專題7.1復數的概念【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1復數的分類及辨析】 2【題型2復數的相等】 3【題型3已知復數的類型求參數

】 4【題型4復數的幾何意義】 7【題型5復數的向量表示】 8【題型6共軛復數的求解】 10【題型7復數的模的計算】 11【題型8復數的模的幾何意義】 12【知識點1數系的擴充和復數的概念】1．數系的擴充與復數的相關概念(1)復數的引入

為了解決這樣的方程在實數系中無解的問題，我們引入一個新數i，規定：

①，即i是方程的根；

②實數可以和數i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律仍然成立.

在此規定下，實數a與i相加，結果記作a+i；實數b與i相乘，結果記作bi；實數a與bi相加，結果記作a+bi.注意到所有實數以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數都在擴充后的新數集中.(2)復數的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復數集.這樣，方程在復數集C中就有解x=i了.(3)復數的表示復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數z的實部與虛部.(4)復數的分類對于復數a+bi，當且僅當b=0時，它是實數；當且僅當a=b=0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數.顯然，實數集R是復數集C的真子集，即.

復數z=a+bi可以分類如下：

復數，

復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系，可用圖表示.2．復數相等在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規定：a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d，即當且僅當兩個復數的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數才相等.【題型1復數的分類及辨析】【例1】（24-25高一下·湖南長沙·階段練習）已知i為虛數單位，下列說法正確的是（

）A．若x2+1=0，則x=C．z=x2+1i可能是實數 【解題思路】根據復數的概念即可求解.【解答過程】A.x=±iB.實部為零的復數可能虛部也為零，從而是實數，說法不正確；C.當x=i時，z=D.復數z=2+i故選：C.【變式1-1】（24-25高一下·全國·課后作業）下列四種說法正確的是（

）A．如果實數a=b，那么a?b+(a+b)iB．實數是復數．C．如果a=0，那么z=a+biD．任何數的偶數次冪都不小于零．【解題思路】根據復數的概念及分類，逐項判定，即可看求解.【解答過程】對于A中，若a=b=0，那么a?b+(a+b)i對于B中，由復數的概念，可得實數是復數，所以B正確；對于C中，若a=0且b=0時，復數z=a+bi對于D中，由虛數單位i2故選：B.【變式1-2】（2024高一下·江蘇·專題練習）下列命題：①若a∈R，則a+1②若a，b∈R，且a>b，則a+③若x2?4+④實數集是復數集的真子集.其中正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④【解題思路】對于①，當a=?1時，即可判斷；對于②，兩個虛數不能比較大小；對于③，當x=?2時，即可判斷；對于④，由復數集與實數集的關系即可判斷.【解答過程】對于①，若a=?1，則a+1i對于②，兩個虛數不能比較大小，則②錯誤；對于③，若x=?2，則x2?4=0，x2對于④，由復數集與實數集的關系可知，實數集是復數集的真子集，則④正確.故選：D.【變式1-3】（23-24高一下·上海浦東新·期中）下列命題一定成立的是（

）A．若z∈C，則B．若x,y,z∈C,C．若a∈R，則(a+2)D．若p,q∈C,p>0且q>0，則pq>0【解題思路】根據復數的概念和性質逐項進行檢驗即可判斷.【解答過程】對于A，當z=i時，z2=?1<0對于B，當x?y=i,y?z=1時，(x?y)2+(y?z)對于C，若a+2=0，則(a+2)i并不是純虛數，故選項C對于D，因為p,q∈C,p>0且q>0，所以p,q為正實數，則pq>0且p+q>0，故選項故選：D.【題型2復數的相等】【例2】（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）已知i為虛數單位，x，y為實數，若x?2i=3+yi，則x?y=A．1 B．?5 C．5 D．?1【解題思路】根據復數相等的充要條件可得x=3,y=?2，即可求解.【解答過程】由x?2i=3+yi可得x=3,y=?2故選：C.【變式2-1】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，y∈C，則“x=y=1”是“x+yi=1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用復數相等的概念，以及條件的變化x,y∈C【解答過程】當x=y=1時，x+yi=1+i顯然成立，所以x=y=1當x=i,y=?i則x=y=1是x+yi故選：A.【變式2-2】（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）已知復數z1=2?ai,z2=b?1+2i，（a,b∈A．a=?1,b=1 B．a=2,b=?3C．a=2,b=3 D．a=?2,b=3【解題思路】根據題意，結合復數相等的充要條件，列出方程組，即可求解.【解答過程】由復數z1=2?ai,z2因為z1=z2，可得2?ai故選：D.【變式2-3】（24-25高一下·全國·單元測試）已知z1=m2?3m+m2i，z2=4+(5m+6)iA．4 B．?1 C．6 D．?1或6【解題思路】根據復數相等聯立方程求得m的值.【解答過程】由z1?z2=0根據復數相等的充要條件可得m2?3m=4m故選：B.【題型3\o"已知復數的類型求參數"\t"/gzsx/zj168412/_blank"已知復數的類型求參數

