專題10-2二項式定理歸類

目錄

【題型一】通項公式1：基礎......................................................................1

【題型二】通項公式2：因式相乘型求某項..........................................................2

【題型三】二項式給通項求n值...................................................................3

【題型四】給通項求參數..........................................................................5

【題型五】因式相乘型給通項求參數................................................................6

【題型六】賦值法................................................................................8

【題型七】換元型................................................................................9

【題型八】三項展開式...........................................................................10

真題再現.......................................................................................12

模擬檢測.......................................................................................14

熱點題型歸納

【題型一】通項公式1：基礎

【典例分析】

將二項式[百+京J的展開式中所有項重新排成一列，有理式不相鄰的排法種數為(

A.A；B.AXC.A：A；D.A；A；

【答案】C

【分析】先利用二項式定理判斷其展開式中有理式的項數，再利用插空法進行排列即可.

【詳解】根據題意，得出+1=以?8-[))

因為0W左V8且左eN*,

16r=4,即7；為有理式;

當無=0時,

當左=4時，——=1,即豈為有理式；

4

當左=8時，3二改=_2,即%為有理式；

4

當我｛1,2,3,5,6,7｝時，電言任Z,即】為無理式；

所以尸)展開式一共有9個項，有3個有理式,

6個無理式,

先對6個無理式進行排列，共有A；種方法;

再將3個有理式利用“插空法”插入這6個無理式中，共有A；種方法;

利用分步乘法計數原理可得，一共有A；A；種方法.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規律

二項展開式的通項公式。+1=C；a"-'，.可以求解某一項，也可求解某一項的系數）

【變式演練】

的展開式中『的系數為（）

A.-128Ci0B.128c*C.-8C；0D.8c1

【答案】C

【分析】利用二項式定理的通項公式即可得出.

【詳解】（x—的展開式中，通項公式：0dM（―2丫，

令10-『7,解得『3.

二尤7的系數為Cio（-2）3=—8品），

故選：C.

2..的展開式中㈠的系數為.

【答案】-20

分析：首先利用二項展開式的通項公式寫出該二項展開式的通項，之后令相應的暴指數與題中所給的項的

事指數相等，從而求得「的值，再代入通項公式，求得對應的項的系數，得出結果.

詳解：由二項式定理可知，展開式的通項為

（-2?M=Ggx）（-2y）r,

要求解—2y）的展開式中含爐/的項，則廠=3,

所求系數為（—2）L—20.

（3>30

3.二項式后-的展開式的常數項為第（）項

IRa）

A.17B.18C.19D.20

【答案】C

試題分析：由二項式定理可知匚.：=。.（石）冷=C.?口二尸，展開式的常數項是使

'J—=1頤的項，解得,?=18為第19項,答案選C.

與,

【題型二】通項公式2：因式相乘型求某項

【典例分析】

[-的展開式中/y2的系數為（）

A.6B.-9C.-6D.9

【答案】D

【分析】根據二項式定理可分別求得（x+y）6和?（尤+y『展開式中公產的系數，由此可得結果.

【詳解】9卜+丫廣口+寸一號"+丫），

(x+y)6展開式中x4y2的系數為c；=15；!(x+y)6展開式中x,V的系數為C：=6；

.■11-￡|(x+y)6展開式中xV的系數為15_6=9.

故選：D.

【提分秘籍】

基本規律

因式相乘型，可以采取乘法分配律，變為兩式相加型再轉而求對應通項系數

【變式演練】

1.)-￡|(x+y)8的展開式中/y6的系數為()

A.-56B.-28C.28D.56

【答案】B

【分析】將多項式按第一項展開，再將各項通過二項式定理拼成Vy6的形式，計算出結果

【詳解】由題知［1-(x+4=(x+4-)(x+4,

VX)x

(x+y)8展開式的通項公式為配尸

將含Yy6項記為M，則M=C"2y6_)C#y5=28x2/-56x2/=-28x2y6,

X

故含Vy6項的系數為—28,

故選：B

2.在+—的展開式中常數項為()

A.14B.-14C.6D.-6

【答案】D

【彳析】根據二項式定理及多項式乘法法則求解.

