第三章一元函數的導數及其應用

§3.1導數的概念及其意義、導數的運算

I考試要求】1.了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數.2.通過函數圖象，理解導數的幾何

意義.3.能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數（形如式辦

+6））的導數.

?落實主干知識

I知識梳理】

1.導數的概念

（1）函數>=黃尤）在％=無（）處的導數記作（沏）或y'|k團.

生=].?+&)—?)

(xo)=lim

Ax-0Ax-

（2）函數y=/（x）的導函數（簡稱導數）

(x)=y'

-L\X

2.導數的幾何意義

函數尸治）在x=xo處的導數的幾何意義就是曲線尸治）在點P（xo,?0））處的切線的斜率,

相應的切線方程為y一回尤0）=劣（xo）（x—xo）.

3.基本初等函數的導數公式

基本初等函數導函數

Kx）=c（。為常數）f?=0

/U)=K(aeR,且aWO)f(x)=axSl

fix)=sinxf(x)—COSX

fix)=cosXf(x)——sinx

fix)=aK(a>0,且〃W1)f(x)=</lna

八)x=ex/'(x)=￡

f{x}~~10gM(Q>0,且aW1)于(x)-xlna

/(x)=：

於)=lnx

4.導數的運算法則

若/(x),g'(尤)存在，則有

[/(X)±g(x)]'=￡(X)土婷(X);

[/(x)g(尤)]'=￡(X)R(X)+外x)g'(X)；

_J'(x)g(x)~Ax)g'(x)

四(尤)?(g(x)WO)；

[求尤)]'=cf'(x).

5.復合函數的定義及其導數

復合函數y=Ag(無))的導數與函數y=A"),”=g(x)的導數間的關系為yj=y“‘?"，即y對

x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.

I常用結論】

1.區分在點處的切線與過點處的切線

(1)在點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條.

(2)過點處的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.

2?島，=磊相如)劃)?

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1?’(沏)是函數y=/(x)在x=xo附近的平均變化率.(X)

(2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(X)

(3產5))=1＞。)]'?(X)

(4)(cos2x)'=_2sin2x(V)

【教材改編題】

1.若函數/(x)=3%+sin2x,則()

A.f'(%)=3q113+2cos2x

B.f(x)=3x+2cos2x

3X

C.f'(x)=j^+cos2x

3X

D.f(x)2cos2x

答案A

解析因為函數?x)=3%+sin2x,

所以/(x)=3^1n3+2cos2x

2.函數式x)=e，+(在尤=1處的切線方程為.

答案y=(e—l)x+2

解析由題意得，f(x)=ex—^2,(l)=e—1,

又??7U)=e+l,

???切點為(1,e+1),切線斜率Z=f(l)=e—1,

即切線方程為y-(e+l)=(e-l)(x-l),

即y=(e—1)%+2.

3.已知函數"%)=%111%+加+2,若/(e)=0,則a=.

答案T

解析由題意得/(x)=l+lnx+2〃x,

:?f(e)=2〃e+2=0,解得。=一土

?探究核心題型

題型一導數的運算

例1(1)(多選)下列求導正確的是()

A.[(3X+5)3]’=9(3X+5>

B.(x3lnx)'=3x2lnx+x2

U<2sEin,=2xcosx+4sinx

D.(2x+cosx)'=2vln2-sinx

答案ABD

解析對于A,[(3尤+5)3]'=3(3x+5)2(3尤+5)'=9(3x+5)2,故A正確；

對于B,(^Inx),=代3)'Inx+VQnx)'—^^Inx+x2,故B正確；

，一<2sinx\,(2sinx)'x2-2sinx(x2)/2尤cosx—4sinx,,,

對于C,-------L—F---------------------------P---------,故c錯誤；

對于D,(2，+cos無)'=(2)+(cosx)'=2*ln2—sin無，故D正確.

(2)已知函數式x)的導函數為/(x),且滿足人工)=/+4'(1)+%—1,則/'(2)等于()

A.1B.-9C.-6D.4

答案C

解析因為人^二爐十力7(l)+2x—1,

所以/(x)=3f+2對''(1)+2,

把x=l代入/''(x),

得/(1)=3義12+4'(1)+2,解得(1)=-5,

所以/'(尤)=3/-10元+2,所以/'(2)=—6.

