重難點專題07比較大小六大方法匯總

dan

題型1臨界值法比較大小.............................................................1

題型2利用函數性質比較大小........................................................4

題型3構造差與商比較大小...........................................................7

題型4構造函數比較大小............................................................11

題型5放縮法比較大小..............................................................16

題型6導數法.......................................................................20

題型1臨界值法比較大小

【例題1】(2023?全國?高三專題練習)已知a=log22.8,b=log0.82.8,。=2-。-8試比較a,

b,c的大小為()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】根據對數函數和指數函數的單調性將a、b、c與0、1相比較，即可得到結論.

【詳解】=log22.8>log22=1,

/)=logo,82.8<log0,8l=：0,

0<c=2-°-8<2°=l,

:.b<c<a.

故選：B.

【變式1-111.（2021?全國?高三專題練習）已知a=log0,53,b=0.5-3,c=3用試比較

a,b,c的大小為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】根據對數函數和指數函數的單調性將a、b、c與0、1相比較，即可得到結論.

【詳解】解：,?,a=logo.53=-log23<0,

Z）=O.5-3=23>2O=1,

1o

0<c=3-0-5=gy<Q）=],

:.a<c<bt

故選：B.

3

【變式1-1】2.（2022?全國?高三專題練習）B^a=log0,33,b=（|）~,c=4-i,則下列

大小比較正確的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】由對數函數及指數函數的單調性可得a,b,c的范圍，進而比較出它們的大小關

系.

【詳解】因為a=logo,33<logo.31=。，即a<0,

c=4-1=^e（o,i）,

公（|尸=針>0°=1，即b>1，

所以可得：a<c<b,

故選：C.

【變式1-1】3.（2022?山西太原?統考一模）比較大小：a=log3或，b=e01,c=e嗚

（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【答案】A

【分析】由對數函數的性質可知a=log3V2<I，由指數函數的性質可求出匕>1,c=l，進

而可判斷三者的大小關系.

【詳解】解：因為魚<遮，所以a=log3V^<（,b=e01>e°=1,c=eln2=e-ln2=2-1=

i

2,

則b>c>a,

故選:A.

【點睛】本題考查了指數、對數式的大小比較.若兩式的底數相同，常結合指數函數的單調

性比較大小，若兩式的指數相等，則常結合圖像比較大小；有時也進行整理通過中間值比較

大小.

【變式1-1】4.（2021?福建泉州?福建省德化第一中學校考三模）比較下列幾個數的大小：

030001

a=（|）',b=log2|,c=5,則有（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】首先讓a力,c和0或1比較大小，然后再判斷a力,c的大小.

0.31

G(0,1),b=Iog-<0,c=50001>1

?2

c>a>b.

故選D

【點睛】本題考查指對數比較大小，意在考查轉化與計算，屬于簡單題型.

題型2利用函數性質比較大小

型重點

比較指對幕形式的數的大小關系，常用方法：

(1)利用指數函數的單調性：y=a、，當a>l時，函數遞增；當o<a<l時，函數遞減；

(2)利用對數函數的單調性：y=Iogax,當a>1時，函數遞增；當。<a<1時，函數遞減;

【例題2】(2022?重慶?校聯考模擬預測)下列各式比較大小正確的是()

A.1.725>1.73B.0.6T>0.62c.O.801>1.201D.1.703<0.931

【答案】B

【分析】根據指數函數的單調性可判斷AB,再由幕函數單調性判斷C,借助1判斷D.

【詳解】A中，,.函數y=可在R上是增函數，2.5<3,.-.1.72-5<1.73,故錯誤；

B中，?3=0.6，在R上是減函數，-1<2,.?O6T>0.62,故正確；

C中，-/y="。1在(0,+8)上是增函數,O.801<1.2。1.故錯誤;

D中，■.-1.70-3>1,0<0.931<1,.?.1.7°-3>0.931,故錯誤.

故選：B

【變式2-1】1.已知2021。=2022,2022b=2021,c=ln2,則()

A.logac>logfecB.logca>logcb

C.ac<bcD.ca<cb

【答案】D

【分析】比較。、久c的大小關系，利用指數函數和對數函數的單調性可判斷各選項的正誤.

【詳解】；a=l°g20212022>Iog20212021=1,0=log20221<b—log20222021<log2022

2022=1,

0=Ini<c—ln2<Ine=1,即0<c<l,

所以，logac<logal=0,loghc>log6l=0,則log/<logbC,即A錯誤；

a>b,0<c<1,所以，logcaVlogW,ac>bc,ca<cb,即BC都錯誤，D正確.

