PAGE1-[課時作業12]用樣本的數字特征估計總體的數字特征[基礎鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．某學習小組在一次數學測驗中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，則該小組數學成果的平均數、眾數、中位數分別為()A．85,85,85B．87,85,86C．87,85,85D．87,85,90解析：平均數為：eq\f(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75,10)＝87(分)，眾數為85，中位數為85.答案：C2．樣本中共有5個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本的方差為()A．－1B．0C．1D．2解析：由題意得eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，所以a＝－1.所以樣本的方差s2＝eq\f(－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－12,5)＝2.答案：D3．已知一組數據按從小到大的依次排列為－8，－1,4，x,10,13，且這組數的中位數是7，那么這組數據的眾數是()A．7B．6C．4D．10解析：由題意，得eq\f(1,2)(x＋4)＝7，解得x＝10，所以這組數據的眾數是10.答案：D4．假如數據x1，x2，…，xn的平均數是eq\o(x,\s\up6(－))，方差是s2，則3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均數和方差分別是()A.eq\o(x,\s\up6(－))和s2B．3eq\o(x,\s\up6(－))和9s2C．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2和9s2D．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2和12s2＋4解析：3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均數是3eq\o(x,\s\up6(－))＋2，由于數據x1，x2，…，xn的方差為s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差為9s2.答案：C5．某班有48名學生，在一次考試中統計出平均分為70分，方差為75，后來發覺有2名同學的分數登錯了，甲實得80分，卻記了50分，乙得70分卻記了100分，更正后平均分和方差分別是()A．70,75B．70,50C．75,1.04D．65,2.35解析：因甲少記了30分，乙多記了30分，故平均分不變，設更正后的方差為s2，則由題意可得：s2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有：75＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化簡整理得s2＝50.答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)6．某校從參與高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其成果(均為整數)分成六段[40,50)，[50,60)，…[90,100]后畫出如下頻率分布直方圖．估計這次考試的平均分為________．解析：利用組中值估算抽樣學生的平均分．45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，平均分是71分．答案：71分7.如圖是某市歌手大獎賽七位評委為某位選手打分的莖葉圖，若去掉一個最高分和一個最低分，則剩余分數的方差為________．解析：由莖葉圖知去掉一個最高分和一個最低分以后，該選手的得分是84,84,84,86,87，∴該選手的平均分是eq\f(84＋84＋84＋86＋87,5)＝85，∴該選手的成果的方差是eq\f(1,5)(1＋1＋1＋1＋4)＝eq\f(8,5).答案：eq\f(8,5)8．在相同條件下對自行車運動員甲、乙兩人進行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s)的數據如下：甲273830373531乙332938342836選________(填甲或乙)參與某項重大競賽更合適．解析：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,6)(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝eq\f(47,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝eq\f(38,3).∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，∴甲、乙二人的成果相當，但乙的成果比甲穩定，∴應選乙參與競賽更合適．答案：乙三、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖是甲、乙兩人在一次射擊競賽中中靶的狀況(擊中靶中心的圓面為10環，靶中各數字表示該數字所在圓環被擊中所得的環數)，每人射擊了6次．(1)請用列表法將甲、乙兩人的射擊成果統計出來．(2)請你用學過的統計學問，對甲、乙兩人這次的射擊狀況進行比較．解析：(1)列表如下：環數678910甲命中次數222乙命中次數132(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝9環，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝9環，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(2,3)，seq\o\al(2,乙)＝1.因為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲與乙的平均成果相同，但甲發揮比乙穩定．10．為了了解高一學生的體能狀況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2:4:17:15:9:3，其次小組的頻數為12.(1)其次小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數在110以上(含110次)為達標，試估計該學校全體高一學生的達標率是多少？(3)在這次測試中，估計學生跳繩次數的眾數、中位數和平均數．解析：(1)∵各小長方形面積之比為2:4:17:15:9:3，∴其次小組的頻率是eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.∵其次小組的頻數為12，∴樣本容量是eq\f(12,0.08)＝150.(2)易知，第一小組的頻率是eq\f(2,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.04，∴次數在110以上(含110次)的頻率為1－0.04－0.08＝0.88，∴估計該學校全體高一學生的達標率是88%.(3)依據頻率分布直方圖得，眾數是eq\f(110＋120,2)＝115.易知第三、四小組的頻率分別為0.34,0.30.0．04＋0.08＋0.34＝0.46<0.5，0．04＋0.08＋0.34＋0.30＝0.76>0.5.∴中位數在第四小組，且中位數為120＋eq\f(0.5－0.46,0.3)×10≈121.易知第五、六小組的頻率分別為0.18,0.06，∴平均數eq\o(x,\s\up6(－))＝95×0.04＋105×0.08＋115×0.34＋125×0.30＋135×0.18＋145×0.06＝121.8.[實力提升](20分鐘，40分)11.如圖是甲、乙兩位學生在高一至高二的七次重大考試中，數學學科的考試成果(單位：分)的莖葉圖，若8，x,6的平均數是x，乙的眾數是81，設甲7次數學成果的中位數是a，則eq\f(a,y)的值為()A.eq\f(85,6)B.eq\f(87,6)C．85D．87解析：若8，x,6的平均數是x，乙的眾數是81，則x＝7，y＝1，所以甲的數據是：78,79,80,85,87,92,96，所以甲的中位數a＝85，所以eq\f(a,y)的值為85.答案：C12．某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數據的平均數為10，方差為2，則x2＋y2＝________.解析：由平均數為10，得(x＋y＋10＋11＋9)×eq\f(1,5)＝10，則x＋y＝20；又由于方差為2，則[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×eq\f(1,5)＝2，整理得x2＋y2－20(x＋y)＝－192.則x2＋y2＝20(x＋y)－192＝20×20－192＝208.答案：20813．對某校高三年級學生參與社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參與社區服務的次數，依據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖如圖所示．分組頻數頻率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合計M1(1)求出表中M，p及圖中a的值．(2)若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參與社區服務的次數在區間[10,15)內的人數．解析：(1)由分組[10,15)內的頻數是10，頻率是0.25，知eq\f(10,M)＝0.25，所以M＝40.因為頻數之和為40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4，p＝eq\f(m,M)＝eq\f(4,40)＝0.10.因為a是對應分組[15,20)的頻率與組距的商，所以a＝eq\f(24,40×5)＝0.12.(2)因為該校高三學生有240人，分組在[10,15)內的頻率是0.25，所以估計該校高三學生參與社區服務的次數在此區間內的人數為60.14．某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數和中位數；(3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)的三組用戶中，用分層抽樣的方法抽取10戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶？解析：(1)由直方圖的性質，可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1，解得x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.(2)月平均用電量的眾數是eq\f(220＋240,2)＝230.因為(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數在[220,240)內，設中位數為a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0