思維升華(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用

運算法則求導.

(2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.

(3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.

跟蹤訓練1(1)(多選)下列求導運算正確的是()

A.若兀c)=sin(2x+3),則/(x)=2cos(2x+3)

B.若yc^ue-緘+i,則/(尤)=［及+1

Y1---Y

C.若人X)=晟，則/(無)=-^-

D.若式x)=xlnx,則/(x)=lnx+l

答案ACD

解析4x)=sin(2x+3),/(x)=cos(2x+3>(2x+3)'=2cos(2x+3),故A正確；

人x)=12"i,則/'(x)=一2屋2"i,故B錯誤；

f(x)=e(ef故C正確；

f(x)=xinx,f(%)=(%)'Inx+x(lnx)'=lnx+l,故D正確.

(2)函數兀0的導函數為/'(尤)，若/(乃=/+/仔)sinx,則.

MT兀?2兀

答案36+T

解析(x)=2x+f'(j^)cosx,

，(兀\4兀。,4兀

.*./,?\/(x)=x2+wsinx,

V倒=1+冬

題型二導數的幾何意義

命題點1求切線方程

例2(1)(2023?大同模擬)已知函數加)=2e21nx+x2,則曲線產危)在點(e,代))處的切線方

程為()

A.4ex—y+e2=0B.4ex—y—e2=0

C.4ex+y+e2=0D.4ex+y—e2=0

答案B

2e2

解析因為yOOMZeZlnx+x2,所以(x)=z~+2x,

所以7(e)=2e21ne+e?=3e2,f'(e)=4e,

所以曲線y=/(x)在點(e,7(e))處的切線方程為y—3e2=4e(x—e),即4ex—y—e2=0.

(2)(2022?新高考全國II)曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為,

答案>=%>=_%

解析先求當x>0時，曲線y=lnx過原點的切線方程，設切點為(沏，比)，

則由<=1,得切線斜率為七，

又切線的斜率為資，所以;=資，

%0XoXo

解得>0=1,代入y=lnx,得xo=e,

所以切線斜率為占切線方程為尸%.

同理可求得當%<0時的切線方程為y=—%.

綜上可知，兩條切線方程為y=%,尸一%.

命題點2求參數的值(范圍)

例3(1)(2022?重慶模擬)已知。為非零實數，直線>=尤+1與曲線y=aln(x+l)相切，則。=

答案e

解析設切點坐標為(f,alnQ+1)),對函數y=aln(x+l)求導得y'=詈7，

S=l，

所以,’+1解得f=e—1,a=e.

1)=/+1,

(2)(2022.新高考全國I)若曲線y=(x+〃)即有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍

是.

答案(一8,—4)U(0,+°°)

解析因為y=(x+〃)e\所以=(%+〃+l)e±設切點為A(xo,(xo+a)e與)，O為坐標原點，

依題意得，切線斜率34=y'=(尤0+0+1)1。=(/+.把“，化簡，得看+"o—a=0.

%

因為曲線y=(x+q)ex有兩條過坐標原點的切線，所以關于沏的方程焉+。比一〃=0有兩個不

同的根，所以力=〃2+4Q>0,解得〃<—4或〃>0,所以〃的取值范圍是(一8,—4)U(0,+°°).

思維升華(1)處理與切線有關的問題，關鍵是根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的

方程：①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.

(2)注意區分“在點尸處的切線”與“過點尸的切線”.

Y2—I—Y--2

跟蹤訓練2(1)曲線五x)=-/—在(0,八0))處的切線方程為()

A.y=3x2B.y—3x2

C.y=—3x—2D.y=-3x+2

答案A

目入,一(爐+

解析由?題知/(的二1(—2x+l)e乙%奇---x-—--2」)e*=一—f+/x一+3,

所以/(0)=3,fl0)=-2,

所以曲線兀0在(0,八0))處的切線方程為y—(―2)=3(X—0),即y=3x—2.

