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文檔簡介

河南省鄭州市金水區(qū)2024-2025學年高一下學期2月第一次月考數學試卷學校:___________姓名:___________班級:___________考號:___________一、單選題1.向量,,則(

)A. B.0 C. D.12.若復數滿足,則(

)A. B. C. D.3.在中,,則(

)A. B. C. D.4.在中,點,分別為,邊上的中點,點滿足,則(

)A. B. C. D.5.若(為虛數單位)是關于方程的一個根,則(

)A.2 B.3 C.4 D.56.在中,若,則的形狀為(

)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.如圖,在坡度一定的山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為,向山頂前進到達處,在處測得對于山坡的斜度為.若,山坡與地平面的夾角為,則等于(

)A. B. C. D.8.瑞士數學家歐拉是數學史上最多產的數學家,被譽為“數學之王”,歐拉在1765年發(fā)表了令人贊美的歐拉線定理:三角形的重心、垂心和外心共線,這條直線被稱為歐拉線.已知,為所在平面上的點,滿足,,則歐拉線一定過(

)A. B. C. D.二、多選題9.已知是兩個不共線的單位向量,則下列各組向量中,一定能推出的是(

)A. B.C. D.10.已知非零復數,其共軛復數分別為,則下列選項正確的是(

)A. B. C. D.11.在中,是的內切圓圓心,內切圓的半徑為,則(

)A.B.C.的外接圓半徑為D.三、填空題12.在中,,,,則.13.已知.若的夾角為鈍角,則的范圍為.14.復平面上兩個點,分別對應兩個復數,,它們滿足下列兩個條件:①;②兩點,連線的中點對應的復數為,若為坐標原點,則的面積為.四、解答題15.已知點求(1)的模(2)(3)在上的投影向量16.已知復數,且為純虛數(是的共軛復數).(1)設復數,求;(2)復數在復平面內對應的點在第一象限,求實數的取值范圍.17.在中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.(1)證明:;(2)若,,求的周長.18.如圖,我們把由平面內夾角成的兩條數軸Ox,Oy構成的坐標系,稱為“完美坐標系”.設,分別為Ox,Oy正方向上的單位向量,若向量,則把實數對叫做向量的“完美坐標”.(1)若向量的“完美坐標”為,求;(2)已知,分別為向量,的“完美坐標”,證明:;(3)若向量,的“完美坐標”分別為,,設函數,,求的值域.19.古希臘數學家托勒密對凸四邊形(凸四邊形是指沒有角度大于180°的四邊形)進行研究,終于有重大發(fā)現:任意一凸四邊形,兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積,當且僅當四點共圓時等號成立.且若給定凸四邊形的四條邊長,四點共圓時四邊形的面積最大.根據上述材料,解決以下問題,如圖,在凸四邊形中,

