專題06簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)實(shí)例(二)單擺及類單擺模型

模型講解

一.單擺模型

1.單擺的組成：由細(xì)線和小球組成。

2.理想化模型

(1)細(xì)線的長(zhǎng)度不可改變。

⑵細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略。

(3)小球的直徑與線的長(zhǎng)度相比可以忽略。

(4)單擺運(yùn)動(dòng)過程中，與小球受到的重力及線的拉力相比，空氣等對(duì)它的阻力可以忽略。

3.單擺的回復(fù)力

(1)回復(fù)力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力，即尸=wgsin_6。

G=mg

(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在擺角很小時(shí)，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位

置，即尸=一)無。從回復(fù)力特點(diǎn)可以判斷單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

二.單擺的周期

1.探究影響單擺周期的因素

(1)探究方法：控制變量法。

(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)論(都在小偏角下)

①兩擺的擺球質(zhì)量、擺長(zhǎng)相同，振幅不同，兩擺的周期相同，即單擺的周期與振幅無關(guān)。

②兩擺的擺長(zhǎng)、振幅相同，擺球質(zhì)量不同，兩擺的周期相同，即單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)。

③兩擺的振幅、擺球質(zhì)量相同，擺長(zhǎng)不同，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大；擺長(zhǎng)越短，周期越小，即周期與擺長(zhǎng)有

關(guān)。

2.周期公式

(1)提出：由荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出。

(2)公式：T=2值，，即單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T與擺長(zhǎng)/的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根

成反比，而與振幅、擺球質(zhì)量無關(guān)。

三.類單擺模型

1.幾種單擺模型拓展

圖木(/、/1、，2為

等效重力加速度

模型擺線長(zhǎng),r為擺球擺長(zhǎng)周期7

g效

半徑)

，〃/〃〃〃///，/〃〃〃/〃〃.

17

T=

雙線擺不變，/sin不變，

a+rgina~\~r

g

O

1k\+r?

折線擺“X碰到釘子后變小不變，g

0「0

相一」一B

0)

/

/

/;、、、

/

\E

圓弧擺/X不變，不變，T—2TC\

'、R—rg

MN

D

/W1l-\-r

斜面擺不變，l+r不變，gsinaT=2K\

\lgsina

若擺球可看為質(zhì)點(diǎn)，以上各式中，可為0。

2.不同系統(tǒng)中的等效重力加速度

在不同的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，單擺周期公式中的g應(yīng)理解為等效重力加速度，其大小等于單擺相對(duì)系統(tǒng)靜止在平

衡位置時(shí)的擺線拉力與擺球質(zhì)量的比值。

案例剖析1

【例1】（多選）如圖所示，為一小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的示意圖，其中。點(diǎn)為平衡位置，/、3為最大位移處，

N點(diǎn)為關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)。下列說法正確的是（）

A.小球在/、3點(diǎn)受到重力和回復(fù)力

B.小球在。點(diǎn)所受的合外力就是回復(fù)力

C.小球在O點(diǎn)時(shí)所受合外力不為0

D.小球在M點(diǎn)、N點(diǎn)的回復(fù)力大小相等

【答案】CD

【解析】小球在/、B點(diǎn)受到重力和繩子拉力，故A錯(cuò)誤；小球在。點(diǎn)的合外力不為0,合外力提供向心

力，不是回復(fù)力，故B錯(cuò)誤，C正確；M.N點(diǎn)關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，小球在“點(diǎn)、N

點(diǎn)的回復(fù)力大小相等，故D正確。

【總結(jié)提升】

理解回復(fù)力的兩點(diǎn)提醒

（1）所謂平衡位置，是指擺球靜止時(shí)，擺線拉力與擺球所受重力平衡的位置，并不是指擺動(dòng)過程中擺球受力

平衡的位置。擺球擺動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但有指向懸點(diǎn)的合力提供向心力。

（2）回復(fù)力是由擺球受到的重力沿圓弧切線方向的分力尸=mgsin6提供的，不可誤認(rèn)為回復(fù)力是重力G與擺

線拉力出的合力。

【例2】（多選）如圖甲是一個(gè)單擺振動(dòng)的情形，。是它的平衡位置，8、C是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置，設(shè)