【詳解】由二項式定理得d-i)5=(-i+5=-i+cH-c；3+c；3-c：e+l，

尤尤xx2x3x4x5

所以所求常數項為-1+C；-C；=-1+5-10=-6.

故選：D.

3.(尤-2y)(2x-y)5的展開式中的W系數為()

A.-200B.-120C.120D.200

【答案】A

【分析】由題意首先確定(2x-y)5展開式的通項公式，再采用分類討論法即可確定Vy3的系數.

【詳解】3-?展開式的通項公式為之=G/2X)5T(_y)'=25"C05T(一城，

當r=3時，7；=25-3c#-3(_y)3=_40x2y3,此時只需乘以第一個因式(x—2y)中的x即可，得至『40尤3y)

當廠=2時，I=25-2C^5-2(-y)2=80x3y2,此時只需乘以第一個因式(》—2y)中的-2y即可，得至『160//；

據此可得：x3y3的系數為_4。_160=-200.故選：A.

【題型三】二項式給通項求n值

【典例分析】

若［了-：］展開式中含J項的系數與含g項的系數之比為-5,則〃等于（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+l項，令x的指數分別為一2,T求出展開式含二項的系數

X

和含二項的系數，列出方程求出

【詳解】解：（2x」）”展開式的通項為乙=C；（2無）"（一與=（一1丫2"y""必令吁2r=一2得「=與

xx2

1n+2n-2n+2，/日〃+4一人1工上乙三亞二、〃+4〃-4n+4

故含靜的系數為（_1）〒2三C?令〃-2廠=~4得r=亍故含彳項的系數為（_i）、2、C7

n+2n-2n+2

22

/_i\22C

-------4I；+4=-5將幾=4,6,8,10代入檢驗得〃=6故選：C.

（-1產2工C?

【提分秘籍】

基本規律

利用二項展開式通信公式，待定系數法可求得。注意n值為正整數，可能存在分類討論的情況。

【變式演練】

的展開式中第r+1項為常數項，則上=

n

【答案】-

3

【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求得力-2〃=0,從而得到乙的值.

n

【詳解】解：［六一九J的展開式中第一+1項為

（―1）"三々"，再根據它為常數項，

?2

可得3r—2〃=0,求得一r=—,故答案為：一.

n33

2.若（l+2x）"展開式中含丁項的系數等于含尤項的系數的8倍，貝腐等于（)

A.5B.7C.9D.11

【答案】A

【分析】由二項展開式通項公式得/和x的系數，由其比值為8求得〃值.

【詳解】&1=，（2尤）'=2?，,

23c3

所以導=8,解得〃=5（負值舍去）.故選：A.

3.若，3+5］的展開式中存在常數項，則〃可能的取值為（）

A.2B.3C.5D.7

【答案】A

【分析】利用通項公式，令元的指數為0,可得〃與％的關系，即可求解

【詳解】13+｝］展開式的第七+1項兀|=C（無3片（一￥=C/W

令3〃一6左=0貝!j〃=2左（左eZ）

所以“為偶數。故選：A

【題型四】給通項求參數

【典例分析】

已知（辦+jJ的展開式中1項的系數為160,則當。>0,>>0時，a+6的最小值為（）

A.4B.2及C.2D.72

【答案】B

3

【分析】利用二項式定理的展開式的通項公式，通過戶幕指數為160,求出必關系式，然后利用基本不等

式求解表達式的最小值.

【詳解】（辦+2］的展開式中1項的系數為160,

所以&=C：（亦廣［子］=/一方晨:|,,

33

令6-；r=；,解得r=3

22

所以Y/y。,所以成=2,

?：a>Q,b>0,a+bN2猴=2叵,當且僅當a=6=后時等號成立，

a+b的最小值為20，

故選：B.

【變式演練】

1.若（1--）9的展開式中丁的系數是—84,則a=.

%

【答案】1

【分析】

先求出二項式（％-@）9的展開式的通項公式，令X的指數等于4,求出廠的值，即可求得展開式中V的項

x

的系數，再根據丁的系數是-84列方程求解即可.

