1.3等式的性質（二）和解方程

01學習目標

學習重難點學習目標

1、根據天平平衡的原理，通過觀察、分析、抽象、概括，初

1、重點:理解等式的性質（-）,并根

步理解等式的性質（-）o

據等式的性質（二）解簡單的方程。

2、利用等式的性質（二），會解只含有乘、除法運算的方程，

2、難點：掌握解方程的方法。養成自覺檢驗的習慣

02思維導圖

等式的性質（二）

和解方程

知識點一等式的性質（二）

1、等式兩邊同時乘或除以同一個不是0的數，所得結果仍然是等式。即：若a=b,則ac=bc

或a4-c=b-re（c=A0）o

知識點二利用等式的性質（二）解方程

1、解形如的方程，可根據等式的性質（二），在方程的兩邊同時除以或

乘“，使方程左邊只剩未知數，這時方程右邊的數b+a或bxa就是x的值。

04題型精講

題型一等式的性質（二）的運用

1.考考你。

亮亮買了2本筆記本和4支鉛筆，紅紅買了14支同樣的鉛筆，兩人用去的錢同樣多。一本筆

記本的價錢等于（）支鉛筆的價錢。

【分析】根據題意可知，2本筆記本的價錢+4支鉛筆的價錢=14支鉛筆的價錢，根據等式的

性質1,等式兩邊同時減去4支鉛筆的價錢，再根據等式的性質2,等式兩邊同時除以2,即

可求出一本筆記本的價錢等于幾支鉛筆的價錢。

【解答】2本筆記本的價錢+4支鉛筆的價錢=14支鉛筆的價錢

2本筆記本的價錢+4只鉛筆的價錢一4支鉛筆的價錢=14支鉛筆的價錢一4支鉛筆的價錢

2本筆記本的價錢=10支鉛筆的價錢

2本筆記本的價錢+2=10支鉛筆的價錢+2

1本筆記本的價錢=5支鉛筆的價錢。

亮亮買了2本筆記本和4支鉛筆，紅紅買了14支同樣的鉛筆，兩人用去的錢同樣多。一本筆

記本的價錢等于5支鉛筆的價錢。

2.陽光體育用品商店有一個三層的球架，每層擺放的球總價相等，相同的球單價相同。從圖

中可以看出：

「笑多"「

?

⑴一個七的價格=（）個令的價格。

（2）一個矢?的價格=（）個②的價格。

【分析】（1）從圖中可知，第一層球架上有6個多，第二層球架上有2個多和2個助；

因為每層擺放的球總價相等，那么6個多的價格=2個多的價格+2個0的價格，運用

等式的性質得出@的價格和多的價格的關系。

（2）從圖中可知，第三層球架上有1個■、1個冬和1個?,根據上一題的答案，用2

個冬替換掉1個?，根據第三層球架上球的價格=第一層球架上球的價格，據此得出等式,

再運用等式的性質得出一個?的價格相當于幾個冬的價格。

等式的性質1:等式的兩邊同時加上或減去同一個數，左右兩邊仍然相等。

等式的性質2：等式的兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，左右兩邊仍然相等。

【解答】(1)6個多的價格=2個型的價格+2個⑦的價格

等式兩邊同時減去2個多的價格，得：4個型的價格=2個0的價格；

等式兩邊同時除以2,得：2個多的價格=1個Q的價格；

所以，一個0的價格=2個多的價格。

(2)1個g■的價格+1個冬的價格+1個②的價格=6個多的價格

把“一個0的價格=2個多的價格”代入式子中，得：

1個g的價格+1個多的價格+2個今的價格=6個多的價格

即1個?的價格+3個多的價格=6個袋的價格

等式兩邊同時減去3個呈的價格，得：1個殳的價格=3個多的價格；

所以，一個嶺的價格=3個袋的價錢。

3.在下面的括號里填上適當的符號和數，使天平平衡。

x300x+125300()4x300()

~__7~__7-，

AZKS

【分析】因為天平保持平衡，從第一個可得x=300。第二個、第三個建立等式，把缺的補充

完整，使等式成立。

【解答】x=300

x+125=300(+125)