向右為正方向，圖乙是這個(gè)單擺的振動(dòng)圖像，由此可知（）

A.單擺振動(dòng)的頻率是1.25Hz

Bl=O時(shí)擺球位于B點(diǎn)

C7=0.2s時(shí)擺球位于平衡位置O,加速度為零

D.若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=7t2m/s2,則這個(gè)單擺的擺長(zhǎng)是0.16m

【答案】ABD

【解析】由振動(dòng)圖像可知，該單擺的周期為T=0.8s,頻率為/=1=工Hz=1.25Hz,故A正確；由于

T0.8

規(guī)定向右為正方向，2點(diǎn)為擺球所能到達(dá)的左邊最遠(yuǎn)位置，貝h=0時(shí)擺球位于3點(diǎn)，故B正確；由振動(dòng)圖

像可判斷，，=0.2s時(shí)擺球位于平衡位置O,但擺球受到的合力不為零，所以加速度不為零，故C錯(cuò)誤；根

據(jù)單擺的周期公式7=2兀、口，可得/=《，把7=0.8s,g=7r2m/s2,代入計(jì)算得擺長(zhǎng)/=0.16m,故D正

Vg4兀2

確。

【例3】如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠(yuǎn)大于小球運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)。甲、乙、丙三個(gè)小球（均可視為質(zhì)點(diǎn)）同時(shí)

由靜止釋放，開始時(shí)，甲球比乙球離槽最低點(diǎn)。遠(yuǎn)些，丙球在槽的圓心處。則以下關(guān)于它們第一次到達(dá)點(diǎn)

。的先后順序的說法正確的是（）

。丙

A.乙先到，然后甲到，丙最后到

B.丙先到，然后甲、乙同時(shí)到

C.丙先到，然后乙到，甲最后到

D.甲、乙、丙同時(shí)到

【答案】B

【解析】對(duì)于甲、乙兩球，都做類單擺運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期均為7=2兀1|,甲、乙兩球第一次到達(dá)點(diǎn)O

時(shí)運(yùn)動(dòng)了1九則tv=t乙=￡=宗?；對(duì)于丙球，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律有尺=%焉解得t丙=、但卜,

4427g2Mg2\lg

故丙先到，然后甲、乙同時(shí)到，故B正確。

【例4】如圖所示的幾個(gè)相同單擺在不同條件下，關(guān)于它們的周期關(guān)系，其中判斷正確的是()

C.TiHXD71<T2<T3<T4

【答案】C

【解析】題圖(1)中，當(dāng)擺球偏離平衡位置時(shí)，重力沿斜面的分力mgsin。為等效重力，即單擺的等效重力

加速度gi=gsinO；題圖(2)中，兩個(gè)帶電小球的斥力總與運(yùn)動(dòng)方向垂直，不影響回復(fù)力，等效重力加速度為

g;題圖(3)為標(biāo)準(zhǔn)單擺；題圖(4)擺球處于超重狀態(tài)，等效重力增大，故等效重力加速度增大，即g4=g+。。

由單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式T=2兀，，知71>72=73>北，選項(xiàng)C正確。

【例5】(2024?浙江金華高二月考)如圖甲所示，擺球在豎直平面內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，通過力傳感器測(cè)量擺線拉力

一送

F,歹的大小隨時(shí)間/變化規(guī)律如圖乙所示，擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小丫=1m/s,忽略空氣阻力，取g

10m/s2,兀2旬0,求:

⑴單擺的擺長(zhǎng)Z；

(2)擺球的質(zhì)量m；

(3)擺線拉力的最小值。

【答案】(1)1m(2)0.1kg(3)0.99N

【解析】(1)由圖乙可知單擺周期為7=2s

根據(jù)單擺周期公式7=2兀、，，解得，=1m。

(2)當(dāng)拉力最大時(shí)，即尸=1.02N,擺球處在最低點(diǎn)，

由牛頓第二定律得F—mg=m；

解得772=0.1kgo

(3)從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理得

一mgZ(l-cos0)=0~^mv2

解得cos6>=0.99

在最高點(diǎn)擺線的拉力最小，最小值為

F,=mgcos8=0.99No

綜合應(yīng)用

一、單選題

1.將一條輕質(zhì)細(xì)線下端掛上一個(gè)小球，使小球在豎直面內(nèi)自由擺動(dòng)，如圖所示為小球的振動(dòng)圖像。下列說

法正確的是()

