專題1.2不等式及其應用【八大題型】

【新高考專用】

?熱點題型梳理

【題型1不等式性質的應用】..................................................................28

【題型2利用基本不等式求最值】.............................................................30

【題型3基本不等式中的恒成立、存在性問題】.................................................31

【題型4一元二次不等式的解法】.............................................................34

【題型5其他不等式的解法】..................................................................35

【題型6由一元二次不等式的解確定參數】.....................................................37

【題型7一元二次不等式恒成立問題】.........................................................39

【題型8一元二次不等式有解問題】..........................................................42

?命題規律

1、不等式

不等式與基本不等式的性質、求解、證明以及應用是每年高考的必考內容，對不等式的考查一般以選

擇題、填空題為主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值問題。但不等式的相關知識往往可以

滲透到高考的各個知識領域，作為解題工具與函數、向量、解析幾何、數列等知識相結合，在知識的交匯

處命題，難度中檔，其中在解析幾何中利用基本不等式求解范圍或解決導數問題時利用不等式進行求解，

難度偏高。

?知識梳理

【知識點1等式性質與不等式性質】

1.等式的基本性質

性質1如果〃=/?,那么/?=〃；

性質2如果〃b=c,那么〃=c；

性質3如果a=b,那么a±c=b±c；

性質4如果a=b,那么ac=bc；

性質5如果存0,那么

2.不等式的性質

⑴如果那么。<4；如果人<4,那么〃泌.即〃

(2)如果b>c,那么即〃>/?,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a-\~c>b~\-c.

(4)如果c>0,那么ac>8c；如果〃>b,c<0,那么

(5)如果a>b,c>d,那么a+c>b~\~d.

(6)如果a>b>0fc>d>0,那么ac>bd.

(7)如果°>6>0,那么a">b〃("GN,M>2).

【知識點2基本不等式】

1.兩個不等式

不等式內容等號成立條件

重要不等式〃2+/之2曲〃力eR)當且僅當“日”

時取“=”

基本不等式1——b當且僅當、=〃'

yfabW2(?>0,/?>0)時取“=”

審叫做正數。，6的算術平均數，血叫做正數a,b的幾何平均數.

基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

2.基本不等式與最值

已知尤，y都是正數，

(1)如果積犯等于定值P,那么當x=y時，和尤+y有最小值2爐；

(2)如果和龍+y等于定值S,那么當x=y時，積孫有最大值5c.

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)無、j>0,(2)和(積)為定值，(3)存

在取等號的條件.

【知識點3一元二次不等式】

1.一元二次不等式的解法

(1)解不含參數的一元二次不等式的一般步驟：

①通過對不等式變形，使二次項系數大于零；

②計算對應方程的判別式；

③求出相應的一元二次方程的根，或根據判別式說明方程沒有實根；

④根據函數圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集.

(2)解含參數的一元二次不等式的一般步驟：

①若二次項系數含有參數，則需對二次項系數大于0、等于0與小于0進行討論；

②若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式/進行討論；

③若求出的根中含有參數，則應對兩根的大小進行討論.

2.分式、高次、絕對值不等式的解法

(1)解分式不等式的一般步驟：

①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分

母不為零.

②對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊

為零，然后再用上述方法求解.

（2）解高次不等式的一般步驟：

高次不等式的解法：如果將分式不等式轉化為正式不等式后，未知數的次數大于2,一般采用“穿針引

線法”，步驟如下：①標準化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.

（3）解絕對值不等式的一般步驟：

對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數軸來求解.

3.一元二次不等式恒成立、存在性問題

不等式對任意實數x恒成立，就是不等式的解集為R,對于一元二次不等式"2+&r+c>0,它的解集為

。>0,

R的條件為

一元二次不等式加+笈+。三0,它的解集為R的條件為《,2一

〔』=廬一4acW0；

\a<Q,

一元二次不等式Q/+/?X+C>0的解集為0的條件為《

〔/W0.

?舉一反三

【題型1不等式性質的應用】

【例1】（2023?海南?？?海南中學校考二模）設6R,貝且y<3”是“久+丫<6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】依據“％<3且y<3”與"x+y<6”之間的邏輯關系進行推導即可解決.