】【例3】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果復數z=m2?m?2?(m+1)i是純虛數，m∈R，A．m=?1 B．m=2 C．m=?1或m=2 D．m≠?1且m≠2【解題思路】根據已知條件，結合純虛數的定義，即可求解．【解答過程】解：z=m則m2?m?2=0?(m+1)≠0故選：B．【變式3-1】（23-24高一下·四川涼山·期末）若復數a?1+a2?1iA．1 B．?1 C．±1 D．±【解題思路】由復數分類可得其虛部為0，可得a=±1.【解答過程】根據題意可得其虛部為a2?1=0，解得故選：C.【變式3-2】（23-24高一下·上海·期末）“m=1”是“z=m2?3m+2A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要【解題思路】依題意得，m2【解答過程】解：z=m則m2?3m+2=0m?2≠0則“m=1”是“z=m故選：D.【變式3-3】（23-24高一下·重慶·階段練習）若復數a2?a?2+a?1A．a=?1 B．a≠?1且a≠2 C．a≠?1 D．a≠2【解題思路】根據實部為零，虛部不為零列式計算.【解答過程】由題意可得：a2?a?2=0，解得a=?1或a=2，又a?1?1≠0故選：A.【知識點2復數的幾何意義】1．復數的幾何意義(1)復平面

根據復數相等的定義，可得復數z=a+bi有序實數對(a,b)，而有序實數對(a,b)平面直角坐標系中的點，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.

如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復數的幾何意義——與點對應

由上可知，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應.復數集C中的數和復平面內的點是一一對應的，即復數z=a+bi復平面內的點Z(a,b)，這是復數的一種幾何意義.(3)復數的幾何意義——與向量對應

在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的.這樣就可以用平面向量來表示復數.如圖所示，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數z=a+bi平面向量，這是復數的另一種幾何意義.2．復數的模向量的模r叫做復數z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共軛復數(1)定義

一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也復數z的共軛復數用表示，即若z=a+bi，則.特別地，實數a的共軛復數仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地，實數和它的共軛復數在復平面內所對應的點重合，且在實軸上.(3)性質①.

②實數的共軛復數是它本身，即z∈R，利用這個性質可證明一個復數為實數.4．復數的模的幾何意義(1)復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數z=a+bi在復平面內對應的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數的模的幾何意義.(2)復數z在復平面內對應的點為Z，r表示一個大于0的常數，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內部，|z|>r表示圓的外部.【題型4復數的幾何意義】【例4】（23-24高一下·內蒙古巴彥淖爾·期末）12?1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據復數的幾何意義判斷即可.【解答過程】12?1故選：D.【變式4-1】（23-24高一下·北京通州·期末）復平面內點A(1,?2)所對應復數的虛部為（

）A．1 B．?2 C．i D．?2【解題思路】根據題意，由復數的幾何意義即可得到點A對應的復數，從而得到結果.【解答過程】復平面內點A(1,?2)所對應復數為1?2i，其虛部為?2故選：B.【變式4-2】（23-24高一下·廣東清遠·期中）已知復數z=3?4i，則（

A．z的虛部為?4i B．C．z=3+4i D．【解題思路】根據復數虛部、共軛復數、模和對應點坐標所在象限的知識，選出正確選項.【解答過程】復數z=3?4i的虛部為?4|zz=3+4z在復平面內對應的點的坐標為(3,?4)，位于第四象限，故D不正確.故選：C.【變式4-3】（23-24高一下·安徽亳州·期末）復數z=i2?2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】化簡復數后，利用復數對應象限內點的特征求解即可.【解答過程】由題意得z=i2?2i=?1?2該點位于第三象限，故C正確.故選：C.【題型5復數的向量表示】【例5】（23-24高一下·安徽蕪湖·期末）在復平面內，復數3+4i，?2+i對應的向量分別是OM，ON，其中O是原點，則向量MN對應的復數為（A．?5?3i B．?1?3i C．5+3i【解題思路】根據復數的幾何意義，結合向量的減法運算求解.【解答過程】由題意可得OM=3,4，所以MN=所以向量MN對應的復數為?5?3i故選：A.【變式5-1】（2024高一下·全國·專題練習）在復平面內，O為原點，向量OA對應的復數為?1?2i，若點A關于虛軸的對稱點為B，則向量OB對應的復數為（