4x=300(X4)

4.圖中的天平都處于平衡狀態，貝lj4O=()Wo

、AA，

【分析】觀察左邊圖可知，2O=3A,根據等式的性質2,方程兩邊同時乘或除以一個不為0

的數，等式不變；兩邊同時乘2；2X2O=3X2A,即4O=6Zk；

右邊圖可知，2A=3n,根據等式的性質2,等式兩邊同時乘3；2X3A=3X3O,即6Z\=9

□,據此解答。

【解答】2O=3A

2X2O=3X2A

4O=6A

2A=3O

2X3A=3X3Q

6A=9O

4。=9口

圖中的天平都處于平衡狀態，則40=9口。

xOOzAAAzxAAzEH,

tAA/\=A/

題型二運用等式的性質（二）列方程解決問題

5.奇思和妙想共有72張郵票，奇思的郵票張數是妙想的3倍，奇思有（）張郵票,

妙想有（）張郵票。

【分析】奇思的郵票張數是妙想的3倍，將妙想的郵票張數設為x張，奇思的郵票張數是3%張，

根據數量關系：妙想的郵票張數十奇思的郵票張數=72,列出方程求解即可。

【解答】解：設妙想的郵票張數為x張，奇思的郵票張數是3x張。

X+3x=72

4%=72

4X4-4=72+4

x=18

18X3=54（張）

奇思有54張郵票，妙想有18張郵票。

6.解方程。

xyuxyLxj[j

438元

3x=438

解：3x+()=438-r()

x=()

【分析】先根據等式的基本性質2給方程的左右兩邊同時除以3,再進一步計算即可得到x的

值。

【解答】3x=438

解:3x4-3=4384-3

x=146

7.小剛和小強同時從同一點出發，沿著400米環形跑道向相反方向慢跑，小剛每分鐘跑95

米，小強每分鐘跑105米。幾分鐘后兩人第一次相遇？

【分析】根據相遇問題的公式可得出等量關系：(小剛的速度+小強的速度)X相遇時間=路

程，據此列出方程，并求解。

【解答】解：設x分鐘后兩人第一次相遇。

(95+105)尤=400

200%=400

200元:200=400?200

x=2

答：2分鐘后兩人第一次相遇。

8.媽媽從網上購買了3瓶防曬噴霧，除了購買防曬噴霧的錢，還需要再付6元運費，一共付

款192元。平均每瓶防曬噴霧多少元？(用方程解答)