(1)若,,,(圖1),求線段長度的最大值;(2)若,,(圖2),求四邊形面積取得最大值時角的大小,并求出四邊形面積的最大值;(3)在滿足(2)條件下,若點是外接圓上異于的點,求的最大值.《河南省鄭州市金水區(qū)2024-2025學年高一下學期2月第一次月考數學試卷》參考答案題號12345678910答案DABDDDDCABDAB題號11答案BCD1.D【分析】用坐標表示出,再由向量的數量積的坐標運算得出結果.【詳解】由題可知,∴.故選:D.2.A【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡,從而求出其共軛復數.【詳解】因為,所以,所以.故選:A3.B【分析】由已知利用余弦定理可求的值,根據正弦定理可求的值.【詳解】∵,∴由余弦定理,則得,∴解得:,或(舍去),∴由正弦定理可得:.故選:B.4.D【分析】根據給定條件,利用向量加法及數乘向量運算求解即得.【詳解】依題意,,而,所以故選:D5.D【分析】將代入方程,利用復數的運算法則和復數相等的概念求解即可.【詳解】因為是關于方程的一個根,所以,整理得,所以,解得,故選:D6.D【分析】先利用二倍角公式化簡,然后利用正余弦定理統(tǒng)一成邊的形式,化簡變形可得答案.【詳解】因為,所以,所以,所以由正弦定理得,因為,所以,所以由余弦定理得,所以,所以,所以,所以,所以或,所以或,所以為等腰三角形或直角三角形.故選:D7.D【分析】先求出,在中,由正弦定理求出,在中,由正弦定理,再由,即可求解.【詳解】因為,所以,在中,由正弦定理得,又,解得,在中,由正弦定理得,解得,即,所以.故選:.8.C【分析】根據向量等式的含義以及向量的運算,分別說明為的外心、垂心、重心、內心,繼而根據歐拉線定理可得結論.【詳解】由題意知,即為的外心;,則為的重心;,即有,即,同理,即為的垂心;由解析題中向量式中有兩共起點的向量,于是,,令,則是以為起點,向量與所在線段為鄰邊的菱形對角線對應的向量,即在的平分線上,共線,所以點的軌跡一定通過的內心,由歐拉線定理知,歐拉線一定過.故選:C.【點睛】關鍵點點睛:本題解決的關鍵在于,充分理解三角形心的向量表示,從而得解.9.ABD【分析】根據共線向量定理,即可判斷選項.【詳解】對于A,因為,,故,即,故A正確;對于B,因為,,則,故B正確;對于C,,,由于不共線,故,所以向量不平行,故C錯誤.對于D,,故,此時,故D正確,故選:ABD.10.AB【分析】設復數,利用共軛復數、模長的定義及復數的四則運算判斷各項正誤.【詳解】設復數,且,,A正確;,B正確;,,所以與不一定相等,C錯誤;令,則,D錯誤.故選:AB11.BCD【分析】根據內心的性質判斷A;由余弦定理求出,再由等面積法求出內切圓的半徑,即可判斷B,利用正弦定理判斷C,依題意設,則,同理可設,再由平面向量基本定理得到方程組,求出,即可判斷D.【詳解】因為內心是三角形內角平分線的交點,所以在中,,故A錯誤;由余弦定理可得,因為的面積,所以,故B正確;設的外接圓半徑為,則,故,故C正確;對于D:方法一:因為在的平分線上,所以可設,則,同理可設,則,得,又、不共線,根據平面向量基本定理得,解得,即,故D正確;方法二:利用內心的性質結論,有,即,所以,即,故D正確.故選:BCD12.【分析】由正弦定理、三角形內角和求得,結合三角形面積公式即可求解.【詳解】由正弦定理有,即,解得,而,所以,所以,所以.故答案為:.13.且【分析】由已知且與不平行,結合向量的坐標運算可得出的取值范圍.【詳解】若,的夾角為鈍角,則,且與不平行,即,且,求得且,故答案為:且.14.8【分析】令,,且,結合條件求參數,進而確定的位置關系及模長,即可求的面積.【詳解】令,,且,由,則,即,故①,由兩點,連線的中點對應的復數為,則,即②,聯立①②,可得,且,即,,由,即,故為直角三角形,又,,故的面積為.故答案為:815.(1)(2)(3)【分析】(1)先計算的坐標,再利用向量模長的坐標表示,即得解;(2)由,代入的坐標,運算即得解;(3)根據投影向量的定義計算可得.【詳解】(1)已知點,所以,因此的模為.(2)由已知可得,所以.(3)根據投影向量的定義可得,在上的投影向量為.16.(1);(2).【分析】(1)由為純虛數,可得,從而得,再根據模的公式求解即可;(2)化簡得,再根據題意列出不等式組求解即可.【詳解】(1)解:因為,則,所以為純虛數,所以,解得.所以,因此.(2)解:因為,則,因為復數在復平面內對應的點位于第一象限,則,解得.因此實數的取值范圍是.17.(1)證明見解析(2)【分析】(1)由正弦定理以及三角恒等變換即可得證;(2)由正弦定理以及三角恒等變換即可得解.【詳解】(1)因為,所以,所以.因為,所以,則(或,舍去),即.(2)因為,,所以,..由,可得,.故的周長為.18.(1)(2)證明見解析(3)【分析】(1)先計算的值,再由,利用向量數量積的運算律計算即可;(2)利用向量數量積的運算律計算并化簡即可得證;(3)利用(2)的公式計算,設,求出,將轉化成,結合二次函數的圖象即可求得的值域.【詳解】(1)因為的“完美坐標”為,則,又因為,分別為Ox,Oy正方向上的單位向量,且夾角為,所以,,所以.(2)由(1)知,所以,即.(3)因為向量,的“完美坐標”分別為,,由(2)得.令,則,因為,所以,即,令,因為的圖象是對稱軸為,開口向上的拋物線的一部分,所以當時,取得最小值,當時,取得最大值,所以的值域為.【點睛】思路點睛:本題在求解與之相關的函數問題時,應按照新定義,準確寫出函數解析式,對于較復雜的三角式,常常運用整體換元思想,將其轉化成熟悉的函數,如二次函數、雙勾函數等,利用這些函數的圖象性質特征求解即可.19.(1)(2)時,四邊形面積取得最大值,且最大值為.(3)【分析】(1)由題意可得,進而求出的最大值;(2)由題意可得,分別在,中,由余弦定理可得的表達式,兩式聯立可得的值,進而求出角的大小,進而求出此時的四邊形的面積.(3)根據余弦定理可得,

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