專題17比例線段重難點題型專訓（6大題型）【題型目錄】題型一比例的性質題型二線段的比題型三成比例線段題型四由平行判斷成比例的線段題型五由平行截線求相關線段的長或比值題型六黃金分割【知識梳理】知識點一、線段的比與成比例線段線段的比兩條線段長度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時必須統一單位）．成比例線段四條線段、、、中，如果，那么這四條線段、、、叫做成比例線段，簡稱比例線段．知識點二、比例的性質基本性質合比的性質等比性質知識點三、黃金分割黃金分割若線段AB上一點C把線段AB分成兩條線段AC與BC（AC>BC），如果，這時稱點C是AB的黃金分割點，這個比值稱為黃金比，它的值為．知識點四、相似圖形相似圖形在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點詮釋：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形是全等；相似多邊形如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．要點詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比．知識點五、平行線分線段成比例定理定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。圖形：幾何語言：∵l1∥l2∥l3，∴，，推論平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例。圖形：幾何語言：∵DE∥BC，∴，，【經典例題一比例的性質】1．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州市胥江實驗中學校?？茧A段練習）下列比例式中，不能由比例式得到的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據比例的基本性質，等比性質，合比性質依次判斷即可．【詳解】A．∵∴故A選項正確，不符合題意；B．∵根據合比性質得故B選項正確，不符合題意；C．根據等比性質得故C選項正確，不符合題意；D．由不能得到，故D選項錯誤，符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查了比例的基本性質，等比性質，合比性質，熟練掌握以上性質是解題的關鍵．2．（2023秋·陜西西安·九年級校考開學考試）若，則的值為（

）A． B．1 C．1.5 D．3【答案】A【分析】先用b、d、f分別表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【詳解】解：由，，，故選：A．【點睛】此題考查比例的性質，解題關鍵在于掌握其性質定義．3．（2023秋·八年級課時練習）已知（，，均不為0），則式子的值是．【答案】1【分析】設，則，，，然后把，，代入代數式中進行分式的化簡運算即可．【詳解】解：設，則，，，所以．故答案為：1．【點睛】本題考查了比例的性質：熟練掌握比例的基本性質（內項之積等于外項之積、合比性質、分比性質、合分比性質、等比性質等）是解決問題的關鍵．4．（2023春·山東泰安·八年級統考期末）已知，若，則【答案】20【分析】根據已知等式可得，再根據即可得．【詳解】解：，，，，故答案為：20．【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知a，b，c，d四個數滿足：，，其中a，b，c為非負數．(1)若，則___________．(2)d可取的整數有___________個．【答案】(1)(2)15【分析】（1）設，可得，，再根據求出k的值即可求解；（2）設，可得，，，再根據a，b，c為非負數即可求出k的取值范圍，從而求出d的取值范圍即可求解．【詳解】（1）設，，，，，，，，故答案為：；（2），，，，∵a，b，c為非負數，，，，，，，∴d可取的整數有15個，故答案為：15．【點睛】本題考查了比例的性質和不等式的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．【經典例題二線段的比】1．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知點是線段上的一點，線段是和的比例中項，下列結論中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設AB=1，AP=x，則PB=1－x，由比例中項得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．【詳解】解：設AB=1，AP=x，則PB=1－x，∵線段是和的比例中項，∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，∴x2+x－1=0，解得：，（舍去），∴PB=1－=，∴，，，，故選：C．【點睛】本題考查比例中項、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項的定義是解答的關鍵．2．（2023春·河北承德·九年級統考階段練習）如圖，將矩形紙片按照以下方法裁剪：剪去矩形邊長的，邊長的（稱為第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（陰影部分）邊長的，長的（稱為第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的圖形恰好是正方形，則原矩形的長寬比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設原矩形的長為x，寬為y，則第一次裁剪所得矩形的長為，寬為，以此類推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案．【詳解】設原矩形的長為x，寬為y，則第一次裁剪所得矩形的長為，寬為，第二次裁剪所得矩形的長為，寬為，第三次裁剪所得矩形的長為，寬為，第四次裁剪所得矩形的長為，寬為，第五次裁剪所得剩下的圖形恰好是正方形，，．故選：A．【點睛】本題考查矩形的性質，正方形的性質，熟悉掌握該知識點是解題關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，點P把線段分成兩部分，且為與的比例中項．如果，那么．【答案】/【分析】根據黃金分割的定義結合已知條件得，即可得出結論．【詳解】解：∵點P把線段分成兩部分，且為與的比例中項，∴，∴根據黃金分割的定義可得出：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割．4．（2023秋·廣東佛山·九年級統考期末）如圖，在中，，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點D；以點A為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點E，若E為中點，則．【答案】/0.75【分析】設，由題意得，，根據勾股定理得，即，解得，即可得到答案．【詳解】解：設，由題意得，，在中，，則，∴，解得，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了勾股定理：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，正確掌握勾股定理及設定未知數求解是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）閱讀、操作與探究：小亮發現一種方法，可以借助某些直角三角形畫矩形，使矩形鄰邊比的最簡形式（如的最簡形式為）為兩個連續自然數的比，具體操作如下：如圖1，中，的長分別為3，4，5，先以點B為圓心，線段的長為半徑畫弧，交的延長線于點D，再過D，A兩點分別作的平行線，交于點E．得到矩形，則矩形的鄰邊比為．請仿照小亮的方法解決下列問題：（1）如圖2，已知中，，請你在圖2中畫一個矩形，使所畫矩形鄰邊比的最簡形式為兩個連續自然數的比，并寫出這個比值；（2）若已知直角三角形的三邊比為（n為正整數），則所畫矩形（鄰邊比的最簡形式為兩個連續自然數的比）的鄰邊比為．