【詳解】

（%-1）9展開式的的通項為（+1=Gd-（―=C；x9-2r（—a）"

令9—2r=3nr=3,

（X--）9的展開式中V的系數為C；（―a）3=—84na=1,

故答案為1.

9

2.設常數a>0,若+的二項展開式中V的系數為144,貝!Ja=_.

【答案】2

【分析】

利用公式=G/f=。卬產2「(廠=0/,2「-,9)，令9—2r=5即可求值.

【詳解】

解：=6優1(廠=0,1,2「..,9).

令9—2廠=5,解得r=2,

則或1=144,a>Q,解得a=2.故答案為：2.

3.若關于光的二項式［2x+q］的展開式中一次項的系數是-70,則。=

【答案】二

2

【分析】

利用二項式定理的展開式的通項公式，通過基指數為1,即可得到實數a的值。

【詳解】

展開式的通項公式為./-2"由7—2廠=1,得r=3,

所以一次項的系數為C^-24-a3=-70,得a=—g,

故答案為：—.

2

【題型五】因式相乘型給通項求參數

【典例分析】

已知a>0,二項式一展開式中常數項為且卜3+￡||/+2)的展開式中所有項系數和為192,

則,3+J|1x2+￡|6的展開式中常數項為()

A.66B.36C.30D.6

【答案】B

【分析】利用二項式的通項公式求某一項.

【詳解】設二項式卜-勺展開式中的第％+i項為常數項，貝%|=或(/廣］_￡|,

(-l)kbkC^=—1

’16,所以％=4,b=+-

2(6-k)-k^02

令x=l,貝U(l±2)(l+o『=192,所以3(l+a『=192或-(l+a)6=192舍去，

所以l+a=±2,b=L,又因為a>0,所以a=l,

2

展開式中的常數項和:的項

33

當（+i為含J的項時，2（6-r）-r=-3,r=5,T5+l=C1x~=6x~；

6

所以(丁+2)卜+：I的展開式中的常數項為2x15+6=36.

故選：B

【變式演練】

1,若I?一千［x+g］的展開式中＜2的系數為75,則“=()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】A

【分析】結合二項式的展開式的通項公式以及多項式的乘法運算可得C：+(-。)屋=15-20a,進而可求出

結果.

【詳解】［+96的展開式的通項公式為j=《產2「，所以“一［+￡|6的展開式中一的系數為

C：+(-a)C：=15-20。，由題知，15-20a=75,解得a=-3.

故選：A.

2.關于二項式(1+分+/卜1-幻8,若展開式中含/的項的系數為21,則。=()

A.3B.2C.1D.-1

【答案】C

【分析】根據二項式展開式可求得含x2的項的系數，即得方程，求得答案.

【詳解】由題意得/的系數為lxC；x(-l)2+axC；x(-l)+lxC；=21,解得a=l,

故選：C.

3.已知［+畋的展開式中xV的系數為40,則機的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】首先變形得R+陽)(2x-y)5=［2x-y)5+%(2x-y)5,然后利用二項式展開式的通項公式

2

Tr+］=以求出x/的系數即可.

【詳解】由題意可得+畋上了-丫丫=/(2工-"+畋(2x-y)s,

在)(2x-才的展開式中，由—G(2x『(-y)r=(-1)’"飛"?了，

(4—r=21

令/無解，即一(2%-丁丫的展開式沒有Vy4項；

\r=4x

在沖（2x-y）s的展開式中，由〃71yG（2xy'y）',

[S-r-2

令廠+1=4解得r=3,即沖3-才的展開式中—4的項的系數為㈠,泮〃?=_40加，又一4的系數

為40,所以-40帆=40,解得%=-1.

故選：B

【題型六】賦值法

【典例分析】

?已知（x+2）（2x—1）=UQ+ci^x+gx++a$x.則g+a2+“4=（）

A.123B.91C.-152D.-120

【答案】c

【分析】

由二項式定理及利用賦值法即令X=1和=-1,兩式相加可得力+。2+/+4，結合最高次系數%的值即

可得結果.