故選：D.

【變式2-1】2.(2022春?天津北辰?高三天津市第四十七中學校考開學考試)定義在R上的

函數7'0)=sin久+2x,若a"?),b=/(lnV2),c=f(￡)，則比較a,b,c的大小關系為

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】由對數函數性質得|1,lnVIe珀1勺大小，由導數確定函數的單調性，然后由單調性比較

大小.

【詳解】由對數函數性質知ln&<ln^=1,屋>1,

11

所以111應<5<甌

尸(x)=cosx+2>0恒成立，/(X)在R上是增函數，所以6<a<c.

故選：C.

【變式2-1]3.(2023?全國?高三專題練習)若函數y=f(x)是R上的奇函數，又y=/(%+1)

為偶函數，且-時,，(々)—八巧)](冷—問)>0,比較f(2017),/(2018),

f(2019)的大小為()

A./(2017)<f(2018)</(2019)B./(2018)<f(2017)</(2019)

C./(2018)</(2019)<f(2017)D./(2019)<f(2018)<f(2017)

【答案】D

【分析】由題意可知，函數y=fO)的周期T=4,再由當—1W%i<X2W1時，

[/(%2)-/(xi)](%2-%1)>。可知函數y=/X)在[—L1]上為增函數，然后計算比較即可.

【詳解】???函數y=f(%)是R上的奇函數，又y=+1)為偶函數，

???/■(-%)=-/(%),/(-%+l)=f(x+1),

???/(%)=f(x+4),即函數y=/'(%)的周期r=4,

,-1一1W久1<Qw1時,X2—Xi>0,[f(%2)—f(xl)](x2—xl)>0>

???f(%2)-f⑸)>0即f。2)>/(%1),函數y=f(x)在[—1,1]上為增函數，

/(2017)=/(I+4X504)=/(I),f(2018)=f(2+4x504)=f(2)=f(0),

/(2019)=/(-1+4X505)=/(-1),

???f(2019)<f(2018)</(2017).

故選：D.

【點睛】本題考查函數性質的綜合應用，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于常考題.

【變式2-1】4.(2023?安徽亳州?高三校考階段練習)我們比較熟悉的網絡新詞，有

"yyds"、"內卷"、"躺平"等,定義方程/⑶=尸⑶的實數根x叫做函數八%)的"躺平

點”.若函數g(x)=e*r,/i(x)=In%,火乂)=2023x+2023的“躺平點”分別為a,b,

C,則a,b,c的大小關系為()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】根據"躺平點"新定義，可解得a=l,c=O,利用零點存在定理可得6e(Le),即可

得出結論.

【詳解】根據“躺平點”定義可得g(a)=g'(a),又g'(x)=e-1；

所以e"—。=e°—1/解得。=1；

同理/T(x)=§,gpinfe=I；

令TH(X)=lnx-：,則nT(x)=5++>0,即巾(久)為(0,+8)上的單調遞增函數，

1

又小(1)=一1<0,m(e)=1-->0,所以TM(X)在(l,e)有唯一零點，即be(l,e)；

易知"0)=2023,即9(c)=2023c+2023=d(c)=2023,解得c=0；

因此可得6>a>c.

故選：B

題型3構造差與商比較大小

駟』1重點

(1)作差法：作差與0作比較；

(2)作商法：作商與1作比較(注意正負)；

【例題3】(2022?全國?高三專題練習)若x,y,z是正實數，滿足2x=3y=5z,試比較

3x,4y,6z大小()

A.3x>4y>6zB.3x>6z>4y

C.4y>6z>3xD.6z>4y>3x

【答案】B

【解析】令2,=3〉=5z=t,則t>1,久=修，y=魯，z=魯，利用作差法能求出結果.

【詳解】V、z均為正數，且*=3y=5Z,

令2工=3》=52="則t>l,

故久=log2t=假，y=log3t=魯，z=log5t=居，

；.3x—6z=3境—魯)=強設;且產)>0,即3x>6z;

6z_4y=2囂一?=^1^>0,即6z>4y,

即3x>6z>4y成立，

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：

(1)將指數式轉化為對數式；

(2)利用作差法比較大小.