【解答過程】由x<3且y<3,可得x+y<6,

當x=5,y=-1時，滿足x+y<6,但不滿足x<3且y<3,

貝甘女<3且y<3”是“％+y<6”的充分不必要條件，

故選：A.

【變式1-1］（2023?湖北武漢?統考模擬預測）下列不等式正確的是（）

A.若ac?2be?,則a2b

B.若￡>二則a<b

ab

C.若a+b>0,c—b>0,則a>c

D.若a>0,b>0,m>0,且a<b,則>巴

b+mb

【解題思路】舉例說明選項ABC錯誤；利用作差法證明選項D正確.

【解答過程】對于A,當c=0,a=-1,b=2時滿足ac?之be?,但Qvb,所以A錯誤;

對于B，當c=-La=—2,b=-3時，滿足?但a>b,所以B錯誤;

對于C,由不等式的基本性質易知a+c>0,當a=-1,b=|,c=2時滿足a+b>0,c-b>0,但a<c,

所以C錯誤；

(a+m)b-a(b+Tri)(b-a)m

對于D,—>。，所以零W，故D正確.

b+mb(b+ni)b(b+m)b

故選：D.

【變式1-2](2023?湖南?模擬預測)已知正實數x,y滿足％Vy,設a=%e*+y,b=yey+x,c=yex+x

(其中e為自然對數：e、2.71828…)，則〃，b,c的大小關系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】利用作差比較法，結合指數函數的單調性可得答案.

【解答過程】因為a=xex+y,b-yey+x,c=yex+%,所以b—c=y(ey—ex)

又y>%>0,e>1,所以e'>e",所以b>c；

又c—a=(x—y)+(y—%)ex=(%—y)(l—ex),

又y>%>0,ex>1,所以c>a.

綜上，a<c<b.

故選：A.

【變式1-3](2023?貴州遵義?統考模擬預測)已知a",%均為實數，下列不等式恒成立的是()

A.若a<b,則層。24Vb2024

B.若a<b,則膽

ab

C.若。、2。24<b%2024,則Q<匕

2024

D.若a<b,則a%2024<bx

【解題思路】結合特殊值與不等式的性質可求.

【解答過程】A,當。=一2,力=1時，(一2)2。24>小024,人錯誤；

B,當a=0時，空上沒意義，B錯誤；

a

C,由a%2024vb%2024,知工2024>。，所以avb,C正確;

D,當久=0時，ax2024<5%2。24不成立，D錯誤.

故選：C.

【題型2利用基本不等式求最值】

[例2](2023?山東德州?德州市第一中學校聯考模擬預測)設尤>0,y>0,m=2+2則小有(

J婷x2產+y2產

A.最小值3B.最大值3

C.最小值|+&D.最大值|+企

【解題思路】由基本不等式求出2魚孫=2久?夜yW/+2y2,從而求出巾=受等叱<3,得至ljAD

錯誤，B正確，舉出反例得到C錯誤.

【解答過程】x>0,y>0,故2迎孫=2x-V2y<x2+2y2,

故巾=2/+2產產2W2"：+?2y2=3,當且僅當工=企時成立，

AD錯誤，B正確；

、[/ri□-+2XO.52+2V2XO.5+121.5+V26,43.后二加、口

當％=n0.5,、=1時，m=---------------------=^-=-+-V2<-+V2,C錯快.

故選：B.

【變式2-1](2023?浙江?統考模擬預測)已知正實數x,y滿足x+2y=1,則W+禽的最小值為()

A.i+V2B.9C.2D.蘭

22415

【解題思路】利用基本不等式“1”的妙用求解.

【解答過程】由題可得，x+2y=l,貝ij(x+1)+2(y+1)=4,

所以W+盍=：(W+M)[(%+D+2。+D]

=工15+2Q+D+2(X+D]>“5+21。+1)2(x可=2,

4Lx+1y+1J_4['x+1y+14

當且僅當也112=22,即％=y=工時，取得等號，

x+1y+1J3

故選:c.

【變式2-2](2023?浙江金華?校聯考模擬預測)已知a>0,b>0,2a+b=ab,則已+工的最小值為(

a-1b-2

A.4B.6C.4V2D.3+2V2

【解題思路】由已知可得a=g且b>2、a>l,再由衛;+3=3+—+a—1,應用基本不等式求其

b-2a-1b-2a-1

最小值，注意取值條件.

