河南省新鄉市2025屆高三上學期第一次模擬考試

數學試題

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2,回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知復數z=3二，則|z|=()

l-2i11

A.挺B.當

C.1D.2

【答案】A

3-i(3-i)(l+2i)5+5i

==|z|={1+1=y/2.

l-2i-(l-2i)(l+2i)-

故選：A.

2.函數/'(x)=x3—2e，i+5的圖象在點處的切線方程是()

A.y=5x-lB.y=x+l

C.y=-x+5D.y=3

【答案】D

【解析】函數〃x)=x3—2產\5,

求導得/'(x)=3d—2e*T,

則/”)=1，

而/(1)=4,

所以所求切線方程為y—4=X—1,即y=x+3.

故選：D

3.為了增強學生的體質，某中學每年都要舉行一次全校一分鐘跳繩測試.已知某次跳繩測

試中，某班學生的一分鐘跳繩次數的頻數分布直方圖如圖所示，則該班學生一分鐘跳繩次數

【答案】D

【解析】該班共有6+8+12+18+6=50人，

因為6+8=14<25,6+8+12=26>0,

所以中位數在區間[120,140)內，設為打

x—12055

則6+8+----------xl2=25,解得x=—+1203138.

140-1203

故選：D.

4.若函數/(》)=4^3,g(x)=ln(a—2x)的定義域分別為A,3,且Ap|3=0,g],

則/(〃)二()

A.0B.—C.—D.1

42

【答案】A

【解析]由題意A=[0』,5=1_S,￡，

因為AP|3=，

所以二=?，解得。=1,

22

所以/(。)=/。)=0

故選：A.

5.若直線/：y=x+"z與圓C:(x—2『+(y+5)2=16的兩個交點為A,3,且

|AB|=2V14,則加=()

A.一11或—3B.一9或一5

C.—11或一5D.—9或一3

【答案】B

【解析】圓C:（x—2）2+（y+5）2=16的圓心。（2,—5）,半徑廠=4,

尸

由題意圓心C（2,-5）到直線/的距離［==42，

|2+5+m|

則=A/2,解得加二一5或一9.

VT+T

故選：B.

6.將函數y=sinx圖象上所有點的橫坐標變為原來的工縱坐標不變，再將所得圖

象向右平移三個單位長度后得到函數/（九）的圖象，若/（%）在區間j,7T上恰有5個零

點，則0的取值范圍是（）

A.B.吟

A15

C.吟D.6已

【答案】B

JTTTJT2兀〃)

【解析】依題意，/(x)=sin[?(x--)],當同時，?(x--)e[0,—],

由/（X）在區間［巴，兀］上恰有5個零點，得4兀<*<5兀，解得6V。〈上.

332

故選：B

7.“蝠”與“福”發音相同，在中國文化中，蝙蝠圖案經常寓意福氣臨門.某商家設計的折疊儲

物凳是正三棱臺形狀，如圖，其側面展開圖形似蝙蝠.每個側面梯形的上底長為G分米，

下底長為26分米，梯形的腰長為而分米，忽略儲物凳的表面厚度，則該正三棱臺儲物

凳的儲物容積為（）

B.7g立方分米

21

C.7立方分米D.一立方分米

2

【答案】D

【解析】如圖，在正三棱臺ABC-ABJG中，AB=2^/3,AlB]=73，M=713,

將棱臺補全為正三棱錐P—ABC,

設0為底面VA5c的中心，連接OROA,則。尸，平面ABC,

而OAu平面ABC,所以OPJ_Q4,

因為所以？4=29=2a，

<?A=-ABsin600=2,

3

所以OP=y]p^-O^=473，

則正三棱臺ABC—A4cl的高為=；OP=，

該正三棱臺的上底面面積5=-xV3xV3xsin60°^^，

24

下底面面積S2=；x26x2百xsin60°=36,

所以該正三棱臺儲物凳的儲物容積

V=g(d+斥+S2“=口孚+J哈36+36x2G=g

故選：D.