|促銷組合裝|

【分析】設平均每瓶防曬噴霧x元。依據等量關系式：平均每瓶防曬噴霧的單價X瓶數=共支

付的錢數一運費，據此列方程，解方程。

【解答】解：設平均每瓶防曬噴霧x元。

3x=192-6

3x=186

3x-r3=186-r3

x=62

答：平均每瓶防霧62元。

05強化訓練

一'選擇題

1.如圖，可以看出在解方程時運用了(）o

［妙］2000

rr~i

2000

y5oo

j11a

4y=2000

解：4y4-4=20004-4

y=500

A.商不變的規律B.等式的性質C.乘數=積+另一個乘數

2.已知5a=86,根據等式的性質，下列等式不成立的是()。

A.lOOtz=160Z?B.9a=12bC,5a+12b=20bD.3a=8b—2a

3.x=1.1是（）的解。

A.x+0.1=1B.xX3=3.3C.0.9—x=0.3

4.為創建全國文明城市，學校開展“我是文明使者，爭當最美少年”實踐活動。四、五年級

學生共有240人報名參加文明交通志愿者行動，其中五年級報名人數是四年級的2倍，五年級

有()人報名參加文明交通志愿者行動。

A.80B.200C.100D.160

5.一個梯形的面積是48cm1上底5cm,下底7cm,高是多少厘米？設高x厘米，可列方程

()O

A.5X7Xx=48B.(5+7)x=48C.(5+7)x=48+2D.(5+7)x4-2=48

二'填空題

6.考考你。

亮亮買了2本筆記本和4支鉛筆，紅紅買了14支同樣的鉛筆，兩人用去的錢同樣多。一本筆

記本的價錢等于()支鉛筆的價錢。

7.唐代的“一尺”相當于現在的a米。浪漫主義詩人李白詩句中“飛流直下三千尺”的“三

千尺”相當于現在的（）米。如果“一千尺”約為現在的333米，那么a約代表

（）米。

8.解方程。

438元

3x=438

解：3x+（）=4384-（）

x=（）

9.A,B兩地相距720千米，甲、乙兩車同時從A地開往B地。甲車每小時行100千米，乙車

每小時行80千米。甲車到達B地后立即返回。兩車從出發到相遇共行了（）小時。

10.某校新買來的白粉筆比彩粉筆多180盒，白粉筆的盒數是彩粉筆盒數的4倍，該校新買來

的白粉筆有多少盒？解：設該校新買來的彩粉筆有x盒，可列方程：（）,解得；x=

（）,則該校新買來的白粉筆有（）盒。

三'計算題

11.解方程。

9x=72x4-21=312x=156

四'解答題

12.王叔叔用籬笆圍了等邊三角形的花圃，邊長是20米；后來改圍成正方形花圃，周長不變,

正方形花圃的邊長是多少米？（用方程解答）

13.籠子里有白兔、灰兔若干只。白兔的只數是灰兔的4倍，灰兔比白兔少18只，白兔、灰

兔各多少只？（請先畫出線段圖，寫出等量關系，再用方程解答）

14.快遞公司新增了無人機送快遞業務。已知一架無人機一周（7天）共送快遞1015份，平

均每天送快遞多少份？（列方程解答）

15.甲地與乙地之間的鐵路長568千米。兩列火車分別從甲、乙兩地同時相對開出。從甲地開

出的火車，每小時行駛77千米；從乙地開出的火車，每小時行駛65千米。經過幾小時兩列火

車相遇？

參考答案

1.【分析】由第1幅圖可知，4y=2000；第2幅圖，4y相當于4個y,2000相當于4個500；

第3幅圖，方程兩邊同時除以4,則得出y=500。在解方程時運用了等式的性質2：等式的兩

邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，左右兩邊仍然相等。

【解答】4y=2000

解：4y4-4=20004-4

y=500

可以看出在解方程時運用了等式的性質。

故答案為：B

2.【分析】等式的性質：（1）等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果還是等式；（2）

等式兩邊同時乘以或除以同一個不為0點數，所得結果還是等式。

【解答】A.根據等式的性質2,5a=86的兩邊同時X20,可得1004=1606；

B.根據等式的性質，5a=86無法得到9a=12萬；

C.根據等式的性質1,5a=86的兩邊同時+126,可得5a+l%=206；

D.根據等式的性質1,5a=86的兩邊同時一2a,可得3a=86-2a。

已知5〃=86,根據等式的性質，等式不成立的是9〃=126。

故答案為：B

3.【分析】A.根據等式的性質1,兩邊同時一0.1,即可求出方程的解；

B.根據等式的性質2,兩邊同時+3,即可求出方程的解；

C.根據等式的性質1,兩邊同時+x,再同時一0.3,即可求出方程的解。

【解答】A.x+0.1=1

解：x+0.1-0.1=1-0.1

x=0.9

B.xX3=3.3