【解答過程】由a>0,b>0,2a+b=ab,a=>0,即b>2,易知a>l,

所以+――=——+a=3H---Fa—1N3+2-1)=3+2A/2,

a-lb-2a-la-1ya-1''

當且僅當。=加+1時等號成立，此時b=2+VL

所以+白^的最小值為3+2V2.

a-1b-2

故選：D.

【變式2-3](2023?河南安陽?統考三模)已知。>0/>0,則下列命題錯誤的是()

A.若ab<1,則工+W22

ab

B.若a+b=4,則打頹最小值為4

C.若小+力2=4,則ab的最大值為2

D.若2a+b=l,則ab的最大值為日

【解題思路】直接使用基本不等式即可判斷A,C,D；若a+b=4,則5+?=](a+b)e+￡)，展開后

使用基本不等式即可判斷B.

【解答過程】???。<鵬1,+檢2。22,故A正確；

若a+b=4,則打消9+6)(—?+工+1。)*(251+1。)=4，

當且僅當。=Lb=3時等號成立，故B正確；

若小+爐=%則ab+。=2,當且僅當a=b=低時等號成立，故C正確；

若2a+b=l,則1=2a+b/2、2ab,即abW工，當且僅當。=工,b=工時等號成立，故D錯誤.

842

故選：D.

【題型3基本不等式中的恒成立、存在性問題】

【例3】(2023?廣東湛江?統考二模)當”,y6(0,+8)時，把魯學孚恒成立，則相的取值范圍是()

/x4+2x2y+y24

A.(25,+00)B.(26,+00)C.?,+8)D.(27,+8)

【解題思路】將左側分式的分子因式分解成(4/+y)(/+4y)的形式，再利用均值不等式的結論進行計算

即可以得到結果.

【解答過程】當x,ye(0,+8)時，叱+；7?+?2==%

，x4+2x2y+y2(x2+y)2(x2+y)24

當且僅當4/+y=/+4y,即y=%2時，等號成立，

所以與察”的最大值為今

x4+2x2y+y24

所以竺〉史，即加>25.

44

故選：A.

【變式3-1](2023上?江西南昌?高一校考期中)若兩個正實數x,y滿足工+-=1,且不等式x+^<m2-3m

有解，則實數771的取值范圍是()

A.{m\—1<m<4}B.{m\m<-4或m>1}

C.{m\—4<m<1}D.{m\m<-1或m>4]

【解題思路】首先將原問題轉化為(X+<m2-3m,再利用基本不等式的知識求出》+(的最小值即

可.

【解答過程】???不等式x<m2-3巾有解，

4

???(x+-)<m2—3m,

\4/7711rl

14

???%>0,y>0/-+-=1,

xy

.?=+—(*>=趣+2+222隹至+2=4,

4\4/\xyjy4x7y4%

當且僅當好=5,即久=2,y=8時，等號成立，

y4xJ

???m2—3m>4,(m+l)(m—4)>0,m<-1或TH>4,

?,?實數m的取值范圍是<-1或m>4}.

故選：D.

【變式3-2](2022上?天津和平?高一?？茧A段練習)已知》>0,y>0.

(1)若久+9y+=7,求3%y的最大值；

(2)若久+y=1,若工+-+m>工zu?恒成立，求實數m的取值范圍.

xy2

【解題思路】(1)依題意利用基本不等式可得7-xy2令t=6^(t>0),再解關于t的一元二次

不等式，即可求出t的最大值，即可得解；

(2)利用乘“1”法及基本不等式求出工+工的最小值，依題意可得0+9再轉化為關于小的

x〃lxy7min2

一元二次不等式，解得即可.

【解答過程】(1)解：因為x〉0,y>0,x+9y+xy=7,

所以7-xy=x+9y2=6/藥，當且僅當x=9y時取等號，

令t=.(t>0),則7—t226t,即產+61—7W0=(t+7)(t—l)WO,解得一7WtW1,

又t>0,所以0<tWl,即0<6741,從而0<xyWl,

由2=7及x>3y>。，解得久=3,y=|，

故當X=3,y=1時，xy的最大值為1，所以3久y的最大值為3.

