北京市石景山區2024-2025學年八年級（上）期末數學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.9的平方根是（）

A.—3B.3c.±V3D.±3

2.下列圖書館標志圖形中，是軸對稱圖形的是（)

A圄

D.6

3.若分式靠的值為0,貝卜的值為（

)

A-2B.2C.±2D.±4

4.下列事件是隨機事件的是（）

A從分別寫有2,4,6的三張卡片中隨機抽出一張，卡片上的數字能被2整除

B.用長度分別是2cm,3cm,6cm的細木條首尾相連組成一個三角形

C.投擲一枚質地均勻的硬幣，落地后正面朝上

D.在一個裝有2個白球和3個黑球的袋子中摸出紅球

5.下列各式從左到右變形正確的是（）

,27￡

Amaana+b1+bb-a,

C.---=a—b

A菽，B-工=丁a+bD.bf=4L

6.下列運算正確的是（）

A.3+<3=3<3B.+V-2=3C.yj~3X=3V-2D.(V-5+1)=6

7.實數機，九在數軸上的對應點的位置如圖所示,則化簡，時-\m-九|的結果是（）

mn

A

0

A.nB.—nC.2m—nD.—2m+n

8.如圖，在人力BC中，乙4cB=90°,CA=CB,CD是乙4cB內部的射線且NBCD<45°,過點力作力E1CD于

點E,過點B作BF1CD于點F,給出下面四個結論：①NE4B=NFB4；@AB=CF；③EF=4E-BF.上述

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結論中，所有正確結論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.若在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是.

10.寫出一個比形大且比VTU小的整數為.

11.一個不透明的盒子中裝有4個黃球，3個紅球和2個綠球，這些球除了顏色外無其他差別.從中隨機摸出

一個小球，恰好是紅球的概率是.

12.如圖，AB//CD,點E,F在BC上且BF=CE.請你只添加一個條件，使得入AEB=-DFC.

（1）你添加的條件是;（要求：不再添加輔助線，只需填一個答案即可）

（2）依據所添條件，判定-4EB與△DFC全等的理由是.

13.如圖，RtAABC中，NC=90°,點。在8。上，。石148于點后若￡）后=。。/3=40°,則NG4D=

14.計算（2腌+V7）（2<5-O的結果是.

15.在入ABC中，4B=2&/處1。=100。，。在BC邊上，且-AB。是等腰三角形，則Z71DB的度數為

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16.如圖，A48c是等邊三角形，。是4C的中點，動點P在BC邊的中線2E上.若4B=2,貝UPC+PD的最小

值為.

三、解答題：本題共12小題，共96分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題8分）

計算：4，^+（―+718—V8

18.（本小題8分）

如圖，△ABC是等邊三角形，點D在線段BC上，連接4D,將線段4D繞點4逆時針旋轉60。得到線段4E,連

接CE,求證：BD=CE.

計算：（i+v_X）

20.（本小題8分）

計算：—

x—yx—y

21.（本小題8分）

己知：如圖，AABC中，BOAB>AC.求作：點P,使得點P在BC邊上且乙4PC=2/B.作法：①作線段4B的

垂直平分線，交BC于點P,交4B于點Q；②連接4P.點P即為所求作的點.

B

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（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明.

證明：「PQ是4B的垂直平分線，

PA=①（②（填推理的依據）.

??.NB=③（⑷）（填推理的依據）.

又???AAPC=NB+NP4B,

???Z.APC=2（B.

22.（本小題8分）

已知——2x-20=0,求代數式（％的值.

23.（本小題8分）

解分式方程：-^+-=1.

24.（本小題8分）

如圖，在入ABC中，AACB=90。，CA=4,CB=6,D是BC的中點，E是AC邊上一點，連接LM,DE.將△DCE

沿直線DE翻折，點C恰好落在上的點F處.

（1）求4D的長；

（2）求CE的長.

25.（本小題8分）

列方程解應用題.

某工程隊承擔了750米長的道路改造任務，工程隊在施工完210米道路后，引進了新設備，每天的工作效率

比原來提高了20%,結果共用22天完成了任務.求引進新設備前工程隊每天改造道路多少米？

26.（本小題8分）

如圖，4。是的中線，E是4C邊上一點，連接BE交4D于F點，=EF.求證：FB=AC.

