河南省鄭州市金水區2024-2025學年高一下學期2月第一次月考數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．向量，，則（

）A． B．0 C． D．12．若復數滿足，則（

）A． B． C． D．3．在中，，則（

）A． B． C． D．4．在中，點，分別為，邊上的中點，點滿足，則（

）A． B． C． D．5．若（為虛數單位）是關于方程的一個根，則（

）A．2 B．3 C．4 D．56．在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．如圖，在坡度一定的山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進到達處，在處測得對于山坡的斜度為.若，山坡與地平面的夾角為，則等于（

）A． B． C． D．8．瑞士數學家歐拉是數學史上最多產的數學家，被譽為“數學之王”，歐拉在1765年發表了令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線被稱為歐拉線．已知，為所在平面上的點，滿足，，則歐拉線一定過（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知是兩個不共線的單位向量，則下列各組向量中，一定能推出的是（

）A． B．C． D．10．已知非零復數，其共軛復數分別為，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．11．在中，是的內切圓圓心，內切圓的半徑為，則（

）A．B．C．的外接圓半徑為D．三、填空題12．在中，，，，則.13．已知.若的夾角為鈍角，則的范圍為.14．復平面上兩個點，分別對應兩個復數，，它們滿足下列兩個條件：①；②兩點，連線的中點對應的復數為，若為坐標原點，則的面積為．四、解答題15．已知點求(1)的模(2)(3)在上的投影向量16．已知復數，且為純虛數（是的共軛復數）.(1)設復數，求；(2)復數在復平面內對應的點在第一象限，求實數的取值范圍.17．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)證明：；(2)若，，求的周長.18．如圖，我們把由平面內夾角成的兩條數軸Ox，Oy構成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數對叫做向量的“完美坐標”.(1)若向量的“完美坐標”為，求；(2)已知，分別為向量，的“完美坐標”，證明：；(3)若向量，的“完美坐標”分別為，，設函數，，求的值域.19．古希臘數學家托勒密對凸四邊形（凸四邊形是指沒有角度大于180°的四邊形）進行研究，終于有重大發現：任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四點共圓時等號成立.且若給定凸四邊形的四條邊長，四點共圓時四邊形的面積最大.根據上述材料，解決以下問題，如圖，在凸四邊形中，

