第01講兩條直線的位置關系（7類熱點題型講練）

學習目標

i.理解對頂角、補角和余角的概念，能在圖形中辨認；

2.掌握對頂角相等的性質和它的推證過程；

3.掌握對頂角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的補角相等，并能解決一些實際問題.

4.理解垂線、垂線段的概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；

5.掌握點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；

6.掌握垂線的性質，并會利用所學知識進行簡單的推理.

思維導圖

相交線：若兩條直線只有一個公共點，我們稱這

兩條直線為相交線.

對頂角的概念概念：一個角的兩邊分別是另一個

2一角的兩邊的反向延長線且這兩個角有公共頂點，

相父線"這樣的兩個角叫做對頂角.性質：對頂角相等.

互補：如果兩個角的和是180°,那么稱這兩個角

兩條互為補角，也稱互補.互余：如果兩個角的和是

L90°,那么稱這兩個角互為余角，也稱互余性

直線質：同角涯角的補角相等；同角或等角的余角

相等.

的位

■垂直的概念及表示.兩條直線相交成四個角，如果

系有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直

垂直的性質：（1）平面內，過一點有且只有一條

垂線-直線與已知直線垂直.（2）直婚一點與直線上

各點連接的所有線段中，垂線段".

點到線的距離：如下圖所示，過點A作直線的垂

L線，垂足為點B,則線段AB的長度叫做點A到直

線的距離，此時線段AB叫垂線段.

知識清單

知識點01相交線

1.相交線：若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為相交線.表示方法：如下圖，直線AB與直線

C。相交于點0

A

D

2.對頂角的概念及性質

對頂角的概念概念：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線且這兩個角有公共頂點，這樣的兩

個角叫做對頂角.性質：對頂角相等.

3.互補與互余

互補：如果兩個角的和是180°,那么稱這兩個角互為補角，也稱互補.互余：如果兩個角的和是90°,

那么稱這兩個角互為余角，也稱互余.

性質：同角或等角的補角相等；同角或等角的余角相等.

知識點02垂線

1.垂直的概念及表示.兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中

的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.通常用符號表示兩條直線互相垂直.如下

圖，直線A2與直線垂直，記作A8_LC￡）,垂足為。.垂直的概念包含兩個方面的含義：一方面由直角

（90°的角）可以得到兩條直線垂直；另一方面由兩條直線垂直可以得到直角（或90°的角）

4-----------O1---------------B

D

2.垂直的性質：（1）平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

（2）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.

3.點到線的距離：如下圖所示，過點A作直線/的垂線，垂足為點8,則線段A8的長度叫做點A到直線/的

距離，此時線段叫垂線段.

1

I

B

題型精講

題型01對頂角的定義

【例題】（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市虹橋初級中學校校考階段練習）在下圖中，Zl,N2為對

頂角的是（）

【變式訓練】

1.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級校考期中）下列各圖中，N1與N2是對頂角的是（）

題型02利用對頂角相等求角度

【例題】（2023上?廣東珠海?八年級珠海市第九中學校考期中）如圖，直線A3,。相交于點。，OE平分

ZBOD,若NAOC=40。，則/COE的度數為（）

150°C.155°D.160°

【變式訓練】

1.（2023下?云南昭通?七年級統考階段練習）如圖，直線AB、CD相交于點O,ZAOC:ZAOD=2.3,則N3QD

30°C.72°D.108°

2.（2023上?四川巴中?七年級四川省巴中中學校考階段練習）如圖，兩直線相交于一點，若Nl+N3=80。,

題型03求一個角的余角、補角

【例題】（2023上?四川內江?七年級統考期末）如果NA=25。，那么/A的余角等于；NA的補角

為.

【變式訓練】

1.（2023上?海南省直轄縣級單位?七年級統考期末）若Na=47。20，，則/a的余角等于,/a的補

角等于.

2.（2023?全國?七年級專題練習）38。41'的余角等于,123。59'的補角等于.

題型04垂線的定義的理解與應用

【例題】（2023下?安徽宿州?七年級校考期中）如圖，尸是直線/外一點，A,B,C三點在直線/上，且

于點8,ZAPC=90°,則下列結論中正確的是（）

①線段3尸的長度是點尸到直線/的距離；②線段A尸是A點到直線尸C的距離；③在%PB,PC三條線

段中，PB最短；④線段PC的長度是點P到直線/的距離

A.①②③B.③④C.①③D.①②③④

【變式訓練】

1.（2023下?河南濮陽?七年級統考期末）如圖，在測量跳遠成績的示意圖中，直線/是起跳線，則需要測量

的線段是（）

A.AEB.ACC.ADD.BE

2.（2023下,山東臨沂?七年級校考階段練習）如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.點8到AC的垂線段是線段A3B.點C到AB的垂線段是線段AC

C.線段AD是點。到8C的垂線段D.線段是點B到的垂線段

題型05利用垂線的定義求角的度數

【例題】（2023上?吉林長春?七年級校考期末）如圖，直線AB、CD相交于點O,EO,OF,且OC平分/AOE,

若NBOF=36。.

