第四章三角形

第18講等腰三角形

口題型12手拉手模型

模擬基礎練口題型13與等腰三角形有關的折疊問題

□題型14與等腰三角形有關的動點問題

口題型01分類討論思想在等腰三角形中的應用

口題型15與等腰三角形有關的新定義問題

口題型02根據等邊對等角求解或證明

口題型16與等腰三角形有關的規律探究問題

□題型03根據三線合一求解或證明

口題型17與等腰三角形有關的多結論問題

□題型04在格點圖中畫等腰三角形

□題型18探究等腰三角形中存在的線段數量關系

口題型05根據等角對等邊求邊長

口題型06根據等角對等邊證明重難創新練

□題型07確定構成等腰三角形的點

口題型08等腰三角形性質與判定綜合

口題型09利用等邊三角形的性質求解真題實戰練

口題型10等邊三角形的判定

口題型11等邊三角形性質與判定綜合

模擬基礎練?

口題型01分類討論思想在等腰三角形中的應用

1.（2024.云南昆明.一模）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程/-6x+8=0的兩根，則該等腰

三角形的周長為.

2.（2024?江蘇?模擬預測）若實數機，"滿足—7|+|3—=o,且機，九恰好是等腰△ABC的兩條邊的

邊長，則AaBC的周長是.

3.（2024?內蒙古赤峰.二模）學完等腰三角形的性質后，小麗同學將課后練習“一個等腰三角形的頂角是36。，

求底角的度數”改為“等腰三角形的一個角是36。，求底角的度數”.下面的四個答案，你認為正確的是（）

A.36°B.144°C.36。或72°D.72°或144°

4.（2024?河南駐馬店?三模）如圖，在等腰△ABC中，ABAC=120°,AB=AC=4,。是邊BC上的動點,

連接力D,將AaBD沿4D折疊，點B的對應點為B',若NBDB'=120。，貝的長為

B'

5.（22-23八年級上?河南南陽?期末）在等腰三角形中有一個角為40。，則腰上的高與底邊的夾角為

口題型02根據等邊對等角求解或證明

6.（2024?陜西渭南?三模）如圖，點。是正八邊形48CDEFGH的中心，連接。4、OB,若。4=2,則該正八

邊形的面積為.（結果保留根號）

7.（2024?陜西?模擬預測）如圖，在正五邊形4BCDE中，AD,CE相交于點F,連接BF,貝亞CFB的度數是

8.（2024?河北秦皇島?模擬預測）如圖，在△力BC中，AB=AC,NB=30。，點尸為直線BC上一點，且AC=CP,

連接力P,貝此B4P的度數是（）

C.45°或135°D.30°或135°

9.（2024?廣東河源?二模）如圖，在四邊形力BCD中，ACAD=90°,ZB=30°,ND=60。且AC=BC.

（2）若4。=1,求四邊形ABC。的面積.

10.（2024?海南省直轄縣級單位?模擬預測）如圖，已知矩形4BCD,點E在CB延長線上，點尸在BC延長線

上，過點尸作FH1EF交ED的延長線于點”，連接2F交E”于點G.若GE=GH,-=力D=4,則

FH6

EF=.

口題型03根據三線合一求解或證明

11.（2024?貴州黔東南?二模）如圖，△4BC中，ZB=6O°,BA=3,BC=5,點E在B4的延長線上，點。在BC

邊上，且ED=EC.若4E=4,貝UBD的邊長為（）

A.2.5B.3.5C.2D.V3+1

12.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，在AABC中，AB=AC,點2在反比例函數y=2（k>0,久>0）的圖

象上，點、B、C在x軸上，BC=4OC,若△4BC的面積等于8,貝必的值為.

13.（2024?山西?模擬預測）如圖，在等腰三角形4BC中，AB=AC,取4C的中點E,連接BE,過點C作BE的

垂線，交BE的延長線于點D,若BD=8,DC=2,則DE的長為

14.(2024?浙江?模擬預測)在勞動課上，小華同學所在小組進行了風箏框架設計比賽

(1)小華設計的風箏框架平面圖如圖1,已知.4B=4。，CB=CD,AC與交于點。，求證：BO=DO

(2)小明提出了改進建議：制作風箏框架只需要兩個支架4C和BD(如圖2),當4C垂直平分BD時即可固定風

箏.現在有總長度為120cm的細木條用于制作該風箏框架，小明同學想做面積最大的風箏，請你幫他設計：

當4C為何值時，風箏的面積最大，面積最大值為多少？

15.(2024?山東聊城?三模)如圖，△力BC中，點。是BC上一點，過點。作DE||力B,點尸是4D的中點，連

接EF,并延長EF交4B于點G.