【變式3-1】1.已知正數x,y,z滿足:dny=yez=zx,則x,y,z的大小關系為()

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不對

【答案】A

【分析】將z看成常數，然后根據題意表示出x,y,再作差比較出大小即可

【詳解】解：由xlny=yez=zx,得xlny=zx,則z=lny,彳導y=eZ,

所以ez，ez=zx,所以x=

令f(z)=ez—z(z>0),則尸(z)=ez—1>0,

所以函婁好(z)在(0,+8)上單調遞增，所以f(z)>/(0)=e°-0=1,

所以ez>z,即y>z

所以x_y=§_ez=^￡：=^^>o,

所以尤〉y,

綜上％>y>z,

故選：A

2

e

【變式3-1】2.(2023?全國?模擬預測)已知a=2e〃，b=e,c=&，試比較a,b,c

的大小關系為()

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】先利用Inx常見的不等式，估計出ln2的范圍，精確估計出1.73(訴<1.8,然后利

用作商法比較大小.

【詳解】先證明兩個不等式：

(1)21nx<%—|(x>1),設/(%)=21n%—%+:(％>1),貝！］

f(x)=|-l-i=-(|-l)2<0(%>l),即f⑺在(L+8)上單調遞減，故

/(X)<f(1)=0,即21nx<%—|(x>1)成立

(2)lnx>筆熱x>l),設g(x)=ln;?筆小(x>l),則

9'(乃=5一品=意號>。(乂>1),即9。)在(L+8)上單調遞增，故

9(￡)>9(1)=0,即Inx>翠渣(％>1)成立

再說明一個基本事實，顯然3<n<3.24,于是1.73(遮〈訴<1.8.

由(1)可得?取X=2,可得21n2Vl.5=ln2Vo.75Qe°75>2;

由(2)可得，取x=2,可得ln2>g,再取x=g,可得其>齊0.27,即e。"<>

3

4,

"盤年>1，顯然"°，于是6>a；

￡=蠱=咚西<Q^<e2-而-。-27=eL73-而<e0=i,顯然a>0,于是c<a.故

a2e標21n24=c'_u_八、、'」y"

b>a>c.

故選：B

-1

【變式3-1】3.若0<6<a<-,x=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb，貝!J()

A.x<z<yB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

【答案】A

【分析】利用作差法，結合指數函數的圖像與性質可得結果.

ah

【詳解】?:x=Q+be》,y=b+ae,z=b+aet

:.y—z=a(^ea—eb>)

又a>b>0,e>l,:.ea>eb

.,.y>z

z—%=(b—a)+(a—》)於=(a—b)(於_1),

又a>b>0,eb>l

:.z>x

綜上：x<z<y

故選：A

【變式3-1】4.(2023?貴州貴陽校聯考三模)已知正實數a,6,c分別滿足。2=口b=\n2,

c=簧，其中e是自然常數，貝M力,c的大小關系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【分析】利用作商法可比較出a,c大小關系；可構造函數;■⑶=器，將a力和hc大小關系的比

較轉化為f(2)/(e)和汽e2)/(8)大小的比較，利用導數可求得打切單調性，從而比較出大小

關系.

【詳解】由導:。=焉4=*居=竽

e>Q)=又c>0,

人cInxL.IZ,—--Inx?——2—lnx

令/(X)=/，則尸(x)=旦一=豆豆，

.?.當Xe(0電2)時,f(%)>0；當xeg2,+8)時,f(%)<0；

???f(%)在(0,e2)上單調遞增，在(e2,+8)上單調遞減；

???/(e)>/(2),即惜=親>器，,奈>也2,即a>b;

且左2)>/(8),即詈=：>翳=翳，二m2(嚕即b<c;

綜上所述：a>c>b.

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查構造函數，利用函數單調性比較大小的問題；解題關鍵是能

夠根據所給數字的特征，將問題轉化為名好=方的不同函數值的比較問題，從而利用導數

求得函數單調性，根據單調性得到大小關系.

題型4構造函數比較大小

【例題4】(2023?全國?高三專題練習)下列大小比較中，錯誤的是()

e3e3e71en71371

A.3<e<irB,e<?r<eC.n<e<3D.?r<e<3^

【答案】D

【分析】對于選項D,構造函數f(x)=竽得到f(x)W/(e)=：.令尤=J得到兀3>e\所

以選項D錯誤；

對于選項A,在f(久)中，令x=彳，得到兀e>e3.所以選項A正確;

對于選項B,在中，令％=兀，則兀e<e1所以選項B正確;

對于選項C,6”<3，所以酒<^<3兀，所以選項C正確.