【詳解】

52345

（x+2）（2x-l）=a0+alx+a2x+a3x+a4x+a5x+4x6中，

取九=1,得％+q+%+〃3+。4+〃5+〃6=3,

取工二—1,得%—%+%—〃3+。4—〃5+〃6=—243,

所以2（4+/+%+4）=—24。，即。°+/+%+。6=—12。，又。6=32,

則。o+%+%=-152,故選C.

【提分秘籍】

基本規律

常見的通法是通過賦值使得多項式中的"1變為。和1,在本題中要使工一：=0即給等式中的X賦

值1,求出展開式的常數項‘：;

【變式演練】

l.^(x—2)5=a5X5+a4X4+a3X3+a2X2+aix+aQ,貝!J。1+〃3+。5=().

A.1B.-1

C.121D.106

【答案】C

【分析】

利用特殊值法構造方程組求解.

【詳解】

52

解：(X-2)=%九5+%尤3+a2X+4%1+%

令光=1得。5+〃4+%+。2++。0=-1①

令JV=一1得一生+/—〃3+〃2—-35②

①減②得2(%+4+%)=—1+35

%+。3+。1=121

故選：C

2.若(-1+21)"(〃€2^)的展開式中，奇數項的系數之和為-121,則"=o

【答案】5

【分析】

令X=1和1=-1,作和即可得到奇數項的系數和，從而構造出方程解得結果.

【詳解】

(-1+24=c：(-17(2尤)。+C：(-1)7(2"+Q(-1P(2x)2+…+G(-1)°(2尤)"

令x=1得：C(-l)n+C*(-ir吸+C；(-1)--222+…+G(—1)°2〃=1

令x=—1得：C：(-1)"+CX-lf(-2)'+C；(-If2(一以+…+C；(-2)n=(-3)-

,奇數項的系數和為：1+(—3)=_121，解得：〃=5

2

本題正確結果：5

3.設(1一ax)2°i8=%+。逮+。2%2++?2018%20181若6+2a2+3/+…+2018。2()18=2018。

則實數。=.

【答案】2

【分析】

將左右兩邊的函數分別求導，取x=l代入導函數得到答案.

【詳解】

018

(1—ax)一°"=<70+qx+++tz201gx-

兩邊分別求導：

2017

—2018a(l—ax)?。"=q+2a2x++2018<22018-^

取x=l

—2018G(1—a)~°"=%+2a、++2O18<72oi8=2018a

a=2

故答案為2

【題型七】換元型

【典例分析】

8

.已知X(X—2)7=%+Q](X—1)+。2(兀—1)2+...+?8(X—I),貝U。5+。6=

A.-14B.0C.14D.-28

【答案】B

【解析】由題可知，將x(x-2)7轉化為[(尤-1)+1][(尤-1)-11，再根據二項式展開式的性質，即可求出生和

。6，便可得出生+4.

8

【詳解】解：由題知，x(無—2)7=4+%(x—1)+g(尤—1)-+...+a8(x—I),

且尤(x-2)7=[(x-1)+1)-1],則1)+1-Cy-1)=-14,

%=C*(—iy+LC，(—l)2=14,所以%+46=-14+14=0.故選：B.

【變式演練】

1.右=4+q(尤-l)+a,(x—1)+…+6/6(X—1)，貝U%=()

A.1B.6C.15D.20

【答案】C

【分析】令x-l=r,利用二項式展開式通項可確定為.

【詳解】令X—1=1,則(，+1).=/+"I++…+，

又。+球展開式通項為：Cr產".?.%=或=15.

故選：C.

2.對任意實數%,有(2x—3)9=%+4(x—1)+%(%—l)2+%(x—1)3+.+%(xT)9.則下歹U結論成立的是()

A.%=1B.%=-144

C.%+%+出+L+=1D.a。—。］+2—。3+,,,一，9=-39

【答案】BCD

【分析】由二項式定理，采用賦值法判斷選項ACD,轉化法求指定項的系數判斷選項B.

