湖南省永州市新田縣2024-2025學年八年級上學期1月期末考試數學試題滿分：120分考試時量：120分鐘命題人：伍雪輝（瑞華學校）審題人：尹成平（縣教研室）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.在0，，，這四個數中，最小的數是（）A.0 B. C. D.2.“燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺.”這是詩仙李白眼里的雪花，單片雪花的重量其實很輕，只有左右，則0.00003用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.下列命題中，是假命題的是（）A.兩點之間，線段最短 B.對頂角相等C.直角的補角仍然是直角 D.同旁內角互補4.下列運算正確的是（）A. B. C. D.5.下列各數中，是無理數的是（）A B. C. D.0.131336.不等關系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學的身高，表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現的數學原理是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則7.用一根小木棒與兩根長度分別為3、5的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以是（）A.9 B.7 C.2 D.18.下面是“作一個角使其等于”尺規作圖方法.（1）如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，；（2）作射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點；（3）過點作射線，則.

上述方法通過判定得到，其中判定的依據是（）A.三邊分別相等的兩個三角形全等B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等9.下列數中，能使不等式成立的x的值為（）A.1 B.2 C.3 D.410.已知如圖，等腰，，，于點.點是延長線上一點，點是線段上一點，下面的結論：①；②；③是等邊三角形④.其中正確的是（）A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②③④二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.要使分式有意義，則應滿足的條件是________．12.如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，則△ABD周長是_____．13.在實數范圍內規定新運算“▲”，其規則是：．已知關于的不等式的解集在數軸上如圖表示，則的值是______．14.已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，則△ABC的頂角度數是____．15若，則________．16.若整數使關于的分式方程的解為整數，則所有滿足條件的整數的值之和為______．三、解答題（本大題共9個小題，第17，18，19題，每題6分，第20，~21題，每題8分，第22，23題，每題9分，第24，~25題，每題10分，共72分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.計算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．18.先化簡，再求值：，其中19.解分式方程：．20.解不等式組：，并把它的解集在數軸上表示出來．21.陳同學用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（），點在上，點A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：．（2）求兩堵木墻之間的距離．22.“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴大糧食生產規模，某糧食生產基地計劃投入一筆資金購進甲、乙兩種農機具，已知購進2件甲種農機具和1件乙種農機具共需萬元，購進1件甲種農機具和3件乙種農機具共需3萬元．（1）求購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？（2）若該糧食生產基地計劃購進甲、乙兩種農機具共10件，且投入資金不少于萬元又不超過12萬元，設購進甲種農機具件，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少?23.閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如善于思考的小明進行了以下探索：設其中a、b、m、n均為整數，則有．∴，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：______；______．（2）利用所探索的結論，找一組正整數填空：______+______（______+______）．（3）若，a、m、n均為正整數，求a的值．24.【定義】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，則稱一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，則是的“相斥不等式”．【應用】（1）在不等式①，②，③這三個一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的有（填序號）；（2）若關于的不等式是的“相斥不等式”，同時也是的“相斥不等式”，求的取值范圍；（3）若是關于的不等式是非零常數）的“相斥不等式”，求的取值范圍．25.如圖，中，，現有兩點M、N分別從點A、點B同時出發，沿三角形邊運動，已知點M的速度為，點N的速度為．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．（1）點M、N運動幾秒時，M、N兩點重合？（2）點M、N運動幾秒時，可得到等邊三角形？（3）當點M、N在邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時M、N運動的時間．

湖南省永州市新田縣2024-2025學年八年級上學期1月期末考試數學試題滿分：120分考試時量：120分鐘命題人：伍雪輝（瑞華學校）審題人：尹成平（縣教研室）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.在0，，，這四個數中，最小的數是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了實數的比較大小，熟練掌握實數比較大小的規則即可．根據正數大于0，負數小于0，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小，判斷即可．【詳解】解：因為和大于0，小于0，所以最小，故選：C．2.“燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺.”這是詩仙李白眼里的雪花，單片雪花的重量其實很輕，只有左右，則0.00003用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正數；當原數的絕對值時，n是負數．據此解答即可．【詳解】解：．故選：B．3.下列命題中，是假命題的是（）A.兩點之間，線段最短 B.對頂角相等C.直角的補角仍然是直角 D.同旁內角互補【答案】D【解析】【分析】根據線段、對頂角、補角、平行線的性質判斷即可．【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，是真命題；B、對頂角相等，是真命題；C、直角的補角仍然是直角，是真命題；D、如果兩直線不平行，同旁內角不互補，所以同旁內角互補，是假命題；故選：D．【點睛】此題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．4.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次根的運算，熟練掌握二次根四則運算法則是解題的關鍵．根據二次根四則運算法則計算并判定即可．【詳解】解：A、和不是同類二次根式，不能合并，故選項不符合題意；B、，計算錯誤，故選項不符合題意；C、，計算錯誤，故選項不符合題意；D、，計算正確，故選項符合題意．故選：D．5.下列各數中，是無理數的是（）A. B. C. D.0.13133【答案】A【解析】【分析】本題考查無理數的定義，根據無理數是無限不循環小數結合立方根的定義，進行判斷即可．【詳解】解：A、是無理數，符合題意；B、是有理數，不符合題意；C、是有理數，不符合題意；D、0.13133是有理數，不符合題意；故選A．6.不等關系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學的身高，表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現的數學原理是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】A【解析】【分析】本題主要考查不等式的性質，熟記不等式性質是解決問題的關鍵．根據不等式的性質即可解答．【詳解】解：由作圖可知：，由右圖可知：，即A選項符合題意．故選：A．7.用一根小木棒與兩根長度分別為3、5的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以是（）A.9 B.7 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形三邊關系，解題關鍵是明確三角形三邊關系，求出第三邊的取值范圍；先求出第三邊的取值范圍，再找到符合題意的選項即可．【詳解】解：一根小木棒與兩根長度分別為3、5的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度范圍是大于2，小于8，符合題意的只有B選項，故選：B8.下面是“作一個角使其等于”的尺規作圖方法.（1）如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，；（2）作射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點；（3）過點作射線，則.