(1)連接DG,求證：四邊形4GDE是平行四邊形.

(2)若使四邊形4GDE是菱形，△ABC應為什么特殊三角形？點。在BC的什么位置？證明你的猜想.

口題型04在格點圖中畫等腰三角形

16.(2024?貴州貴陽?二模)在如圖所示的網格紙中，有A,8兩個格點，使得A/IBC是等腰三角形，則這樣

的格點C有個.

*B

17.(2024吉林長春.模擬預測)圖①、圖②、圖③均是2x2的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，

點A、C均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按下列要求作格點圖形，保留作圖痕跡.

圖1圖2圖3

(1)在圖①中，以AC為中線作△力BD,使A8=AD；

(2)在圖②中，以2C為中線作RtAAEF,使NA￡T=90。；

(3)在圖③中，以AC為中線作A4MN,使A4MN為鈍角且tan/AMC=a

18.(2024?浙江嘉興.一模)如圖，在2x4的方格紙力BCD中，每個小方格的邊長為1,己知格點尸，請按要

求完成以下問題.

(1)在圖中畫一個格點等腰三角形PEF,使得底邊長為迎；

(2)在圖中再找一個格點G,使得尸，E,F,G四點構成平行四邊形，則該平行四邊形的面積為.

19.(2024?河北邯鄲?三模)如圖中的點都在格點上，使△48%("為1~4的整數)不是軸對稱圖形的點是()

A.P]B.P2C.P3D.P4

□題型05根據等角對等邊求邊長

20.（2024?廣西桂林?一模）如圖，在等邊4ABC^p,AB=6,BD平分N4BC,點E在BC的延長線上，且NE=30°,

貝UCE的長為.

21.（2024?貴州畢節?三模）如圖，在RtAABC中，^ACB=90°,AC=BC,點。在4B上，AD=4,

CD=貝！］BD的長為.

22.（2024?海南海口?一模）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,點D是4C邊上的一點，過

點。作DFII2B,交BC于點尸，作NB4c的平分線交。尸于點E,連接BE.若A/IBE的面積是2,則點E到的

距離為"的值是

23.（2024?陜西?模擬預測）實驗是培養學生的創新能力的重要途徑之一，如圖是高錦酸鉀制取氧氣的化學

實驗裝置，安裝要求為試管略向下傾斜,試管夾應固定在距試管口的1處（BE=：4B）,已知試管4B=24cm,

試管傾斜角a為10。，實驗時，導氣管BF交CD的延長線于點F,且ED1CF,測得DE=27.36cm,N4BF=145°,

求DF的長度.（參考數據：sinl0°?0.17,cosl00~0.98,tanl0°-0.18）

高鋅酸鉀?蓬松的棉花團

A

24.（2024.陜西咸陽?模擬預測）如圖，在△48C中，。為BC邊上一點，且2。平分ABAC,若=5,"=4,

則A/IBD與△2CD的面積比為（）

C.16:25D.25：16

25.（2024.新疆烏魯木齊?一模）在A4BC中，BD平分N2BC,交2C于點D,AE1BC,交BC于點E,且4B=5,

AE=BC=4,貝UCD的長為.

口題型06根據等角對等邊證明

26.（2024?湖南長沙?模擬預測）如圖，在AaBC中，。是4B邊的中點，。是CO上一點，AE||BD交C。的延

(1)求證：AE=BD-,

(2)若N4C8=90。，乙BDO=KCAO,AC=6,求BD的長.

27.（2024?江蘇連云港?模擬預測）某學習小組在學習了正方形的相關知識后發現：正方形對角線上任意一

點與正方形其他兩個頂點相連形成的線段一定相等.該學習小組進一步探究發現：若過該點作其中一條線

段的垂線與正方形的兩邊相交形成的較長線段和前面形成的兩條線段也有關系.請根據下列探究思路完成

作圖和解答：

（1）尺規作圖：過點E作EF14E.分別交邊AD、BC于點G、F.（保留作圖痕跡，不寫作法）

(2)求證：EC=EF=AE.

□題型07確定構成等腰三角形的點

28.（2023九年級上?江蘇?專題練習）如圖，在3x3的正方形網格中，點A、B、C、D、E、尸都是格點.

（1）從A、。、E、F四點中任意取一點，以這點及點8、C為頂點畫三角形，求所畫三角形是等腰三角形的概

率;

（2）從A、D、E、尸四點中任意取兩點，以這兩點及點8、C為頂點畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的

概率.