A."0.5s時(shí)，小球的向心加速度為0

B.f=ls時(shí)，小球速度為0,加速度為0

C.從f=ls至卜=1.5s的過程中，小球的動(dòng)能不斷增大

D.從"1.5s到f=2s的過程中，細(xì)線中的張力不斷增大

【答案】C

【詳解】A.由圖像可知，f=0.5s時(shí)，小球處于平衡位置，此時(shí)小球的速度最大，小球的向心加速度最大,

故A錯(cuò)誤；

B.由圖像可知，f=ls時(shí)，小球處于負(fù)向最大位移處，此時(shí)小球的速度0,向心加速度為0,但沿切線方向

加速度不為0,故B錯(cuò)誤；

C.由圖像可知，從f=ls至"=1.5s的過程中，小球從負(fù)向最大位移擺向平衡位置，小球的速度不斷增大，則

小球的動(dòng)能不斷增大，故C正確；

D.由圖像可知，從f=L5s到f=2s的過程中，小球從平衡位置擺向正向最大位移，小球的速度不斷減小，

根據(jù)牛頓第二定律可得

2

V

T-mgcos0=m-

可得

V2

T=mgcos0+m—

由于。逐漸增大，小球的速度不斷減小，則細(xì)線中的張力不斷減小，故D錯(cuò)誤。

故選C。

2.如圖甲，一個(gè)小球在43間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為最低點(diǎn)。以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、以水平向右為正方向，

小球的振動(dòng)圖像如圖乙所示。重力加速度g大小取9.8m/s2,7t2R9.8,不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（）

A.小球的振動(dòng)方程為x=5sin（2兀B.0:0.5s,小球的動(dòng)能逐漸增大

C.動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化的周期為IsD.此單擺的擺長(zhǎng)約為2m

【答案】C

【詳解】A.由圖乙可知，小球的振動(dòng)周期為

T=2s

振幅

A=5cm,co=崇=7rrad/s

小球的振動(dòng)方程是

尤=/sinatf=5sin兀f(cm)

A項(xiàng)錯(cuò)誤;

B.0-0.5S,小球遠(yuǎn)離平衡位置，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為勢(shì)能，小球的動(dòng)能逐漸減小，B項(xiàng)錯(cuò)誤;

C.單擺周期為2s,一個(gè)周期內(nèi)動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化兩次，故動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化的周期為Is,C

項(xiàng)正確;

D.根據(jù)周期公式有

解得

L=Im

D項(xiàng)錯(cuò)誤。

故選Co

3.如圖所示，。點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將可視為質(zhì)點(diǎn)的擺球拉至/點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，靜止釋

放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的4。之間來回?cái)[動(dòng)，3點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置。整個(gè)過程忽略空氣阻力，

則在擺動(dòng)穩(wěn)定后的一個(gè)周期內(nèi)（）

A.擺球只受到重力、拉力兩個(gè)力的作用

B.擺球在經(jīng)過4點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，回復(fù)力為零

C.擺球在經(jīng)過3點(diǎn)處，速度最大，回復(fù)力最大

D.擺球相鄰兩次經(jīng)過3點(diǎn)時(shí)，細(xì)線拉力大小不相等

【答案】A

【詳解】A.擺球受到重力、拉力兩個(gè)力的作用。故A正確;

B.擺球在經(jīng)過4點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，回復(fù)力為重力沿切線方向的分力，不為零。故B錯(cuò)誤；

C.擺球在經(jīng)過2點(diǎn)（單擺的平衡位置）處，速度最大，回復(fù)力為零。故C錯(cuò)誤；

D.擺球相鄰兩次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，速度大小相等，根據(jù)牛頓第二定律得

v2

r-mg=m-

解得

v2

F=mg+m—

細(xì)線拉力大小相等。故D錯(cuò)誤。

故選Ao

4.如圖甲是演示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的裝置，它由一根較長(zhǎng)的細(xì)線和一個(gè)較小的沙漏組成。當(dāng)沙漏擺動(dòng)時(shí)，勻速