【詳解】解：對于選項D,構造函婁好(%)=等，所以r(%)=費，

所以當0<%<e時,/口)>0,函數/(%)單調遞增;當x>e時，/(無)<0,函婁好(x)單調遞

減.

所以/(幻</(e)=(當且僅當x=e時取等)

e2

則令％貝11恰<t化簡得1|">兀>2-2,故3皿兀>6-m>6—e>7i,

n

故1毋>兀，故兀3>4，所以選項D錯誤；

3

對于選項A,30<冰,/(3)</(e),.-.^<^,.-.3e<e,

在外為端中，令比=彳，則去*化簡得lnQ2—表故eln/r>e(2與>27X(2—詈

7T

)>2,7X(2-0.88)=3.024>3,

e3e3e3e

^ffUXelnTT>3,Aln7T>lne,n>e.fifrlU3<e<n,所以選項A正確;

對于選項B,在了⑺/中，令x=%則乎〈詈,.5<—所以e3〈游</,所以選項B

正確；

對于選項G6"<3%所以游<0”<3兀，所以選項C正確.

故選：D

19-113139

【變式4-1】1.(2022?全國?高三專題練習)比較。=/力=/。=景而(e為自然對數的

底數)的大小為()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【答案】A

【分析】根據這三個數的結構，構造函數y=加2T,再用導數法判斷其單調性，然后利用

單調性判斷.

【詳解】根據題意，構造函數'=疣2-3

所以y'=(1-X)e2~x

當0<x<1時y'=(1—x)e2~x>0

所以y=xe2T在（0,1）上遞增,

所以a>b>c

故選A.

【點睛】本題主要考查了比較數的大小，構造函數，導數與函數的單調性等問題，還考查了

運算求解的能力，屬于中檔題.

1ln2

【變式4-1】2.（2023?遼寧?大連二十四中校聯考模擬預測）已知0=（丁力=停）％=

（增T，試比較她c的大小關系（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】根據三個指數的底數的形式，通過構造新函數，利用導數的性質判斷其大小，再根

據三個數的形式構造新函數，通過取對數法，結合導數的性質判斷其單調性，最后利用單調

性判斷即可.

【詳解】設/■co=竽（％>o）=>r（x）=

當x>e時,r（x）<0,/（無）單調遞減，

所以有f（e）>/（3）>/（4）,

Ineln221n2ln4

e萬一4一

設9(%)=xx(x>0)=>lng(%)=xlnx,

設y=xlnx=>y=In%+1,

當。＜%＜，時，y'＜0,函數y=淚n%單調遞減，

因為］＞墨＞竽＞0,

所以1電@＜1電曾］＜ln［g（竽）］,

因為函數y=Inx是正實數集上的增函數，

故［咫］＜M詈）］＜［。（竽）］,

1In3ln4ln2

即（）〈停產＜（vF=（竽）%所以。＜°＜瓦

故選：C

【點睛】關鍵點睛：根據所給指數的底數和指數的形式，構造函數，利用導數的性質是解題

的關鍵.

【變式4-1】3.（2023?全國?長郡中學校聯考二模）設實數a,b滿足1001。+1010^=

2023。，1014a+1016fe=2024\則a,b的大小關系為（）

A.a＞bB.a=bC.a＜bD.無法比較

【答案】C

【分析】先假設a26,再推理導出矛盾結果或成立的結果即可得解.

【詳解】假設a2b,則1010。21010、1014a＞1014\

6

由1001。+1010=2023a得1001。+io］。。＞2023a=（蜷）°+（費）”＞1,

因函數/（%）=（瑞）1（瑞）,在R上單調遞減，又/。）=瑞+嬲=藕＜1，則

/（a）＞l＞/（l）,所以a＜l；

由1014。+I。.=2024b得10146+10166＜2024『（黑）"+（嬲）”＜1,

E-7■乎A/、z1014、%,,1016、x+CM、H、i-n“、1014,10162030、?.i

因函數g（w=（痂）+（痂）在R上單嗎遞減，又g（i）=,+痂=百＞1，則m

g(6)Wl<g(l),所以b>l;

即有a<1<匕與假設a2b矛盾，所以a<6,

故選：C

02

【變式4-1]4.(2023?河南開封?校考模擬預測)若a=e,b=g,c=In3.2,則aec的

大小關系為()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根據結構，構造函數丁=才-1-1,利用導數證明出e'2t+l,利用單調性判斷出

a>c-令f(x)=ln久—筌，利用單調性判斷出c>b,即可得到答案.