［施軍］由(2%_3)9=CLQ+_1)+〃2(%―1)2+〃3(X_1)3++［式1_1)9，

當元=1時，(2—3)9=%,%=T,A選項錯誤；

當％=2時，(4—3)9=%+%+/++。9，即4+。1+〃2+1+〃9=1，C選項正確；

當％=0時，(―3)9="+。23T----。9，即%—%+%—%■1----〃9=-3。，D選項正確;

999-22

(2X-3)=［-1+2(X-1)］,由二項式定理，672=C9(-l)2=-144,B選項正確.

故選：BCD

9

3.若多項式/+父。=4+01(%+1)++<z9(x+l)+?10(%+1)'°,則%=()

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

109910

(x+1)"=C°+C>+..，O^fl9(x+l)=?9^+CgX+...CgX］，?10(%+1)=

%oCo+GoX+..-+GoX+Go")，根據已知條件得了9的系數為0,小的系數為1

為=—10

故選D.

Ao-1

【題型八】三項展開式

【典例分析】

在（1+X+/函嚴的展開式中，N項的系數為（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【解析】把X+&看做一個整體，即可得到（1+X+&嚴的通項公式為：方+'=4?小+一由］,再求出

［+擊）的通項公式改+/=6豈/。2%再結合條件列式即可得解.

【詳解】在（l+x+?五嚴的展開式中，通項公式為乃+廣，?1+，）.

對于［尤+一^）,通項公式為TL+/=C：。獷2。%,后廣，八k^N,r<10.

令r-2021%=2,可得r=2+2021匕故左=0,r=2,

故N項的系數為CQ《=45,故選：B.

【提分秘籍】

基本規律

三項展開式的通項公式：

〃！

a+tzH-------1-a）的通項j;■dxct^a3-''am

<x27x2

Xj!x2!???xm!

【變式演練】

1.下列各式中，不是（"+2a-6）4的展開式中的項是（）

A.8a7B.6a4b2C.-32a3bD.—24a3b?

【答案】D

【分析】根據題意多項式展開式中，有一個因式選2%有2個因式選-b,其余的2個因式選/,有1個

因式選4,剩下的3個因式選2°,分別計算所得項，即可得到結果.

【詳解】（/+2。表示4個因式/+2._萬的乘積，在這4個因式中，有一個因式選2°,其余的3個

因式選/，所得的項為C：x2aC；x（叫3=8a7,所以8a?是（/+2””的展開式中的項，在這4個因式中，

有2個因式選-從其余的2個因式選片,所得的項為Cjx（-b）2xC；x（a2y=6q72,所以是

（1+2°-6）4的展開式中的項，在這4個因式中，有1個因式選-b,剩下的3個因式選2a,所得的項為

C；x（-6）xC；（2a）3=-32。％,所以一32a3。是+2〃-4的展開式中的項，在這4個因式中，有2個因式

選-b,其余的2個因式中有一個選/,剩下的一個因式選2°,所得的項為

C；X（-6）2xCix?2xC；x（2a）=24a3b2,所以-24a62不是+2a-6）4的展開式中的項.

故選:D.

2..“+1一;1的展開式中，孑的系數為（）

A.60B.-60C.120D.-120

【答案】A

【分析】設（尤+1-2］的通項為的=晨。-2嚴，設（x-2廠的通項為小=（_2）?_，尸）?即得解.

Iy）yy

【詳解】解：設1+的通項為j=C：（x-:尸，

設（x-2廠的通項為如=《/?（二y=（-2）y_,聲,

yy

令k=2,6—r—k=4,:.k=2,r=0.

所以上的系數為c1-2尸或=60.

y

故選：A

3.（2a-3b+c）8展開式中a26c5的系數是.

【答案】-2016

【分析】結合乘法運算以及組合數的計算求得正確答案.

【詳解】（2a-的展開式中，含有/兒5的項為：

Cg(2a)2C(-W?*=一2016a26c$,

所以(2。-36+c)8展開式中a26c5的系數是-2016.

故答案為：-2016

真題再現

1.(江蘇?高考真題)設左=1,2,3,4,5,則(x+2)5的展開式中一的系數不可能是()

A.10B.40C.50D.80

【答案】C

【分析】得到展開式的通項公式，求出左=1,2,3,4,5時的系數，選出答案.