A．?2?i B．C．1?2i D．【解題思路】由對稱得點B的坐標，即可確定復數.【解答過程】由題意可知，點A的坐標為?1,?2，則點B的坐標為1,?2，故向量OB對應的復數為1?2i故選：C.【變式5-2】（24-25高一·全國·課后作業）如圖，設向量OP，PQ，OQ所對應的復數為z1,zA．z1B．zC．z2D．z1【解題思路】由向量加減法的運算法則，結合復數的幾何意義，逐項驗證即可.【解答過程】對于A，由題圖可知，OP?則z1對于B，OP+PQ+對于C，PQ?OP?對于D，OP+PQ?故選：D.【變式5-3】（24-25高一下·河北張家口·階段練習）已知復數z1=1?i,z2=?1+2i（i為虛數單位）在復平面內對應的點分別為A,B，將向量OA繞著點O（O為復平面內的原點）逆時針旋轉

A．?1+2i B．2i C．3i【解題思路】依題意可得A1,?1，B?1,2，向量OC與向量OA=1,?1關于x軸對稱，即可求出【解答過程】依題意可得A1,?1，B?1,2，由圖知，向量OC與向量OA=1,?1關于x軸對稱，∴OC所以OC+OB對應的復數為故選：C.【題型6共軛復數的求解】【例6】（23-24高一下·浙江紹興·期末）復數1?2i的共軛復數是（

A．1?2i B．1+2i C．?1+2i【解題思路】根據共軛復數的定義可以求得.【解答過程】由共軛復數的定義可得，復數1?2i的共軛復數為1+2故選：B.【變式6-1】（23-24高一下·內蒙古赤峰·階段練習）復數z=1+2i，則z的共軛復數z的虛部為（

A．2i B．?2i C．?2 【解題思路】由共軛復數定義以及復數的虛部概念可直接得解.【解答過程】由題z=1?2i，所以z的共軛復數z的虛部為故選：C.【變式6-2】（24-25高一下·四川遂寧·階段練習）復數z=2+3iA．z的實部為2 B．z的虛部為3C．z=2?3i 【解題思路】根據復數的實部、虛部、共軛復數、模等知識確定正確答案【解答過程】因為z=2+3i所以實部為2，虛部為3，z=2?3i，故選：B.【變式6-3】（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知復數z=?1+i（i為虛數單位），則其共軛復數z在復平面內對應的點位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】先求出其共軛復數，然后可求出結果.【解答過程】由z=?1+i得z=?1?所以其共軛復數z在復平面內對應的點(?1,?1)位于第三象限.故選：C.【題型7復數的模的計算】【例7】（23-24高一下·北京豐臺·期末）設復數z=1+i，則|z|=（

A．1 B．2 C．2 D．4【解題思路】利用復數模的定義計算即得.【解答過程】復數z=1+i，則|z|=故選：B.【變式7-1】（23-24高一下·廣東茂名·期中）若復數z=2?bib∈R的實部與虛部互為相反數，則A．0 B．2 C．8 D．2【解題思路】根據復數的有關概念即可得到結論【解答過程】因為復數2?bib∈R由題意可得?b+2=0，解得b=2,z故選：D.【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知z=(2a?1)+(a+1)i(a∈R)，則“|z|=2”是“a=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由|z|=2建立a的等量關系，求解a【解答過程】因為z=2a?12+a+12=2，化簡得5a故選：B．【變式7-3】（24-25高一下·新疆和田·階段練習）設復數z=x+1+x?3i,x∈RA．1 B．2 C．22 【解題思路】先求出|z【解答過程】由題得|z|==2?(x?1)2+4當x=1故選：C.【題型8復數的模的幾何意義】【例8】（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）已知復數z滿足z?1=1，則z+2+4i（i是虛數單位）的最小值為（A．17?1 B．4 C．17+1【解題思路】根據復數模長的幾何意義即可求得結果.【解答過程】設z=x+yi，則由z?1所以復數z在復平面內對應的點坐標在1,0為圓心，1為半徑的圓上，如下圖所示：而z+2+4i即求復平面內點x,y到?2,?4距離的最小值，由圓的幾何性質可知當點x,y位于?2,?4與圓心1,0點連線交點時，取到最小值，即?2?1故選：B.【變式8-1】（24-25高一·全國·隨堂練習）設z∈C，則滿足1≤z≤3的復數在復平面上的對應點構成圖形的面積是（A．π B．4π C．8π 【