【詳解】iHy=ef-t-1,因為y'=e1-L

令y>o,解得t>o；令y<o,解得t<o；

所以y=ef-t-1在(一8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

所以Vmin=e°-0-1=0,所以e‘>t+1,

所以a=e°2>0.2+1=1.2>V1.2=b,a>1.2=|ne12，c=In3.2,

因為(ei2)5=e6>(2.7)6=387.4>(3.2)5-335,5,所以eL2>3,2,即a>c;

令久久)=lnx—竽xe(0,+8),

所以f(久)在(0,+8)單調遞增，/(l)=0,

所以當久>1時，/(x)>0,即lnx>等，

所以n3.2=ln2+lnl,6>年常+空需=琦>琮="，

又1<1.2<1.21,1</?=V12<1.1,所以c>l.l>b.

故a>c>b.

故選：D.

【點睛】關鍵點睛：本題考查比較大小，解答的關鍵是結合式子的特征，合理構造函數，利

用導數說明函數的單調性，即可判斷.

題型5放縮法比較大小

J,尉:

木匕均量點

通過構造函數比較大小，要比較大小的幾個數之間可以看成某個函數對應的函數值，我們只:

要構造出函數，然后找到這個函數的單調性就可以通過自變量的大小關系，進而找到要比較

的數的大小關系.有些時候構造的函數還需要通過放縮法進一步縮小范圍.在本題中，通過構

造函數n?=e”—久―1,利用導數證明得到x>0時，e%>x+l,進而放縮得到a=e0,2；

>1+0.2=1.2=Ine1-2.

11

【例題5】(2023?全國?高三專題練習)已知a=si*,b=lg3,c=2i,比較a,b,c的大

小：(用"<"連接)

【答案】a<b<c

【分析】通過構造函數fO)=x-sin久，利用其單調性得到a=sin,再通過作差與零進

行比較，得出b與爭勺大小關系，再通過仇c與1進行比較，判斷出b<c,進而得到結果.

【詳解】令/(%)=%—sinx,廣⑺=l—cosx20恒成立，當且僅當久=2kn(keZ)取等號,

所f⑶=%-sin久是增函數，

當X6(0,+8)時，f(x)=%-sinx>f(0)=0,即x>sinx,所以a=sing<，

111___1

又6—W=lg3-§=lg3—|gi0"又因為27>10,所以3>103,故由y=Igx的單調性知，

lg3>|g10?,所以b">0,從而b>a,

1

又易知b<1,又由函數y=2"的單調性知，C=23>2°=1,所以a<b<c.

故答案為：a<b<c

【變式5-1】1.已知a=e°L。=牛+1,c=<2,則它們的大小關系正確的是()

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

【分析】構造函數/(%)=ln%+1-%可證b<c,XlnV12+1<Vl?2<1.1,可得InVl區

<0.1z即可證a>c.

【詳解】由b=^+l=lnVf^+l

令f(x)=ln久+1—%,則((%)=§—1,當x6(0,1),f(x)>0；當x6(1,+8),f(%)<0；

所以f(x)=ln:r+l—x在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，且/(1)=0

則/'(VL2)<0,因此lnV12+l—Vl》<0,所以6<c

又因為。=亞泛<1.1,所以InVl^+l<，!》<1.1,得lnVL^<0.1

<e01,有a>c

故選：C

【變式5-1】2.(2022?湖南?校聯考模擬預測)若。=總荷，b=?c=ln5,(e

=2.71828…)試比較a,b,c的大小關系()

A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.b>c>a

【答案】D

【分析】先估算出e5,進而求出a的范圍，再由L642<e求出6的范圍，最后構造函數估算

出c即可求解.

【詳解】由e=2.71828…得e2<7.5,故<7.5x7.5x2.72=153,又1.64x1.64=

2.6896<e,故礪e5<1.6<Vi，

由常用數據得ln5=1.609,下面說明ln5k1.609,令/(x)=ln(x+1)-總譽，尸(x)=擊一

(2%+6)(4久+6)—4(02+6支)一4久3

(4x4-6)2-(x+l)(4x+6)2'

當xe(—1,0)時,r(X)>0,f(X)單增，當“e(0,+8)時,f(%)<0,f(x)單減,則佗)max

=/(0)=0,

則ln(x+l)W亳鬻,則ln5=21n2+In*ln2=ln仁x||x葛X…X?=ln(l+2)+In

(1+±)+...+ln(l+±),

令g(x)=器,則ln2X媼)+9田+…+g島”0.6932，尾=Ingx與)=ln(l+1)+ln

(1+J

ln|?5Q+g(。x0.2232,貝!Jln5=21n2+ln1?2x0.6932+0.2232?1.6096,綜上,

b>c>a.