拉出沙漏下方的木板，漏出的沙在板上會(huì)形成一條曲線。通過對(duì)曲線的分析，可以確定沙漏的位移隨時(shí)間

變化的規(guī)律。圖乙是同一個(gè)沙漏分別在兩塊木板上形成的曲線.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)。8若拉動(dòng)木板1和木

板2的速度大小分別為％和V2,則（）

3

D.v,=-v2

【答案】B

【詳解】木板做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)振動(dòng)周期為7,由圖乙可得

3

/x27-V2'X—T

可得

3

%匕

故選Bo

5.如圖甲所示，一個(gè)單擺做小角度擺動(dòng)，以向右的方向作為擺球偏離平衡位置的位移的正方向，得到擺球

相對(duì)平衡位置的位移x隨時(shí)間/變化的圖像，如圖乙所示，不計(jì)空氣阻力。對(duì)于這個(gè)單擺的振動(dòng)過程，下列

說法正確的是（）

//////,x/cm

甲乙

A.，=0.5s時(shí)，擺球所受回復(fù)力最大，方向向右

B.，=ls時(shí)，擺球偏離平衡位置位移最大，方向向右

C.從f=0.5s至卜=1.0s的過程中，擺球的重力勢(shì)能逐漸增大

D.該單擺擺長(zhǎng)約為2m

【答案】A

【詳解】A.以向右的方向作為擺球偏離平衡位置的位移的正方向，r=0.5s時(shí),位移為-4cm,即擺球在端點(diǎn)

A,由尸=-丘可知，擺球所受回復(fù)力最大，方向向右，故A正確；

B.t=ls時(shí)，擺球的位移為零，即擺球剛好在平衡位置，故B錯(cuò)誤；

C.從f=0.5s至卜=1.0s的過程中，擺球的位移逐漸減小，即向下擺動(dòng)回到平衡位置，重力做正功，重力勢(shì)

能逐漸減小，故C錯(cuò)誤；

D.由XT圖像可知單擺的周期為T=2s,由T=2代,

可得擺長(zhǎng)為

L=-K1m

4/

故D錯(cuò)誤。

故選Ao

6.如圖所示，一個(gè)光滑弧形凹槽半徑為R,弧長(zhǎng)為Z（已知R》Z）。現(xiàn)將一質(zhì)量為加的小球從凹槽邊緣由

靜止釋放，小球以最低點(diǎn)為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。已知重力加速度大小為g,下列說法正確的是（）

A.小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力為重力和支持力的合力

B.小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力為重力沿凹槽圓弧切線方向的分力

C.小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為2兀

D.小球運(yùn)動(dòng)到凹槽最低點(diǎn)時(shí)所受合力為零

【答案】B

【詳解】AB.小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力為重力沿凹槽圓弧切線方向的分力，A錯(cuò)誤，B正確;

C.小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧形凹槽的半徑相當(dāng)于擺長(zhǎng)，則其周期為2萬Jg,C錯(cuò)誤；

D.小球運(yùn)動(dòng)到凹槽最低點(diǎn)時(shí)所受合力提供向心力，不為零，D錯(cuò)誤；

故選B。

7.如圖所示，單擺在豎直平面內(nèi)的/、。之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，。點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，8點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低

位置。下列說法正確的是（）

A.擺球從/點(diǎn)向3點(diǎn)擺動(dòng)過程中，重力的沖量為零

B.擺球由/點(diǎn)向2點(diǎn)擺動(dòng)過程中，細(xì)線拉力增大，回復(fù)力增大

C.擺球在N點(diǎn)和C點(diǎn)時(shí)，速度為零，細(xì)線拉力最小，但回復(fù)力最大

D.擺球在3點(diǎn)時(shí)，重力勢(shì)能最小，機(jī)械能最小

【答案】C

【詳解】A.根據(jù)

I。="喀

可知擺球從/點(diǎn)向8點(diǎn)擺動(dòng)過程中，重力的沖量不為零，故A錯(cuò)誤；

B.假設(shè)單擺擺動(dòng)過程中，細(xì)線與豎直方向夾角為6,擺球做圓周運(yùn)動(dòng)，擺球由4點(diǎn)向8點(diǎn)擺動(dòng)過程中，有