(2)解：因為x>0,y>0,x+y=l,

所以打工=(工+"O+y)=2+lW2+2屋=4,當且僅當"二即比=y4時取等號，

xy\xyjxy-Jxyxy,2

因為工+工+m>工血2恒成立，即(工+工)>-m2—m,

xy2Vmin2

所以4>|m2—m,所以(zn+2)(m—4)<0,解得—2<mV4,即znE(—2,4).

【變式3-3］(2023上?湖北宜昌?高一?？茧A段練習)(1)已知a>0,b>0,若不等式三+=之/，恒成

aba+3b

立，求機的最大值；

(2)若關于％的不等式+力％+3之0在［0,2］上恒成立，求實數b的取值范圍.

【解題思路】(1)分離變量，利用基本不等式求解；

(2)當％=0時，不等式顯然成立；當0<%42時，分離變量，利用基本不等式求解.

【解答過程】(1)因為a>0,b>0,貝哈+92代omW(三+：)(a+3b),

aba+3bab

而弓+派+3》)=6+7+注6+2后|=12,

當且僅當亞=g即a=36時取等號，

依題意，不等式mW(|++3b)恒成立，于是mW12,

所以m的最大值為12；

(2)當汽=0時，不等式3/+6%+3>0化為3>0,顯然成立；

當0<久42時，3第2+Z?x+3>0=^>—h<3(%+》，

又因為3(%+i)>3X2=6,(當且僅當a=1”時等號成立)

所以一Z?46,即b之一6,

即實數b的取值范圍為{b|b>-6}.

【題型4一元二次不等式的解法】

【例4】(2023?山東?校聯考模擬預測)不等式/+4x—213。的解集為()

A.(-co,-7]U[3,+oo)B.[-7,3]

C.(-co,-3]U[7,+00)D.[-3,7]

【解題思路】根據一元二次不等式的解法求出對應方程的根，結合圖象直接求解即可.

【解答過程】易知方程/+4%—21=0可化為(x+7)(%-3)=0,方程的兩根為X[=-7,%2=3；

所以不等式/+4%-21<0的解集為[-7,3].

故選：B.

【變式4-1](2023?河南?校聯考模擬預測)某同學解關于x的不等式61/+取+￡；<0(￡140)時，因弄錯了

常數c的符號，解得其解集為(_8,—3)U(-2,+8),則不等式b7+c久+a>0的解集為()

A.(-1,-JB.(-8,-1)u(_巳,+8)

C.(|,1)D.(_8,Ju(l,+8)

【解題思路】利用根與系數關系、一元二次不等式的解求得a,仇c的關系式，進而求得不等式b/+cx+a>0

的解集.

【解答過程】由題意可知a<0,且—3+(—2)=—,—3x(—2)=—,所以b=5a,c=—6a,

aa

所以b/+c%+a>0化為5——6x+1<0,

(5x-l)(x-1)<0,解得:<%<1.

故選：C.

【變式4-2](2023下?河南?高一校聯考階段練習)已知a,b,c6R,且a力0,關于尤的不等式a/+bx+c>0

的解集為(一3,2),則關于x的不等式c/+ax+6>0的解集為()

C.u(|,+oo)D.(_co,_l)u(|,+oo)

【解題思路】根據二次不等式的解集與二次方程的根的關系，利用韋達定理可得a,b,c關系，代入所求不等

式解不等式即可.

【解答過程】因為不等式a/+bx+c>0,aH0的解集為(一3,2),

--=—3+2=—1b=a

所以QV0且a即｛

￡=一3x2=-6c=—6a

a

不等式c/+QX+6>0等價于—6a%2+q%+q>0,

即6/一X一1>0,（2%-1）（3%+1）>0,解得或x>$

所以不等式ex?+ax+b>0的解集為：（一8,-1）uG，+oo）,

故選：C.

【變式4-3]（2022下?浙江湖州?高一校聯考開學考試）已知關于x的不等式a/+bx+c<0的解集為{x|x<

—1或x>4},則下列說法正確的是（）

A.a>0B.不等式a/+ex+b>。的解集為{用2-近<%<2+夕}

C.a+b+c<0D.不等式ax+b>0的解集為{x|x>3}

【解題思路】根據解集形式確定選項A錯誤；化不等式為一一4x-3<0,即可判斷選項B正確；設f（x）=

ax2+bx+c,則/（1）>0,判斷選項C錯誤；解不等式可判斷選項D錯誤.

