專題8.3簡單幾何體的表面積與體積【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積】 2【題型2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】 3【題型3球的表面積與體積】 4【題型4組合體的表面積與體積】 5【題型5球的截面問題】 8【題型6幾何體的外接球問題】 8【題型7幾何體的內(nèi)切球問題】 10【題型8實際應(yīng)用問題】 11【知識點1簡單幾何體的表面積與體積】1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積多面體圖形側(cè)面積與表面積體積棱柱直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，

S直棱柱側(cè)=Ch(C為底面周長，h為高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)V柱=S底h(S底為底面面積，h為高)棱錐正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側(cè)Ch'(C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側(cè)+S底(S底為底面面積)(S底為底面面積，h為高)棱臺正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側(cè)(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側(cè)+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)(S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積旋轉(zhuǎn)體圖形側(cè)面積與表面積體積圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，S圓柱側(cè)=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓錐圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，S圓錐側(cè)=πrl，表面積

S=πr2+πrl=πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓臺圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l，

表面積體積(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)球半徑為R的球的表面積S=4πR2半徑為R的球的體積3．空間幾何體表面積與體積的常見求法(1)常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.【題型1棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積】【例1】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1的八個頂點中，有四個頂點A，B1，C，D1恰好是正四面體的頂點，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（

）A．3:1 B．1:2 C．6:2【變式1-1】（23-24高一下·天津濱海新·階段練習(xí)）廡殿頂是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，宋代稱為“五脊殿”、“吳殿”，清代稱為“四阿殿”（1）所示.現(xiàn)有如圖（2）所示的廡殿頂式幾何體ABCDMN，其中正方形ABCD的邊長為3，MN//AB,MN=32，且MN到平面ABCD的距離為2，則幾何體A．274 B．94 C．52【變式1-2】（23-24高一下·吉林·期末）中國國家館以“城市發(fā)展中的中華智慧”為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個類似中國國家館結(jié)構(gòu)的正四棱臺ABCD?A1B1C1D1，A．2823 B．282 C．28【變式1-3】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）已知點P為三棱柱ABC?A1B1C1側(cè)棱AA1上靠近點A的三等分點，若四棱錐A．5V4 B．4V3 C．3V2【題型2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】【例2】（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知圓柱的底面半徑為2cm，體積為12πcm3，則該圓柱的表面積為（A．12πcm B．16πcm2 C．18【變式2-1】（23-24高一下·廣西南寧·期末）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（

）A．63π B．263π 【變式2-2】（23-24高一下·陜西寶雞·期末）如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是4，過PO的中點O1作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的表面積為（

A．4+45π C．8+45π 【變式2-3】（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知母線長為a的圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，在該圓錐內(nèi)放置一個圓柱，則當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，圓柱的體積為（

）A．3πa364 B．3πa【題型3球的表面積與體積】【例3】（23-24高一下·安徽六安·期末）已知正四棱錐OABCD的體積為322，底面邊長為3，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的體積為（A．6π B．26π C．4【變式3-1】（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知球的體積為4π3，則該球的表面積為（A．6π B．92π C．4【變式3-2】（2024高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）已知A是球O的球面上一點，過線段OA的中點O1作垂直于直線OA的平面，若該球被這個平面截得的圓面的面積為9π，則該球的表面積是（A．12π B．36π C．48π【變式3-3】（23-24高一下·河北邢臺·期中）如圖，圓錐SO的頂點及底面圓的圓周都在球M的球面上，且圓錐SO的母線長和底面圓的直徑均為2，則球M的表面積為（

）

A．π B．4π C．8π3【題型4組合體的表面積與體積】【例4】（23-24高一下·四川成都·期中）遼寧省博物館收藏的商晚期饕餮紋大圓鼎(如圖1)出土于遼寧省略左縣小波汰溝．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分別飾單層獸面紋，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主體部分可以近似地看作是半球與中空無蓋圓柱的組合體(忽略鼎壁厚度)，如圖2所示．已知球的半徑為R，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎主體部分的容積與外表面積之比約為（

）A．23R B．712R C．【變式4-1】（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，P為圓錐的頂點，A，B分別為圓柱上、下底面圓的圓心，若圓錐的底面周長為6π，高為3，圓柱的母線長為4，則該幾何體的表面積為（