2

V

T-mgcos0=m——

Fn=mgsin0

擺球由4點(diǎn)向5點(diǎn)擺動(dòng)過程中e減小，速度逐漸增大，可知細(xì)線拉力T增大，回復(fù)力盤減小，故B錯(cuò)誤;

C.擺球在4點(diǎn)和C點(diǎn)時(shí)，即最大位移處時(shí)，速度為零，結(jié)合選項(xiàng)B分析可知，此時(shí)細(xì)線拉力最小，回復(fù)

力最大，故C正確；

D.擺球在最低點(diǎn)8處，動(dòng)能最大，重力勢(shì)能最小，但擺球運(yùn)動(dòng)過程中，機(jī)械能守恒，故D錯(cuò)誤。

故選C。

8.某同學(xué)在探究單擺運(yùn)動(dòng)中，圖甲是用力傳感器對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行測(cè)量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連

接的計(jì)算機(jī)屏幕所顯示的尸/圖像，則以下說法正確的是（）

力

傳

感g(shù)

器

A.f=0.1s時(shí)刻擺球速度最大

B./=0.5s時(shí)刻擺球經(jīng)過最低點(diǎn)

C.單擺振動(dòng)周期7=0.8s

D.單擺振動(dòng)周期T=0.9s

【答案】B

【詳解】A.Z=0.1s時(shí)刻擺球受拉力最小，則擺球在最大位移處，速度最小，故A錯(cuò)誤；

B.t=0.5s時(shí)刻擺球受拉力最大，則擺球經(jīng)過最低點(diǎn)，故B正確；

CD.由圖可知擺球的周期為

7=2x（0.9-0.1）s=l.6s

故CD錯(cuò)誤；

故選Bo

9.如圖所示，在傾角為a的斜面頂端固定一擺長(zhǎng)為上的單擺，單擺在斜面上做小角度擺動(dòng)，擺球經(jīng)過平衡

位置時(shí)的速度為v,重力加速度大小為g,則以下判斷正確的是（）

A.單擺在斜面上擺動(dòng)的周期為7=2代

2

B.擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)受到的回復(fù)力大小為尸=加上

L

C.若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則單擺的振動(dòng)周期將增大

D.若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則單擺的振動(dòng)周期將減小

【答案】D

【詳解】A.單擺在平衡位置時(shí)，等效重力加速度為

g'=gsina

所以單擺在斜面上擺動(dòng)的周期

L

gsina

故A錯(cuò)誤;

B.回復(fù)力大小與擺球偏離平衡位置位移大小成正比，故擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)受到的回復(fù)力大小為0,故B

錯(cuò)誤;

CD.若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，擺球在平衡位置時(shí)，受力分析如圖所示

等效重力加速度為

gn=gsina+—

m

所以單擺在斜面上擺動(dòng)的周期

7=2乃信=2乃

-----.--——qH

gsina+2―

m

故C錯(cuò)誤，D正確。

故選D。

10.如圖所示，在地球上同一個(gè)地區(qū)創(chuàng)設(shè)不同的條件進(jìn)行單擺實(shí)驗(yàn)。圖甲裝置置于真空中，懸點(diǎn)處固定一

帶正電的小球，絕緣細(xì)線下端連接另一帶正電小球，周期記為工；圖乙中，單擺的懸點(diǎn)在一向下加速的電

梯頂端，周期記為心；圖丙中的擺球帶正電，在如圖所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中進(jìn)行擺動(dòng)，周期記為北；圖丁中的

擺球帶正電,在如圖所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)中進(jìn)行擺動(dòng),周期記為4。若四個(gè)單擺的擺長(zhǎng)一樣長(zhǎng)，則周期關(guān)系正

確的是（)

//////////////

a

x

w?E

?xXXX

甲乙丙丁

A.B.

C.T3=T{>T4>T2D.2T3=T\>L

【答案】D

【詳解】單擺甲所受的庫(kù)侖力和單擺丙受的洛倫茲力總是沿半徑方向，不影響回復(fù)力，則

3=2"在

根據(jù)等效重力加速度的求法，在平衡位置處，對(duì)乙有

mg—7^=ma

解得

4

g效落=『一。

則有

=2萬

對(duì)丁有

Tr=mg+qE

則

故

綜上比較四個(gè)單擺的周期可知

故選D。

二、多選題

11.如圖所示，光滑圓弧槽半徑為尺（未知），/為最低點(diǎn)，C到/的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于尺，小球B位于/點(diǎn)的

正上方，且到/點(diǎn)的距離為〃。若同時(shí)釋放小球B、C,則要使兩小球B和C在/點(diǎn)相遇（小球B和C可

視為質(zhì)點(diǎn)），R的可能值為（）

【答案】AD

【詳解】小球C做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意得

解得

n8H

(…，1,2...)或尺=(4“+3)%(幾=0,1,2...)