29.（2023蘭州市模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點4B分別在y軸和x軸上，A.ABO=60°,在坐

標軸上找一點P,使得4PAB是等腰三角形，則符合條件的P點的個數是（）

A.5B.6C.7D.8

30.（2020?江蘇泰州?一模）已知點A（2,m）,點P在y軸上，且APOA為等腰三角形，若符合條件的點P

恰好有2個，則m=.

31.（2024君山區一模）已知坐標原點。和點4（1,1）,試在久軸上找到一點P,使A40P為等腰三角形，寫出

滿足條件的點P的坐標

□題型08等腰三角形性質與判定綜合

32.（2024通遼市模擬）如圖，在AZBC中，AB=AC,BC=4,面積是10.28的垂直平分線ED分別交

邊于￡、。兩點，若點尸為8c邊的中點，點P為線段ED上一動點，則AP8F周長的最小值為.

33.（2024.貴州.模擬預測）如圖，在AABC中，ZB=45°,ZC=60",BC=6,P為AC邊上一動點，PE1AB

于點E,PF1BC于點F,連接EF,貝UEF的最小值為.

34.（2024?山西?模擬預測）如圖，在RtAABC中，乙B=90。，△ABC繞點A順時針方向旋轉90。，到△48C,

連接CL,交A8于點P,若4B=4,BC=2,貝|CP的長為.

35.（2024?湖南?模擬預測）如圖，將等腰RtAABC的斜邊BC向上平移至4D（點8和A重合），連接CD,M

為線段CD上一點（不與點C重合），連接并將其繞點A順時針旋轉90。至4N,連接MN交8c于點E,連

接BN.

ADAD

P

，一

NN

圖1圖2

(1)求證：AABNWAACM；

(2)求證：EN=EM；

(3)如圖2,分別取4M,CE的中點P,Q,連接PQ,試探究線段PQ和BE之間的數量關系，并說明理由.

□題型09利用等邊三角形的性質求解

36.(2024?甘肅蘭州?模擬預測)如圖,四邊形4BCD內接于回。，連接40,DO,已知△A。。是等邊三角形,

D。是NADC的平分線，貝!U4BC=()

C.60°D.80°

37.(2024?山西大同.模擬預測)如圖，等邊△04B的頂點0在坐標原點，頂點2在x軸上，OA=2,將等邊△OAB

繞原點順時針旋轉105。至4。49的位置，則點夕的坐標為

38.(2024.安徽合肥?三模)如圖，△28C是邊長為3的等邊三角形，。是BC的中點，E,

尸分別在BC,4B上，連接力E,CF,兩線交于點G,連接BG,DG,乙FGB=乙CGD,CE=1.

(1)求AE的長；

(2)求證：BG=2GD；

(3)求4G的長

39.(2024?湖南?模擬預測)平面圖形的鑲嵌往往給人以美的享受，如圖1是用邊長相等的正六邊形與正三

角形進行的無縫隙、不重疊的平面鑲嵌.我們選取其中一個正六邊形和三個與之相鄰(正上方、左下方和

右下方)的正三角形組成的圖形部分，將其放在平面直角坐標系中.如圖2,點力，B,C均為正六邊形和正

三角形的頂點.已知點4的坐標為(2,0),反比例函數y=0)的圖象恰好經過點8,C,連接。B,OC,

則ABOC的面積是

圖1

□題型10等邊三角形的判定

40.(2023?江西贛州?一模)在學習《2.1圓》時，小明遇到了這樣一個問題：如圖1(1)、1(2),AABC和

△DBC中，乙4=ND=90。.試證明A、B、C、。四點在同一圓上.

圖2圖3

小明想到了如下證法:在圖1(1)、1(2)中取8c中點連接則有力M=BM=CM及DM=BM=CM,

即AM=BM=CM=DM,所以A、B、C、。四點在以〃為圓心，MB為半徑得圓上，根據以上探究問題得

出的結論，解決下列問題：

(1)如圖2,在△ABC中，三條高AD、BE、CT相交于點X,若NB4C=64。，貝此￡7>=_。.

⑵如圖3,已知2B是。。的直徑，CD是。。的弦，G為CD的中點，CE14B于E,DF14B于尸(E、尸不

重合)，若NEGF=60。，求證：

41.（2023?甘肅平涼?模擬預測）某學習小組在學習時遇到了〃CB=N4ED=90嚇面的問題：

如圖1,在△48c和△力DE中，，NC4B=NEAD=60。，點E,A,C在同一直線上，連接BD,尸是8。的中點,

連接EF,CF,試判斷ACEF的形狀并說明理由.