【解答過程】解：因為關于x的不等式a/+bx+c<0的解集為{川》<-1或%>4},所以a<0,所以選項

A錯誤；

a<0

—1+4=—%。=—3a,c=—4a,所以ax?+cx+b>0為/—4x—3<0,2—V7<x<2+

-1x4=-

[a

位.所以選項B正確；

設f（%）=a/+b%+c,則/（l）=a+h+c>0,所以選項C錯誤；

不等式a%+b>0為Q%—3a>0,%<3,所以選項D錯誤.

故選：B.

【題型5其他不等式的解法】

【例5】（2023上?廣東深圳?高一?？茧A段練習）分式不等式空工0的解集為（）

1-X

A.{x|-5<%<1}B.{x|-5<x<1]

C.{x\x<—5或%>1}D.{x\x<—5或久>1}

【解題思路】根據分式不等式和一元二次不等式的解法，準確運算，即可求解.

【解答過程】由分式不等式”<0可轉化為（久+5）0-1）20且1—x70,解得x<一5或%>1,

1-X

所以不等式的解集為口|久<—5或久>1）.

故選：D.

【變式5-1]（2023上?遼寧?高一校聯考期中）不等式（計3）（：-2）2o的解集為（）

X-1

A.[-3,1)U[2,+oo)B.(-8,-3]U(1,2]

C.[-3,1)U(1,2]D.(—8,-3]U[2,+8)

【解題思路】利用分類討論法計算可得.

【解答過程】不等式(x+；)[72)20,等價于｛(X+JKX-2)>0或｛(x+：3;12彳<0,

解得x>2或一3<%<1,

即不等式經|等2>0的解集為[—3,1)U[2,+8).

故選：A.

【變式5-2](2023上?江蘇揚州?高一校考期中)求下列不等式的解集

(l)(3x-l)(x+1)>4；

2x-R<i

'x+l

(3)|x+2|<1

【解題思路】(1)將原不等式(3x-l)(x+1)>4等價轉換為(x-1)(3%+5)>0,解一元二次不等式即可.

(2)將原不等式笫<1等價轉換為(久+1)(%一4)<0,解一元二次不等式即可.

(3)將原不等式反+2|<1等價轉換為(％+1)(%+3)<0,解一元二次不等式即可.

【解答過程】(1)由題意(3%—1)(%+1)>4=3%2+2久—1>4=3久2+2%—5>0=(久—1)(3%+5)>

0,

解不等式得1或%>1,

從而不等式(3%—1)(%+1)>4的解集為(—8,—§u(1,+8).

(2)由題意一工~<1=+1V0<=>(%+1)(%—4)V0,

解不等式得一1<%v4,

從而不等式第<1的解集為(-1,4).

(3)由題意+2|<1<=>(x+2)2-I2<0<=>(%+1)(%+3)<0,

解不等式得—3<%<—1,

從而不等式|x+2|<1的解集為(―3,—1).

【變式5-3](2023上?遼寧沈陽?高一校聯考期中)求下列不等式(組)的解集:

⑴x合+2>0；

(2)2x2—5%+2<0；

(3)|2x-l|>3；

(3%—4〉0,

(4)4x+11-x

【解題思路】(1)分式不等式轉化為整式不等式求解；

(2)因式分解可得相應方程的兩根，然后可寫出不等式解集；

(3)利用絕對值的性質求解；

(4)分別解兩個一元一次不等式，然后求交集可得.

【解答過程】(1)詈>0o(x+2)(x—3)〉0,

解得%V—2或%>3.

故原不等式的解集為(-8,—2)U(3,+8)；

(2)2/-5%+2<0=(%—2)(2久-1)<0,

解得(<%<2.故原不等式的解集為悖,21.

(3)|2x-1|>3<=>2x-1>3或2x-1<-3,

解得x>2或久<-1.

故原不等式的解集為(—8,—1]u[2,+oo).

(4)解不等式3x—4>0,得x>(；

解不等式季三子，得xw-g.

因為C，+8)=0,所以原不等式組的解集為0.