當(dāng)〃=0時(shí)，則有

故選AD-

B./=2s時(shí)，甲單擺的重力勢(shì)能最大，乙單擺的動(dòng)能最小

C.甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為4:1

D.甲、乙兩單擺的擺球在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度大小一定不相等

【答案】AD

【詳解】A.甲、乙兩單擺的振幅分別為4cm和2cm,則振幅之比為2:1,,故A正確；

B.f=2s時(shí)，甲單擺在最低點(diǎn)，則重力勢(shì)能最小，乙單擺在最高點(diǎn)，則動(dòng)能最小，故B錯(cuò)誤;

C.甲、乙兩單擺的周期之比為1:2,根據(jù)

可知，擺長(zhǎng)之比為1:4,故C錯(cuò)誤；

D.設(shè)擺球擺動(dòng)的最大偏角為由

及

ma=m

可得，擺球在最低點(diǎn)時(shí)向心加速度

〃=2g(1-cos=4gsin2—

因兩擺球的最大偏角。滿足

221

a=4gsin2-^=g|

所以

〃甲。乙

故D正確。

故選ADo

13.一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)線，上端懸掛在O點(diǎn)，下端系一個(gè)小球，如圖甲所示，某同學(xué)利用此裝置來探究周

期與擺長(zhǎng)的關(guān)系.該同學(xué)用米尺測(cè)得細(xì)線的長(zhǎng)度，用游標(biāo)卡尺測(cè)得小球的直徑，二者相加為/,通過改變細(xì)

線的長(zhǎng)度，測(cè)得對(duì)應(yīng)的周期7,得到該裝置的/-〃圖像如圖乙所示，則下列說法正確的是（取病=9.87）

A.T=2s時(shí)擺長(zhǎng)為1mB.7=2s時(shí)擺長(zhǎng)為0.994m

C.擺球半徑為0.006mD.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?.81m/s2

【答案】BCD

【詳解】D.設(shè)擺長(zhǎng)為小球半徑為八單擺的周期公式

7=2萬

整理得

可知言為,一產(chǎn)圖像的斜率’所以有

g_1.000-0.006m/S2

萬一4

解得

g?9.81m/s2

D正確；

ABC.由題圖乙可知，/-X圖像的縱軸截距為小球的半徑心則

r=0.006m

當(dāng)T=2s時(shí)擺長(zhǎng)

I'-I-r-0.994m

A錯(cuò)誤，B、C正確。

故選BCDo

14.如圖甲所示，一光滑絕緣小圓槽MN固定在水平面上，M、N兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)遠(yuǎn)小于圓槽的半徑R。將

該裝置置于加速上升的電梯中，如圖乙所示；將該裝置置于豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，如圖丙所示；將該裝

置置于方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，如圖丁所示。一個(gè)帶正電的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從M點(diǎn)靜止釋放,

圖甲、乙、丙和丁四種情形下，設(shè)小球由〃運(yùn)動(dòng)到N的時(shí)間分別為/甲、/z、/可和/廠則（）

O

/；7?\

甲

O

?'I''

/\R\

丙

A.t乙B.t^>t丁

C.t甲=t丁D.t丁

【答案】AC

【詳解】依題意，小球自“運(yùn)動(dòng)至N可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

其中g(shù)等為等效重力加速度，圖甲中

g甲等=g

圖乙中

gz^=g+a>g

圖丙中

,qE

S拓莘—g+>g

m

圖丁中

g7"等—g

所以

t甲—tFt乙，t甲—tk/丙

但，乙、/兩大小關(guān)系不能確定。

故選ACo

15.做單擺實(shí)驗(yàn)時(shí)，小球可能在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)形成圓錐擺。為避免單擺做圓錐擺引起的誤差，可采

