試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁河南省鄭州市東區2024-2025學年九年級下學期第一次數學試題試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若的運算結果為正數，則內的數字可以為（

）A．2 B．1 C．0 D．2．長白山天池系由火山口積水成湖，天池湖水碧藍，水平如鏡，群峰倒映，風景秀麗，總蓄水量約達，數據用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．3．如圖，兩個平面鏡平行放置，光線經過平面鏡反射時，，則的度數為（

）A． B． C． D．4．若分式是最簡分式，則△表示的是（

）A． B． C． D．5．射擊運動隊進行射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如下圖，其成績的方差分別記為和，則和的大小關系是（

）A． B． C． D．無法確定6．如圖是的正方形網格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種7．如圖，已知點，在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（

）A． B． C． D．8．某校九年級學生去距學校的科技館研學，一部分學生乘甲車先出發，后其余學生再乘乙車出發，結果同時到達．已知乙車的速度是甲車速度的1.2倍，設甲車的速度為，根據題意可列方程（

）A． B． C． D．9．如圖，點為的對角線上一點，，，連接并延長至點，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．410．如圖，在中，，，，是邊上的高．點E，F分別在邊，上（不與端點重合），且．設，四邊形的面積為y，則y關于x的函數圖象為（

）A． B．C． D．二、填空題11．若正比例函數（是常數，）的圖象經過第一、第三象限，則的值可以是（寫出一個即可）．12．若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則k的值為．13．哥德巴赫提出“每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和”的猜想，我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．在質數2，3，5中，隨機選取兩個不同的數，其和是偶數的概率是．14．如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點，分別在軸，軸上，點為的中點，連接．點為上一點，連接，先以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點．若，，則點的坐標為．15．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點C為x軸正半軸上一動點，以為邊作矩形，點E為線段的延長線上一點，且，D為的中點，連接交于點F，連接，當三角形為等腰三角形時，點B的坐標為．三、解答題16．（1）解方程組：（2）先化簡，再求值：，其中，．17．為了解七年級男生體能情況，某校隨機抽取了七年級20名男生進行體能測試，并對測試成績（單位：分）進行了統計分析：【收集數據】100

