貴州省黔南布依族苗族自治州2025屆高三

第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知全集"={12'45,6,7},集合A={x[(x—l)(x—3)=0},則務(wù)A=()

A.{1,3}B.{2,4,5,6,7}C.{1,3,5,7}D.{2,4,6}

【答案】B

【解析】依題意，A={1,3},所以eA={2,4,5,6,7}.

故選：B

2.已知向量a=(—1,4),石=(3,%).若￡J_石,則％=()

33

A.-12B.——C.-D.12

44

【答案】C

-*-*3

【解析】向量a=(—l,4),b=(3,x),由力_1_。得￡/=—3+4x=0，所以％=屋

故選：C

3.樣本數(shù)據(jù)：11,12,15,13,17,18,16,22,36,30的第70百分位數(shù)是()

A.16B.19C.20D.22

【答案】C

【解析】共有10個(gè)數(shù)，10x70%=7,故從小到大排列，選擇第7個(gè)數(shù)和第8個(gè)數(shù)的平

均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即20為第70百分位數(shù).

故選：C.

4.曲線“x)=lnx在點(diǎn)(1,7(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()

1e

A.—B.1C.—D.e

22

【答案】A

【解析】由/(x)=lnx,求導(dǎo)得尸(無)=L貝=而/⑴=。，

X

因此曲線f(x)=lnx在點(diǎn)處的切線為y—0=x—1,該切線交x于點(diǎn)(1,0),交V

軸于點(diǎn)(0,—1),

所以該切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積S=Lxlxl=L.

22

故選：A

5.若"為圓(％+l)2+y2=2上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)“到直線x+y—3=。的距離的最小值為

A.夜B.3-72C.2后D.3正

【答案】A

【解析】圓(X+1)2+/=2的圓心C(—1,O),半徑廠=0,

|-1+0-3|

點(diǎn)C(-1,O)到直線x+y—3=0的距離d==2^/2>5/2,

即直線x+y—3=0與圓(x+iy+V=2相離，又點(diǎn)M在該圓上,

所以點(diǎn)M至IJ直線x+y—3=0的距離的最小值為d-r=41-

故選：A

3TC

6.若cos(tzH—)=—,則COS(2<7—)=()

353

247724

A.---B.----C.—D.

25252525

【答案】C

7T3717r37T3

【解析】由cosg+—)=—,得cos[(c——)+—]二—,即—sing——)=—,解得

3562565

sin(?

65

jrjrjr37

所以cos(2a-§)=cos2(cr--)=l-2sin2(cr--)=1-2x(--)2.

故選：C

7.三次函數(shù)/⑴=皿3+以2+5+2的圖象如圖所示.下列說法正確的是()

A.〃<0,b<0,c>0,d>0B.〃<0,b>0,c<0,d<Q

C.”>0,b<0,cvO,d<0D.a〉0,/;>0,cvO,d<0

【答案】D

【解析】函數(shù)/(x)=ax3+bx2+cx+d,求導(dǎo)得f(x)=3ax2+2bx+c,

觀察函數(shù)圖象，得函數(shù)/(%)有異號兩個(gè)極值點(diǎn)玉/2,且玉<-2<0<w<2,

函數(shù)/（x）在（—°，再），（工2,4<0）上單調(diào)遞增，在（須,X2）上單調(diào)遞減，4=/（。）<。，排除

A；

八-2)=12a-4b+c<0

由一26(X1，/),2d(々,+°0),得則<

/'(2)=12a+4A+c>0

8b=/'(2)—/'(—2)>0,得力>0,排除C；

由不等式3公2+2笈+°>0的解集為（一8,石）1］（々,+8）,得3a>0,即。>0,排除

B；

又看,電是方程30^+2法+c=0的二根，玉x,=￡<0,則c<0,選項(xiàng)D符合題意.

3a

故選：D

8.通常用24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（單位：mm）來判斷降雨量的大小，如下

表：

降雨等級小雨中雨大雨暴雨大暴雨特大暴雨

積水厚度

(0,10)[10,25)[25,50)[50,100)[100,250)[250,+oo)

（mm）

某同學(xué)用如圖所示的圓臺形容器接了24小時(shí)雨水，則這24小時(shí)內(nèi)降雨的等級是（）

<—200mm―>

40mm

A.中雨B.大雨C.暴雨D.大暴雨

【答案】A

由題意得AB=200mm,CD=40mm,=40+200=120mm,

2

所以容器內(nèi)雨水的體積

?100=當(dāng)°0°5,

3

52000071

52

所以小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度為=—mm

243

因?yàn)?0〈——<25,所以這24小時(shí)內(nèi)降雨等級是中雨.

