2025年統計學期末考試：卡方檢驗在統計推斷中的應用與分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪個不是卡方檢驗的應用領域？A.獨立性檢驗B.同質性檢驗C.等級檢驗D.比例檢驗2.卡方檢驗中，自由度的計算公式為：A.df=(r-1)*(c-1)B.df=(r-1)+(c-1)C.df=r*cD.df=r-c3.下列哪個是卡方分布的三個參數？A.樣本量、自由度、期望頻數B.樣本量、樣本方差、自由度C.自由度、樣本方差、期望頻數D.樣本量、樣本均值、自由度4.在卡方檢驗中，若計算得到的卡方值大于臨界值，則：A.接受零假設B.拒絕零假設C.不能確定零假設的真偽D.零假設成立5.下列哪個是卡方檢驗的適用條件？A.數據服從正態分布B.數據服從二項分布C.數據服從卡方分布D.數據服從泊松分布6.在卡方檢驗中，若期望頻數過小，可能導致：A.誤差增大B.臨界值增大C.誤差減小D.臨界值減小7.下列哪個是卡方檢驗的局限性？A.只適用于連續變量B.只適用于二分類變量C.只適用于分類變量D.只適用于正態分布數據8.在卡方檢驗中，若樣本量過小，可能導致：A.誤差增大B.臨界值增大C.誤差減小D.臨界值減小9.下列哪個是卡方檢驗的優勢？A.適用范圍廣B.計算簡單C.結果直觀D.以上都是10.在卡方檢驗中，若期望頻數過小，應采取什么措施？A.增加樣本量B.調整臨界值C.修改檢驗方法D.以上都是二、填空題（每題2分，共20分）1.卡方檢驗是一種______檢驗方法，用于檢驗兩個或多個分類變量之間是否存在______關系。2.卡方檢驗中，自由度的計算公式為：df=(r-1)*(c-1)，其中r表示______，c表示______。3.在卡方檢驗中，若計算得到的卡方值大于臨界值，則______零假設。4.卡方檢驗的適用條件包括：數據為______變量，且各變量之間存在______關系。5.卡方檢驗的局限性在于：只適用于______變量，且各變量之間存在______關系。6.在卡方檢驗中，若期望頻數過小，可能導致______增大。7.卡方檢驗的優勢在于：適用范圍廣，計算簡單，結果直觀。8.在卡方檢驗中，若樣本量過小，可能導致______增大。9.在卡方檢驗中，若期望頻數過小，應采取______措施。10.卡方檢驗在統計學中有著廣泛的應用，例如：______檢驗、______檢驗、______檢驗等。三、簡答題（每題5分，共25分）1.簡述卡方檢驗的基本原理。2.簡述卡方檢驗的適用條件。3.簡述卡方檢驗的局限性。4.簡述卡方檢驗的優勢。5.簡述卡方檢驗在統計學中的應用。四、計算題（每題10分，共30分）1.某班級學生性別分布如下，假設性別與是否參加課外活動獨立，請計算卡方值，并判斷性別與是否參加課外活動是否獨立。|性別|參加課外活動|不參加課外活動|合計||----|------------|--------------|----||男|20|30|50||女|40|30|70||合計|60|60|120|2.某次調查中，隨機抽取了100名消費者，調查他們是否滿意某品牌的產品，結果如下，假設滿意度與年齡組獨立，請計算卡方值，并判斷滿意度與年齡組是否獨立。|年齡組|滿意|不滿意|合計||------|----|------|----||18-25歲|40|20|60||26-35歲|30|10|40||36-45歲|20|10|30||46-55歲|10|5|15||合計|100|45|145|3.某項調查中，隨機抽取了200名受訪者，調查他們是否支持某項政策，結果如下，假設支持與否與職業獨立，請計算卡方值，并判斷支持與否與職業是否獨立。|職業|支持|不支持|合計||----|----|------|----||學生|50|30|80||工人|40|20|60||農民|20|10|30||其他|30|20|50||合計|140|80|220|五、論述題（15分）論述卡方檢驗在市場調查中的應用及其重要性。六、分析題（15分）分析以下數據，判斷滿意度與購買意愿是否獨立。|滿意度|購買意愿|合計||------|--------|----||滿意|是|80||滿意|否|20||不滿意|是|30||不滿意|否|70||合計|110|100|本次試卷答案如下：一、選擇題（每題2分，共20分）1.D解析：卡方檢驗適用于分類變量，包括二分類變量和多個分類變量，但不適用于連續變量。2.A解析：自由度的計算公式為df=(r-1)*(c-1)，其中r表示行數，c表示列數。3.A解析：卡方分布的三個參數是樣本量、自由度和期望頻數。4.B解析：卡方檢驗中，若計算得到的卡方值大于臨界值，則拒絕零假設，認為兩個變量之間存在關聯。5.C解析：卡方檢驗適用于分類變量，特別是當數據為分類變量時，卡方檢驗是非常有效的。6.A解析：在卡方檢驗中，若期望頻數過小，可能導致誤差增大，因為小樣本可能導致結果的不穩定性。7.D解析：卡方檢驗的局限性在于它只適用于分類變量，且各變量之間存在獨立性。8.A解析：在卡方檢驗中，若樣本量過小，可能導致誤差增大，因為小樣本可能導致結果的不穩定性。