2x2y2z

8.當x,y,ze[0,+oo),且蒼%z有且只有一個為o時，p(x,y,z)=------+—+-------

x+yy+zz+x

則()

A.2(x,y,z)既無最大值，也無最小值

B.p(x,y,z)的最大值為4,最小值為2

C.p{x,y,z)的最大值為4,p(x,y,z)無最小值

D.夕(x,y,z)的最小值為2,p(x,y,z)無最大值

【答案】A

/、2x2y2z

【解析】在p(羽y,z)=?----------1-------中，由％y,z有且只有一個為①

%+yy+zz+x

小、2y2z-------1-2

當x=0時，則p(0,y,z)=------+—=z,

V+ZZH----

y

c2C

zz2<-------F2<44

而y,ze(0,+co),則一>0,1+—>1,因此］，z,即p(0,y,z)e(2,4),

同理p(x,0,z)G(2,4),p(x,y,0)e(2,4),

所以p(羽y,z)w(2,4),既無最大值，也無最小值.

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

2

9.已知cosasin，=3，則以下等式可能成立的有（）

?01。4

A.sincifcosp=——B.COS26Z=—

29

..14

C.sincrsin/?=--D.cos2/?=—

【答案】BC

【解析】對于A,當51口61^05，=—^時，

=sinacosP-cosasinp-J<-1,

所以sinacos/=-g不可能成立，故A錯誤;

22??

對于B,由cosasin尸二§,得

則cos2。=2cos2cir-1€——,1

4

則cos2a=—可能成立，故B正確;

9

345

對于C,取sina=——,cos。=—,sin/?=一,

556

止匕時cos?sin7?=—,sinasin4=,

則sinasin尸=—g可能成立，故C正確;

2得夕|

對于D,由cosasin夕=§,gmsinW1,

則則cos2，=l-2sin2，e-1,—

4

則cos2夕=-不可能成立，故D錯誤.

故選：BC.

10.已知拋物線C:：/=8x的焦點為產，過點F的直線/的斜率為左,且/與C交于A3兩

個不同的點（點A在x軸的上方），下列說法正確的是（）

A.若左=2,則|AB|=10

B.若IA同=2忸司，則左=2夜

C.點A3的縱坐標之積與人有關

D.若|。4|=2]。卻（0為坐標原點），則|AF|<2怛4

【答案】ABD

【解析】設4（4，”），5（%,為），

對于A,若左=2,則直線/：y=2x—4,

y=2x-4,

聯立<,C，得％2_6X+4=0，則XA+%B=6,

[y-=8x

所以|AB|=XA+XB+4=10，故A正確；

對于B,過點A,3分別作準線的垂線，垂足分別為RQ,

不妨設忸"="2,則|Bg|=m,|AF|=|AP|=2m,|AB|=3m,

則人=三1=2萬故B正確；

2m—m

對于C,易得直線/的斜率不為零，設/:x=〃y+2,

x=ny+2

聯立My1-8ny-16=0,貝!］力力=-16為定值,

y2=8%

所以點A,3的縱坐標之積與左無關，故C錯誤;

對于D,由儂=2儂,得小+*=4（君+0）,

22

即x；+8XA=4說+32XB,即+4）=（2XB+6）+84一20，

由|AF|=Z+2,忸川=%+2,

得仍8+2）2=（2忸8+2）2+84—20,,

因為點A在無軸的上方，所以/<2,

則84-20<0,所以（仙門+2）2<（2忸司+2）2,

所以故D正確.

故選：ABD.

11.在四棱錐P—ABCD中，AB=2,AD=CD=1,AB1AD,AD±DC,動點平面

ABCD,且3ELCE,尸是AE的中點，則（）

A.DE〃平面EBCB.DE長可能為3

C.麗?屁e（l—0,1+J5）D.點廠在半徑為孝的球面上

【答案】ACD

【解析】對于A,取3E的中點G,連接CG,FG,則FGIIABIICD,豆FG==AB=CD,

2

所以四邊形CDFG為平行四邊形，所以DF//CG,

又￡）E<z平面EBC,CGu平面E8C,

所以。E〃平面故A正確；

對于B,設6C的中點為“，連接處，血。,跖4,

由題意四邊形ABCD為直角梯形，則BC=應,。”=亞

2

因為5ELCE,

所以點E在以M為球心，詆為半徑的球面上運動（不過平面ABCD）,

2

則DE<￡>M+ME=?+受<3，故B錯誤;

