專題8二次函數

1.一般地，如果y=aK2+匕久+c(a,b,c是常數，a/)),那么y叫作x的二次函數.其中，是二次項，

________是一次項_________是常數項.

2.二次函數的圖象的性質：二次函數的圖象是________對稱軸是________.(1)若a>0,當_________時，y隨*

的增大而增大；當_________時，y隨x的增大而減小；當_________時，函數有最小值，為.(2)若a<0,當一

時,y隨x的增大而減小；當________時，y隨x的增大而增大；當_______時，函數有最大值，為

3.二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a/))中,a,b,c的含義:a的符號與有關時拋物線開

口向上________時拋物線開口向下；b的符號與對稱軸有關，對稱軸為x=-白,先根據開口方向確定a的符號，

2a

再根據對稱軸的確定b的符號；C的符號與拋物線和的交點有關，拋物線和y軸的交點坐標為—

當拋物線和y軸正半軸相交時當拋物線和y軸負半軸相交時,.

4.二次函數與一元二次方程的關系:一元二次方程的解是其對應的的圖象與x軸的交點坐標的

_；一元二次方程中的可以判定二次函數的圖象與x軸是否有交點，當_________時，圖象與x軸有_____

—；當________時，圖象與x軸有;當_______時，圖象與x軸.

5.二次函數的平移法則:.

6.二次函數的解析式有三種形式：(1)一般式:；(2)頂點式::⑶交點式：.若已知拋物線上任

意三點，通常選擇利用待定系數法列來解；當已知拋物線的或_______時，常設其解析

式為頂點式來解；結合題設的具體情況，亦可選擇頂點式的為所求函數的解析式；當已知拋物線與x軸有一

時，則選擇設函數解析式為來解.

7.用二次函數解決實際問題

(1)二次函數常用來解決最優化問題，這類問題實際上就是求函數的_____值.

(2)二次函數的應用包括以下幾個方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的_____關系；運用二次

函數的知識解決實際問題中的______值.

實戰演練

1拋物線.y=2(x+9)2-3的頂點坐標是()

A.(9,-3)B.(-9,-3)

C.(9,3)D.(-9,3)

2.點A(m-l,yi),B(m,y2)都在二次函數y=(x-I)2+n的圖象上.若yi<y2,,貝!]m的取值范圍為()

3

A.m>2B.m>-

2

C.m<lD.-<m<2

2

3.已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,0<a<c)經過點(1,0),有下列結論：

①2a+b<0;

②當x>l時，y隨x的增大而增大；

③關于x的方程ax2+陵+(b+c)=。有兩個不相等的實數根.

其中，正確結論的個數是()

A.OB.lC.2D.3

4.如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-l,0),B兩點，對稱軸是直線x=l,下列說法正確

B.當x>-l時，y的值隨x值的增大而增大

C.點B的坐標為(4,0)

D.4a+2b+c>0

5.拋物線的函數表達式為產3(%-2)2+1,若將x軸向上平移2個單位長度將y軸向左平移3個單位長度,

則該拋物線在新的平面直角坐標系中的函數表達式為()

Ay=3(%+1)2+3

by=3(%-5)2+3

C.y=3(%—5)2-1

D.y=3(%+1)2-1

6.下表中列出的是一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值：

x-2013

y6-4-6-4

下列各選項中，正確的是()

A.這個函數的圖象開口向下

B.這個函數的圖象與x軸無交點

C.這個函數的最小值小于-6

D.當x>l時，y的值隨x值的增大而增大

7.二次函數y-ax2-2ax+c(a>0)的圖象過A(-3,yi),B(-l,y2),C(2,y3),D(4,y4)四個點，下列說法一定正確的

是()

A.若y02>。，則yiy2>0

B.若yiy4>。，則y2y3>0

C.若y2y4<。，則y/3<0

D.若y3y4<。，則yiy2<0

8.“聞起來臭，吃起來香”的臭豆腐是長沙特色小吃.臭豆腐雖小，但制作流程卻比較復雜，其中在進行加工煎炸

臭豆腐時，我們把“焦脆而不糊”的豆腐塊數的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，“可食用率”p與加工煎炸時間

t(單位：分鐘)近似滿足的函數關系為：p=at2+bt+c(a豐O,a,b,c是常數)，如圖記錄了三次實驗的數據.根據上

述函數關系和實驗數據，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳時間為()

A350分鐘B405分鐘P.