(2)(2023?瀘州模擬)已知曲線產生詈在點口，一9處的切線方程為產城x+6,則a的值是

()

44

A.—B.—2C.——D.2

7171

答案D

々力,「人?acosx小川—tz(xsinx+cosx)

解析令y=Ax)=1^,則/(x)=--~丁------4

曲線在點(兀，一處的切線的斜率為/(兀)=/=|，解得a=2.

題型三兩曲線的公切線

例4(1)若直線/：y=Ax+b(A>l)為曲線黃功=6工—1與曲線g(x)=elnx的公切線，貝!I/的縱截

距b等于()

A.0B.1C.eD.—e

答案D

解析設/與段)的切點為(即，%),則由/(%)=尸I得/：y=xeX1~l+(1—xi)ex,-1.

同理，設/與g(X)的切點為。2,丁2),

ee

則由g'(%)=-,得/：y=-x+e(lnx—1).

AA22

故(4

、(1—xi)e*T=e(lnx2—1).

[x\=1,fxi—2,

解得《或，則/：y=x或y=ex—e.

[％2=e[X2=l.

因為*1,所以/：y=x不成立，故/?=—e.

(2)(2023?晉中模擬)若兩曲線y=lnx-l與尸加存在公切線,則正實數a的取值范圍是()

A.(0,2e]B.[]eT,+ooJ

C.(0,D.[2e,+°°)

答案B

解析設公切線與曲線y=lnx—l和丁=混的切點分別為(xi,Inxi—1),。2,〃適)，其中xi>0,

對于y=lnx—1有則y=lnx—1的切線方程為y—(Inxi—l)=“(x—ri),

即y=T~+lnxi-2,

對于有V=2ax,則y=a/的切線方程為y—〃丘=2〃X2(X—%2),即y=2〃%2%—混，

flc

一

所以7=2ax2,則-謁1=lnv2,

Jnx\—2=—cu^,

即日=2x?一看Inxi(xi>0),

22

令g(x)=2x~xlnx9

貝Ig'(x)=3x—2xlnx=%(3—21nx),

3

令g'(%)=0,得％=e2,

3

當x￡(0,/)時，gf(x)>0,g(%)單調遞增；

3

當工￡(丁，+8)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，

所以g(x)max=g(e')=1e3,故0<&w/e?,

即心會-3.

思維升華公切線問題，應根據兩個函數在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線

上，列出有關切點橫坐標的方程組，通過解方程組求解.或者分別求出兩函數的切線，利用

兩切線重合列方程組求解.

跟蹤訓練3(1)已知定義在(0,+8)上的函數一根，%(x)=61n%—4x,設兩曲線y=/(x)

與y="(x)在公共點處的切線相同，則相等于()

A.-3B.1C.3D.5

答案D

解析依題意，設曲線y=/(x)與y=/z(x)在公共點(xo,yo)處的切線相同.

?7(x)—A2—m,h(x)=61nx~4x,

:?/(%)=2x,h'(x)=^—4,

J/(xo)=%(%o),

在(的)=加(%0),

xo-m=61nxo-4xo,

?x0>0,??xo=1,m=5.

(2)已知危)=眇一1,g(x)=lnx+l,則#x)與g(x)的公切線有()

A.0條B.1條C.2條D.3條

答案C

解析根據題意，設直線/與/(幻二^一1相切于點O，e加-1),與g(x)相切于點(〃，Inn+

1)(心0),

對于於)=e*—1,f(x)=ex,則左i=e%

則直線/的方程為》+1一”="(%一加)，

即y=emx+em(l—m)—1,

對于g(x)=lnx+l,g'則左2=]

則直線/的方程為y—(In〃+1)=(。一")，

即y=不+in"，

f1

直線/是五尤)與g(x)的公切線，則jn，

Xi—m)em=\nn+1,

可得(1—An)(e“-1)=0,即m=0或m=1,

則切線方程為y=ex—1或丁=羽故?x)與g(x)的公切線有兩條.

