單位的近似數(shù)，方法同上，如1.2萬，同有兩個有效數(shù)字1、2，而不是5個有效數(shù)字1、2、0、0、0。（8）科學(xué)記數(shù)法1、科學(xué)計(jì)數(shù)法：把一個絕對值大于10的數(shù)寫成的形式（其中是整數(shù)位只有一位的數(shù)，是正整數(shù)），這種計(jì)數(shù)的方法就是科學(xué)計(jì)數(shù)法。2、用科學(xué)計(jì)數(shù)法計(jì)數(shù)時(shí)應(yīng)注意：①不能改變數(shù)的大小；②表示成的形式；③；④負(fù)數(shù)也可以用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示，“-”照寫，其他與正數(shù)一樣。1、（2013貴州銅仁）從權(quán)威部門獲悉，中國海洋面積是299.7萬平方公里，約為陸地面積的三分之一,299.7萬平方公里用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為（）平方公里（保留兩位有效數(shù)字）A．B．C．D．2、（2013四川資陽市）為了保護(hù)人類居住環(huán)境，我國的火電企業(yè)積極做好節(jié)能環(huán)保工作．20XX年，我國火電企業(yè)的平均煤耗繼續(xù)降低，僅為330000毫克/千瓦時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法表示并保留三個有效數(shù)字為毫克/千瓦時(shí)．3、（2014貴州黔西南州）20140000用科學(xué)記數(shù)法表示（保留3個有效數(shù)字）為．4、（2014衡陽）環(huán)境空氣質(zhì)量問題已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ钏P(guān)心的重要問題。我國新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》中增加了監(jiān)測指標(biāo)，“”是指大氣中危害健康的直徑小于或等于微米的顆粒物。微米即米。用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．B．C．D．5、（2014隨州）20XX年，我市以保障和改善民生為重點(diǎn)的“十件實(shí)事”全面完成，財(cái)政保障民生支出達(dá)74億元，占公共財(cái)政預(yù)算支出的75%，數(shù)據(jù)74億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．74×108元B．7.4×108元C．7.4×109元D．0.74×1010元6、（2014山西）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它們含有大量的有毒、有害物質(zhì)，對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量有很大危害．2.5μm用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．2.5×10﹣5mB．0.25×10﹣7mC． 2.5×10﹣6mD．1、（2013陜西）如果零上5℃記作+5℃，那么零下7℃可記作（）A．－7℃B．+7℃C．+12℃D．－12℃2、（2013南京市）下列四個書中，是負(fù)數(shù)的是（）A.|－2|B.（－2）2C.－D.3、（2013浙江衢州）下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是()A.2B.－2C.0 D.4、（2013山東萊蕪）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)可能是（）A．1.5B．－1.5C．－2.4D．2.45、（2014湖北宜昌）如圖，M，N兩點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是m，n，則下列式子中成立的是（）A．m+n＜0B．﹣m＜﹣nC．|m|﹣|n|＞0D．2+m＜2+n6、（2014呼和浩特）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．a(chǎn)c＞bcB．|a﹣b|=a﹣bC．﹣a＜﹣b＜cD．﹣a﹣c＞﹣b﹣c7、(2014重慶）實(shí)數(shù)﹣17的相反數(shù)是（）A．17B．C．﹣17D．﹣8、（2014萊蕪）下列四個實(shí)數(shù)中，不是有理數(shù)的為（）A．0B．-3C．D．9、（2013浙江湖州市）－2的絕對值是（）A.2B.－2C.D.±210、（2013湖北襄陽）一個數(shù)的絕對值等于3，這個數(shù)是（）A．3 B．－3 C．±3 D．11、(2013四川南充)計(jì)算：2－（－3）的結(jié)果是（）A．5 B．1 C．－1