0.91..................

C.3.75分鐘D.4.25分鐘即二二工工「

9.設拋物線y=/+g++a,其中a為實數.

0----------34-5-F

(1)若拋物線經過點(-1,m)廁m=;

⑵將拋物線y=x2+Ca+l)x+a向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標的最大值是______.

10.單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看

作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度y(單位：

m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數關系y=a(x-h)2+fc(a<0).

某運動員進行了兩次訓練.

(1)第一次訓練時，該運動員的水平距離X與豎直高度y的幾組數據如下：

水平距離x/m02581114

豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

根據上述數據，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數關系y=a(%-by+k(a<0);

⑵第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y=-0.04(%-9)2+23.24.記該運動

員第一次訓練的著陸點的水平距離為由,第二次訓練的著陸點的水平距離為d2,則5d2(填或

11.如圖,在平面直角坐標系中，拋物線y=-'J+bx+c與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B(0,3).

4

⑴求拋物線的函數表達式；

(2)點P為直線AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ_Lx軸于點Q交AB于點M,求PM+的最大值

及此時點P的坐標；

12.在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始減速，此時白球在黑球前面70cm處.

黑?球___O白球

小聰測量黑球減速后的運動速度V(單位：cm/s)、運動距離y(單位：cm)隨運動時間t(單位：s)變化的數據,整

理得下表.

運動時間t/s01234

運動速度v/cm/s109.598.58

運動距離y/cm09.751927.7536

小聰探究發現，黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數關系，運動距離y與運動時間t之間成二次函

數關系.

(1)直接寫出V關于t的函數解析式和y關于t的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(2)當黑球減速后運動距離為64cm時，求它此時的運動速度；

(3)若白球一直以2cm/s的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球？請說明理由.

13.已知二次函數yax2+bx+c的圖象經過(-2,1),(2,-3)兩點.

⑴求b的值；

⑵當0-1時，該函數的圖象的頂點的縱坐標的最小值是；

⑶設(m,0)是該函數的圖象與x軸的一個公共點.當時，結合函數的圖象,直接寫出a的取值范圍.

14.在平面直角坐標系中，拋物線y-x2+2mx+2m2-ni的頂點為A.

(1)求頂點A的坐標(用含有字母m的代數式表示)；

⑵若點B(2,yB),C(5,yc)在拋物線上，且yB>yc,則m的取值范圍是；(直接寫出結果即可)

⑶當l<x<3時，函數y的最小值等于6,求m的值.

15.某工廠計劃在每個生產周期內生產并銷售完某型設備，設備的生產成本為10萬元/件.

⑴如圖.設第x(0<xW20)個生產周期設備售價z萬元/件，z與x之間的關系用圖中的函數圖象表示.求z關于x

的函數解析式(寫出x的范圍)；

⑵設第x個生產周期生產并銷售的設備為y件,y與x滿足關系式y=5x+40(0<xW20>在⑴的條件下，工廠第幾個

生產周期創造的利潤最大？最大為多少萬元？(利潤=收入-成本)

售價

z萬元/件

16

14

第x個

贏

020

壓軸預測

1.若點A(-l,m),B(3,m)在同一個函數圖象上，這個函數可能為()

X.y=(x—I)2+9B.y—(x+I)2+9

C.y=(x+3)2-9O,y=(x-2)2—9

2.已知二次函數y=-x2+2x+3,當自變量x的值滿足a<x<2時，函數y的最大值與最小值的差為1,貝Ua的

值可以為()

A.--B.-C.-1D.1

22

2

3.已知二次函數y=ax+bx+c的圖象與x軸交于(x】，0),施,0)兩點,且滿足-1<x1<0,1<x2<2,則下列

說法正確的個數是()

①a+b+c<0;

②b<0;

③abc>0;

④若Q蟾+bx3=axl+b%4(%3。%4)，則0<x3+%i<2.

A.lB.2

C.3D.4

4.運動場上，小明投球時，發現籃球軌跡最高點距離地面3米，小明距離最高點的水平距離為1米，籃球落地

處距離小明3米，那么你能計算出小明投籃的最高點距離地面為多少米嗎?

5.如圖已知二次函數y=aY圖象與直線y=x+2交于點A(-2,m),點B.

