試題PAGE1試題試卷第=page44頁，共=sectionpages55頁2025年1月“八省聯考”考前猜想卷數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復數，則（

）A． B． C． D．3．在中，D是AB邊上的中點，則=（

）A． B． C． D．4．設，，則（

）A． B． C． D．5．以邊長為6的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得幾何體的側面積為（

）A． B． C． D．6．下列說法正確的是（

）A．若函數為奇函數，則B．函數在上是減函數C．若函數的定義域為，則函數的定義域為D．若函數為偶函數，且在0,+∞上是單調遞增，則在上是單調遞減7．已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知數列滿足，．記數列的前項和為，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．體育教育既能培養學生自覺鍛煉身體的習慣，又能培養學生開拓進取、不畏艱難的堅強性格.某校學生參加體育測試，其中甲班女生的成績與乙班女生的成績均服從正態分布，且，，則(

).A． B．C． D．10．已知函數，下列說法正確的是（

）A．函數的定義域為B．函數為偶函數C．函數的單調遞增區間為D．函數的圖像關于直線對稱11．數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為，則下列說法正確的是（

）A．四葉草曲線有四條對稱軸B．設為四葉草曲線上一點，且在第一象限內，過作兩坐標軸的垂線，則兩垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積的最大值為C．四葉草曲線上的點到原點的最大距離為D．四葉草曲線的面積小于第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若直線與曲線相切，則實數的值為.13．已知雙曲線的左焦點為，過的直線交圓于，兩點，交的右支于點，若，則的離心率為.14．數學家高斯在各個領域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數論問題時，他在他的著作《算術研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學?密碼學以及大數分解等各個領域都有廣泛的應用.已知對于正整數，若存在一個整數，使得整除，則稱是的一個二次剩余，否則為二次非剩余.從1到20這20個整數中隨機抽取一個整數，記事件與12互質”，是12的二次非剩余”，則；.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）記的內角，，的對邊分別為，，，點在邊上，且滿足，的面積(1)證明：(2)求.16．（15分）新冠肺炎疫情期間，某市為了了解本地居民對當地防疫工作的滿意度，從市居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為100分），根據調查數據制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有2200人.(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調查的總人數；(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分數的眾數和平均數（精確到0.1）；(3)設該市居民為50萬人，估計全市居民對當地防疫工作評分在85分以上的人數.17．（15分）橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．18．（17分）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，E為CD的中點，．(1)證明：平面平面；(2)若，PC與平面所成的角為，試問在側面PCD內是否存在一點N，使得平面PCD？若存在，求出點N到直線PD的距離；若不存在，請說明理由．19．（17分）用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”.現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，f″x是的導函數，則曲線在點處的曲率.(1)求曲線在處的曲率的平方；(2)求正弦曲線曲率的平方的最大值.(3)正弦曲線，若，判斷在區間上零點的個數，并寫出證明過程.2025年1月“八省聯考”考前猜想卷數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，可得，又因為全集，所以，故選：D2．若復數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得，所以.故選：B3．在中，D是AB邊上的中點，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C4．設，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，故選：A.5．以邊長為6的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得幾何體的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得所得幾何體為圓柱體，底面半徑，高，側面積，故選：D.6．下列說法正確的是（

）A．若函數為奇函數，則B．函數在上是減函數C．若函數的定義域為，則函數的定義域為D．若函數為偶函數，且在0,+∞上是單調遞增，則在上是單調遞減【答案】D【解析】對于選項A：例如為奇函數，但無定義，故A錯誤；對于選項B：因為，所以函數在定義域上不是減函數，故B錯誤；對于選項C：因為函數的定義域為，即，則，所以函數的定義域為，故C錯誤；對于選項D：因為函數為偶函數，且在上是單調遞增，所以在上是單調遞減，故D正確；故選：D.7．已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因為，所以因為函數在區間上單調遞增，所以函數在上單調遞增，且，即.因為，所以，函數在上單調遞增等價于或，所以，解不等式得或，所以，的取值范圍是.故選：C8．已知數列滿足，．記數列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，，，故，由累加法可得當時，，又因為當時，也成立，所以，所以，，故，由累乘法可得當時，，所以，所以．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．體育教育既能培養學生自覺鍛煉身體的習慣，又能培養學生開拓進取、不畏艱難的堅強性格.某校學生參加體育測試，其中甲班女生的成績與乙班女生的成績均服從正態分布，且，，則(