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73【整理數據】該校規定：為不合格，為合格，為良好，為優秀．（成績用表示）等次頻數（人數）頻率不合格10.05合格a0.20良好100.50優秀5b合計201.00【分析數據】此組數據的平均數是82，眾數是83，中位數是c；【解決問題】(1)填空：__________，__________，__________；(2)若該校七年級共有300名男生，估計體能測試能達到優秀的男生約有多少人？(3)根據上述統計分析情況，寫一條你的看法．18．某數學興趣小組在校園內開展綜合與實踐活動，記錄如下：活動項目測量校園中樹的高度活動方案“測角儀”方案“平面鏡”方案方案示意圖實施過程1．選取與樹底B位于同一水平地面的D處；2．測量D，B兩點間的距離；3．站在D處，用測角儀測量從眼睛C處看樹頂A的仰角；4．測量C到地面的高度．1．選取與樹底B位于同一水平地面的E處；2．測量E，B兩點間的距離；3．在E處水平放置一個平面鏡，沿射線方向后退至D處，眼睛C剛好從鏡中看到樹頂A；4．測量E，D兩點間的距離；5．測量C到地面的高度．測量數據1．；2．；3．．1．；2．；3．．備注1．圖上所有點均在同一平面內；2．均與地面垂直；3．參考數據：．1．圖上所有點均在同一平面內；2．均與地面垂直；3．把平面鏡看作一個點，并由物理學知識可得．請你從以上兩種方案中任選一種，計算樹的高度．19．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A，C分別在x軸，y軸上，點B的坐標為，反比例函數的圖象經過上的點D，已知．(1)求k的值．(2)連接，以點O為圓心，長為半徑畫弧，求圖中陰影部分的面積．20．如圖是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為O，直徑是河底線，弦是水位線，，米，．(1)求的長．(2)一艘船要經過該橋洞，矩形是該船水面以上部分的截面簡化示意圖，寬為10米，高為2米．受天氣影響，若該船隨水面上升1米，請判斷該船能否通過該橋洞，并說明理由．21．共享電動車是一種新理念下的交通工具，掃碼開鎖，循環共享．某天早上王老師想騎共享電動車去學校，有A，B兩種品牌的共享電動車可選擇．已知：A品牌電動車騎行，收費元，且；B品牌電動車騎行，收費元，且，A，B兩種品牌電動車所收費用y與騎行時間x之間的函數圖象如圖所示．(1)說明圖中函數與圖象的交點P表示的實際意義．(2)已知王老師家與學校的距離為，且王老師騎電動車的平均速度為，那么王老師選擇哪種品牌的共享電動車會更省錢？請說明理由．(3)請直接寫出當x為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差3元．22．課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于x的二次函數的最值問題展開探究．【經典回顧】二次函數求最值的方法．（1）老師給出，求二次函數的最小值．①請你寫出對應的函數解析式；②求當x取何值時，函數y有最小值，并寫出此時的y值；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數在x取何值時，y的最小值．記錄結果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*為②的計算結果．【探究發現】老師：“請同學們結合學過的函數知識，觀察表格，談談你的發現．”甲同學：“我發現，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y的最小值．”乙同學：“我發現，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）請結合函數解析式，解釋甲同學的說法是否合理？（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．23．如圖（1），菱形中，，點E為對角線上一動點，連接，將線段繞點E逆時針旋轉，使點E的對應點F落在直線上．【猜想證明】（1）問：與有怎樣的數量關系？請結合圖（1）加以證明．【探索發現】（2）當時，如圖（2），延長交的延長線于點G，求證：．【拓展延伸】（3）當時，如圖（3），延長到點P，使得，連接，若，直接寫出的周長最小時線段的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《河南省鄭州市東區2024-2025學年九年級下學期第一次數學試題試卷》參考答案題號12345678910答案DBCDABADBA1．D【難度】0.85【知識點】兩個有理數的乘法運算【分析】本題主要考查了有理數的乘法計算，根據有理數的乘法計算法則，分別計算出與四個選項中的數的乘積即可得到答案．【詳解】解：，，，，四個算式的運算結果中，只有3是正數，故選：D．2．B【難度】0.94【知識點】用科學記數法表示絕對值大于1的數【分析】本題主要考查了科學記數法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：故選B．3．C【難度】0.85【知識點】根據平行線的性質求角的度數【分析】本題考查利用平行線的性質求角的度數，平角的定義求出的度數，再根據平行線的性質，即可得出結果．【詳解】解：∵，∴，∵兩個平面鏡平行放置，∴經過兩次反射后的光線與入射光線平行，∴；故選C．4．D【難度】0.85【知識點】最簡分式【分析】此題考查最簡分式的意義，要把分子與分母因式分解徹底，進一步判定即可．先將各選項因式分解，利用最簡分式的意義（一個分式的分子與分母沒有非零次的公因式時（即分子與分母互素）叫最簡分式最簡分式）進行分析解答．【詳解】解：因為，且分式是最簡分式，∴中不含或，A．，不符合題意；B．