故選：D.

【點睛】本題主要考查指數對數的大小比較，關鍵點在于通過構造函數求出ln5的范圍，放

縮得到皿%+1)<篝，再由ln2=ln(l+白+In(l+*)+“?+ln(l++)和尾=In

(1+1)+ln(l+J結合ln5=21n2+峙即可求解.

【變式5-1】3.已知。=5也20。步=*=3，則它們的大小關系正確的是()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【分析】由x>0時，5也久<%判斷功6的大小關系，作出y=sinx與y=|x的圖象判斷a,c

的大小即可.

【詳解】20°=^,故。=$嚙

因為%>0時，sinx<x,

ULI\Inn7

所以sin§<9<—,

因為/'(%)=sinx-jx中fQ)=0.

作出y=5也無與)7=/在同一坐標系中的圖象，如圖,

由數形結合可知Sin久>也在(0,。恒成立，所以si謗>

所以c<a<b,

故選：A

【變式5-1】4.已知實數a,5滿足a=log23+log86,6。+8。=10萬，則下列判斷正確的

是()

A.a>2>bB.b>2>aC.a>b>2D.b>a>2

【答案】C

【分析】根據對數和指數的單調性可判斷a>2,b>2-在構造函婁好(久)=6、+中—10\

%>2,再根據換元法和不等式放縮，可證明當x>2時，/(%)=6"+8"-10"<0,由此即

可判斷a力的大小.

【詳解】因為a=log23+log86=log23+|log2(2X3)

=^log23+|>|log22V2+|=|x|+!=-|>2,所以a>2;

由6a+8。=10。且a>2,所以6。+8a>36+64=100,所以b>2,

令f(x)=6x+8X-10x,%>2,

令t=x—2>0,貝=t+2,

則/■(x)=6X+8X-10x,x>2等價于g(t)=36x6C+64X8t-100X10f,t>0;

又g(t)=36X6f+64X8t-100x10￡<100X8t-100X10￡<0,

所以當x>2時，/(%)=6x+8x-10x<0,

故6a+8。=10b<10a,所以a>6>2.

故選：C

題型6導數法

【例題6】(2022秋?河北保定?高三校考階段練習)已知f(x)是定義在R上的函數，其導

函數為廣(久)，且不等式廣。)>小。)恒成立，則下列比較大小錯誤的是()

A.e/(l)</(2)B./(o)>e/(-i)C.e/(-2)>/(-1)D.e2/(-l)</(l)

【答案】C

【分析】由已知條件可得弋/限>0,所以構造函數g(x)=%,求導后可得g'(x)>0,從

而可得g(x)在R上單調遞增，然后分析判斷

【詳解】由已知r(x)>f(x),可得f'((f(x)>o,

設g(%)=管，貝0⑴:弋平2,

,y(x)>0,因此g(x)在R上單調遞增，

所以g⑴<g(2),g(-1)<g(0),9(-2)<g(-1),g(-1)<g⑴,

日產)<f(2)"T)々f(O)f(-2)f(-l)f(-l)fm

即ee21e-1e°,e-e-1"e"1e'

所以e/(l)</(2),e/(-1)</(0),e/(-2)</(-l),e2/(-1)</(l),

所以ABD正確，C錯誤，

故選：C.

【變式6-1】1.(2022?安徽?六安二中高三階段練習)定義在R上的奇函數f(x)滿足xe

。+8)時，都有不等式f(x)—xf(X)>0成立，若2=log32f(log23),b=c=In

則a,b,c的大小關系是()

A.a<b<cB.a<c<be.b>a>cD.a>b>c

【答案】A

【分析】根據f(x)—xf(x)>0構造函數g(x)=竽，可得函數為減函數，又由f(x)為奇函數

可知g(x)為偶函數，據此可比較a,b,c大小.

【詳解】???當xe(0,+8)時不等式f(x)-xf(x)>0成立，(竽)=f-利的<o,

??.g(x)=竽在。+8)上是減函數.貝帖=log32f(log23)=^^=g(log23),b=V2f

(孝)=譬=9(多，c=ln^f(ln^)-^-g(-1),又?.?函數y=f(x)是定義在R上的

奇函數，

g(x)=號是定義在R上的偶函數，則g(-》=g(1),

???log23>1>^>|,"g(x)在(0,+8)上是減函數，

???g(log23)<g(祟<g(1),貝！］a<b<c,

故選：A.