用雙線擺代替單擺來改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置。如圖所示，兩根線的一端都系在小球的同一點(diǎn)，另一端分別固定在天

花板上，兩根線的長(zhǎng)度均為/、與豎直方向的夾角均為仇小球的直徑為力重力加速度為g。現(xiàn)將小球垂直

紙面向外拉動(dòng)，使懸線偏離豎直方向個(gè)很小的角度后由靜止釋放，若不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是

()

A.若單擺微圓錐擺運(yùn)動(dòng)，其做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的周期小于單擺的周期

B.這個(gè)雙線擺的擺長(zhǎng)為/+(

C.這個(gè)雙線擺的周期為7=2利竺

\S

D.圖中雙線擺的。角越小越好

【答案】AC

【詳解】A.若為圓錐擺時(shí)，則

mgtan0=/sin9

解得

IcosS

T=l7t

g

而單擺的周期為

可知做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的周期小于單擺的周期，故A正確;

BC.這個(gè)雙線擺的擺長(zhǎng)為

L=ICOS0H—

2

則這個(gè)雙線擺的周期為

,八d

I/COSuH

T=2萬8=2斗-------幺

ygVg

故B錯(cuò)誤，C正確；

D.圖中雙線擺的0角太小的話，擺動(dòng)起來越不穩(wěn)定，故D錯(cuò)誤。

故選AC-

16.惠更斯發(fā)現(xiàn)“單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期7與重力加速度的二次方根成反比”。為了通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證這一結(jié)論，

某同學(xué)創(chuàng)設(shè)了“重力加速度”可以人為調(diào)節(jié)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境。如圖1所示，在水平地面上固定一傾角e可調(diào)的光滑

斜面，把擺線固定于斜面上的。點(diǎn)，使擺線平行于斜面。拉開擺球至/點(diǎn)，靜止釋放后，擺球在48C之間

做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，擺角為夕。擺球自然懸垂時(shí)，通過力傳感器（圖中未畫出）測(cè)得擺線的拉力為用，擺球擺動(dòng)

過程中，力傳感器測(cè)出擺線的拉力隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖2所示，其中用、工、丸均已知。當(dāng)?shù)氐闹亓?/p>

B.單擺〃次全振動(dòng)的時(shí)間為“痣

C.多次改變擺角只要得出Tx高就可以驗(yàn)證該結(jié)論成立

D.在圖2的測(cè)量過程中，滿足區(qū)=3￡-26的關(guān)系

【答案】AD

【詳解】A.對(duì)小球進(jìn)行受力分析可知，小球的垂直于斜面的分力始終與斜面的支持力平衡，令等效重力

加速度為go,則有

mgsin0=mgQ

解得

go=gsin<9

可知，多次改變圖i中e角的大小，即可獲得不同的等效重力加速度，故A正確；

B.單擺在運(yùn)動(dòng)過程中，/、。兩位置擺線的拉力最小，根據(jù)圖2可知，相鄰兩個(gè)擺線拉力最小的位置的時(shí)

間間隔為半個(gè)周期，可知，單擺〃次全振動(dòng)的時(shí)間為

t=nT=2nTQ

故B錯(cuò)誤；

C.根據(jù)單擺周期公式有

L

T=271

gsin。

1

可知，多次改變斜面傾角。，只要得出Ts就可以驗(yàn)證該結(jié)論成立,故C錯(cuò)誤;

Jsin8

D.擺球自然懸垂時(shí)，通過力傳感器（圖中未畫出）測(cè)得擺線的拉力為片，根據(jù)平衡條件有

Fx=mgsind

在圖2的測(cè)量過程中，擺球在/位置有

&=mgsin0cosa

擺球在B位置有

2

F3-mgsm0=^~

擺球從A位置運(yùn)動(dòng)到B位置過程有

mgsin0(Z-Lcosa)=mv2

解得

￡=3片-26

故D正確。

故選AD。

17.將一臺(tái)智能手機(jī)水平粘在秋千的座椅上，使手機(jī)邊緣與座椅邊緣平行（圖甲），讓秋千以小擺角（小于

5。）自由擺動(dòng)，此時(shí)秋千可看作一個(gè)理想的單擺，擺長(zhǎng)為"從手機(jī)傳感器中得到了其垂直手機(jī)平面方向

的。一關(guān)系圖，如圖乙所示.則以下說法不正確的是（）

網(wǎng)