A．33+92π B．24+92π C．【變式4-2】（23-24高一下·廣東云浮·期中）如圖是一個獎杯的直觀圖，它由球?長方體和正四棱臺構(gòu)成．已知球的半徑為4cm，長方體的長?寬和高分別為8cm,6

(1)求下部分正四棱臺的側(cè)面積；(2)求獎杯的體積．（結(jié)果取整數(shù)，π取3）【變式4-3】（23-24高一下·貴州六盤水·期中）亭子是一種中國傳統(tǒng)建筑，多建于園林，人們在欣賞美景的同時也能在亭子里休息、避雨、乘涼（如圖1）.某學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作一個亭子模型（如圖2），該模型為圓錐PO1與圓柱OO1構(gòu)成的幾何體Ω（圓錐PO1的底面與圓柱OO1的上底面重合）.已知圓錐PO1的高為18cm，母線長為30cm，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為(1)求圓錐PO(2)求幾何體Ω的體積.【知識點2球的截面、幾何體與球的切、接問題】1．球的截面(1)球的截面形狀

①當(dāng)截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R，以O(shè)'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.2．幾何體與球的切、接問題常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：【題型5球的截面問題】【例5】（23-24高一下·貴州安順·期末）已知球O的體積為36π，球O被一個平面所截得的截面面積為5π，則球心A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如圖）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球與圓柱》中記錄了一個被后人稱作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面積=2πR?（如上圖，這里的表面積不含底面的圓的面積）.某同學(xué)制作了一個工藝品，如下圖所示.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），即一個球去掉了6個球冠后剩下的部分.若其中一個截面圓的周長為2πA．20π B．245?34π C．【變式5-2】（23-24高一下·河南駐馬店·期末）已知正四面體P?ABC內(nèi)接于球O，E為底面三角形ABC中邊BC的中點，過點E作球O的截面，若存在半徑為23的截面圓，則此四面體的棱長的取值范圍（

A．[22,23] B．[23,2【變式5-3】（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測）正方體ABCD?A1B1C1D1外接球的體積為43π，E、A．5π3 B．4π3 C．【題型6幾何體的外接球問題】【例6】（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=5?，?AC=A．9π2 B．125π16 C．【變式6-1】（23-24高一下·浙江溫州·期中）在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，∠ABC=120°，△ABC的面積為332，則三棱錐P?ABC的外接球表面積的最小值為（A．24π B．28π C．32π【變式6-2】（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）如圖，已知點P在圓柱OO1的底面圓O上，AB為圓O的直徑，OA=2，∠AOP=120°，三棱錐(1)求圓柱OO(2)求三棱錐A1【變式6-3】（23-24高一下·福建泉州·期中）如圖，三棱柱ABC?A

(1)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積V；(2)求該三棱柱的外接球的表面積.【題型7幾何體的內(nèi)切球問題】【例7】（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知四棱錐P?ABCD的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A．8?43π B．12π C．8+4【變式7-1】（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知圓臺O1O2存在內(nèi)切球O（與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺O1O2的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為5:8，設(shè)球O的體積與圓臺O1A．23 B．34 C．613【變式7-2】（23-24高一下·山東濰坊·期末）已知圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為15π(1)求圓錐的體積；(2)求圓錐的內(nèi)切球的表面積.【變式7-3】（23-24高一下·河南洛陽·期中）已知在圓錐SO中，底面⊙O的直徑AB=2，△SAB的面積為22(1)求圓錐SO的內(nèi)切球的體積；(2)點M在母線SB上，且SM=13SB，一只螞蟻若從【題型8實際應(yīng)用問題】【例8】（23-24高一下·河北衡水·期末）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）.“沙漏”是由一個圓錐體和一個四棱柱相通連接而成.某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面邊長為6cm和2πcm，液體高是6.5cm.計時結(jié)束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（

）A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm【變式8-1】（23-24高一下·福建泉州·期末）如圖是一個鮮花包裝盒，形狀近似于高為12cm的正四棱臺，其兩個底面邊長分別為8cm和10cm．若忽略材料厚度，則該包裝盒的容積為（

）A．960cm3 B．976cm3 C．【變式8-2】（23-24高一下·遼寧錦州·期末）如圖，一種工業(yè)部件是由一個圓臺挖去一個圓錐所制成的.已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，且圓臺的母線與底面所成的角為π3，圓錐的底面是圓臺的上底面，頂點在圓臺的下底面上，則該工業(yè)部