⑴求m,a的值；

⑵求點B坐標;

(3)連接0人,08,求4AOB的面積.

參考答案

1.ax2bxC

_b_

2.拋物線X=

2a

bbb4ac-b2

⑴x>-——X<-------X=---------------------

2a2a2a4a

bbb4ac-b2

(2)x>-——X<-------X=-------------------

2a2a2a4a

3.開口方向a>0a<0位置y軸(0,c)c>0c<0

4.二次函數橫坐標△=b2-4czcA>0兩個交點△=0一個交點4<0沒有交點

5.左加右減上加下減

6.(l)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a#))

(2)y=a(x-h)2+k(a,h,k是常數,a/))

(3)y=a(%-%i)?(%-久2)(a,久1,刀2是常數,a^0)一般式三元一次方程組頂點對稱軸特殊形式兩個交點

交點式

7.(1)最大(小)(2)二次函數最大(小)

1.B【解析】本題考查拋物線的頂點坐標拋物線y=2(x+97-3的頂點坐標是(-9,-3),故選B.

2.B【解析】本題考查二次函數的性質、解不等式?點A(m-l,yi)和點B(m,y2)都在二次函數y=(x-l)2+n

22222

的圖象上，,yi—(m—1—l)+n=(m-2)+n,y2—(m—l)+n.<y2,(m-2)+n<(m—l)+

n,BP((m-2)2-(m—I)2<0,,整理得-2m+3<0,；.m>|,故選B.

3.C【解析】本題考查二次函數的圖象與性質、一元二次方程根的判別式.對于①.拋物線經過點((1,0),；.a

+b+c=0.：0<a<c,；.2a+b<0故①正確;對于②，若點(1,0)在拋物線的對稱軸的左邊時，在點(1,0)到頂點這段拋物線

上,y隨X的增大而減小，故②錯誤；對于③「.,2+5+?=0,."+?=-%；.原方程可化為(ax2+bx-a=。.：△=b2+4a2

>0,，方程(?%2+bx+(b+c)=。有兩個不相等的實數根，故③正確.綜上所述，正確的結論是①③，共有2個，故選

C.

4.D【解析】本題考查二次函數的圖象與性質.

選項逐項分析正誤

A:拋物線開口向下，；.a<0

由圖象可知，當x>-l時,在對稱軸的右

B

邊，y隨X的增大而減小

C:點A(-LO)和點B關于直線x=l對稱，，點B的坐標為(3,0)X

D由題可知.當x=2時,y=4a+2b+c>。

故選D.

5.C【解析】本題考查二次函數的圖象與性質、函數圖象的平移變換.由題意可知，將x軸向上平移2個單位

長度，即將函數圖象向下平移2個單位長度；同理，將y軸向左平移3個單位長度，即將函數圖象向右平移3個單

位長度?拋物線的表達式為y=3(*—2尸+1,.?.平移后的函數表達式為.y=3(%-2-3)2+1-2,即為y=3(x-

5)2-1,故選C.

6.C【解析】本題考查二次函數的圖象和性質..：當x=0和x=3時，函數值y相等，，二次函數的圖象關于直

線％=5寸稱，..?對稱軸為久=1,??.當久=|時，函數y最小值小于-6,且拋物線開口向上，A選項錯誤,C選項

正確;函數y經過(26),(0,-4),.?.其圖象與x軸有交點，B選項錯誤；當x>l時，y的值隨x的增大先減小后增大，D

選項錯誤，故選C.

7.C【解析】本題考查二次函數的圖象和性質.：y=ax2-2ax+c=a(x-I)2-a2+c,:拋物線的對稱軸為.

x=l一,.四點中距離對稱軸遠近關系為A>D>B>C,,*乂),...拋物線開口向上,...yi>yi>y2>y3，當%>y4>y2>0

>丫3時,yiy2>0,y3y4<0,且yiy4>0,y2y3<0,故選項A,B,D錯誤;當yx>y4>0>y2>y3時,y2y4<0,yiy3<0,故選項

c正確，故選c.