【答案】；（1）；（2）．【分析】根據題意求出與的值，即可求出矩形鄰邊之比；（1）根據題中的方法畫出矩形，求出矩形鄰邊之比即可；（2）歸納總結得到一般性規律，求出所畫矩形(鄰邊比的最簡形式為兩個連續自然數的比)的鄰邊比即可．【詳解】解：根據題意得：，則矩形的鄰邊比為；故答案為：．（1）根據題意畫出矩形，如圖2所示，

∵，，，∴矩形鄰邊比的最簡形式為兩個連續自然數的比；（2）解：根據題意得：．故答案為：．【點睛】此題屬于四邊形綜合題，認真閱讀題中畫矩形的方法，弄清題中矩形(鄰邊比的最簡形式為兩個連續自然數的比)鄰邊之比的規律是解本題的關鍵．【經典例題三成比例線段】51．（2023·全國·九年級假期作業）如果四條線段、、、構成，，則下列式子中，成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據比例的性質變形，再進行判斷．【詳解】解：、∵，，∴；故本選項錯誤；、∵，，∴；故本選項錯誤；、∵，，∴；故本選項錯誤；、∵，，∴；故本選項正確．故選．【點睛】本題考查了比例的基本性質，熟練掌握比例的基本性質是解題的關鍵．2．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校考開學考試）下面四組線段中，不能成比例的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據成比例線段的定義，對各選項進行計算判斷即可．【詳解】解：，即，A成比例，故不符合要求；，即，B成比例，故不符合要求；，C不成比例，故符合要求；，即，D成比例，故不符合要求；故選：A．【點睛】本題考查了成比例線段．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與正確運算．3．（2023春·廣東河源·八年級?？奸_學考試）如圖，線段OA與函數y（x＞0）的圖象交于點B，且AB＝2OB，點C也在函數y（x＞0）圖象上，連結AC并延長AC交x軸正半軸于點D，且AC＝3CD，連結BC，若△BCD的面積為3，則k的值為．【答案】【分析】分別過點A，B，C作x軸的垂線，垂足分別為M，E，F．設點B的坐標為（a，b），由平行線分線段成比例分別求出點C的坐標，OD的長；由△BCD的面積為3，根據等高三角形的面積比等于對應底的比可得出△BOD的面積，利用△BOD的面積得出等式求解即可．【詳解】解：如圖，分別過點A，B，C作x軸的垂線，垂足分別為M，E，F．∴BE∥CF∥AM，∴OB：OA＝BE：AM＝OE：OM＝1：3，CD：AD＝DF：DM＝CF：AM＝1：4，設點B的坐標為（a，b），∴OE＝a，BE＝b，∴AM＝3BE＝3b，OM＝3OE＝3a，∴CFAMb，∴C（a，b），∴OFa，∴EM＝OM﹣OEa，∴DFFMa，∴OD＝OM﹣DF﹣FMa．∵△BCD的面積為3，∴△ABC的面積＝3×△BCD的面積＝9，∴△ABD的面積＝12．∴△BOD的面積△ABD的面積＝6．∴?OD?BEa×b＝6．解得k＝ab．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，平行線分線段成比例等知識，由△BCD的面積推導出△BOD的面積，設出點B的坐標，表達出△BOD的面積是解題關鍵．4．（2023·山東濟南·校考一模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，以BC為邊作等邊△BCM，連接AM并延長交CD于N，則CN的長為．【答案】【分析】作于，于，根據含30°直角三角形的性質和勾股定理分別求出MH，CH，再利用DH=NH，進而求出．【詳解】解：作于，于，則，，，，，，，是等邊三角形，，∵△BCM是等邊三角形，四邊形ABCD是正方形，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質、等邊三角形的性質、熟記正方形的各種性質以及平行線的性質是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，已知點，分別在邊，上，，交于點，，，，，．(1)求的長；(2)若的面積為70，求的面積．【答案】(1)，(2)28【分析】（1）先求得，再根據求得；由求得；（2）先由“高相等的兩個三角形的面積的比等于底的比”求得，則，再由，求得的面積．