【詳解】(x+2)5展開式的通項公式為=C"5T.2,，

當r=0時，T=C>5.2°=X5,系數為i,

當r=l時，7；=C；X4-2=10X4,系數為10,

當r=2時，(=C*3.4=40x3,系數為40,

當r=3時，7；=C32.8=80/,系數為80,

當廠=4時，7；=C；rl6=80x,系數為80,

故系數不可能是50.

故選：C

2.(全國?高考真題)若(2x+6)3=4+。]彳+”2d+03/,貝式旬+“2)--(。1+4)2的值為()

A.-IB.1C.0D.2

【答案】A

【分析】分別令無=1和％=-1，然后所得兩式相乘可得.

【詳解】令x=l得4+4+生+/=(2+^3)3,

令x=—1得%—q+<z,-q=(-2+，

所以(a。+%)~—(q+/)-=(<2g+q+e+%)(%—4]+%一/)=(2+—2+—(3—4)3=-1.

故選：A.

3.(2022?北京?統考高考真題)若(2x-l)4=+。3工，+。2苫2+。逮+4，則4+/+%=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【分析】利用賦值法可求4+%+%的值.

【詳解】令X=1,則%+%+。2+4+“0=1'

令"X——1,貝!]%—4+a、—q+4=(—3)’=81,

小1+81

故4+4+。<)=—-=41,

故選：B.

2

4.(2020.全國.統考高考真題)。+二)(x+y)5的展開式中43的系數為()

X

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【分析】求得(X+爐展開式的通項公式為(reN且r45),即可求得，+1：與(X+?展開

式的乘積為或C)jy+2形式，對「分別賦值為3,1即可求得x3y3的系數，問題得解.

【詳解】(x+y)'展開式的通項公式為2=《一乎"eN且"5)

所以+：］的各項與（%+y）5展開式的通項的乘積可表示為：

22

rr6rrrr+2

xTr+l=xC^~y=C；x~y和匕小=匕減產了=C^~y

XX

在x&|=C,6—y■中，令廠=3,可得：xT,=Clx3y3,該項中的系數為四，

22

在二（M=C）Jy+2中，令廠=1,可得：2Ll；=C梟3y3,該項中三>3的系數為5

XX

所以三>3的系數為10+5=15

故選：C

【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉化能力及分析能力，屬

于中檔題.

5.（浙江?高考真題）若多項式爐+X1。=/+q（了+0+…+4口+球+%0（%+1）'°,則。9=（）

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

【解析】利用二項式定理的系數，先求幺。的系數，再由％?《+4（）?品），可求爐的系數，即可得答案.

【詳解】多項式x~+=CIQ+q（x+l）+…+%（尤+1）+q。（x+1）,

等號右側只有最后一項旬）自+1）1°的展開式中含有力,并且臚的系數為八,等號左側幺。的系數是1,

40=1；

又V的系數在右側后兩項中，一的系數為的.《+%,?%,左側一的系數是0,

<29+10=0,a9=-10.

故選：D.

【點睛】本題主要考查二項式定理的運用，搞清各項系數是解決本題關鍵，屬于中檔題.

/2_1>6

6.（?遼寧?高考真題）/-2尤”的展開式中常數項是.

\7

【答案】-160

【分析】根據二項式展開式的通項特征即可求解.

（1i\6（iy-r/」丫

【詳解】J-2X”的展開式通項為&］=CZ尤5-2/2=晨（-2）'針,其中共電小6,

V/\7\?

令3-廠=0?3r,故常數項為晨（-2）'=C就-2）3=-160,

故答案為：-160

（3_1Y

7.（湖北.高考真題）已知始+f］的展開式中各項系數的和是128,則展開式中/的系數是

I7

.（以數字作答）

【答案】35

63-1U人63—11%一

【分析】令X=1得展開式中各項系數的和2■，求得〃=7,整理展開式中的通項為令6=5

得k=3,從而求得爐的系數C>

【詳解】令x=l得卜的展開式中各項系數的和2"=128,所以〃=7；

由幾令區”=5得左=3，所以展開式中d的系數是C：=［等=35

故答案為：35

8.（2022.全國.統考高考真題）［1-5卜+>）8的展開式中無2y6的系數為（用數字作答）.