【變式6-1】2.(2022?山東聊城一中高二期中)定義在(0,導上的函數f(x),f(x)是f(x)的

導函數,且f(x)<-tanx-f(x)成立,a=2*),b=V2f(j),c=竽f@,則a,b,c的大

小關系為()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】B

【分析】由條件可得cosx?f(x)+sinx-f(x)<0,考慮構造函數g(x)=墨，結合導數運

算公式和導數與函數的單調性的關系由條件證明函數g(x)在(0,9上的單調遞減，再根據函

數的單調性比較函數值的大小即可.

【詳解】因為xe(0,5)時，cosx>。，

所以f(x)<-tanx-f(x)可化為f(x)+黑-f(x)<0,即cosx-f'(x)+sinx-f(x)<0,設

g(x)=黑,則g'(x)=(照)'黑著)sinx,所以當xe(o④時，g,(x)<0,

所以函數g(x)在(o,9上的單調遞減，因為三<H，所以g(9>gG)>g《)

所以駕>駕>駕，即竽陪)>V2f(f)>2鳴)，

643

所以c>b>a,

故選：B.

【變式6-1]3.(2022?四川南充一模)設定義R在上的函數y=f(x),滿足任意xeR,都

有f(x+4)=f(x),且xe(0,4]時，xf(x)>f(x),則f(2021),若2丹邊的大小關系

是()

A.f(2021)<?<?B.?<f(2021)<?

C.產<中<f(2021)D.審<出2021)<中

【答案】A

【分析】利用構造函數法，結合導數以及函數的周期性確定正確答案.

【詳解】依題意，任意xeR,都有f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數.

所以f(2021)=f(l),中=苧，空=嚶

構造函數F(x)=竽(0<xW4),F'(x)=xf(x；J(x)〉o,

所以F(x)在區間(0,4]上單調遞增，所以F(l)<F(2)<F(3),

即早〈苧〈等，也即出2021)<卓<七.

故選：A

【變式6-1】4.(2021?陜西漢中模擬預測(文))已知定義在R上的函數f(x),其導函數為

f(x),當x>0時，xf(x]”x)>0,若a=I12,b=喑,c=嚕，貝帕,b,c的大小關系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】根據題意當x>0時，廷能3>o,結合導數的運算法則可構造函數g(x)=竽,

由此判斷其單調性，利用函數的單調性，即可判斷a,b,c的大小.

【詳解】設g(x)=^,則g'(x)=^W產，由題意知當x>0時，xff(x)>o,即g'(x

)>0,

故g(x)=,x>0時單調遞增，故g(2)<g(n)<g(5),即苧<耳<等,；.a<b<

故選：D.

1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中校考階段練習)已知f(x)=2022X-2022-，-In

(Vx2+1-x),當。<久<5，a=cosx,b=Incosx,c=ecosx,試比較f(a),f(b),/'(c)的

大小關系()

A.f(a)</(c)<f(b)B.f(b)</(c)<f@

C/(c)</(a)</(/?)D./(b)</(a)</(c)

【答案】D

【分析】根據函數/(%)的單調性及利用久6(0,1)時，In*<x<e，判斷a,6,c的大小即可得解.

xx

【詳解】???/(%)=2022-2022T_in(V^TT-%)=2022-2022T+也(7^77+x),

???/O)在R上是增函數，

由％6(0,1)時，Inx<x<ex^Q,b<a<c,

???/(》)V/(a)V/?,

故選：D

2.(2023?遼寧沈陽?東北育才學校校考模擬預測)設。=康，b=%n-，c-lng,則a,

b,c的大小關系正確的是()

A.C<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】C

【分析】構造函數f(X)=ln(x+1)-1sinx,求導確定單調區間，得到c>b,再構造函數

g(x)=乎—ln(x+1),求導確定單調區間得到a>c,得到答案.