【詳解】（1），，，，，，；，，，；（2）設點到的距離為，點到的距離為，，，，，的面積是28．【點睛】此題重點考查成比例線段、高相等的兩個三角形的面積的比等于底的比等知識，根據線段成比例求出線段的長是解題的關鍵．【經典例題四由平行判斷成比例的線段】1．（2023春·天津和平·九年級校考階段練習）如圖，在中，、、分別是邊、、上的點，連接，相交于點，若四邊形是平行四邊形，則下列說法不正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行四邊形的性質得出，，，根據相似三角形的判定得出，再根據平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質逐個判斷即可．【詳解】解：．四邊形是平行四邊形，，，，，，，故本選項錯誤；B．四邊形是平行四邊形，

，，，，，，故本選項錯誤；C．，，，故本選項正確；D．，，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質和判定，平行四邊形的性質的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區域形成的四邊形的周長和面積分別是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16【答案】C【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求解即可．【詳解】由平移的性質可知：，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，，∴在中，，，點F是中點∴∵，點F是中點∴，，∴點D是的中點，∴∵D是的中點，點F是中點，∴是的中位線，∴∴四邊形的周長為：，四邊形的面積為：．故選：C．【點睛】本題考查平移的性質，平行四邊形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識，推導四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，平分，交于點，且，，交于點．若，則的長是．

【答案】6【分析】根據角平分線的定義和平行線的性質可得，根據等邊對等角可得，然后根據平行線分線段成比例定理，可得，結合即可得出答案．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質，等角對等邊，平行線分線段成比例定理等知識，理解并掌握平行線分線段成比例定理是解題關鍵．4．（2023春·山西呂梁·八年級統考期末）如圖，矩形中，，把沿著翻折得到，連接交于點，點是的中點，點是的中點，連接，則的長為．

【答案】/【分析】如圖所示，連接，過點作于點，與交于點，可證都是等腰直角三角形，點是的中點，可得是的中位線，是的中位線，再證，可得，在中根據勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，與交于點，

∵四邊形是矩形，，∴，，，∵沿著翻折得到，∴，，則，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，且，∴是等腰直角三角形，則，在中，點是的中點，，，∴，∴，即，∴，即點是的中點，∴是的中位線，則，∵，，∴點是的中點，∵點是的中點，∴是的中位線，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，在中，，∴，∴，，∴點是的中點，∴，∴在中，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查矩形的性質，等腰三角形的性質，中位線的判定和性質，直角三角形的性質，全等三角形的判斷和性質的綜合，掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵．5．（2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）已知：如圖，在中，，，．直線從點出發，以的速度向點方向運動，并始終與平行，與線段交于點．同時，點從點出發，以的速度沿向點運動，設運動時間為．