，不符合題意；C．，不符合題意；D．，符合題意；故選：D．5．A【難度】0.85【知識點】折線統計圖、根據方差判斷穩定性【分析】本題考查比較方差的大小，根據折線圖，得到乙選手的成績波動較小，即可得出結果．【詳解】解：∵方差表示數據的離散程度，方差越大，數據波動越大，方差越小，數據波動越小，由折線圖可知乙選手的成績波動較小，∴；故選A．6．B【難度】0.94【知識點】正方體幾種展開圖的識別【分析】此題主要考查了幾何體的展開圖，關鍵是掌握正方體展開圖的特點．依據正方體的展開圖的結構特征進行判斷，即可得出結論．【詳解】解：如圖所示：共有2種方法，故選：B．7．A【難度】0.65【知識點】同弧或等弧所對的圓周角相等、切線的性質定理、三角形內角和定理的應用、等邊對等角【分析】根據切線的性質得到，根據圓周角定理得到，根據等腰三角形的性質、三角形的內角和定理計算，即可解答．【詳解】解：直線與相切，切點為，，為的中點，，，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質、圓周角定理、等腰三角形的性質、三角形的內角和定理，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．8．D【難度】0.85【知識點】列分式方程【分析】本題考查了分式方程的應用，正確理解題意是解決本題的關鍵．先把時間化為小時，設甲車的速度為，則乙車的速度為，表示出兩車的時間，再根據時間相差5分鐘建立方程即可．【詳解】解：，設甲車的速度為，根據題意可列方程：，故選：D．9．B【難度】0.4【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用平行四邊形的性質求解、由平行截線求相關線段的長或比值【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助線是解題關鍵．解法一：延長和，交于點，先證，得到，再證，得到，即可求得結果；解法二：作交于點H，證明出，得到，，然后證明出四邊形是平行四邊形，得到．【詳解】解：解法一：延長和，交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴∴，∴，∴∵，∴．解法二：作交于點H∴，，又∵，∴，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴．故選：B．10．A【難度】0.4【知識點】動點問題的函數圖象、相似三角形的判定與性質綜合、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了函數圖象的識別，相似三角形的判定以及性質，勾股定理的應用，過點E作于點H，由勾股定理求出，根據等面積法求出，先證明，由相似三角形的性質可得出，即可求出，再證明，由相似三角形的性質可得出，即可得出，根據，代入可得出一次函數的解析式，最后根據自變量的大小求出對應的函數值．【詳解】解：過點E作于點H，如下圖：∵，，，∴，∵是邊上的高．∴，∴，∵，，∴，∴，解得：，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴∵，∴當時，，當時，．故選：A．11．1（答案不唯一）【難度】0.85【知識點】正比例函數的圖象【分析】本題考查了正比例函數的圖象，“對于正比例函數（是常數，），當時，函數的圖象經過第一、三象限；當時，函數的圖象經過第二、四象限”，熟練掌握正比例函數的圖象特點是解題關鍵．根據正比例函數的圖象經過第一、三象限可得，由此即可得．【詳解】解：正比例函數（是常數，）的圖象經過第一、三象限，，∴的值可以為1，故答案為：1（答案不唯一）．12．2【難度】0.85【知識點】根據一元二次方程根的情況求參數【分析】本題考查根據一元二次方程根的情況求參數．一元二次方程有兩個不相等的實數根，則；有兩個相等的實數根，則；沒有實數根，則．據此即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：故答案為：213．【難度】0.85【知識點】根據概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，根據概率公式計算概率等知識點，利用列表法或樹狀圖法列出所有等可能的結果是解題的關鍵．根據題意畫出樹狀圖，列出所有等可能的結果及所求的結果，然后利用概率公式計算概率即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有6種等可能的結果，和是偶數的結果共有2種，和是偶數的概率為，故答案為：．14．【難度】0.4【知識點】全等的性質和HL綜合（HL）、作已知線段的垂直平分線、用勾股定理解三角形、根據正方形的性質求線段長【分析】證明得，結合點為的中點，得，由勾股定理得，所以，連接，由于，所以，即，解出的值即可解答．【詳解】解：由作圖可知，，，又，，，，點為的中點，，，四邊形是正方形，，，，如圖，連接，設，則，，，，即，解得：，點的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，勾股定理，垂直平分線的定義，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．15．或【難度】0.65【知識點】與三角形中位線有關的求解問題、根據矩形的性質求線段長、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形【分析】取的中點G，連接，則為的中位線，，，證明，推出，，分和兩種情況，分別討論即可求解．【詳解】解：點A的坐標為，四邊形為矩形，，，取的中點G，連接，則，D為的中點，G為的中點，為的中位線，，，，，，，，，在和中，，，，，由圖可得，故分兩種情況討論：當時，如圖：，，；當時，如圖：