【答案】-28

【分析】1-:）苫+^^可化為^+了丫-9仁+y丫，結合二項式展開式的通項公式求解.

【詳解】因為11-￡j（x+y>=（x+y）8-?x+y）\

所以11-￡|（x+y）8的展開式中含/y6的項為葭彳2科一號c京3y5=-28犬2r，

“-￡j（x+y『的展開式中/；/的系數為一28

故答案為：-28

乩模擬檢測

4234

1.（1+x）=a0+tZ1X+a2x+a3x+a4x,則4-q+a?-4+%=（）

A.1B.3C.0D.-3

［答案］C

【3析】根據展開式，利用賦值法取x=-l即得.

434

【詳解】因為（1+x）=%+4］*+%X2+a3x+a4x,

令X——］,可得UQ_q+。2_。3+。4=（1-1）=0.

故選：C.

2.設。為實數，甲：0=1；乙：（x+o）4二項展開式常數項為1.則甲是乙成立的（）條件

A.充分但不必要B.充要

C.必要但不充分D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】求出（尤+。）4展開式的常數項，即可得出結論.

【詳解】（x+“）4展開式中的第k+1項為笈=0,1,2,3,4.

當％=4時，該項為常數項，常數項為C：./=/.

顯然，當。=1時，.4=1；當"=1時，°=±1

所以，甲是乙成立的充分但不必要條件.

故選：A.

3.己知-x］的展開式中二項式系數的和是1024,則它的展開式中的常數項是（）

A.252B.-252C.210D.-210

【答案】B

【分析】求解先求出n,在利用通項公式求解

【詳解】由F■-x）的展開式中二項式系數的和是1024,故2"=1024,所以〃=10.

由二項式定理得展開通項為=Codyj（T）’，

X

當r=5時為常數項，1=-C：。=-252

故選：B

4.［l+/］（l+x）4的展開式中含/項的系數為（）

A.10B.12C.4D.5

【答案】A

【分析】利用二項式定理的通項公式進行分類討論即可求解.

【詳解】(1+x)4的二項展開式的通項為cx，

當r=2時，(1+工)(1+幻4的展開式中含％?項為IC：/；

X

當廠=3時，(1+-)(1+x)4的展開式中含/項為d)?C%3.

XX

所以(1+1)(1+%)4的展開式中含/項的系數為c；+C：=10.

X

故選：A.

5.QV+y+l］的展開式中公,2項的系數為()

A.120B.160C.180D.210

【答案】A

【分析】將(2/+y+日看作5個因式2/+y+1相乘，根據x"的指數可認為5個因式中有兩個選2無,項，

其余兩個選y,最后一個因式選1,進行相乘，可得答案.

【詳解】由題意(2爐+丫+1『的展開式中xV項的系數為C；X22XC；=12。，

故選：A

6.若二項式(如+；］(a>0)的展開式中所有項的系數和為64,則展開式中的常數項為()

A.10B.15C.25D.30

【答案】B

【分析】根據賦值法可得系數和，進而求解a=l,由二項式展開式的通項公式即可求解常數項.

【詳解】令x=l,則所有的項的系數和為(a+l)6=64,由于。>0,所以。=1,

展開式的通項為&1=晨上，/，=鼠產3"故當6-3廠=0時，即r=2,此時展開式中的常數項為

或=15,

故選：B

7.(l+2x-尤2)'展開式中各項系數的和為64,則該展開式中的無3項的系數為()

A.-60B.-30C.100D.160

【答案】C

【分析】先用賦值法求得項數%由于原式為三項式，需將l+2x作為整體進行二項式展開，從原式展開式

中取出前兩項再進行展開，分別求出包含彳3項和x項的系數，最后代回原式求和即可.

【詳解】取x=l代入，得(1+2-1)"=64,解得附=6

則原式=(1+2x-X?y=C；(1+2x)6+C；(1+2幻5(_/)++C6(_尤2)6

其中，只有前兩項包含/項.

(1+2尤)6=燒(2球+《(24+.+C：(2x)。,其中無3項的系數為C>23=160；

(1+24