(1)若，，，（圖1），求線段長度的最大值；(2)若，，（圖2），求四邊形面積取得最大值時角的大小，并求出四邊形面積的最大值；(3)在滿足（2）條件下，若點是外接圓上異于的點，求的最大值.《河南省鄭州市金水區2024-2025學年高一下學期2月第一次月考數學試卷》參考答案題號12345678910答案DABDDDDCABDAB題號11答案BCD1．D【分析】用坐標表示出，再由向量的數量積的坐標運算得出結果.【詳解】由題可知，∴.故選：D.2．A【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡，從而求出其共軛復數.【詳解】因為，所以，所以.故選：A3．B【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根據正弦定理可求的值．【詳解】∵，∴由余弦定理，則得，∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故選：B.4．D【分析】根據給定條件，利用向量加法及數乘向量運算求解即得.【詳解】依題意，，而，所以故選：D5．D【分析】將代入方程，利用復數的運算法則和復數相等的概念求解即可.【詳解】因為是關于方程的一個根，所以，整理得，所以，解得，故選：D6．D【分析】先利用二倍角公式化簡，然后利用正余弦定理統一成邊的形式，化簡變形可得答案.【詳解】因為，所以，所以，所以由正弦定理得，因為，所以，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形.故選：D7．D【分析】先求出，在中，由正弦定理求出，在中，由正弦定理，再由，即可求解.【詳解】因為，所以，在中，由正弦定理得，又，解得，在中，由正弦定理得，解得，即，所以.故選：.8．C【分析】根據向量等式的含義以及向量的運算，分別說明為的外心、垂心、重心、內心，繼而根據歐拉線定理可得結論．【詳解】由題意知，即為的外心；，則為的重心；，即有，即，同理，即為的垂心；由解析題中向量式中有兩共起點的向量，于是，，令，則是以為起點，向量與所在線段為鄰邊的菱形對角線對應的向量，即在的平分線上,共線,所以點的軌跡一定通過的內心,由歐拉線定理知，歐拉線一定過.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于，充分理解三角形心的向量表示，從而得解.9．ABD【分析】根據共線向量定理，即可判斷選項．【詳解】對于A，因為，，故，即，故A正確；對于B，因為，，則，故B正確；對于C，，，由于不共線，故，所以向量不平行，故C錯誤．對于D，，故，此時，故D正確，故選：ABD．10．AB【分析】設復數，利用共軛復數、模長的定義及復數的四則運算判斷各項正誤.【詳解】設復數，且，，A正確；，B正確；，，所以與不一定相等，C錯誤；令，則，D錯誤．故選：AB11．BCD【分析】根據內心的性質判斷A；由余弦定理求出，再由等面積法求出內切圓的半徑，即可判斷B，利用正弦定理判斷C，依題意設，則，同理可設，再由平面向量基本定理得到方程組，求出，即可判斷D.【詳解】因為內心是三角形內角平分線的交點，所以在中，，故A錯誤；由余弦定理可得，因為的面積，所以，故B正確；設的外接圓半徑為，則，故，故C正確；對于D：方法一：因為在的平分線上，所以可設，則，同理可設，則，得，又、不共線，根據平面向量基本定理得，解得，即，故D正確；方法二：利用內心的性質結論，有，即，所以，即，故D正確.故選：BCD12．【分析】由正弦定理、三角形內角和求得，結合三角形面積公式即可求解.【詳解】由正弦定理有，即，解得，而，所以，所以，所以.故答案為：.13．且【分析】由已知且與不平行，結合向量的坐標運算可得出的取值范圍.【詳解】若，的夾角為鈍角，則，且與不平行，即，且，求得且，故答案為：且.14．8【分析】令，，且，結合條件求參數，進而確定的位置關系及模長，即可求的面積.【詳解】令，，且，由，則，即，故①，由兩點，連線的中點對應的復數為，則，即②，聯立①②，可得，且，即，，由，即，故為直角三角形，又，，故的面積為.故答案為：815．(1)(2)(3)【分析】（1）先計算的坐標，再利用向量模長的坐標表示，即得解；（2）由，代入的坐標，運算即得解；（3）根據投影向量的定義計算可得.【詳解】（1）已知點，所以，因此的模為.（2）由已知可得,所以.（3）根據投影向量的定義可得，在上的投影向量為.16．(1)；(2).【分析】（1）由為純虛數，可得，從而得，再根據模的公式求解即可；（2）化簡得，再根據題意列出不等式組求解即可.【詳解】（1）解：因為，則，所以為純虛數，所以，解得.所以，因此.（2）解：因為，則，因為復數在復平面內對應的點位于第一象限，則，解得.因此實數的取值范圍是.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理以及三角恒等變換即可得證；（2）由正弦定理以及三角恒等變換即可得解.【詳解】（1）因為，所以，所以.因為，所以，則（或，舍去），即.（2）因為，，所以，..由，可得，.故的周長為.18．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）先計算的值，再由，利用向量數量積的運算律計算即可；（2）利用向量數量積的運算律計算并化簡即可得證；（3）利用（2）的公式計算，設，求出，將轉化成，結合二次函數的圖象即可求得的值域.【詳解】（1）因為的“完美坐標”為，則，又因為，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以,，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因為向量，的“完美坐標”分別為，，由（2）得.令，則，因為，所以，即，令，因為的圖象是對稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當時，取得最小值，當時，取得最大值，所以的值域為.【點睛】思路點睛：本題在求解與之相關的函數問題時，應按照新定義，準確寫出函數解析式，對于較復雜的三角式，常常運用整體換元思想，將其轉化成熟悉的函數，如二次函數、雙勾函數等，利用這些函數的圖象性質特征求解即可.19．(1)(2)時，四邊形面積取得最大值，且最大值為．(3)【分析】（1）由題意可得，進而求出的最大值；（2）由題意可得，分別在，中，由余弦定理可得的表達式，兩式聯立可得的值，進而求出角的大小，進而求出此時的四邊形的面積．（3）根據余弦定理可得，