).A． B．C． D．【答案】ACD【解析】選項A：由，得，故A正確；選項B：由，得，故B不正確；選項C：由于隨機變量服從正態分布，該正態曲線的對稱軸為直線：，所以，故C正確；選項D：解法一：由于隨機變量，均服從正態分布，且對稱軸均為直線：，，所以在正態曲線中，的峰值較高，正態曲線較“瘦高”，隨機變量分布比較集中，所以，故D正確.解法二：因為，，所以，故D正確.故選：ACD.10．已知函數，下列說法正確的是（

）A．函數的定義域為B．函數為偶函數C．函數的單調遞增區間為D．函數的圖像關于直線對稱【答案】BD【解析】的定義域為：，，=；對于A，錯誤；對于B，，是偶函數，正確；對于C，不在定義域內，錯誤；對于D，二次函數的對稱軸是x=-1，∴是關于x=-1對稱的，正確；故選：BD.11．數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為，則下列說法正確的是（

）A．四葉草曲線有四條對稱軸B．設為四葉草曲線上一點，且在第一象限內，過作兩坐標軸的垂線，則兩垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積的最大值為C．四葉草曲線上的點到原點的最大距離為D．四葉草曲線的面積小于【答案】ABD（更多試卷請關注微信公眾號：智慧學庫）【解析】對于A，將換為方程不變，所以曲線關于軸對稱；將換為方程不變，所以曲線關于軸對稱；將換為，換為方程不變，所以曲線關于對稱；將換為，換為方程不變，所以曲線關于對稱.故A正確；對于B，設曲線第一象限任意一點為，則圍成矩形面積為，則，即，當且僅當時取得最大值，故B正確；對于C，設距離為，，要求的最大值，即求的最大值，顯然，，又，當且僅當時，等號成立，所以曲線上的點到原點距離最大值為，故C錯誤；對于D，由C可知，得四葉草曲線在以原點為圓心，為半徑的圓內，故四葉草面積小于，故D正確.故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若直線與曲線相切，則實數的值為.【答案】【解析】設切點坐標為，由得，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，所以，所以.故答案為：.13．已知雙曲線的左焦點為，過的直線交圓于，兩點，交的右支于點，若，則的離心率為.【答案】（更多試卷請關注微信公眾號：智慧學庫）【解析】設的半焦距為cc>0，如圖，設為坐標原點，的中點為的右焦點為，連接，.