22

對于C,BABE=BA(BM+ME^=BABM+BAME

=1+|5A|-|ME|cosBA-ME=1+72cosBA-ME,

因為麗,]^不共線，所以COS」BA?ME￡(-1,。,

所以麗?礪e(l—夜,1+0),故C正確;

對于D,設40的中點為N,連接FN,則對=工腔=正,

24

所以點尸在以N為球心，變為半徑的球面上運動，故D正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22n1

12.若橢圓」—+匕=l(“eN*)的離心率為e“，則q=

n+1n'

【答案】①f“(”+3)

2

V2

【解析】因為橢圓「一l(neN*)的離心率為e“，

n+1n

n+\-n

所以，=

n+1n+1

所以弓=等，,=〃+1，

ZF=2+3+...+(“+1)=〈=~4~^

Z=1ei//

故答案為：也；心》

22

?「,T\

13.在VABC中，角A&C的對邊分別為a,b,c,‘me——="VA5c的面積

sinA-sinBb+c

s=5則a+4Z?的最小值為,此時VA5c的周長為.

【答案】①.85+713

■…—」sinC-sinBa/，口

［解析］由-----------二----和正弦定理可得

sinA-siaBb+c

—~~—二anc?-/-a2-ab=>a2+b2-c2=ab,

a-bb+c

2

/+/-c］_

故cosC=

2ab2

?.?Ce(O,7i),.-.C=|,

S=gaZ?sinC=75naZ?=4,故a+44N2d4ab=8,

當且僅當a=4A=4,即a=4/=l時取等號，

c2=?2+Z?2-?Z?=16+1-4=13-故。=而，

此時周長為a+b+c=5+而，

故答案為：8,5+^3

14.如圖，機器人從A點出發，每次可以向右或向上沿著線走一個單位(每個小正方形的一

條邊長為一個單位)，要走到2點，不同的走法共有種.

【解析】如圖，當路線經過點。時，從A到C有1種，從C到5有C；種;

當路線經過點。時，從A到。有C；種，從。到3有C2或種;

當路線經過點E時，從A到E有C；種，從E到8有C；種；

當路線經過點尸時，從A到產有C；種，從產到B有C；種;

當路線經過點G時，從A到G有C；種，從G到3有1種，

所以不同的走法共有

lxC；+C；（C；+C；）+C；C；+C：C；+lxC；=28+180+150+36+7=401（種）.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設函數〃x)=3x—e3i.

(1)求〃%)的單調區間；

(2)比較/(2°°)與/'(2°°2)的大小；

(3)若關于x的不等式/(x)<lga的解集為R,求。的取值范圍.

解：(1)/,(x)=3-3e3x-2,

22

當時，f\x)>0,當x〉§，r(%)<0,

所以函數/(%)的單調增區間為［-8,g),單調減區間為1|，+°0)；

7

(2)因為2°°2>2°a>1>=,

3

所以/(2°a)>/(2°02)；

(3)因為關于x的不等式/'(x)<lga的解集為R,

則只需要坨。>/(九).即可，

由(1)得/(xLx=/1g[=2-l=l,

所以lga>l,解得。>10,

所以。的取值范圍為(1,+8).

16.如圖，在VA5c中，NC=90°,AB=2AC=4,AO=LAC,AE=LAB,將VADE

24

沿DE折起得到四棱錐A'-BCDE，且平面ADE±平面BCDE.

B

(1)證明：四棱錐4—BCE史的高為且.

2

(2)求直線AE與平面A'BC所成角的正弦值.

AC1

解：(1)證明：依題意cos/BAC=——=—,則4AC=60。，

AB2

因為AB=2AC=4,AO=LAC,AE=LAB,所以AD=AE=1,

24

所以VADE和△ADE都是邊長為1的正三角形，

取。E的中點連接AM,則AA/LDE,A'M=—，

2

因為平面ADEL平面5CDE,平面A'OEI平面BCDE=DE,AEu平面A，￡>E，

所以AM,平面BCDE,

所以AV即為四棱錐A-BCDE的高，

所以四棱錐4—BCDE的高為更；

2

(2)如圖所示，以點。為原點建立空間直角坐標系，

則。(。，。，。1臺倒^/^人種歸,0,A',

故包(26,0,0),笈=片卷,季,行=

設平面A'BC的法向量為n=(x,y,z),

n-CB=2y/3x=0

則有《一市6.5*6°，可取萬=

n-CA=——x+—yHz=(J

144'2

_云?福3733^11

則cos",A團=-?