課時精練

應基礎保分練

1.(2023?廣州模擬)曲線>=必+1在點(一1,①處的切線方程為()

A.y=3x+3B.y=3x+l

C.y=—3x—lD.y=—3x~3

答案A

解析因為/(x)=3/,所以/(—1)=3,

又當x=-1時，a=(—1)3+1=0,

所以y=V+l在點(一1,a)處的切線方程為y=3Q+l),

即y=3x+3.

2.記函數40的導函數為/(x).若危)=e%sin2x,則/(0)等于()

A.2B.1C.0D.-1

答案A

解析因為段)=e^sin2x,

則f(%)=ex(sin2x+2cos2x),

所以/(0)=e°(sin0+2cos0)=2.

3.(2022?廣西三市聯考)設函數兀i)在R上存在導函數,(x),#%)的圖象在點M(l,式1))處的

切線方程為y=5+2,那么＜1)+,(1)等于()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析由題意得負1)=；義1+2=去

f⑴=3,

所以4D+F(1)=|+1=3.

4.已知函數7(x)=xln%,若直線/過點(0,—e),且與曲線y=/(x)相切，則直線I的斜率為()

A.12B.2C.—eD.e

答案B

解析設切點坐標為0,An?.,y(x)=xln%,?\f(%)=ln犬+1,直線/的斜率為/⑺=ln/

+1,

?,.直線I的方程為y—dnt=(lnt~\~l)(x—t),

將點(0,一e)的坐標代入直線/的方程得一e—Hn，=—*ln%+l),解得％=e,

???直線/的斜率為/(e)=2.

5.已知函數/(x)=Qln%,g(x)=Z?e%,若直線丁=履(左＞0)與函數?x),g(x)的圖象都相切，則。

+/的最小值為()

A.2B.2eC.e2D.#

答案B

解析設直線＞=區與函數/(%),g(x)的圖象相切的切點分別為AO，km)9B(n,kn).

km=a\nm,

解得m=e,a=ek.

\kn=ben,

又由g'(X尸附，有匕"

[ben=k,

k

解得w=l,b=g

1

所以6z+v=eA;e+v^2,\/?=2e,

uK

當且僅當〃=e,時等號成立.

6.(多選)定義方程y(x)=f(x)的實數根配叫做函數兀1)的“新不動點”，則下列函數中只有

一個“新不動點”的是()

A.g(x)=x-2x

B.g(x)=~ex~2x

C.g(x)=lnx

D.g(x)=sinx+2cosx

答案ABC

解析對于A,g，(x)=2%+?2Pn2,

由》2%=2%+?22112,

解得x=]—ln2'

???g(Q只有一個“新不動點”，故A正確；

對于B,g'(x)=-e-r-2,

由一?%—2=—ex—2x,得x=1,

???g(x)只有一個“新不動點”，故B正確；

對于C,g，(x)=；,

根據y=lnx和y=：的圖象可看出lnx=:只有一個實數根，

；.g(x)只有一個“新不動點”，故C正確；

對于D,gf(x)=cosx—2sinx,

由sinx+2cosx=cosx_2sinx,

得3sinx=-cosx,

?f__1

??tanx—3,

根據丁=1211欠和y=-g的圖象可看出方程tanx=-g有無數個解，

???g(x)有無數個“新不動點”，故D錯誤.

7.寫出一個同時具有性質：①/(無1尤2)=黃陽)+A&),②當xd(O,+8)時，/(x)>0的函數人元)

答案Inx(答案不唯一)

解析若函數兀r)=lnx,則丑尤1尤2)=ln(xix2)=lnxi+lnx2=/(xi)+?r2),滿足①；/(x)=ln尤的

定義域為(0,+°°),且/'(x)=(>0,滿足②，故/(x)=lnx符合題意.

8.已知函數加)=尤(無一l)(x—2)(無一3)(x—4>(x—5),則/(3)=.

答案12

解析由題意得，/'(x)=x(無一1)(X—2)(X—4)(X—5)+(x—3)[x(x—D(x—2)(X—4)(X—5)]',所

以/(3)=3義(3—1)義(3—2)X(3—4)X(3—5)+0=12.

9.已知函數小)的導函數為了'(x),且滿足小)=2對7(e)+lnx.