(1)當為何值時，四邊形是矩形？(2)當面積是的面積的倍時，求出的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據勾股定理可得的長，由，可得可求的長，當時，四邊形是矩形，列出方程即可解決問題；（2）表示出的長，求出的面積，根據計算即可．【詳解】（1）解：在中，，，，，，，，，，當時，四邊形是矩形，，解得：；（2），，，，，解得：．【點睛】本題考查矩形的判定和性質、一元一次方程的應用，平行線分線段成比例定理、三角形的面積、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構建參數解決問題．【經典例題五由平行截線求相關線段的長或比值】1．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谥校┤鐖D，點D，E，F分別在的邊上，，，，點M是的中點，連接并延長交于點N，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點F作交AC于點G,可證．同理，可得，，；由,得，于是；設，則，，，從而得．【詳解】解：過點F作交AC于點G,∴∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．設，則，∴∴．∴．∴．∴．故選：A【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數量關系是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇無錫·七年級校考階段練習）如圖所示，，是線段的中點，和交于點，已知的面積是，求四邊形的面積（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過點作，交于，先證得，再證明，由此得到，根據，求出的面積，即可得到答案．【詳解】如圖，過點作，交于，

∵點是的中點，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：．【點睛】此題考查了平行線分線段成比例，三角形中線的性質，根據線段比的關系求出三角形的面積，題中由中點引出輔助線是解題的關鍵．3．（2023秋·河南鄭州·九年級?？奸_學考試）如圖，在中，D，E分別是和上的點，，，，且，則的長為．【答案】【分析】利用比例線段得到，然后根據比例性質求．【詳解】∵，即，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．本題也考查了比例的性質．解題的關鍵是掌握比例線段和比例的性質．4．（2023·湖北黃石·統考模擬預測）如圖，正方形的邊長為，點是邊上一個動點，點是邊上一個動點，且，過點作于點，連接，若正方形的中心記為點，則過定點，長的最小值是．

【答案】O/【分析】設正方形的中心為，可證經過點．連接，取中點，連接，，則，為定長，利用兩點之間線段最短解決問題即可．【詳解】解：連接與相于交P，

四邊形是正方形，，，，，，，點P為的中點，即為正方形的中心，點是正方形的中心，點O和點P重合，則過定點；連接，取中點，連接，，則為定長，過點作于．則，為等腰直角三角形，，，為定長，，，,,，，，，，，由勾股定理得，，，當，，三點共線時，最小，故答案為：；．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，解直角三角形，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是求出，的值．5．（2023春·江蘇鹽城·八年級統考期中）本學期我們研究了三角形的中位線的性質，回顧研究的過程，請回答以下問題：(1)三角形中位線定理是：；(2)梯形是有一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形，連接梯形兩腰的中點，得到的線段叫做梯形的中位線．如圖①，就是梯形的中位線，梯形的中位線具有什么性質呢？小明思考之后給出了如下的證明思路：如圖②，連接并延長，交的延長線于點G．先證和全等，再說明是△ABG的中位線．經過你的分析，請寫出梯形的中位線和兩底、之間的關系：、；

(3)已知梯形的中位線長為，高為，則梯形面積是；(4)如圖③，直線l為外的任意一條直線，過A、B、C、D分別作直線l的垂線段、、、，請探索線段、、、之間的數量關系，并證明．

【答案】(1)三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半(2)；(3)42(4)，證明見解析【分析】（1）根據三角形中位線定理解答即可；（2）先證和全等，再說明是△ABG的中位線．利用三角形中位線定理得出結論；（3）根據梯形的中位線長為，得出梯形兩底和的一半等于于，再根據梯形面積公式計算即可；（4）連接、相交于O，過點O作于P，利用平行四邊形的性質和平行線等分線段定理得出是梯形的中位線，是梯形的中位線，再利用梯形的中位線性質得出結論．【詳解】（1）解：三角形中位線定理是：三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．（2）解：；．證明：連接并延長，交的延長線于點G．如圖，