737x137

所以直線A'E與平面ABC所成角的正弦值為生叵.

37

17.某項編程技能比賽分為兩輪：第一輪初賽，賽題由6道基礎編程題和4道中級編程題組

成，基礎編程題每題答對得5分，中級編程題每題答對得10分，初賽至少得60分才能進入

第二輪復賽，否則淘汰；第二輪復賽，賽題由2道中級編程題和2道高級編程題組成，中級

編程題每題答對得10分，高級編程題每題答對得20分.所有的題答錯都不扣分.已知甲同

學能答對每道基礎編程題，中級編程題每題答對的概率為:，高級編程題每題答對的概率為

且各題答對與否互不影響.

（1）求甲同學初賽被淘汰的概率；

（2）已知甲同學第一輪初賽得滿分70分，求甲同學兩輪比賽所得總分X的分布列及期

望.

解：（1）若甲同學初賽不被淘汰，則他答對中級編程題的數量至少為=3,

則甲同學初賽不被淘汰的概率為C：+1I：=,

所以甲同學初賽被淘汰的概率為1-￡=工；

（2）由題意X可取70,80,90,100,110,120,130,

2

則P（X=70）=U

1220

x—x—二——

3381

P（X=100）=C*x-x-xC',x-x-=—

、72333381

12

P（X=120）=C^,x-x-xI?4

2

P（X=130）=住

IXI1=il

所以X的分布列為:

X708090100110120130

41620161744

r

81818181818181

416八八201八八16-八17…4”八4290

故E（X）=70x而+80x---i-90x---FIOOX---FllOx---i-120x---i-130x—=---

8181818181813

V2

18.已知雙曲線。：三—J/=l（a>0）的左、右焦點分別為耳，工，且|居'=2百.

aa~+3

（1）求。的漸近線方程.

2

（2）點。為C的左支上一點，且cosNGQE=§.AB分別為C的左、右頂點，過點

（2,0）的直線交。的右支于E,b兩點，其中點E在x軸上方，直線￡4與EB交于點尸.

①求直線可。的方程;

②證明：點P到直線外。的距離為定值.

解：⑴由題意可知|耳聞=25/+〃+3=2君,解得。=1,則。=萬萬=2,

2

所以雙曲線C：%2—上=1,

4

所以C的漸近線方程為y=±2%；

（2）①設田0=/,則E0=，+2,

由余弦定理得比Q「+后2閨Q|gQ|cosN片06=山鳥「，

CZ94

即.+（%+2）—§%（%+2）=20,解得1=4（負根舍去），

所以?耳a=4,寓@=6,

所以閨Q「+閨閭2Tg62,則耳。，耳工，

所以直線FQ的方程為x=$

②證明：易知直線所的斜率不為零，則可設直線E廠的方程為％=沖+2,

設雙力,%）,歹值,%），

x=my+2

聯立《2y2,得(4療-1)/+16叫+12=0,

x----=1

4

△=(16m)2-48(4m2-1)=16(4m2+3)>0恒成立,

…16m12

則…"E’x%

4m2-1

1211

由題意得4加2—1w0且%%=~一;一7＜。，所以一大〈根＜7,

4m-122

則直線E4：y=」7（x+1）,直線EB：y=上7（XT）,

M+1x2-l

聯立可得口=?—山1=（吵+i）x

x+1（玉+1）＞2（切1+3）%

（4m）

=加X＞2+（%+%）-%=（4加2」J

-沖辦+3巳一3（a-+%「'

v4m2-1）

解得X=J,故動點尸在直線x=J上，

22

所以點尸到直線耳0的距離為g—卜蓬）=（+君，

所以點P到直線月。的距離為定值.

19.在平面直角坐標系中，。是坐標原點.若點列｛4｝中的3個相鄰的點A“A+I，4,+2