，；綜上可知，點B的坐標為或故答案為：或．【點睛】本題考查矩形的性質，三角形中位線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的定義等，注意分情況討論是解題的關鍵．16．（1）；（2），6【難度】0.65【知識點】整式的混合運算、加減消元法、整式的加減中的化簡求值【分析】此題考查解二元一次方程組，整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵：（1）利用加減法解方程組；（2）先計算完全平方公式，單項式乘以多項式，再計算加減法．【詳解】解：（1），得，解得，將代入①得，解得，∴方程組的解為；（2），∵，，∴原式．17．(1)4，0.25，83(2)75人(3)男生體能狀況良好【難度】0.65【知識點】由樣本所占百分比估計總體的數量、求中位數、頻數分布表、根據要求選擇合適的統計量【分析】本題考查頻數分布表和用樣本估計總體：（1）利用頻數=頻率×數據總數可求出a的值；利用頻率=頻數÷數據總數可求出b，最后根據中位數定義可求出c；（2）用樣本估計總體可得結論；（3）結合分析，得出看法【詳解】（1）解：；；把20個數據按從小到大的順序排列為：52，64，68，72，73，76，77，79，83，83，83，87，88，88，89，91，94，96，97，100，最中間的兩個數據為83，83，所以，，故答案為：4，0.25，83；（2）解：（人）答：估計體能測試能達到優秀的男生約有75人；（3）解：從樣本的平均數、中位數和眾數可以看出，男生整體體能狀況良好18．【難度】0.65【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、仰角俯角問題(解直角三角形的應用)【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題、相似三角形的應用等知識，熟練掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．“測角儀”方案：如圖：過C作于F，根據矩形的性質得到,再根據三角函數的定義求解即可；“平面鏡”方案：根據垂直的定義得到，根據相似三角形的判定和性質定理求解即可．【詳解】解：選擇“測角儀”方案：如圖：過C作于F，則，，在中，，，，．選擇“平面鏡”方案：由題意得，，．又，，，即，．19．(1)(2)【難度】0.65【知識點】求反比例函數解析式、求其他不規則圖形的面積、反比例函數與幾何綜合、解直角三角形的相關計算【分析】本題考查了利用待定系數法求函數的解析式，解直角三角形，三角形的面積，扇形面積．（1）先利用D點在上且得到，再把點坐標代入可得到k的值；（2）設所畫弧與交于點E，連接，根據得，進而得，再得，得，再根據計算即可得答案．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，又，，反比例函數的圖象經過點D，；（2）解：設所畫弧與交于點E，連接，如圖．，，，，，，．20．(1)米(2)該船能通過該橋洞，見解析【難度】0.65【知識點】垂徑定理的實際應用、其他問題（解直角三角形的應用）、用勾股定理解三角形【分析】（1）由垂徑定理可知，易得米，，于是，（米），再由可得答案；（2）如圖（1），延長交于點F，交半圓O于點H，則米，米，由（1）易得米，則米，【詳解】（1）解：如圖（1），過點O作于點E，則，．連接，則米，，當箱子隨水面上升1米，點H到線段的距離為2米，求出當木箱剛好通過該橋洞時，的長度，若該長度小于2，則此木箱能通過該橋洞，否則不能．，（米），（米）；（2）解：該船能通過該橋洞．理由如下：如圖（1），延長交于點F，交半圓O于點H，則米，米，由（1）易得米，米，若該船隨水面上升1米，則點H到線段的距離為2米，若該船剛好能通過該橋洞，情形如圖（2），過點O作于點G，延長交半圓O于點H，連接，則米，米．在中，由勾股定理得（米）．米．，該船能通過該橋洞．【點睛】本題主要考查垂徑定理、勾股定理、特殊角的三角函數值、含30度角的直角三角形性質、矩形的判定與性質，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵．21．(1)交點表示的實際意義是當騎行時間為時，兩種品牌的共享電動車收費都為8元(2)選擇品牌共享電動車會更省錢，理由見解析(3)或35【難度】0.65【知識點】其他問題(一次函數的實際應用)、其他問題(一元一次方程的應用)【分析】本題主要考查了一次函數的應用，熟練掌握待定系數法和函數圖象是解題關鍵．（1）根據點的坐標為即可得交點表示的實際意義是當騎行時間為時，兩種品牌的共享電動車收費都為8元；（2）先求出王老師從家騎行到學校所需時間為，再結合函數圖象可得當時，，由此即可得；（3）先利用待定系數法求出當時，，再分三種情況：，和，分別建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：因為點的坐標為，所以交點表示的實際意義是當騎行時間為時，兩種品牌的共享電動車收費都為8元．（2）解：選擇品牌共享電動車會更省錢．理由如下：∵王老師家與學校的距離為，且王老師騎電動車的平均速度為，∴王老師從家騎行到學校所需時間為，觀察函數圖象可知，當時，，所以選擇品牌共享電動車會更省錢．（3）解：將和代入得：，解得，則當時，，當時，令，即，解得，符合題設；當時，令，即，解得，不符合題設，舍去；當時，令，即，解得，符合題設；綜上，當為或35時，兩種品牌共享電動車收費相差3元．22．（1）①；②當時，有最小值為（2）見解析（3）正確，【難度】0.65【知識點】把y=ax2+bx+c化成頂點式、y=ax2+