問題探究

（1）小婷同學提出解題思路：先探究△CEF的兩條邊是否相等，1JDEF=CF.以下是她的證明過程:

請根據以上證明過程，解答下列兩個問題：

①在圖1上作出證明中所描述的輔助線.

②在證明的括號中填寫理由（請在SAS,ASA,AAS,SSS中選擇）.

證明：延長線段EF交CB的延長線于點G.

?.?尸是BD的中點，：.BF=DF.

"：^ACB=AAED=90°,：.ED||CG,:.乙BGF=KDEF

又,：乙BFG=LDFE,：.ABGF=ADEF（）.

1

：.EF=FG,：.CF=EF=-EG.

2

問題拓展在（1）在探究結論的基礎上，請你幫助小婷求出NCEF的度數，并判斷△（???的形狀.

口題型11等邊三角形性質與判定綜合

42.（2023?廣東深圳?三模）綜合與實踐

數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖，已知三只螞蟻A、E3、C在半徑為1的O。上靜止不動，第四只

螞蟻P在。。上的移動，并始終保持乙4PC=乙CPB=60°.

AA

備用圖

⑴請判斷△ABC的形狀；“數學希望小組”很快得出結論，請你回答這個結論：AABC是_____三角形；

(2)，，數學智慧小組，，繼續研究發現：當第四只螞蟻P在。。上的移動時，線段P4PB、PC三者之間存在一種

數量關系：請你寫出這種數量關系：，并加以證明；

(3)“數學攀峰小組”突發奇想，深入探究發現：若第五只螞蟻“同時隨著螞蟻P的移動而移動，且始終位于線

段PC的中點，在這個運動過程中，線段的長度一定存在最小值，請你求出線段BM的最小值是(不

寫解答過程，直接寫出結果).

43.(2024.貴州?模擬預測)綜合與實踐：在菱形4BCD中，ZB=60°,作乙MAN=Z-B,AM,4V分別交BC,

CD于點M,N.

(1)【動手操作】如圖①，若M是邊BC的中點，根據題意在圖①中畫出NM4V,貝此8aM=度；

(2)【問題探究】如圖②，當M為邊BC上任意一點時，求證：AM=AN；

(3)【拓展延伸】如圖③，在菱形力BCD中，AB=4,點P,N分別在邊8C,CD上，在菱形內部作/PAN=ZB,

連接力P,若求線段DN的長.

44.(2024?黑龍江雞西?二模)在四邊形力BDE中，C是BD邊的中點.

(2)如圖2,AC平分NB4E,EC平分乙4ED,若乙4CE=120。，則線段AB,BD,DE,4E之間存在怎樣的數

量關系？寫出結論并證明；

(3)如圖3,BC=8,48=3,DE=7,若乙4CE=120。，則線段AE長度的最大值是

45.(2024?山東.模擬預測)如圖，在△ABC中，乙4cB=90。，^ABC=30°,ACDE是等邊三角形，點。在

邊力B上.

ccGE

(2)如圖2,當點E在△ABC內部時，猜想ED和EB數量關系，并加以證明；

(3)如圖1,當點E在A4BC外部時,EH148于點過點E作GEIIAB,交線段4C的延長線于點G,AG=5CG,

BH=1.求CG的長.

46.(2024?湖南長沙?模擬預測)如圖，。。為五邊形4BCDE的外接圓，AB=BC,AE=DE,連接其對角

線，交于點F,G,H,N,M.

⑴求證：/-AFG=Z.AGF；

(2)當NC4D=時，△NED是等邊三角形，并證明你的結論；

(3)在(2)的條件下，若4尸=4,tanAB4F=手.求證：S四邊形^NE=3SAEON.

口題型12手拉手模型

47.(2023?甘肅張掖?模擬預測)在學習全等三角形的知識時，數學興趣小組發現這樣一個模型：它是由兩

個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成.在相對位置變化時，始終存在一對全等三角形.通過查詢資料,

他們得知這種模型稱為“手拉手模型”.興趣小組進行了如下操作:

⑴觀察猜想：如圖①，已知均為等邊三角形，點〃在邊BC上，且不與點8、C重合，連接CE,

易證△48。=AACE,進而判斷出2B與CE的位置關系是

(2)類比探究：如圖②，已知ATlBC、AADE均為等邊三角形，連接CE、BD,若ADEC=60。，試說明點B,

D,“在同一直線上；

(3)解決問題：如圖③，已知點E在等邊△48C的外部，并且與點2位于線段2C的異側，連接4E、BE、CE.若

^BEC=60°,AE=3,CE=2,請求出BE的長.

48.(2023?河南洛陽?模擬預測)綜合與實踐綜合與實踐課上，數學研究小組以“手拉手圖形”為主題開展數學

活動兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一

組全等的三角形，把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.

