積分學(xué)不定積分定積分定積分

第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì)

一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線軸，以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積及x

解決步驟:1)

分割在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個分點用直線將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形,2)

近似在第i個窄曲邊梯形作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得上任取其面積為且

4)取極限令則曲邊梯形面積3)求和

2.變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動,且求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)分割將它分成在每個小段上物體2)近似得已知速度n個小段經(jīng)過的路程為

3)求和4)取極限上述兩個問題的共性:解決問題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”所求量的結(jié)構(gòu)式相同:和式的極限

二、定積分定義任一種分法任取，如果和式的極限I存在,則稱此極限I為函在區(qū)間上的即也稱f(x)在[a,b]上可積.記作數(shù)作乘積之和，記定積分,

積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和

定理1.定理2.且只有有限個間斷點（1）可積函數(shù)的充分條件:在可積對定積分定義的說明：（2）定積分的結(jié)果是一個數(shù)值（3）定積分與分割的方法及點的取法無關(guān)（4）定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)（5）定積分與積分變量用什么字母表示無關(guān),即

定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和

例1.利用定義計算定積分解:將[0,1]n等分,分點為取

三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))

注意：當(dāng)a,b,c

的相對位置任意時,例如則有

6.

若在[a,b]上則推論1.若在[a,b]上則7.設(shè)則推論2.

8.

積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.

說明:可把故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.因為

內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式

作業(yè)

P1642;3;5(2,3);6(1,2)

第二節(jié)

二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓–萊布尼茲公式一、引例第二節(jié)微積分基本公式

一、引例在變速直線運動中,已知位置函數(shù)與速之間有關(guān)系:物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.由路程函數(shù)的意義，路程也可表示為度函數(shù)所以

二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則變上限函數(shù)證:則有定理1.若可導(dǎo)，且

例1.（1）（2）（3）（4）（5）

變限函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)論:

例2.

求解:原式例3.確定常數(shù)a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得

例4.證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證

則變上限函數(shù)定理2.若說明:1)定理2證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.同時為通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路.

三、牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)

證:根據(jù)定理2,故因此得記作定理3.函數(shù),則一個

例5.

解:例6.

解:例7.

例8.

解:不正確本例不屬于定積分解:例9.

解:例10.計算正弦曲線與x軸所圍成的面積.解:

內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導(dǎo)公式

作業(yè)P1711(2,3,4,6);2;4;5(2,3);第三節(jié)

備用題解：1.設(shè)求定積分為常數(shù),設(shè),則故應(yīng)用積分法定此常數(shù).

二、定積分的分部積分法第三節(jié)不定積分計算一、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分計算定積分的換元法和分部積分法

牛頓-萊布尼茲公式

例1.計算解:令則∴原式=

又解令則∴原式=且

一、定積分的換元法

定理1.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)當(dāng)t在之間變化時，則是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且實質(zhì)：在換元的同時將積分限作相應(yīng)的改變，這樣在求出t的原函數(shù)后代入t的積分限求值。

說明:1)換元中強調(diào)的是

與a對應(yīng)，

與b對應(yīng)，不一定有

<

2)必需注意換元必?fù)Q限,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元積分中做好三件事：，實際上，當(dāng)換元關(guān)系是減函數(shù)時，將有

>

①尋找換元關(guān)系②求dx的形式③積分限相應(yīng)的改變按不定積分中換元關(guān)系的方法確定根據(jù)積分限的變化或被積函數(shù)的變化確定

例2.計算解:令則∴原式=且

例3.計算解:令則∴原式=且配元不換限

例4.已知解:令，則∴原式=且，求a.由，得

例5.計算解:

原式=

例6.證:(1)若(2)若偶倍奇零

二、定積分的分部積分法

定理2.

則證:

例7.

計算解:原式=

例8.

證明證:令

n為偶數(shù)

n為奇數(shù)則令則

由此得遞推公式于是而故所證結(jié)論成立.

內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限

重要結(jié)論是偶函數(shù)是奇函數(shù)

n為偶數(shù)

n為奇數(shù)作業(yè)P1781(1,3,5,7,9,11);

2(3,4,6,7);3(2,3);4(2);第四節(jié)

二、無界函數(shù)的反常積分第四節(jié)定積分積分限是有限數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)間上有界推廣一、無窮限的反常積分反常積分(廣義積分)反常積分

一、無窮限的反常積分引例.曲線和直線及x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為

定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為f(x)在記作這時稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若則定義上的反常積分,

則定義(c為任意取定的常數(shù))等式右邊只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.并非不定型,說明:上述定義中若出現(xiàn)它表明該反常積分發(fā)散.

引入記號則有類似牛–萊公式的計算表達(dá)式:

例1.計算反常積分解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:對反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會出現(xiàn)錯誤.

例2.證明積分證:當(dāng)p=1時有當(dāng)p≠1時有當(dāng)p>1時收斂;

p≤1時發(fā)散.因此,當(dāng)p>1時,反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1時,反常積分發(fā)散.

二、無界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的開口曲邊梯形與x軸,y軸和其含義可理解為面積A可記作直線的

定義2.

設(shè)而在點a的右鄰域存在,這時稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b的左鄰域內(nèi)無界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的反常積分,記作則定義則稱此極限為函內(nèi)無界,

而無界點常稱為瑕點(奇點).在點c的鄰域內(nèi)無界,則定義

若瑕點公式的計算表達(dá)式:則也有類似牛–萊若

b為瑕點,則若a為瑕點,則則可相消嗎?

下述解法是否正確:,∴積分收斂例3.計算反常積分解:顯然瑕點為

a,所以原式例4.討論反常積分的收斂性.所以反常積分發(fā)散.解:

例5.證明反常積分證:當(dāng)q=1時,當(dāng)q<1時收斂;q≥1時發(fā)散.當(dāng)q≠1時所以當(dāng)

q<1時,該廣義積分收斂,其值為當(dāng)

q

≥1

時,該廣義積分發(fā)散.

例6.討論反常積分解:的收斂性.

內(nèi)容小結(jié)1.反常積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界定積分的極限2.兩個重要的反常積分

P1871(1,2,3,5)作業(yè)習(xí)題課

習(xí)題課定積分

一、與定積分概念有關(guān)問題的解法二、有關(guān)定積分計算和證明的方法一、與定積分概念有關(guān)問題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問題

例1.解:因為時,所以利用夾逼準(zhǔn)則得

解：原式例2.

解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡化成積分和：已知利用夾逼準(zhǔn)則可知例3.

例4.證明證:令則令得故

例5.求可微函數(shù)f(x)使其滿足解:兩邊對