甲

A.忽略空氣阻力，秋千的回復(fù)力由重力和拉力的合力提供

B.當(dāng)秋千擺至最低點(diǎn)時(shí)，秋千對(duì)手機(jī)的支持力大于手機(jī)所受的重力

C.秋千擺動(dòng)的周期為馬-4

4TI2L

D.該地的重力加速度---v

g=7(…)

【答案】AC

【詳解】A.忽略空氣阻力，秋千的回復(fù)力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，故A錯(cuò)誤，滿足題意要求;

B.當(dāng)秋千擺至最低點(diǎn)時(shí)，有

mv2

N-mg=—^―

可知秋千對(duì)手機(jī)的支持力大于手機(jī)所受的重力，故B正確，不滿足題意要求;

CD.秋千擺動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，垂直手機(jī)平面方向的加速度(向心加速度)為0,根據(jù)題圖乙可得秋千擺動(dòng)的

周期為

T=t3-t{

根據(jù)單擺的周期公式有

L

T=2兀

g

可得

4nlL

---v

g=~（,G-%）

故C錯(cuò)誤，滿足題意要求；D正確，不滿足題意要求。

故選AC。

18.某研究性學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置，將一傾角可調(diào)的光滑斜面固定在水平面上，斜面上

固定一力傳感器，將小球通過擺線掛在力傳感器上，擺線與斜面始終保持平行，小球能在斜面上做單擺運(yùn)

動(dòng)。當(dāng)斜面傾角。=45。時(shí)，傳感器輸出的細(xì)線拉力F隨時(shí)間/的變化曲線如圖2所示，則下列說法正確的

A.由圖2可知單擺的周期為7=0.8s

B.只減小斜面傾角，則單擺周期將變大

C.擺線應(yīng)選用不易伸縮的輕質(zhì)細(xì)繩

D.只增大擺線的長(zhǎng)度，則單擺周期將減小

【答案】BC

【詳解】A.根據(jù)題意，由圖乙可知，小磁鐵擺動(dòng)的周期為

7,=2x(0.9-0.1)s=1.6s

故A錯(cuò)誤；

BD.根據(jù)題意可知，斜面傾角為。時(shí)，等效重力加速度為

g，=gsinP

由單擺周期公式有

T=2肛|-----

ygsin0

只減小斜面傾角，則單擺周期將變大，只增大擺線的長(zhǎng)度，則單擺周期將增大，故B正確，D錯(cuò)誤；

C.為避免單擺擺動(dòng)過程中擺長(zhǎng)變化，擺線應(yīng)選用不易伸縮的輕質(zhì)細(xì)繩，故C正確；

故選BC=

三、解答題

19.正在修建的房頂上固定的一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)線垂到三樓窗沿下，某同學(xué)應(yīng)用單擺原理測(cè)量窗的上沿到

房頂?shù)母叨龋葘⒕€的下端系上一個(gè)小球，發(fā)現(xiàn)當(dāng)小球靜止時(shí)，細(xì)線恰好與窗子上沿接觸且保持豎直，他

打開窗子，讓小球在垂直于墻的豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，如圖所示，從小球第1次通過圖中的8點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，第

21次通過3點(diǎn)時(shí)用30s；球在最低點(diǎn)3時(shí)，球心到窗上沿的距離為1m,當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭取/(m/s)；

(1)小球第1次從左向右經(jīng)過3點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，則第2次經(jīng)過8點(diǎn)時(shí)，時(shí)間間隔是多少？

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求房頂?shù)酱吧涎氐母叨取?/p>

【答案】(l)1.5s(2)3m

【詳解】(1)從小球第1次通過圖中的2點(diǎn)開始計(jì)時(shí)到第21次通過8點(diǎn)共用時(shí)30s,則周期為

丁30,

r=2OSS

2

則球第1次從左向右經(jīng)過8點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，則第2次經(jīng)過8點(diǎn)時(shí)，時(shí)間間隔為

t=—T=1.5s

2

(2)球心到窗上沿的距離/=1m,由于該單擺在左右兩側(cè)擺動(dòng)的擺長(zhǎng)變化，根據(jù)單擺周期公式可得

T=；（4+