∵，∴，，∵就是梯形的中位線，∴∴∴，，∴是的中位線，∴，，即，∵∴．（3）解：∵梯形的中位線長為，∴梯形兩底和的一半等于于，∴（4）解：，證明：連接、相交于O，過點O作于P，如圖，

∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，，，∴，∴，，∴是梯形的中位線，是梯形的中位線，∴，，∴．【點睛】本題考查三角形與梯形中位線性質，全等三角形的判定與性質，平行線等分線段定理．熟練掌握三角形中位線性質和應用是解題的關鍵．【經典例題六黃金分割】1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點．如圖（2），點分別是線段的黃金分割點，（），若，則的長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題中黃金分割點定義，在圖（1）中令，設，，即，解得，從而，得到黃金分割比由點分別是線段的黃金分割點，可知，，，則，，，根據，代入求解即可得到，，．【詳解】解：如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點，令，設，則，則由，代值得，解得，，，點分別是線段的黃金分割點，，，，，，，將，代入求解即可得到，，，故選：A．【點睛】本題查處黃金分割點定義，涉及黃金分割比求解及利用黃金分割比求線段長，讀懂題意，理解黃金分割點定義得到比例是解決問題的關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）五角星是我們生活中常見的一種圖形，在如圖所示的正五角星中，點C，D為線段的黃金分割點，且，則圖中五邊形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據點C，D分別為線段的右側和左側的黃金分割點，可得，，再根據求出的長度，然后乘以5即可求解．【詳解】解：∵點C，D分別為線段的右側和左側的黃金分割點，∴，，∴，∴五邊形的周長．故選：C．【點睛】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分為較長線段和較短線段，若較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，則這個點叫這條線段的黃金分割點．3．（2023春·山東威?！ぐ四昙壭Ｂ摽计谀┰趯W習畫線段的黃金分割點時，小明過點作的垂線，取的中點，以點為圓心，為半徑畫弧交射線于點，連接，再以點為圓心，為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與交于，兩點，最后，以為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交于點，點即為的其中一個黃金分割點，這里的“■■”指的是線段．

【答案】【分析】根據作圖可知，，，設，則，根據勾股定理得，，求出，得出，即可得出結論．【詳解】解：根據作圖可知，，，設，則，根據勾股定理得，，，，以為圓心，“”的長度為半徑畫弧交于點，點即為的其中一個黃金分割點．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關鍵是求出．4．（2023秋·九年級課時練習）兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯發現了黃金分割，黃金分割在日常生活中處處可見；例如：主持人在舞臺上主持節目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長米，主持人從舞臺一側B進入，她至少走米時恰好站在舞臺的黃金分割點上．（結果保留根號）

【答案】【分析】根據黃金分割的概念，可求出，即可求解．【詳解】由題意知米，，，米，故主持人從舞臺一側點進入，則他至少走米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．(1)【操作判斷】操作一：如圖1，將矩形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在上的點E處，折痕為，把紙片展平，連接；操作二：如圖2，將矩形紙片再次折疊，使點A與點E重合，得到折痕為，把紙片展平；操作三：如圖3，連接，并把折到上的處，得到折痕，把紙片展平，連接．

根據以上操作，直接寫出圖3中的值：______；(2)【問題解決】請判斷圖3中四邊形的形狀，并說明理由．(3)【拓展應用】我們知道：將一條線段分割成長、短兩條線段，，若，則點P叫做線段的黃金分割點．在以上探究過程中，已知矩形紙片的寬為，當點M是線段的黃金分割點時，直接寫出的長．【答案】(1)(2)四邊形是菱形，理由見解析(3)或．【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可；（2）由折疊可知，由平行線的性質可知，等量代換得到，則可得，然后根據平行四邊形和菱形的判定定理得出結論；（3）首先求出的長，然后根據黃金分割點的意義分情況列式求出，再分別求出對應的的長即可．【詳解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知，∴，∵在矩形中，，∴，∴，故答案為：；（2）四邊形是菱形，理由：如圖3，由折疊可知：，，∵在矩形中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形；（3）解：∵，∴由（1）可知，，，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∵點M是線段的黃金分割點，∴或，即或，∴或，∴或，即的長為或．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，菱形的判定和性質，黃金分割等知識，靈活運用各性質定理進行推理計算是解題的關鍵．【重難點訓練】1．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，若直線，且，，則（