⑴操作判斷已知點。為4X5C^ACDE的公共頂點，將4CDE繞點C順時針旋轉a(0。<a<360°),連接BD,

AE,如圖1,若AABC和ACDE均為等邊三角形，請完成如下判斷：

①線段8。與線段4E的數量關系是；

②直線BD與直線4E相交所夾銳角的度數是；

(2)遷移探究如圖2,若N28C=NEDC=90。，NB4C=/DEC=30。，其他條件不變，則(1)中的結論是

否都成立？請說明理由；

(3)拓展應用：如圖3,若NB4C=NDEC=90。，AB=AC,CE=DE,BC=2CD=4五,當點B,D,E三

點共線時，請直接寫出BD的長.

49.(2024?山東泰安.二模)【建立模型】

(1)如圖1,銳角A/IBC中，分別以4B、AC為邊向外作等腰AABE和等腰△4CD,且它們的們頂角AB4E=

^DAC,連接BD,CE,試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由.

【模型應用】

(2)如圖2,AABC^,AB=4cm,BC=3cm,4ABe=30°,AC為邊向外作等邊△4CD,連接BD,求BD的

長.

【模型變式】

(3)如圖3,在(2)的條件下，以4c為腰在線段4C的左側作等腰AACD,AD=AC,ACAD=120°,直

接寫出BD的長.

50.(2024?甘肅金昌?模擬預測)如圖，在AaBD和A4CE中，ABAD=Z.EAC,連接BC,DE交于點F,且B,

A,E三點共線.

A

圖②

【模型建立】

(1)如圖①，△ABD和A4CE是等腰三角形，AB=AD,AC=AE,

①求證：AABC=AADE；

②判斷NB4D與NBFE的數量關系，并說明理由；

【模型應用】

(2)如圖②，△4BD和AACE都是等邊三角形，連接4F,求證：F4平分NBFE；

【模型遷移】

(3)在(2)的條件下，若48=24￡=2,求4F的長.

51.(2024.山東臨沂.模擬預測)幾何探究與實踐

⑴【模型認識】如圖1所示，已知在AaBC中，ABAC>90°,分別以4B、AC為直角邊構造等腰直角三角

形2BD和4CE,連接BE、CD,貝UBE與CD的關系是：一；

(2)【初步應用】如圖2所示，連接DE,求證：S四邊形BCED=并產；

(3)【深入研究】在(2)的條件下，試判斷△ABC和AADE的面積有何關系，并加以證明;

（4）【拓廣探索】如圖3,在△力BC中，ABAC=75°,AB=4V2,AC=2,以BC為直角邊構造等腰直角三

角形8CP,且NPBC=90。，連接力P,試直接寫出AP的長度.

□題型13與等腰三角形有關的折疊問題

52.（2024?湖北十堰?一模）如圖，已知AABC中，AB=BC=4,^ABC=90°,F,G分別為邊4B,4C邊上

的點，將A/IFG沿FG折疊，點A的對應點恰好落在的中點。處，貝UCG的長為

53.（2024?山東日照?二模）如圖，在等腰RtAZBC中，AC=BC=2,zC=90°,。為邊AC的中點，E為邊

48上的一個動點，連接DE,將△ABC沿DE折疊，點2的對應點為4.當時，BE的長度為

54.（23-24九年級下?廣東汕頭?階段練習）綜合與實踐：折紙是同學們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們

既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數學知識.折一折：把邊長為6的正△AMD三

角形紙片，其沿直線GH折疊，使點A落在點4處，分別得到圖①、圖②.

填一填，做一做：

（1）圖①中陰影部分的周長為一.

(2)圖①中，若NAGN=80。，貝IJNAHD=_。.

(3)圖①中的相似三角形(包括全等三角形)共有一對；

(4)如圖②，點A落在邊4D上，若祭=2,則需:

55.(2024.河南周口.二模)綜合與實踐

如圖1,在等腰直角三角形4BC中，乙4cB=90。，點。為4B邊上的動點(8。</B).

(1)操作發現

按下列步驟操作：

第一步：將△BCD沿CD折疊，點8落在點G處，CG與4B相交于點O；

第二步：取4。上一點E,連接CE,將AACE沿CE折疊，使點A與點G重合.

根據以上操作，ADCE與NDGE之間的數量關系為；線段DE與BLUE之間的數量關系為

(2)深入探究

如圖2,在(1)的基礎上，過點。作。”|BC交CG于點凡連接EF.試判斷△￡>"的形狀，并說明理由.