(1)求/(e)及五e)的值；

⑵求段)在點代2))處的切線方程.

解(1)：段)=2城(e)+lnx,

：.f(x)=2f(e)+pf(e)=2/z(e)+p

i2x

??f'(e)=-&，7U)=—"+lnx,

二危)=一點+lne=T

2x21

(2)V/(x)=-^-+lnx,f(%)=--+-,

?e221

?\Z(e2)=_-^-+lne2=2—2e,f(e2)=--+^,

??優x)在點(e?,/(e2))處的切線方程為y—(2—2e)=(一|+4(龍一e2),

即(2e—l)x+e2y—e2=0.

10.(2022?全國甲卷)已知函數/(x)=x3—尤，^(x)=x2+a,曲線y=/(x)在點(不，穴x。)處的切線

也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若xi=-1,求a；

(2)求a的取值范圍.

解(1)當為=一1時，式-1)=0,

所以切點坐標為(一1,0).

由五功二X3—尤，得/QOuBx2—1,

所以切線斜率(—1)=2,

所以切線方程為y=2(x+l),

即y=2x+2.

將y=2x+2代入y=x2+a,

得x2—2x-\-a—2=0.

由切線與曲線y=g(x)也相切，

得/=(-2)2—4(〃-2)=0,

解得a—3.

⑵由⑴知,y=/U)在點(為，加1))處的切線斜率％=/(為)=3舄一1,

又?xi)=宕一方，所以切線方程為

y一(君一的)=(3"一1)。一陽)，

即y=(3xi—l)x—2xi.

將y=(3x?—l)x—2xH弋入

得x2—(3焉一1)冗+〃+2宕=0.

由切線與曲線)=9(欠)也相切，得

力=(3屑一］)2—4(〃+2宕)=0,

整理，得4〃=9xf—8x1—6x?+1.

令h(x)=9x4—8A3—6招+1.

貝Ih'(%)=36/—24f—12x=12x(3x+l)。—1).

由勿(%)=0,得了=一3，0,1,

當x變化時，h'(x),/z(x)的變化如表所示，

I，g)1

X-3(-1，0)0(0,1)1(1,+°°)

h'(x)—0+0—0+

h(x)極小值/極大值極小值/

由表知，當x=一與時，g)取得極小值。20

藥

當x=l時，以%)取得極小值以1)=-4,

易知當工一—8時，%(x)—+8,

當X—+8時，/z(x)-*+8,

所以函數/z(x)的值域為［—4,+°°),

所以由八可―4,+8),得〃￡［—1,+oo),

故實數〃的取值范圍為［-1,+°°).

合提升練

11.已知曲線丁=匕”在點(為，e*)處的切線與曲線y=lnx在點(%2,ln%2)處的切線相同，貝1(方

+1)(X2—1)等于()

A.-1B.-2C.1D.2

答案B

解析已知曲線)=^在點(xi,e*)處的切線方程為y—e*=。為。一方),

即y=e*x—e*xi+e*,

曲線y=lnx在點(%2,In12)處的切線方程為y—lnx=—(x—x),

2元22

即y=-x—l+\nx29

e%i=—

由題意得J短’

e*—e*xi=-l+lnx2,

解得X2=——，

e*一e*xi=—1+lnX2

=-l+ln—1—尤1,

?,尤X1+1

則"行

-1

又X2=1-

e*

所以*2=:+1，

所以k"-2

1X1+1)

所以(X1+1)(X2—1)=12.

12.我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為成型分式，比如：當九一0時，丁的極

限即為E型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在.為此，洛必達在1696年提出

洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如:

ex—1(e*—1)/ex.x2lnx

lim----=lim----1-=limY=limex=e°n=1,則lim_i~

0%x-0Xx-01k0l1廣2—1

答案2

dIn%(x^nx)r2xlnx+x<.T

解析lim=lim5=limInx十5=In1+2=2-

x-ik-1尸i(J),=吧zx%-1v乙,

R拓展沖刺練

13.已知a,6為正實數，直線尸X—辨曲線y=ln(x+?相切，則占的取值范圍是()

A.(—8,0)B<°-2,

C.[1,+8)