因為，所以也是的中點.設，由雙曲線的定義得，所以，在中，由，得，所以，在中，由，得.故答案為：.14．數學家高斯在各個領域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數論問題時，他在他的著作《算術研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學?密碼學以及大數分解等各個領域都有廣泛的應用.已知對于正整數，若存在一個整數，使得整除，則稱是的一個二次剩余，否則為二次非剩余.從1到20這20個整數中隨機抽取一個整數，記事件與12互質”，是12的二次非剩余”，則；.【答案】【解析】在1-20內與12互質的數有1，5，7，11，13，17，19，所以；根據定義，對于整數的x不存在，則a是12的二次非剩余數，顯然，當a=1時，x=11；當a=13時，x=7；當a=5，7，11，17，19時，x不存在；；故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）記的內角，，的對邊分別為，，，點在邊上，且滿足，的面積(1)證明：(2)求.【答案】(1)證明見解析;(2)或【解析】（1）點在邊上，且滿足,所以，……………………3分，……………4分故，即；……………6分（2）由圖可知，……………7分可得，解得或，……………9分1°當時，，；…11分2°當時，，；……………12分綜上所述或.……………13分16．新冠肺炎疫情期間，某市為了了解本地居民對當地防疫工作的滿意度，從市居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為100分），根據調查數據制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有2200人.(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調查的總人數；(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分數的眾數和平均數（精確到0.1）；(3)設該市居民為50萬人，估計全市居民對當地防疫工作評分在85分以上的人數.【答案】(1)0.025，4000人;(2)眾數為85.0，平均數80.7;(3)212500【解析】（1）有頻率分布直方圖知即，解得……………………2分設總共調查了人，則，解得，即調查的總人數為4000人；……………5分（2）最高小矩形底邊中點橫坐標即為眾數，可得眾數為，……………7分由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為：0.02?0.04?0.14?0.20?0.35?0.25，所以設平均數為，則……………11分（3）由頻率分布直方圖知評分在85分以上的頻率為……………13分所以估計該市居民評分在85分以上的人數為:……………15分17．橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．【答案】(1)(2)【解析】（1），離心率為.…………5分（2）由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設直線的方程為，…………………6分聯立得，………………8分由，①………9分，，…………………11分由可得，②…………………12分由可得，③…………………13分聯立①②③可得，，，故橢圓的標準方程為．………15分18．（17分）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，E為CD的中點，．(1)證明：平面平面；(2)若，PC與平面所成的角為，試問在側面PCD內是否存在一點N，使得平面PCD？若存在，求出點N到直線PD的距離；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析;(2)【解析】（1）由四邊形是直角梯形，，，，可得，，從而是等邊三角形，，平分．為的中點，，，…………………3分又，，平面，平面………………4分平面，……………………5分平面，所以平面平面.…………………6分（2）在平面內作于，連接，平面，又平面，平面平面．因為平面平面，平面，平面為與平面所成的角，則，由題意得，，為的中點，．…………8分以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，……………9分假設在側面內存在點，使得平面成立，設，由題意得，……………10分，，，由，得，……11分解得，滿足題意，，，……………12分取，，，，，，…………15分求出點N到直線PD的距離為：.…………16分所以N點直線PD的距離為.…………17分19．（17分）用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”.現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，f″x是的導函數，則曲線在點處的曲率.(1)求曲線在處的曲率的平方；(2)求正弦曲線曲率的平方的最大值.(3)正弦曲線，若，判斷在區間上零點的個數，并寫出證明過程.【答案】(1);(2)1;(3)零點個數為2，證明見解析（更多試卷請關注微信公眾號：智慧學庫）【解析】（1）因為，所以，，………………1分所以，………………3分.………………5分（2）由，，則，………6分，令，則，故，…………7分設，則，……………8分在時，遞減，所以，最大值為1.……………10分（3）因為，，則.①當時，因為，所以在上單調遞減.所以.所以在上無零點.……………12分②當時，因為單調遞增，且，，所以存在，使.當時，；當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增，且.所以.設，，，,……………14分所以φx在上單調遞減，在上單調遞增.所以.所以，所以.所以在上存在一個零點.所以在有2個零點.……………16分綜上所述，在上的零點個數為2…………17分2025年1月“八省聯考”考前猜想卷參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。12345678DBCADDCA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ACDBDABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．-113．14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分【答案】(1)證明見解析;(2)或【解析】（1）點在邊上，且滿足,所以，……………………3分，……………4分故，即；……………6分（2）由圖可知，……………7分可得，解得或，……………9分1°當時，，；…11分2°當時，，；……………12分綜上所述或.……………13分16．【答案】(1)0.025，4000人;(2)眾數為85.0，平均數80.7;(3)212500【解析】（1）有頻率分布直方圖知即，解得……………………2分設總共調查了人，則，解得，即調查的總人數為4000人；……………5分（2）最高小矩形底邊中點橫坐標即為眾數，可得眾數為，……………7分由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為：0.02?0.04?0.14?0.20?0.35?0.25，所以設平均數為，則……………11分（3）由頻率分布直方圖知評分在85分以上的頻率為……………13分所以估計該市居民評分在85分以上的人數為:……………15分17．【答案】(1)(2)【解析】（1），離心率為.…………5分（2）由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設直線的方程為，…………………6分聯立得，………………8分由，①………9分，，…………………11分由可得，②…………………12分由可得，③…………………13分聯立①②③可得，，