(3)問題解決

在(2)的條件下，當4B=12,CF:FG=5:7時，請直接寫出折痕CD的長.

□題型14與等腰三角形有關的動點問題

56.(2024?湖北恩施?模擬預測)如圖1,AZCB和ADCE均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，連接

BE.

p

圖1圖2圖3

(1)填空：乙4EB的度數為；②線段AD,BE之間的數量關系為；

(2)如圖2,AACB和△DCE均為等腰直角三角形，N4CB=NDCE=90。，點A,D,E在同一直線上，CM為

△DCE中。E邊上的高，連接BE,請判斷乙4EB的度數及線段CM,AE,BE之間的數量關系，并說明理由；

(3)如圖3,在AZCB中，乙4cB=90。，AC=BC=6,平面上一動點P到點2的距離為4,將線段CP繞點C

順時針旋轉90。，得到線段CD,連DA,DB,PB,則是否有最大值和最小值？若有，直接寫出，不需要

說明理由.

57.(2024?全國?模擬預測)如圖，在等邊ATIBC中，點。為AC邊上一動點，點E為8C上一點，且滿足4。=CE,

連接4E,BD,當線段CF的長度最小時，應變的值為____.

S"BC

58.(2024?吉林長春.一模)【感知】如圖①，2D是A/IBC的中線，延長4。至點E,使連結BE.由

ED=AD,乙ADC=LEDB,BD=CD,可證△ACD三AEBD.

圖①圖②圖③

【遷移】如圖②，4。是AA8C的中線，點E在邊4C上，連結BE交4。于點/，AE=EF,求證：AC=BF.

下面是小明同學的部分證明過程，請補全余下的證明過程.

證明：延長4。至點M,使DM=FD,連結MC.

【拓展】如圖③，在等邊AABC中，。是射線BC上一動點（點。在點C的右側），連結4D.把線段CD繞點

。逆時針旋轉120。得到線段DE,連結BE,尸是線段BE的中點，連結。尸、AF.若4。=6,貝必尸=.

□題型15與等腰三角形有關的新定義問題

59.（2024?江蘇常州?模擬預測）定義：若兩個三角形中，有兩組邊對應相等且其中一組等邊所對的角對應

相等,但不是全等三角形,我們就稱這兩個三角形為“融通三角形”,相等的邊所對的相等的角稱為“融通角”.

（1）①如圖1,在AABC中，CA=CB,D是4B上任意一點，貝IU4CD與ABCD_"融通三角形”；（填“是”或“不

是“）

②如圖2,AABC與ADEF是“融通三角形"，其中=AC=DF,BC=EF,貝!|乙8+NE=_.

（2）若互為“融通三角形”的兩個三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度數.

（3）如圖3,在四邊形4BCD中，對角線AC=4,/.CAB=30°,zB=105°,ZD+ZB=180°,且△4。。與4

ABC是“融通三角形"，AD>CD,求4。的長.

60.（2024?遼寧大連?模擬預測）點M在四邊形4BCD內，點M和四邊形的一組對邊組成兩個三角形，如果

這兩個三角形都是以對邊為斜邊的等腰直角三角形，那么定義該四邊形48CD為蝴蝶四邊形.例如，如圖1,

在四邊形A8CD中，乙4MB=Z.CMD=90。，M2=MB,MC=M。，則四邊形4BCD為蝴蝶四邊形.

【概念理解】如圖2,正方形2BCD中，對角線AC,BD相交于點M.判斷正方形力BCD是否為蝴蝶四邊

形，說明理由.

【性質探究】如圖3,在蝴蝶四邊形4BCD中，^AMB=ACMD=90°.求證：AC=BD.

【拓展應用】在蝴蝶四邊形ABC。中，UMB=乙CMD=90°,MA=MB=42,MC=MD1,當△4CD是

等腰三角形時，求此時8標的值.

61.（2024?廣東深圳?模擬預測）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長的比叫做頂角的正對（sad）.在

△OMN中，OM=ON,頂角。的正對記作sad/。=?=器.由此可知一個角的大小與這個角的正對也是

相互唯一確定的，所以我們可按上述方式定義的正對，例如，sad60°=l,sad900=V2,請根據材料，完成

以下問題：如圖1,P是線段AB上的一動點（不與點4B重合），點C,D分別是線段4P,BP的中點，以AC,CD,

DB為邊分別在4B的同側作等邊三角形△XCF,ACDF,ADBG,連接PE和PG.