解：xX3~r3=3.3~r3

x=1.1

C.0.9-x=0.3

解：0.9—x+x=0.3+x

0.3+x=0.9

0.3+x-0,3=0.9-0.3

x=0.6

x=1.1是xX3=3.3的解。

故答案為：B

4.【分析】將四年級報名的人數設為x人，那么五年級有2x人報名。根據“四年級報名人數

十五年級報名人數=240人”這一等量關系，列方程解方程即可。

【解答】解：設四年級有x人報名。

x+2x=240

3x=240

x=2404-3

x=80

80X2=160（人）

所以，五年級有160人報名參加文明交通志愿者行動。

故答案為：D

【點評】本題考查了簡易方程的應用，根據題意找出數量關系是解題的關鍵。

5.【分析】根據梯形面積公式：梯形面積=（上底+下底）X高+2,設高為x厘米，將數據

代入列方程即可。

【解答】由分析可得：

解：根據題意設高x厘米，可列方程：

（5+7）Xx4-2=48

即為：（5+7）x4-2=48

12x4-2X2=48X2

12x=96

12x4-12=964-12

x=8

故答案為：D

【點評】本題考查了簡單的列方程解應用題，關鍵是找準等量關系，根據題中已知條件寫出等

量關系式即可，注意字母與數字相乘時要簡寫，省略乘號，把數字放在字母的前面。

6.【分析】根據題意可知，2本筆記本的價錢+4支鉛筆的價錢=14支鉛筆的價錢，根據等

式的性質1,等式兩邊同時減去4支鉛筆的價錢，再根據等式的性質2,等式兩邊同時除以2,

即可求出一本筆記本的價錢等于幾支鉛筆的價錢。

【解答】2本筆記本的價錢+4支鉛筆的價錢=14支鉛筆的價錢

2本筆記本的價錢+4只鉛筆的價錢一4支鉛筆的價錢=14支鉛筆的價錢一4支鉛筆的價錢

2本筆記本的價錢=10支鉛筆的價錢

2本筆記本的價錢+2=10支鉛筆的價錢+2

1本筆記本的價錢=5支鉛筆的價錢。

亮亮買了2本筆記本和4支鉛筆，紅紅買了14支同樣的鉛筆，兩人用去的錢同樣多。一本筆

記本的價錢等于5支鉛筆的價錢。

7.【分析】根據題意，一尺=a米，三千尺=3000X一尺，即三千尺=(3000Xa)米；

一千尺=(WOOXa)米，一千尺=333米，即1000Xa=333,解方程即可求出a。

【解答】一尺=2米，三千尺=3000義一尺，即三千尺=(3000a)米；

1000Xa=333

解：1000Xa4-1000=3334-1000

a=0.333

即“三千尺，，相當于現在的(3000a)米。如果“一千尺”約為現在的333米，那么a約代表

0.333米。

8.【分析】先根據等式的基本性質2給方程的左右兩邊同時除以3,再進一步計算即可得到x

的值。

【解答】3x=438

解:3x4-3=4384-3

x=146

甲-----------------------------------------

9.［分析］乙I------------------------------------<

AB

根據題意作圖可知：甲乙相遇時，兩車所行的路程之和是720X2=1440千米。設兩車從出發

到相遇共行了x小時，則相遇時，甲車行了100x千米，乙車行了80x千米。根據甲路程+乙

路程=1440千米，列方程并求出x的值，即可求出兩車從出發到相遇共行了多少小時。據此解

答。

【解答】解：設兩車從出發到相遇共行了X小時。

100^+80^=720X2

180^=1440

180^4-180=14404-180

x=8

兩車從出發到相遇共行了8小時。

10.【分析】設學校新買來的彩粉筆有云盒，根據白粉筆的盒數是彩粉筆盒數的4倍，則白粉

筆的盒數是以；由于新買來的白粉筆比彩粉筆多180盒，找出等量關系：白粉筆的盒數一彩

粉筆的盒數=180,據此列出方程，再根據等式的性質解方程即可。

【解答】解：設該校新買來的彩粉筆有x盒，則白粉筆的盒數是4x。

4x-x=180

3%=180

3x+3=18O+3

x=60

60X4=240（盒）

因此設該校新買來的彩粉筆有x盒，可列方程：4x-x=180,解得x=60,則該校新買來的白粉

筆有240盒。

11.【分析】（1）根據等式的性質2：等式的左右兩邊同時乘（或除以）同一個不為0的數，

等式仍然成立，等式兩邊同時除以9,計算即可得解。

（2）根據等式的性質2：等式的左右兩邊同時乘（或除以）同一個不為0的數，等式仍然成

立，等式兩邊同時乘21,計算即可得解。

（3）根據等式的性質2：等式的左右兩邊同時乘（或除以）同一個不為0的數，等式仍然成

立，等式兩邊同時除以12,計算即可得解。

【解答】解:9x4-9=724-9

x=8

x4-21=3

解：x-?21X21=3X21

x=63

12x=156

解