【題型6由一元二次不等式的解確定參數】

【例6】(2023上?湖北武漢?高一校聯考期中)已知關于光的不等式/一①+1)乂+a<0恰有四個整數解,

則實數a的取值范圍是()

A.(5,6]B.[-4,-3)

C.[-4,-3)U(5,6]D.(-4,-3]U[5,6)

【解題思路】化不等式為(x-a)(x-l)<0,分a=l,a>1和a<1三種情況討論，求得不等式的解集,

結合題意即可求解.

【解答過程】不等式/-(a+1)%+a<0,可化為(x—a)(x-1)<0,

當a=l時，不等式/—(。+1)%+。<0的解集為空集，不合題意；

當a>1時，不等式/—(a+l)x+a<0的解集為(l,a),

要使不等式%2-(a+l)x+aV0恰有四個整數解，則5VaW6,

當a<1時，不等式/-(a+1)%+a<0的解集為(a,1),

要使不等式%2-(a+1)%+a<。恰有四個整數解，貝!]一4<a<-3,

綜上可得，實數。的取值范圍是[-4,-3)U(5,6].

故選：C.

【變式6-1](2023上?甘肅天水?高一校聯考期末)設不等式%2一2以一140的解集為M,若MU[—2,2],

則實數a的取值范圍是()

A.[-2,2]B.(-2,2)C,[-|4]D,(一|,|)

【解題思路】根據題意，由條件可得△>(),然后列出不等式，代入計算，即可得到結果.

【解答過程】令/(x)=x2-2ax-l,因為A=4a2+4>0恒成立，

(-2<y<2

由題意可得=4+4a-l>0'解得waw*

(/⑵=4-4a-120

故選：C.

【變式6-2](2023上?福建?高一校聯考期中)已知關于x的一元二次不等式a/+b久+。<0的解集為

{x|-l<x<2},貝！J6-c+(的最小值為()

A.-4B.-2C.2D.4

【解題思路】先根據一元二次不等式的解集確定出a,6,c的等量關系，然后將b-c化為以a表示的形式并結

合基本不等式求解出最小值.

【解答過程】因為一元二次不等式a/+bx+c<0的解集為{x|-1<x<2},

(--=—1+2=1

所以a>0且「a，所以b=—CL,c=-2a,

￡=-1x2=-2

所以6一c+±=a+@N2憶=4,當且僅當a=&即a=2時取等號，

aayaa

所以最小值為4,

故選：D.

【變式6-3](2023上?江蘇無錫?高一?？茧A段練習)已知關于x的不等式組匕僅有

+(2k+7)x+7/c<0

一個整數解，貝必的取值范圍為()

A.{%|-5<%<3或4<%<5}B.{%|-5<%<3或4<%<5}

C.{%|-5<x<3或4<x<5}D.{x|-5<x<3或4<%<5]

【解題思路】解/-2%-8>0得到%>4或％<-2,分一k=-p-k<一(和一g<一女三種情況，得到不

等式，求出答案.

【解答過程】X2-2X-8>0,解得％>4或久<-2,

2x2+(2k+7)x+7fc<0變形為(2%+7)(%+fc)<0,

當—k=—5即k=T時，不等式解集為空集，不合要求，舍去，

當_/i<即k>(時，解集為—k<%<一夕

要想不等式組僅有一個整數解，則一5W-k<-4,解得4<kW5,

4<k<5與k>(求交集得4<fc<5；

當—即時，解決為

要想不等式組僅有一個整數解，則一3<—kW5,解得—5Wk<3,

-5<fc<3與k<:求交集得—5<fc<3,

綜上，k的取值范圍是{久|一5Wx<3或4<x<5].

故選：B.

【題型7一元二次不等式恒成立問題】

[例7](2023.福建廈門.廈門一中?？级?“be(0,4)”是“以GR,bx2-bx+1>。成立”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】由V"6R,bx2-bx+l>0成立求出b的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【解答過程】由VxeR,bx2-bx+l>0成立，則當b=0時，1>0恒成立，即b=0,

b

當b*0時，(,2彳2n,解得0<b<4,

因此V%6R,bx2—bx+1>0成立時，0WbV4,

因為(0,4)[0,4),所以*6(0,4)堤“V%GR,bx2-bx+1>0成立”的充分不必要條件.