FFF

ACPDBACPDBACPDB

圖1圖2圖3

（1）【閱讀應用】①若等邊三角形4ACEACDFADBG的邊長分別為a,b,c,則a,b,c三者之間的關系為:

②sad/EPG=；

（2）【猜想證明】如圖2,連接猜想sad/EFG的值是多少，并說明理由；

（3）【拓展應用】如圖3,連接EF,EG,若AB=12,EF=2位,則AEPG的周長是多少？此時2P的長為多少？

（直接寫出上述兩個結果）

□題型16與等腰三角形有關的規律探究問題

62.（2022?寧夏銀川?一模）如圖，△。4為等腰直角三角形，。&=1，以斜邊。42為直角邊作等腰內△

OA2A3,再以o4為直角邊作等腰RtAO4a*…，按此規律作下去便得到了一個海螺圖案，則0/的長

度為.（用含”的式子表示）

A.A

4

63.（23-24九年級下?廣東廣州?階段練習）如圖，在直角坐標系中，有一等腰直角三角形0B4^OAB=90°,

直角邊。4在x軸正半軸上，且。4=1,將RtAOBZ繞原點。順時針旋轉90。，同時擴大邊長的1倍，得到

等腰直角三角形。（即4。=22。），同理，將RtAOBMi順時針旋轉90。，同時擴大邊長1倍，得到等

腰直角三角形。&42,依此規律得到等腰直角三角形。々02342023，則點巳023的坐標為()

B2

202320232022202220222022

A.(-22023,22023)B(2,-2)c.(-2,2)D.(2,-2)

64.(2024.山東濟寧.三模)如圖，在平面直角坐標系中，點2在y軸的正半軸上，。4=1,將。4繞點。順時

針旋轉45。到O4,掃過的面積記為Si，A/，交工軸于點力2；將。&繞點。順時針旋轉45。到。力3,掃過

的面積記為52,①①，。4交V軸于點4；將。①繞點。順時針旋轉45。到。冬掃過的面積記為S3；…；按此

65.(2024?四川廣安?模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，所有三角形均為等邊三角形，已知點4式3,0),

4(2,0)，4(4,0),人7(1，0)，4/5,0)，依據圖形所反映的規律，貝以2024的坐標是.

口題型17與等腰三角形有關的多結論問題

66.（2024?吉林長春二模）如圖，點C為線段4B上一點，ADAC、AECB都是等邊三角形，AE.DC交于點M,

DB、EC交于點N,DB、AE交于點P,連結MN,給出下面四個結論：①MNII力B；②NDPM=60。；③乙4EB=90°；

（4）AACM=ADCN.上述結論中，一定正確的是（填所有正確結論的序號）.

67.（2024.黑龍江.二模）如圖，等腰直角三角形28C中，ABAC=90°,力。，8c于D,乙48。的平分線分別

交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，延長4M交BC于點N,連接FN,NE.下列結論：①ZE=AF；②=

BM-BE-,③AAEF是等邊三角形；④BF=AN；⑤四邊形4ENF是菱形，正確結論的序號是（）

A.②④⑤B.①②③④⑤C.①③④D.①②④⑤

68.（2024?北京?模擬預測）如圖，在等腰直角三角形ABC中，乙4=90°,48=4C,點。為斜邊8c上的中點，

點E,F分別在直角邊48,4c上運動（不與端點重合），且保持BE=AF,連接OE,DF,EF.設BE=a,

CF-b,EF-c.在點E,尸的運動過程中，給出下面三個結論：①a+b>c；②a2+b2=c2；③c>

且等號可以取到.上述結論中，所有正確結論的序號是（）

D.①②③

69.（2024?江蘇蘇州?二模）如圖，等邊△ABC的邊長為3,點。在邊力C上，4D=5線段PQ在邊上運動，

PQ=；，有下列結論:①CP與QD可能相等;②△AQD與ABCP可能相似;③四邊形PCDQ面積的最大值為誓;

216

④四邊形PCDQ周長的最小值為3+亨，其中，正確結論的序號為.

口題型18探究等腰三角形中存在的線段數量關系

1.（2024.甘肅蘭州.模擬預測）綜合與實踐

【思考嘗試】（1）如圖1,在RtAABC和RtANDE中，￡＞是8C邊上的一點，ABAC=Z.DAE=90°,AB=

AC,AD=AE,連接CE.用等式寫出線段CD,BD,4D的數量關系，并說明理由;

【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發，思考提出新的問題：如圖2,在AABC中，ZCXB=90°,AB=AC,

E,尸為邊BC上的點，且NR4F=45。.用等式寫出線段EF,BE,CF的數量關系，并說明理由;

【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的問題，發現并提出新的探究點：如圖3,在AABC中，乙BAC為

直角，^ABC=45°,平面內存在一點。，使CD1BD.若AD=4&，CD=2,求AABC的面積.