8.C【解析】本題考查二次函數的應用.將圖象中的三個點(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6)代入函數關系.p=at2+bt+c

'9a+3b+c=0.8,(a=-0.2,

中得16a+46+c=09解得b=1.5,所以函數關系式為p=-0.2t2+1.5t-19.由題意可知，加工煎炸臭豆

25a+5匕+c=0.6,=-1.9,

腐的最佳時間應為拋物線頂點的橫坐標t=-搟=--^―=3.75,則當t=3.75分鐘時，為最佳時間，故選C.

2a2x(—0.2)

9.(1)0；(2)2【解析】本題考查二次函數的性質、函數圖象的平移.(1)將代入y=x2+(a+l)x+a得m

=1-(a+l)+a=0;(2源拋物線頂點的縱坐標為七厘=上詈二，向上平移2個單位長度后的縱坐標為

44

土詈二+2=土產=-%)2+8,...當a=1時所得拋物線頂點的縱坐標存在最大值，最大值為2.

444

10.(1)23.20,y=-0.05(%-8)2+23.20(2)<

(1)由表格中的數據確定拋物線的頂點坐標，從而可得h,k的值,k的值即為運動員豎直高度的最大值，再將(0,

20.00)代入函數關系式即可求出a的值，據此可得函數關系式；(2)設著陸點的縱坐標為t,分別代入第一次和第二

次的函數關系式，求出著陸點的水平距離，比較大小即可作出判斷

解:⑴由題知，拋物線的頂點坐標為(8,23.20),所以11=8,]<=23.20,

即該運動員豎直高度的最大值為23.20m.

根據表格中的數據可知,當x=0時,y=20.00代入y=a(x-8)2+23.20”得20.00=64a+23.20.解得a=-0.05,

所以函數關系式為y=—0.05(x-8尸+23.20.

(2)<.

由題意，設著陸點的縱坐標為t(t<20.00),

則第一次訓練時，t=-0.05(%-8)2+23.20,

解得%=8±720(23.20-t),

由圖知，第一次訓練著陸點的水平距離

di=8+/20(23.20-t),

第二次訓I練時,t=-0.04(x-9)2+23.24,

解得x=9士,25(23.24—t),

由圖知，第二次訓練著陸點的水平距離

d2=9+/25(23.24—t).

因為20(23.20-t)<25(23.24-t),

所以di<d2.

11.⑴y=一|/+%+

(1)將點A,B的坐標分別代入拋物線解析式，解出b,c的值即可求解；(2)根據待定系數法求出直線AB的解

析式，設出P點的坐標(t為待定系數),進而得出點M的坐標，用含t的式子表示出PM,MQ的長，利用勾股定

理及銳角三角函數的定義用含t的式子表示出AM的長，進而表示出PM+94M利用二次函數的性質可得答案.

解：(1)；拋物線y=—|/+。乂+c經過點A(4,0),B(0,3),

.「12+4干=0,解得,=

1c=3.I。=3.

拋物線的函數表達式為y=-+3.

44

(2)；直線AB經過點A(4,0),B(0,3),

直線AB的函數表達式為y=-；%+3.

設P("W+'+3),

則用("(+3),其中0?<4,

5"=-*+)+3-序+3)=-評+3?,MQ=一|t+3.

VAO=4,BO=3,/.AB=V32+42=5.

.“ACMQOB3

smZ.MAQ=——=—=-

yAMAB5

AM=|M<?=-|t+5.

PM+-AM=--t2+3t+-f--(+5>)=--t2+-t+6=--(t-l)2+—.

545\4J424v74

3

?J0Vt<4,—V0,

4

At=l時，PM+|XM1取得最大值，最大值為?此時，點P的坐標為(1,；).

54N

12.(l)u=-|t+10,y=-|t2+10t

(2)6cm/s⑶不會，理由略

⑴根據表中數據由待定系數法即可求得兩函數解析式；⑵把y=64代入函數解析式求得時間t,再由t的值即

可求解；(3)根據題意建立兩球距離與時間的函數關系式，再根據函數的性質即可求解.

解：(l)v=--t+10,y=--t2+lOt.

24

(2)依題意，得64.—52+10t=64.

t2-40t+256=0.

解得.8出=32.

當ti=8時,v=6;

當t2=32時,v=-6(舍).

答:黑球減速后運動64cm時的速度為6cm/s.

(3)設黑白兩球的距離為wcm.

w=70+2t—y=52-8t+70=-16尸+6.

1?,7>0,/.當t=16時,w的值最小為6,

4

???黑、白兩球的最小距離為6cm，大于0,黑球不會碰到白球.