故選：A.

【變式7-1](2023?遼寧鞍山?鞍山一中?？级?已知當%>0時，不等式：/—7nx+16>0恒成立，則

實數僧的取值范圍是()

A.(-8,8)B.(-co,8]C.(-co,8)D.(8,+8)

【解題思路】先由產—mx+16>0得zn<%+—,由基本不等式得汽+—>8,故m<8.

XX

【解答過程】當%>0時，由％2—mx+16>0得m<x+

X

因%>0,故％+—>2lxX—=8,當且僅當％=生即％=4時等號成立，

XyXX

因當x>0時，mV%+及恒成立，得m<8,

X

故選：C.

【變式7-2](2023上?福建莆田?高一莆田八中?？计谥?設函數f(x)=/—2垃+2,其中teR.

(1)若t=l,且對任意的久€[a,a+2],都有f(x)W5,求實數a的取值范圍；

(2)若對任意的久1，叼G[0,4],都有|/(久1)一/(犯)|<8,求實數t的取值范圍.

【解題思路】(1)根據/(*)<5得到-1<x<3,然后結合題意列不等式求解即可；

(2)將“對任意的h，x2e[0,4],都有IfOi)-f(X2)l-8”轉化為“M-mW8”，然后分tWO、0<t<2.

2<t<4和t>4四種情況討論即可.

【解答過程】(1)當t=l時，/(%)-x2—2x+2,

令f(x)<5,解得一1<x<3,

所以1強二匕，解得TWaWl，

所以a的取值范圍為[—1,1].

(2)設函數f(x)在區間[0,4]上的最大值為M,最小值為小，

所以“對任意的的,x26[0,4]，都有-/(x2)l<8”等價于“M-m<8”,

①當t<0時，M=f(4)=18-8t,m=/(0)=2,

由M-m=18-8t-2=16-8t<8,得t21,從而此時tG0；

②當0<tW2時，M=/(4)=18-8t,m=f(t)=2-t2,

由M-TH=18—8t—(2-/)=產―8t+16=(t-4)2<8得4-2V2<t<4+2vL

從而4—2A/2<t<2；

③當2<t<4時，M=/(0)=2,m=/(t)=2-t2,

由M—m=2—(2—t2)=/<8,得一2/<t<2&,

從而2<t<2A/2；

④當t>4時，M=f(0)=2,m=/(4)=18-8t,

由M一爪=2-(18-8t)=8t-16<8得t<3,

從而此時tG0;

綜上可得，t的取值范圍為[4-2企,2g.

【變式7-3](2023上?浙江臺州?高一校聯考期中)已知函數/(久)=2/-ax+a2-4,g(x)-x2-x+a2-

(aGR)

(1)當a=l時,解不等式/(x)>g(x)；

(2)若任意x>0,都有人>)>g(x)成立，求實數a的取值范圍；

(3)若V比1￡[0,1],Sx26[0,1],使得不等式/01)>。(久2)成立，求實數a的取值范圍.

【解題思路】(1)作差后解一元二次不等式即可.

(2)解法一：構造函數，分類討論求解二次函數最小值，然后列不等式求解即可；

解法二：分離參數，構造函數k=x+3,利用基本不等式求解最值即可求解；

(3)把問題轉化為/(%)min>g(%)min，利用動軸定區間分類討論即可求解.

【解答過程】(1)當。=1時，/(%)=2x2—x—3,=x2—x——

4

所以/(%)-g(%)="+f>o,所以所以/(%)>g(%)的解集為R.

(2)若對任意%>0,都有/(%)>g(%)成立，即％2+(1—CL)X+Y>0在％>0恒成立，

解法一：設/l(%)=久2+(1-Q)%+竽，%>0,對稱軸％=F，由題意，只須/l(%)min>0，

①當等<0,即時，依)在(0,+8)上單調遞增，所以九⑺>以0)=*符合題意，所以awl；

②當”>0,即a>l時，M%)在(0,與工)上單調遞城，在(辭，+8)單調遞增，

所以九⑴>八(筌)=一鋁上+與>0，解得1一后Va<1+同且a>1,

所以l<avl+匣.

綜上，aV1+V15.