9.D解析：卡方檢驗的優勢在于其適用范圍廣，計算簡單，結果直觀，能夠有效地檢驗變量之間的獨立性。10.D解析：在卡方檢驗中，若期望頻數過小，可以采取增加樣本量、調整臨界值或修改檢驗方法等措施。二、填空題（每題2分，共20分）1.獨立性檢驗，關聯解析：卡方檢驗是一種獨立性檢驗方法，用于檢驗兩個或多個分類變量之間是否存在關聯關系。2.行數，列數解析：卡方檢驗中，自由度的計算公式為df=(r-1)*(c-1)，其中r表示行數，c表示列數。3.拒絕解析：在卡方檢驗中，若計算得到的卡方值大于臨界值，則拒絕零假設。4.分類，關聯解析：卡方檢驗的適用條件包括：數據為分類變量，且各變量之間存在關聯關系。5.分類，關聯解析：卡方檢驗的局限性在于它只適用于分類變量，且各變量之間存在關聯關系。6.誤差解析：在卡方檢驗中，若期望頻數過小，可能導致誤差增大。7.以上都是解析：卡方檢驗的優勢在于其適用范圍廣，計算簡單，結果直觀。8.誤差解析：在卡方檢驗中，若樣本量過小，可能導致誤差增大。9.以上都是解析：在卡方檢驗中，若期望頻數過小，可以采取增加樣本量、調整臨界值或修改檢驗方法等措施。10.獨立性檢驗，同質性檢驗，等級檢驗解析：卡方檢驗在統計學中有著廣泛的應用，例如：獨立性檢驗、同質性檢驗、等級檢驗等。三、簡答題（每題5分，共25分）1.解析：卡方檢驗的基本原理是通過比較觀察頻數和期望頻數之間的差異來判斷兩個分類變量之間是否獨立。如果觀察頻數與期望頻數之間沒有顯著差異，則認為兩個變量獨立；如果有顯著差異，則認為兩個變量不獨立。2.解析：卡方檢驗的適用條件包括：數據為分類變量，且各變量之間存在關聯關系。此外，樣本量應足夠大，以避免小樣本效應的影響。3.解析：卡方檢驗的局限性在于它只適用于分類變量，且各變量之間存在關聯關系。此外，卡方檢驗對期望頻數的要求較高，若期望頻數過小，可能導致結果的不穩定性。4.解析：卡方檢驗的優勢在于其適用范圍廣，計算簡單，結果直觀。此外，卡方檢驗能夠有效地檢驗變量之間的獨立性，是統計學中常用的檢驗方法之一。5.解析：卡方檢驗在統計學中的應用非常廣泛，包括獨立性檢驗、同質性檢驗、等級檢驗等。在市場調查中，卡方檢驗可以用于分析消費者行為、產品滿意度、品牌忠誠度等方面的關聯性。四、計算題（每題10分，共30分）1.解析：首先計算期望頻數，然后計算卡方值，最后查表得到臨界值進行比較。|性別|參加課外活動|不參加課外活動|合計||----|------------|--------------|----||男|25|25|50||女|45|25|70||合計|70|50|120|卡方值=Σ(觀察頻數-期望頻數)^2/期望頻數=[(20-25)^2/25+(30-25)^2/25+(40-45)^2/45+(30-25)^2/25]/120=0.89由于卡方值小于臨界值，因此不能拒絕零假設，認為性別與是否參加課外活動獨立。2.解析：計算期望頻數，然后計算卡方值，最后查表得到臨界值進行比較。|年齡組|滿意|不滿意|合計||------|----|------|----||18-25歲|30|30|60||26-35歲|20|20|40||36-45歲|15|15|30||46-55歲|10|5|15||合計|75|75|150|卡方值=Σ(觀察頻數-期望頻數)^2/期望頻數=[(40-30)^2/30+(20-20)^2/20+(20-15)^2/15+(10-5)^2/5]/150=1.33由于卡方值小于臨界值，因此不能拒絕零假設，認為滿意度與年齡組獨立。3.解析：計算期望頻數，然后計算卡方值，最后查表得到臨界值進行比較。|職業|支持|不支持|合計||----|----|------|----||學生|35|45|80||工人|25|35|60||農民|15|15|30||其他|20|30|50||合計|95|125|220|卡方值=Σ(觀察頻數-期望頻數)^2/期望頻數=[(50-35)^2/35+(30-25)^2/25+(20-15)^2/15+(30-20)^2/20]/220=3.89由于卡方值小于臨界值，因此不能拒絕零假設，認為支持與否與職業獨立。五、論述題（15分）解析：卡方檢驗在市場調查中的應用包括：（1）分析消費者行為：通過卡方檢驗可以分析消費者購買行為與性別、年齡、收入等因素之間的關系，從而為企業制定市場策略提供依據。（2）產品滿意度分析：通過卡方檢驗可以分析不同年齡、性別、職業等消費者對產品的滿意度差異，幫助企業改進產品設計和提高顧客滿意度。（3）品牌忠誠度分析：通過卡方檢驗可以分析品牌忠誠度與消費者年齡、性別、收入等因素之間的關系，為企業制定品牌推廣策略提供參考。卡方檢驗在市場調查中的重要性體現在：（1）幫助企業管理者了解市場趨勢，制定有效的市場策略。（2）提高產品和服務質量，滿足消費者需求。（3）增強企業競爭力，提高市場份額。六、分析題（15分）解析：計算期望頻數，然后計算卡方值，最后查表得到臨界值進行比較。|滿意度|購買意愿|合計||------|--------|----|