⑴求NAOC的度數；

（2）寫出ZDOF的度數是1

【變式訓練】

1.（2023上?北京石景山,七年級統考期末）已知：OALOB,射線OC是平面上繞點O旋轉的一條動射線,

0。平分/BOC.

⑴如圖，若/BOC=40°,求ZAO“

（2）若4OC=磯0°＜。＜180。），直接寫出N4OD的度數.（用含1的式子表示）

2.（2023上?吉林長春?七年級統考期末）如圖，直線A3與C。相交于點尸，于點足

AF1B

D

⑴圖中與N1相等的角是」與N1互余的角是」

(2)若NATO=155。，求NDEE的度數.

題型06作垂線與求點到直線的距離

【例題】(2023上?吉林長春?七年級統考期末)如圖，在6x6的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,

其頂點稱為格點，點A、5、C、￡＞均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖,

保留作圖痕跡.

四,

?41

C

_.—」

D

(1)畫線段A3,畫直線AC.

⑵過點￡＞畫直線AC的垂線，垂足為E.

(3)點D到直線AC的距離為線段一的長度.

【變式訓練】

1.(2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習)如圖，所有小正方形的邊長都為1

個單位長度，A、B、C都在格點上.

⑴過點A作直線8C的垂線，垂足為G；

⑵過點A作直線AHLAB,垂足為A,直線AH交于點H；

⑶點A到直線BC的距離等于個單位長度.

2.（2023下?河南許昌?七年級校考期中）如圖，網格線的交點叫格點，格點P是—493的邊。8上的一點

（請利用三角板和直尺借助網格的格點畫圖）.

⑴過點尸畫的垂線，交于點E；過點尸畫OA的垂線，垂足為尸；

⑵線段尸尸的長度是點尸到的距離，線段的長度是點E到直線08的距離，所以線段

PE、PF、OE這三條線段大小關系是（用號連接），理由是.

題型07與對頂角、余角、補角、直角有關的綜合計算問題

【例題】（2023上,黑龍江綏化?七年級校考階段練習）如圖，直線A3、CZ）相交于點。，NBOC=75°,射

線ON將ZAOD分成兩個角，目ZAON:ZNOD=2:3.

⑴求NAON的度數；

⑵若平分ZBON,則是NCOM的平分線嗎？判斷并說明理由.

【變式訓練】

1.（2023下,陜西西安?七年級校聯考階段練習）如圖，直線AB,CD相交于點O,OMYCD,垂足為。,

ZBOD=28°

M

-A

DC

O

B

E

⑴求，49”的度數.

（2）若Q4平分ZMOE,求NBOE的度數.

2.（2023下?陜西西安?七年級校考階段練習）如圖，直線A3與相交于O,OF,0。分別是—AOE,ZBOE

的平分線.

⑴寫出NDOE的兩個補角；

⑵若N3OE=62。，求ZAOD和NEOb的度數；

⑶試問射線。。與O尸之間有什么特殊的位置關系？為什么？

強化訓練

一、單選題

1.（2023下?遼寧大連?七年級校聯考階段練習）下列圖中，N1與N2是對頂角的是（）

2.（2023下?海南省直轄縣級單位?七年級統考期中）如圖，直線AB、CQ相交于點。，OE平分/3OC,若

ZBOD-.ZBOE=2:5,則—AOE的大小為（）

E

A.60°B.90°C.100°D.105°

3.（2023下?七年級單元測試）如圖，直角三角形ABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足為點則下列

說法正確的是（）

A.線段AC的長表示點C到A3的距離B.線段C。的長表示點A到CD的距離

C.線段BC的長表示點B到AC的距離D.線段的長表示點C到的距離

4.（2023上,貴州遵義?七年級校聯考期末）如圖，已知直線和CD相交于點。，/DOE是直角，O尸平分

NAOE,ZCOF=34°,則-3。。的度數為（）

5.（2023下?天津?七年級校考期末）已知04,03,直線8經過點。且NAOC=40度，則/3O。等于（）

A.130°B.50°C.130°或50°D.40°

二、填空題

6.（2023上?江蘇泰州?七年級期末）一個角的補角是其余角的4倍，則這個角為。.

7.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級統考期末）如圖，這是小濤同學在體育課上某一次跳遠后留下的腳印.通

過測量得到如下數據：AB=L95米，AC=L90米，￡近=1/74米，”=1.85米，其中AC,分別垂直起

8.（2023下?江西南昌,七年級校考階段練習）如圖，直線A8與直線MN相交，交點為。，OCLAB,Q4平

分ZMOD,若ZBON=20。則NCOD的度數為.

9.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級統考期末）同一平面內兩條直線AB,CD相交于點。，ZAOC=40°,

EO1AB,垂足為。，則NCOE的度數是.

10.（2023下?河北保定?七年級校考階段練習）如圖，直線A3,CO相交于點。，OMLCD,垂足為點。,

ZBOD=28°.

（1）NAOM的度數為；

（2）若。4平分NMOE,則/COE的度數為,/3QE的度數為.

三、解答題

11.（2023上?河北唐山?七年級統考期末）如圖，點