解法二：不等式可化為(a—1)%V/+半即。一1<；%+||,設々=%+?%>0,

由題意，只須Q—1<k(%)min，fc=%+^|>2=V15,

當且僅當％=得即％=產時等號成立，貝！Jkmin=Vl^，

所以Q—IV底，即QV1+回.

(3)若對任意X1G[0,1],存在%2￡[0,1]，使得不等式f(%i)>g(%2)成立，

即只需滿足了(%)min>9(%)min，%6血只

g(%)=/_久+小對稱軸％5g(x)在[。，3遞減，在(fl]遞增，

9(%)min=9=a2—8,/(%)=2x2—ax+a2—4,xG[0,1],對稱軸％=%

22

①:<0即a<0時，/(%)在[0,1]遞增，/(x)min=/(0)=a-4>gMm[n=a-8恒成立；

②0<Rl即0<aV4時，/(%)在[o,J)遞減，在&1]遞增,

f(^)min=/O==a?—4,g(%)min=小—8,所以;小—4>a2—8,故。Va<4;

\4/oo

2

③3>1即a>4時，/(%)在[0,1]遞減，f(x)min=/(I)=a-a-2,5tomin=-8,

所以a?—a—2>a?-8,解得4<u<6,綜上：aG(—8,6).

【題型8一元二次不等式有解問題】

[例8](2023?河南?長葛市統考模擬預測)已知命題￡[-1,1],T+3久°+a>0”為真命題，則實數

a的取值范圍是()

A.(—8,—2)B.(—8,4)C.(—2,+oo)D.(4,+oo)

【解題思路】由題知X。6[—1,1]時，a>(詔-3*o)min，再根據二次函數求最值即可得答案.

【解答過程】解：因為命題石質G[-1,1],-%o+3x0+a>0”為真命題，

所以，命題*oe[-1,1]，a>賄一3尤0”為真命題，

所以，x0G[—1,1]iff，a>(%o—3x0)min,

因為，y=/_3%=(%_習—￡

所以，當時，％?也=一2,當且僅當X=1時取得等號.

所以，x()e[—1,1]時，a>(%Q—3%o)mjn=—2,即實數a的取值范圍是(一2,+8)

故選：C.

【變式8-1](2022?陜西寶雞.校聯考模擬預測)若存在實數％,使得小/-(租-2)久+m<0成立，則實數

小的取值范圍為()

A.(-oo,2)B.(-8,0]u&|)

C.(一8,|)D.(-co,1)

【解題思路】分別在巾=0、6>0和巾<0的情況下，結合二次函數的性質討論得到結果.

【解答過程】①當巾=0時，不等式化為2x<0,解得：%<0,符合題意；

②當m>0時，y=mx2—(m—2)x+?n為開口方向向上的二次函數,

只需△=(m—2)2—47n2=-3m2—4m+4>0,即。<?n<|；

③當m<0時，y=mx2—(m—2)x+m為開口方向向下的二次函數，

則必存在實數K，使得_(m_2)%+m<0成立；

綜上所述：實數小的取值范圍為

故選：C.

【變式8-2](2023上?福建?高一校聯考期中)已知函數/(*)=ax2—(2a+3)比+6(aeR)

(1)若/(%)>0的解集是｛'1%<2或%>3],求實數a的值；

(2)當a=1時，若一2<%<2時函數/(%)<-(m+5)%+3+27n有解，求zn的取值范圍.

【解題思路】(1)根據一元二次不等式的解集列方程，由此求得Q的值.

(2)化簡不等式f(%)<-(m+5)%+3+2m,通過直接討論法或分離常數法，結合二次函數的性質或基本

不等式求得7n的取值范圍.

【解答過程】(1)依題意，/(%)=a/一(2a+3)%+6(aER)的解集是｛%[%<2或久>3｝,則a>0,

且冗1=2,X2=3是方程a/_(2a+3)x4-6=0的兩個根，

a>0

9Q_2a+3

2+3一丁,解得a=1.

{2X3=-a

(2)a=1時，/(%)<-(m+5)%+3+27n在-2<%<2有解,

即％2+mx+3-2m<0在［-2,2］有解，

法一：因為y=/++3—2m的開口向上，對稱軸％=—￡

①一1<-2即zn>4fx=-2時，函數取得最小值4—