另解1：當3=0時，^t2-8t+70=。，判定方程無解.

4

另解2：當黑球的速度減小到2cm/s時，如果黑球沒有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不會碰到白球.先

確定黑球速度為2cm/s時，其運動時間為16s,再判斷黑白兩球的運動距離之差小于70cm.

13.(l)b=-l(2)1(3)a<0或a>|

⑴將已知點的坐標代入二次函數，列出三元一次方程組，兩式相減，可直接求出b的值；⑵根據(1)中結論得

到a與c的等量關系，代入頂點坐標公式，構造關于頂點縱坐標的不等式，即可求解；(3)根據題意得x=-l和x=3

時函數值一正一負，即可求解.

解:⑴把點(-2,1),(2,-3)代入y=ax2+bx+c,

(1=4a—2b+c,

t—3=4d+2b+c,

兩式相減，得4=-4b,

解得b=-l.

⑵1.

把b=-l代入4a-2b+c=l,

得4a+2+c=l,

.??頂點縱坐標為誓■MC+anC+l+a—l.

V0-1,.*.c+l>0.

下證對于任意的正數a,b,都有a+b>2yfab.

—Vh)2=a+b—2yJ~ab>0,

a+h>2Vab,,當a二b時取等號，

c+]+1,2J(c+1)?-1?

1

???頂點縱坐標的最小值為1.

(3)a<0或a>李

由4a-2+c=-3得c=-4a-l.

當x=-l和x=3時函數值一正一負，

(a+l-4a-l)(9a-3-4a-l)<0,

A-3a(5a-4)<0,

a(5a-4)>0,

ct>:或a<0.

14.(l)(-m,m2-m)(2)m<-3.5

(3)m=-2或m

⑴根據配方法或頂點公式法即可求得頂點坐標；

(2)根據開口方向、函數的增減性確定對稱軸位置，從而求出m的取值范圍;⑶分三種情況討

論x取何值時，y有最小值6，代入函數y中，解方程即可求值.

解:⑴解法一：

y=x2+2mx+2m2—m=(%+m)2—m2+2m2—m=(%+m)2+m2—m.

???頂點A(—m>m2—m).

解法二：???%=—券=-m,

22

4xlx(2m-m)-(2m)9

y=----------啟------

，頂點A的坐標為((-m^m2-m).

(2)m<-3.5.

⑶分三種情況討論：

①-mgl,即m>-l.

當x=l時,y=6.

1+2m+2m2—m=6.

解方程，得爪1="二，爪2=-牛(不符合題意，舍去).

44

x=-m

第①種情況草圖

②l<-mg3BP-3<m<-l.

當x=-m時,y=6.

???m2—m=6.

解方程，得根1=-2,m2=3(不符合題意,舍去).

m=-2.

x=~m

第②種情況草圖

③-m>3即m<-3.當x=3吐y=6.

9+6m+2m2—m=6.

解方程，得血1=-l,m2=-|(均不符合題意,舍去).

綜上所述：m=-2或=里匚.

13：x

x=-m

第③種情況草圖

16,(0<%<12)

15.⑴z=(_1%+I/(12<%<20)

⑵工廠在第14個生產周期創造的利潤最大，最大是605萬元.

⑴分0<x<12,12<x<20兩種情況求z關于x的函數解析式；(2)根據自變量取值范圍確定利潤W的函數關系式，

結合一次函數與二次函數的圖象與性質即可求得最大利潤.

解:⑴由圖可知，當0<x<12時,z=16.

當12<xK0時,z是關于x的一次函數設z=kx+b,則，燃得k=—；,6=19,

(NU/C?u—XT1,4

-1

即z=——x+19,

4

??.z關于X的函數解析式為

16.(0<J■《⑵

z=11

卜了工+19.(】2</《2。)

⑵設第X個生產周期工廠創造的利潤為W萬元.

①0<xW12時,

W=(16-10)x(5x+40)=30x+240,

當x=12時，

W最大值=30x12+240=600(萬元).

②12〈xW20時，

W=Qx+19-10)x(5%+40)

=--x2+35x+360

4

=一；0-14)2+605,

當x=14時，譏大仙=605(萬元).

取

綜上所述，工廠在第14個生產周期創造的利潤最大，最大是605