3

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分)

9.已知等差數(shù)列｛??｝的前〃項(xiàng)和為S,,,等比數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和為7；.下列說法正確的是

()

A.數(shù)列｛邑｝為等差數(shù)列

n

B.若Sz=2,S6=12,則S4=7

C.數(shù)列｛；｝為等比數(shù)列

D.若”=94，則數(shù)列也｝的公比為2

【答案】ACD

【解析】對于A,令等差數(shù)列｛叫公差為d,則S“=叫+=

身江―2=q+'d—(%+巴二12)=&為常數(shù)，數(shù)列｛區(qū)｝為等差數(shù)列，A正確；

n+1n222"

對于B,等差數(shù)列｛%｝中，82,64—S2，S6—S4成等差數(shù)列，則2(54-2)=2+12-$4，

解得$4=6,B錯(cuò)誤;

1

hhi1

對于C,令等比數(shù)列他/的公比為q,則￥=廣=—為常數(shù)，數(shù)列｛廠｝

―2+1q",

b,

為等比數(shù)列，c正確;

對于D,等比數(shù)列也｝的公比為心由＜=94,

得%+%+%+“4+%+”6=9(%+%+%)，

則/(%+出+〃3)=8(〃]+%+〃3)，而〃]+&+〃3=/(1+q+q2)w0,解得q=2,D

正確.

故選：ACD

10.函數(shù)/(x)=Asin(0x+。＞0,|同＜(的部分圖象如圖所示.下列說法正確的是

7兀3兀

A.函數(shù)y=/(%)在區(qū)間上單調(diào)

函數(shù)y=/(久)在區(qū)間g,27r上有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.

函數(shù)y=/(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)F,0中心對稱

7117兀

D.函數(shù)y=/(%)的圖象與直線y=l在區(qū)間-—上有兩個(gè)公共點(diǎn)

【答案】BD

71兀,_2兀

【解析】由圖象可知，最小正周期7=-x2=7l=—

367CD

所以①二2,

Asin12鼻+夕)=2

t，，［一^，—21代入/(%)中得＜

將

Asin2-+(p=-2

A=2

結(jié)合|。|＜3,解得＜兀，

片一飛

所以/(x)=2sin[2x-《

因?yàn)閥=2sinx在上不單調(diào),

故A錯(cuò);

,-n

xep,2n貝！]2x_qe

I6

上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

所以“X)在［不,211)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；

lln八.(一1Inn=2sin—=-2,所以(野',0］不是/(%)的對稱中心，故

2sin2-----------

666

C錯(cuò)；

/兀|TTTT

令f(x)=2sin2x----=1,解得x=―+左兀/eZ或x=—+而,左wZ,

16/62

i1>-1

因?yàn)?所以x=J"或g,所以/(x)的圖象與直線y=1在-9~--上有

_212_62_212

兩個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.

故選：BD.

11.已知拋物線。：/=4'的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/與拋物線。交于A,3兩點(diǎn).若

拋物線c在點(diǎn)A,3處的切線的斜率分別為占，k2,且拋物線c的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)

N,則下列說法正確的是()

A.|AB|的最小值為4

B.若|AB|=4,則N4LNB

C.若左+七=4,則直線A3的方程為％—丁+1=。

TT

D.直線AN傾斜角a的最小值為一

4

【答案】ABD

【解析】拋物線。：/=4'的焦點(diǎn)/(0,1),準(zhǔn)線方程為y=—l,N(0,—1),

顯然直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=Ax+l,4和必),3(%,%)，

y=kx+l

由<,,消去y得_?一4履一4=0，顯然A〉。，石+X,=44=一4,

k=4y--

對于A,\AB\=\AF\+\BF\=y}+l+y2+l=+2>^^+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)石=-々時(shí)取等號，A正確；

對于B,由選項(xiàng)A知，|AE|=|3E|=2,而|NF|=2,因此N4LN3,B正確;

對于C,由丁=；工2,求導(dǎo)得/=gx,則左1=：X],左2，

由勺+履=4,得%+%=8,則4左=8,解得左=2,直線AB的方程為

2x—y+l=O,C錯(cuò)誤；

對于D,直線AN的斜率/^二互出二字士，|心，=卓[2斗薛=1，

國4國41玉|41玉|

當(dāng)且僅當(dāng)1%1=2時(shí)取等號，

?'11j?j?

則k<-l^k>l,因此直線AN的傾斜角aG[-,-)U(-,—]，

ANAN4224

77

直線AN的傾斜角a的最小值為一，D正確.

4

故選：ABD

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.己知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(l—i)=l+i,則』=.

【答案】—i

rAmc.11+i(1+i)1+2i—1

【解析】z=---=,'"~-=-------=1,

1-i(l-i)(l+i)2

所以z=—i

故答案為：-i.

13.^+-j的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)

【答案】60

【解析】由題意二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為

令r=2,可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為4=22?屐=60.

故答案為：60.

n

14.已知集合A={x|x為不超過左的正整數(shù)},ZreN,xk&Ak,=60,則”的

k=l

最大值與最小值之和為.