2.（2024?貴州黔南?模擬預測）已知△ABC,△BDE都是等腰直角三角形，Z.ABC=乙DBE=90°,AB=BC,

BE=BD.

EE

ECG

【問題發現】

(1)如圖1,當點B,C,E在同一條直線上時，AE與CD的數量關系是，位置關系是；

【問題探究】

(2)如圖2,當點4C,E在同一條直線上時，BE,CD交于點、F,若AB=BC=也,BE=BD=3V2,

求9的值；

BF

【拓展延伸】

(3)如圖3,連接CE,AD,G是線段CE的中點，連接BG,求差的值.

AD

3.(2024.山西大同?模擬預測)綜合與實踐：

如圖1,已知點。是等邊三角形AABC邊BC上的一點(不與點3,C重合).

動手操作：

第一步：連接力D,以A為旋轉中心，將線段4D順時針旋轉60。，得到線段力E,連接DE；

第二步：以。為旋轉中心，將線段DC逆時針旋轉120。，得到線段DF,連接BF,交OE于點

特例探究：

(1)如圖2,當點。為BC中點時，點尸恰好在48上，請寫出線段與DM的數量關系，并說明理由；

探索發現：

(2)如圖1,當點。不是BC中點時，請判斷(1)中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成

立，請說明理由；

(3)當BC=6,CD=2時，請直接寫出AM的長.

AA

4.（2024.重慶江津?模擬預測）在等腰Rt△48C中，Z.B=90°,AB=BC,D,E分別為48,BC邊上的動點

（2）如圖2,4C上有一點尸滿足NEDF=45。時，試探究DE與DF的數量關系，并說明理由;

（3）如圖3,連接CD,4E交于點O,當4E+CD取最小值時，直接寫出幺蝮的值.

S^ABC

重難創新練

1.（2024?江蘇南通?中考真題）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動.

【特例探究】

C1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積.

圖①圖②圖③

等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表

圖序角平分線力。的長NB4D的度數腰長兩腰之和兩腰之積

圖①160°244

圖②145°V22V22

圖③130°———

請補全表格中數據，并完成以下猜想.

已知△ABC的角平分線2D=1,AB=AC,ABAD=a,用含a的等式寫出兩腰之和2B+AC與兩腰之積AB?

AC之間的數量關系：.

【變式思考】

（2）已知AABC的角平分線4D=1,ABAC=60°,用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積4B?AC之間

的數量關系，并證明.

【拓展運用】

（3）如圖④，△ABC中，48=AC=1,點。在邊AC上，BD=BC=AD.以點C為圓心，CD長為半徑作

弧與線段BD相交于點E,過點E作任意直線與邊48,BC分別交于M,N兩點.請補全圖形，并分析乙+士

BMBN

的值是否變化？

圖④

2.（2024?江蘇南通?中考真題）在△ABC中，NB=NC=a（0。<a<45。），AH1BC,垂足為X,。是線段

HC上的動點（不與點H,C重合），將線段。“繞點。順時針旋轉2a得到線段DE.兩位同學經過深入研究,

小明發現:當點E落在邊北上時,點D為HC的中點;小麗發現:連接2E,當4E的長最小時,Z//2=4B.4E.請

對兩位同學的發現作出評判（）

A.小明正確，小麗錯誤B.小明錯誤，小麗正確

C.小明、小麗都正確D.小明、小麗都錯誤

4.（2024?山東濟南?中考真題）如圖1,△ABC是等邊三角形，點。在邊力B上，BD=2,動點P以每秒1個

單位長度的速度從點B出發，沿折線BC-C4勻速運動，到達點力后停止，連接DP.設點P的運動時間為t（s）,

DP2為y.當動點P沿BC勻速運動到點C時，y與t的函數圖象如圖2所示.有以下四個結論：

①=3；

②當t=5時，y=1；

③當4<t<6時，1W3；

④動點P沿BC-C4勻速運動時，兩個時刻t2?i<t2）分別對應和%，若匕+t2=6,則%>y2.其中

正確結論的序號是（）

A.①②③B.①②C.③④D.①②④

4.（2024?山東東營?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線，的表達式為y=%,點4的坐標為（夜,0）,

以。為圓心，。必為半徑畫弧，交直線I于點叢,過點當作直線［的垂線交x軸于點出；以。為圓心，。必為半

徑畫弧，交直線1于點殳，過點殳作直線，的垂線交x軸于點&；以。為圓心，。區為半徑畫弧，交直線/于點/，

過點名作直線［的垂線交X軸于點心；……按照這樣的規律進行下去，點4