上述方法通過判定得到，其中判定的依據是（）A.三邊分別相等的兩個三角形全等B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等【答案】A【解析】【分析】根據基本作圖中，判定三角形全等的依據是邊邊邊，解答即可.本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據是解題的關鍵.【詳解】解：根據上述基本作圖，可得，故可得判定三角形全等的依據是邊邊邊，故選A.9.下列數中，能使不等式成立x的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】本題考查了解不等式，不等式的解，熟練掌握解不等式是解題的關鍵．解不等式，得到，以此判斷即可．【詳解】解：∵，∴．∴符合題意的是A故選A．10.已知如圖，等腰，，，于點.點是延長線上一點，點是線段上一點，下面的結論：①；②；③是等邊三角形④.其中正確的是（）A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】①利用等邊對等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，據此即可求解；②因為點O是線段AD上一點，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；④首先證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP．【詳解】解：①如圖，連接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°?∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點O是線段AD上一點，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∴∠APC＋∠DCP＝150°，∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°?（∠OPC＋∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形；故③正確；④如圖，在AC上截取AE＝PA?，連接PB，∵∠PAE＝180°?∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO＋∠OPE＝60°，∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正確；本題正確結論有：①③④，故選A.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.要使分式有意義，則應滿足的條件是________．【答案】【解析】【分析】根據分式有意義的條件，分母不等于列式計算即可得解．【詳解】由題意得：，解得：．故答案為：．【點睛】此題考查分式有意義的條件，解題的關鍵是理解分式有意義的條件，本題屬于基礎題型．12.如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，則△ABD的周長是_____．【答案】12．【解析】【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到，根據三角形的周長公式計算即可．【詳解】解：∵直線DE垂直平分BC，∴，∴△ABD的周長，故答案為：12．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．13.在實數范圍內規定新運算“▲”，其規則是：．已知關于的不等式的解集在數軸上如圖表示，則的值是______．【答案】【解析】【分析】根據題中新運算規則列出關于x的不等式，然后解不等式，由數軸得到不等式的解集，進而得到關于k的方程求解即可．【詳解】解：由得，則，由數軸得不等式的解集為，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次不等式、解一元一次方程、數軸，理解題中新定義運算規則，能從數軸上得到不等式的解集是解答的關鍵．14.已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，則△ABC的頂角度數是____．【答案】40°或100°【解析】【分析】分∠A為三角形頂角或底角兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：當∠A為三角形頂角時，則△ABC的頂角度數是40°；當∠A為三角形底角時，則△ABC的頂角度數是180°-40°-40°=100°；故答案為：40°或100°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，此類題目，難點在于要分情況討論．15.若，則________．【答案】1【解析】【分析】本題主要考查了非負數的性質，代數式求值，根據幾個非負數的和為0，那么這幾個非負數的值都為0得到，則，據此代值計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：1．16.若整數使關于的分式方程的解為整數，則所有滿足條件的整數的值之和為______．【答案】【解析】【分析】先化分式方程為整式方程并求解，再進行討論求得所有a的值，最后將所有符合條件a的值相加即可．【詳解】解：兩邊都乘以，得，解得，且，即∵整數使關于的分式方程的解為整數，∴或，即或或，當時，；當時，；當時，，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了分式方程求解的能力，關鍵是能準確運用數形結合思想和數學討論思想進行求解．三、解答題（本大題共9個小題，第17，18，19題，每題6分，第20，~21題，每題8分，第22，23題，每題9分，第24，~25題，每題10分，共72分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.計算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．【答案】2-【解析】【分析】分別根據二次根式的性質、負整數指數冪、零指數冪的計算法則計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可．【詳解】解：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣=1+-1+2-2=2-．【點睛】本題考查的是實數的運算，熟知二次根式的性質、負整數指數冪、零指數冪的計算法則是解答此題的關鍵．18.