）

A．5 B．6C．9 D．10【答案】C【分析】直接根據平行線分線段成比例定理即可得．【詳解】解：直線，且，，又，，故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關鍵．2．（2023秋·陜西西安·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，若，則長為（

）

A．1.8 B．2.7 C．3.6 D．4.5【答案】A【分析】根據平行線分線段成比例定理，得到比例式，把已知數據代入計算即可．【詳解】解：，，又∵，∴∴，故選：A．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．3．（2023秋·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學校考開學考試）下列四條線段中，不能成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】C【分析】根據比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【詳解】解：A、，能成比例，故此選項不符合題意；B、，能成比例，故此選項不符合題意；C、，不能成比例，故此選項不符合題意；D、，能成比例，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．4．（2023春·安徽合肥·八年級統考期末）如圖，在中，D是邊上的中點，E在上，且，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】取的中點M，連接，根據三角形中位線定理得，再根據平行線分線段成比例得，即可得出答案．【解答】解：如圖，取的中點M，連接，∵D是邊上的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選:B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，本題輔助線的作法是解題的關鍵．5．（2023春·安徽安慶·九年級統考期末）如圖，在中，，正方形頂點E、F在邊上，點M在邊上，點N在內部，連接并延長交于點D，若，，則長為（

）

A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.5【答案】B【分析】根據正方形的性質可得，進而可得．在和中，設正方形的邊長為x，根據平行線分線段成比例定理的推論分別列出方程，即可求解．【詳解】解：正方形頂點E、F在邊上，點M在邊上，，又，．設正方形的邊長為x，在中，，，即，解得，，在中，，，即，解得，故選B．【點睛】本題考查正方形的性質，平行線的判定，平行線分線段成比例定理的推論，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．6．（2023·福建泉州·校聯考模擬預測）已知，則．【答案】【分析】根據等式的性質，可用表示，根據分式的性質，可得答案．【詳解】解：由，得．，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質，利用等式的性質得出是解題關鍵．7．（2023秋·安徽蕪湖·九年級?？奸_學考試）如圖，在正方形中，，是的中點，點在邊上，且，為對角線上一點，則的最大值為．【答案】2【分析】以為對稱軸作的對稱點，連接并延長交于，連，依據，可得當，，三點共線時，取等于號，再求得，即可得出，，再根據為等腰直角三角形，即可得到．【詳解】解：如圖所示，以為對稱軸作的對稱點，連，根據軸對稱性質可知，，，當，，三點共線時，正方形邊長為，，為中點，，為中點，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，，即的最大值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．8．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，平分，過點作交于點，且是的中點．若，，則的長為．

【答案】【分析】作交于點，由平行線分線段成比例定理可證，根據勾股定理求出的長，進而可求出的長．【詳解】解：作交于點，

，．是的中點，，，．，．平分，．，在與中，，，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識，證明是解答本題的關鍵．9．（2023·四川成都·?？既＃┮阎c為線段的黃金分割點，．若，則的長為．【答案】/【分析】利用黃金比例列出方程解答即可．【詳解】解：點為線段的黃金分割點，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割點的應用，正確應用黃金比是解答本題的關鍵．10．（2023秋·河南周口·九年級統考期末）如圖，點分別在的邊上，且，過點作，分別交、的平分線于點．若，平分線段，則．

【答案】//【分析】設、交于點，結合可得；由平行線分線段成比例定理可得，即有，再證明，進一步可得，易知，可得，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，設、交于點，

∵，平分線段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定、角平分線的定義等知識，熟練運用平行線分線段定理是解題關鍵．11．（2023秋·八年級課時練習）已知，求的值．【答案】【分析】根據，設每份為k，則，，．再代入分式計算即可．【詳解】解：∵，設每份為k，則，，．∴．【點睛】本題考查了比例的性質，分式化簡求值，設每份為k，得出，，是解題的關鍵．12．（2023秋·福建莆田·九年級?？奸_學考試）如圖，已知，；，，．求的長．

【答案】【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，代