Q-11O

【詳解】設/(%)=ln(x+1)—^sinx,0<%<-,則尸(%)=有一了0$%,

13

<%<<

3-4-JCOS%<1,故f'(x)>0,/(x)在(01)上單調遞增,

故/(X)>f(0)=0,當0<x<w時，ln(x+1)>/inx恒成立，

令“磊僅，J則唱>沁高，即c>b；

設。0)=曰_也(久+1),0<x<^,則9'(乃=磊_a=或緇，

又x—6Vx+1=(V%)2—6Vx+1=(Vx—3尸—8,

故乂一6爪+1在&e京)上單調遞減，x-6Vx+l>^-^=+l>0,

故“(x)>0,則函數g(x)在(0,親)上單調遞增，即g(x)>g(0)=0,

故當。<x<親時，乎>ln(x+1)恒成立，

令“磊(*),則短=/>喘即”，

綜上所述：b<c<a.

故選：C

【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數比較函數值的大小問題，意在考查學生的計算能力,

轉化能力和綜合應用能力，其中構造函數，求導，利用函數的單調性比較大小是解題的關

鍵.

3.(2023?四川成都?樹德中學校考模擬預測)已知久久)、g(x)分別為R上的奇函數和偶函數,

且/'⑶+g(x)=e，+cos%,a=2ln(sin*+cos'，b=log;3,c=logsj,則g(a)、g

(b)、g(c)大小關系為()

A.g(c)<g(a)<g(b)B.g(a)<g(6)<g(c)

C.g(a)<g(c)<g(6)D.g(b)<g(a)<g(c)

【答案】C

【分析】利用函數奇偶性的定義求出函數f(x)、g(x)的解析式，利用導數分析函數g(x)在

(0,+8)上的單調性，并比較a、網、|c|的大小關系，結合函數g(x)在(0,+8)上的單調性可

得出g(a)、g(b)、g(c)的大小關系.

【詳解】因為/'(>)、9(比)分別為R上的奇函數和偶函數，且〃>)+g(x)=e"+COSK,

則f(-%)+g(-%)=e-x+cos(-x),

./(%)=一

x

所以,/(x)+g(x)=e+cos%，所以,x_|_—X4

—/(%)+g(%)=e~x+cos%g(x)=------1-cosx

當x>。時，g'[x}=邑￡---sinx,令h(x)=----sinx,其中x>0,

xx

則%’(x)=---cosx>Ve-e-—cosx=1—cosx>0,函數h(x)在(0,+8)上單調遞增,

則八(久)>h(0)=0,因此函數g(x)在(0,+8)上為增函數,

因為si吧+cos"=&sin悟+?=后靖=乎,

所以，a=21n苧=ln|=lnj3<ln7^=g,\b\=logi3

=log43>log42=I，

|c|=|logs1|=log32>log3V3=|,

曳_史=(In3)2-ln2-ln4>(叫2_(*呻=(ln3)z_(ln倔4)0

因為網一|c|

ln4ln3In3-ln4ln3.ln4In3-ln4

所以，網>|c|>a>0,所以，g(a)<g(|c|)<g(網),

因為函數9(x)為R上的偶函數，故9(a)<9(c)<g(b).

故選：c.

4.(2023秋?湖北?高三校聯考階段練習)記a=2*3蘢，h=202V2023,c=202V2023,貝U

a,b,c的大小關系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

1

【分析】由函數f(%)=騎病在R上單調遞增，可判斷a<b,再對％c兩邊取對數，由函數

g(x)=署在解,+8)單調遞減，可得c<a,從而得解.

1

【詳解】設/(X)=X痂，則/(X)在R上單調遞增，

故f(2022)</(2023),即a<0；

由于Ina=^^ln2022,lnc=^jln2023,

2

設。0)=磊x>e,

貝叼⑴=1^=—<^<°，(…2)，

則g(x)在(e2,+8)單調遞減，故9(2023)<5(2022),

即Inc<Ina,貝[]c<a;

綜上得，b>a>c,D正確.

故選：D

5.(2024秋?廣東廣州?高三華南師大附中校考開學考試)a=^+lnl0,b=61nll-51n

9—l,c=裝+等，貝hc的大小關系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】令久久)=(%+l)In久一x,則。=r(10)=((等)，b=穌歲，c=r(”B),

然后利用導數證明對任意％1抵6(2,+8)(%1<%2)，都有廣(夸)>怨詈>

小火皿2,即可得結論.

r_LlI

【詳解】令/(%)=(x+l)lnx-x,則/(%)=InK+=-1=Inx+

所以。=1(1。)=廣(誓)，4筆空，=%嗎

下面證對任意打,比2G(2,+8)(打〈無2),者隋廣(2產)>%普)>r(W

令g(無)=/(x)—彗詈久(x>2),則只需比較g，留立),0,3鏟g的大小,

E二/、