【答案】71

,7

【解析】由題意可得,4={1,2,3,…/cN*,且2>斤=60,

k=\

對于”的最小值，要盡可能讓每一項(xiàng)/取最大值；

對于"的最大值，要盡可能讓每一項(xiàng)隊(duì)取最小值；

當(dāng)々盡可能取大的值時(shí)，〃會(huì)取到最小值，

當(dāng)Vx*=1時(shí)，n取到最大值，最大值為60；

1011

當(dāng)/二左時(shí)，因?yàn)閆%=55<60,，％=66>60,

k=lk=l

所以取％=k(k=l,2,---,10'),x]i=5時(shí)，工刀卜=60,

k=\

此時(shí)n恰好取到最小值，

綜上”的最大值為60,〃的最小值為11,

則〃的最大值與最小值之和為71.

故答案為：71

15.已知VABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,且si〃A+&cosA

=0,a=7,b=3.

(1)求A和c；

(2)已知點(diǎn)。在線段上，且平分/B4C,求AD的長.

解：(1)在VABC中，由si〃A+A=0，得tanA=一百，

而0<4<兀，則A=—,

由余弦定理，Wa2=b2+c2-2bccosA，即49=9+。2+30，即c?+3c—40=0，

而c>0,所以c=5.

27r

(2)由(1)知，A——,由AD平分/B4C，得SAADC+=S^ABC，

1jr1jr19jr

即一/??ADsin—+—c?ADsin—=—bcsin——,則(Z?+c)AZ)=Z?c,即8AD=15,

232323

所以AD=[

8

16.己知函數(shù)/(工)=m“一x+l(aeR).

(1)討論函數(shù)/(x)單調(diào)性；

(2)若當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)/(%)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：(1)函數(shù)/(x)=ae*-x+l的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/'(x)=ae*-1,

當(dāng)aW0時(shí)，f'(x)<Q,函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(%)<0,得x<—lna；由/'(x)>0,得x>—lna,

即函數(shù)/(%)在(-8,Tna)上單調(diào)遞減，在(Tna,+0。)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)aW0時(shí)，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,+8)；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(幻的單調(diào)遞減區(qū)間是(—8,—Ina),單調(diào)遞增區(qū)間是(—Ina,+8).

(2)由(1)知，當(dāng)。>0時(shí)，/(x)^=/(-Ina)=2+In?,

當(dāng)X->-CO時(shí)，/(x)->+oo；當(dāng)尤一>+CO時(shí)，/(無)—>+00,

要函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)2+lna<0,解得Ovave」，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍0<a<e-2.

17.如圖，四棱錐P—ABCD的底面A5CD為平行四邊形，上4_L底面A5CD,

?ABD90?.

(1)求證：平面八鉆，平面QB。；

(2)若Q4=A5=5D,求平面與平面P￡)C的夾角的余弦值.

(1)證明：在四棱錐P—A6CD中，由R4,底面ABC。，5Du底面A5CD,

得如，班>，

由？ABD90?,得AB_LBD,而上4cA3=AB4,A3U平面B4B,

則801平面MB,又5￡><=平面P5￡),

所以平面上48平面P5￡).

(2)解：過8作直線Bz//B4,由上4_L底面A5CD,得及，底面A6CD,直線

5D,5A,5z兩兩垂直，

以點(diǎn)5為原點(diǎn)，直線BD,BA,Bz分別為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

令A(yù)B=1,又A5C￡>為平行四邊形，則3(0,0,0),。(1,0,0),。(1,-1,。),尸(。,1,1),

BD=(1,0,0),CD=(0,l,0),DP=(-1,1,1),

_m-BD=a=0

設(shè)平面PB￡>的法向量為加=(a/,c)，則，_.,

m-DP=-a+b+c=0

取c=l，得加=(0,—1,1),

一n-CD=y=0

設(shè)平面PDC的法向量為〃=(x,y,z)，貝叫一.

n-DP=-x+y+z=0

取z=l,得7=(1,0,1),

—?.一lm.nlI|

所以平面PBD與平面PDC的夾角的余弦值為Icos(m,n)|==廠廠=-

18.已知橢圓C:工+==l(a〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡(-右,0),6(6,0),且

ab

橢圓C經(jīng)過點(diǎn)D(V3,1).過點(diǎn)TQ,0)Q>2)且斜率不為0的直線交橢圓C于A,3兩點(diǎn),

過點(diǎn)A和的直線AM與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線的傾斜角為90。，求，的值.

丫221

解：（1）橢圓C:=+4=l的二焦點(diǎn)為耳（-0,0）,與（Jlo）,點(diǎn)。（A/3，Z）在橢圓C

ab2

上，

則2a=|。可|+|。心|=J(—20)2+(g)2+g=4,解得。=2,則

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4

（2）依題意，點(diǎn)A,8不在x軸上，即直線AM不垂直于,軸，且直線AM不垂直于x

軸，否則A,5重合，

設(shè)直線4W方程為％=6+1，k/0,

Y=rCV+1

由2―：2,消去X得，/2+4）丁+2h一3=°，

X2+4/=4'-

顯然A>0,設(shè)AOQIXN?,%），由直線BN的傾斜角為90。，得點(diǎn)8（%2，-%），

2k3

貝|J%+為=—%%=—7T^,所以3（必+%）=2份1%，

K十4/C十4

直線AN的方程為>—X=X+%