先化簡，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算的運算順序和運算法則是解題關鍵．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把a的值代入計算即可求出值．【詳解】解：===，當時，原式=．19.解分式方程：．【答案】【解析】【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．分式方程變形后去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：方程兩邊同乘，得：，解得：，檢驗：當時，，∴原分式方程的解為．20.解不等式組：，并把它的解集在數軸上表示出來．【答案】不等式組的解集為：．畫圖見解析【解析】【分析】先解不等式組中的兩個不等式，再在數軸上表示兩個不等式的解集，從而可得答案．【詳解】解：，由①得：，由②得：，∴，在數軸上表示其解集如下：∴不等式組的解集為：．【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法，在數軸上表示不等式組的解集，掌握不等式組的解法與步驟是解本題的關鍵．21.陳同學用10塊高度都是相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（），點在上，點A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：．（2）求兩堵木墻之間的距離．【答案】（1）見解析（2）兩堵木墻之間的距離為【解析】【分析】此題主要考查了全等三角形判定與性質的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件．（1）根據題意可得，，，，進而得到，再根據等角的余角相等可得，再證明即可；（2）利用全等三角形的性質進行解答．【小問1詳解】解：由題意得：，，，，在和中，【小問2詳解】解：由（1）知，，，又根據題意由圖可得：，，，答：兩堵木墻之間的距離為．22.“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴大糧食生產規模，某糧食生產基地計劃投入一筆資金購進甲、乙兩種農機具，已知購進2件甲種農機具和1件乙種農機具共需萬元，購進1件甲種農機具和3件乙種農機具共需3萬元．（1）求購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？（2）若該糧食生產基地計劃購進甲、乙兩種農機具共10件，且投入資金不少于萬元又不超過12萬元，設購進甲種農機具件，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少?【答案】（1）購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元；（2）購進甲種農機具5件，乙種農機具5件；購進甲種農機具6件，乙種農機具4件；購進甲種農機具7件，乙種農機具3件；（3）購進甲種農機具5件，乙種農機具5件所需資金最少，最少資金為10萬元．【解析】【分析】（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元，然后根據題意可得，進而求解即可；（2）由（1）及題意可得購進乙種農機具為（10-m）件，則可列不等式組為，然后求解即可；（3）設購買農機具所需資金為w萬元，則由（2）可得，然后結合一次函數的性質及（2）可直接進行求解．【詳解】解：（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元，由題意得：，解得：，答：購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元．（2）由題意得：購進乙種農機具為（10-m）件，∴，解得：，∵m為正整數，∴m的值為5、6、7，∴共有三種購買方案：購進甲種農機具5件，乙種農機具5件；購進甲種農機具6件，乙種農機具4件；購進甲種農機具7件，乙種農機具3件；．（3）設購買農機具所需資金為w萬元，則由（2）可得，∵1＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=5時，w的值最小，最小值為w=5+5=10，答：購進甲種農機具5件，乙種農機具5件所需資金最少，最少資金為10萬元．【點睛】本題主要考查一次函數、二元一次方程組及一元一次不等式組的應用，熟練掌握一次函數、二元一次方程組及一元一次不等式組的應用是解題的關鍵．23.閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如善于思考的小明進行了以下探索：設其中a、b、m、n均為整數，則有．∴，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數時，若，用含m、n式子分別表示a、b，得：______；______．（2）利用所探索的結論，找一組正整數填空：______+______（______+______）．（3）若，a、m、n均為正整數，求a的值．【答案】（1），（2）4，2，1，1（答案不唯一）（3）a的值為7或13【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，完全平方公式，（1）根據上面的例子，將，按完全平方展開，可得出答案；（2）由（1）可寫出一組答案，不唯一；（3）將展開得出，由題意得，，再由a、m、n均為正整數，可得出答案．【小問1詳解】解：∵，∴，∴，；故答案為：，．【小問2詳解】解：由（1）可得，，，；故答案為：4，2，1，1（答案不唯一）．【小問3詳解】解：∵，∴，∴，，∵a、m、n均為正整數，∴，，或，，；∴a的值為7或13．24.【定義】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，則稱一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，則是的“相斥不等式”．【應用】（1）在不等式①，②，③這三個一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的有（填序號）；（2）若關于的不等式是的“相斥不等式”，同時也是的“相斥不等式”，求的取值范圍；（3）若是關于的不等式是非零常數）的“相斥不等式”，求的取值范圍．【答案】（1）①③（2）（3）【解析】【分析】本題主要考查解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定義是解題的關鍵．（1）根據“相斥不等式”的定義即可求解；（2）根據“相斥不等式”的