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27.（本小題8分）

在△ABC中，乙4cB=90。，C4=CB,點P是射線BC上的一個動點，過點B作BD14P于點D,射線BD交

直線AC于點E,連接CD.

圖1圖2

（1）如圖1,當點P在線段8C上時（不與端點8,C重合），

①求證：A.CBE=/.CAP；

②求證：DA=DB+^DC；

（2）如圖2,當點P在線段BC的延長線上時（PC<4C）,依題意補全圖2并用等式表示線段DB,DC之間

的數量關系.

28.（本小題8分）

對于線段AB與點P（點P不在線段4B上）給出如下定義：Q為線段4B上任意一點，如果線段PQ的長度有最小

值，那么稱這個最小值為點P與線段48的“近距”，記作刈（點P,線段28）；如果線段PQ的長度有最大值，

那么稱這個最大值為點P與線段48的“遠距”，記作弓2（點P,線段4B）.如圖，-ABC中，^CAB=30°,AB=

4/3.AC=2.

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B

A

備用圖1

備用圖2

（l）di（點C,線段4B）=,d2（點C,線段力B）=；

（2）點B關于直線AC的對稱點為B',連接2B'.若點P在線段AB'上，且d2（點尸，線段力B）是%（點P,線段4B）的

2倍，直接寫出線段4P的長度；

（3）過點C作MN〃4B,若點P在直線MN上，叢（點P,線段4B）<2,直接寫出點P,線段4B）的取值范圍.

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1.【答案】D

2.【答案】4

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】x>2

10.【答案】2答案不唯一

1L【答案】3

12.【答案】AB=DC（答案不唯一）

/ZX=ZD

億AEB=Z.DFC

S4S（答案不唯一）.

/AAS

/ASA

13.【答案】25

14.【答案】13

15.【答案】70。或100。

16.【答案】V3

17.【答案】解：4+(―\^2)+V18—V8

=4x——F2+3-\/2—2

=2^+2+3<2-2

=5-\^2.

18.【答案】證明：???△ABC是等邊三角形,

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???乙BAC=60°,AB=AC,

由旋轉的性質可得：/DAE=60。，AD=AE,

???乙BAC=ADAE=60°,

???/.BAD=Z.CAE,

在△ZBO和△ACE中，

AB=AC

Z.BAD=Z.CAE,

VAD=AE

???△ABD三△ACE(SAS),

???BD=CE

19.【答案】解：(1+V~3)—V-2(V-6—V~8)

=1+3+2.y/~3-V2x6+V2x8

=4+2/3-273+4

=8.

20.【答案】解：組-組

x—yx—y

2x2—2y2

一x-y

2(%2—y2)

一x-y

2(%+y)(x—y)

-x-y

=2(%+y)

=2%+2y.

21.【答案】（1）解；如圖所示，即為所求;

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(2)證明：:PQ是4B的垂直平分線，

??.PA=PB(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等).

:.乙B=NB4P(等邊對對角).

又丫/-APC=乙B+APAB,

???Z-APC=2/-B.

故答案為：PB；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；Z.BAP-,等邊對等角.

22.【答案】解：；x2-2x-20=0,

???尤2-2久=20,

(4\5%+10

%2—45(%+2)

一%丁源

(%+2)(%—2)X2

—x5(x4-2)

%(%—2)

=~5~

x2—2x

=~5-

_20

=T

=4.

23.【答案】解：占+9=1

x—3x

去分母得：%2+6(%-3)=%(%-3),

去括號得：%2+6%—18=%2—3x,

移項得：%2+6%—%2+3%=18,

合并同類項得：9%=18,

系數化為1得：%=2,

檢驗，當x=2時，%(%-3)0,

■-x=2是原方程的解.

24.【答案】(1)解：???CB=6,。是BC的中點,

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CD=^BC=3,

在Rt八ADC^p,由勾股定理得4。=y/AC2+CD2=5；

(2)解：由折疊的性質可得EF=EC,NEFD=NC=90°,DF=CD=3,

???AF=AD-DF=2,AAFE=90°,

設CE=EF=x,則力E=AC-CE4-x,

在Rt八2EF中，由勾股定理得AS?^AF2+EF2,

(4-x)2=x2+22,

解得x=I，

CE=I3-

25.【答案】解：設引進新設備前工程隊每天改造道路萬米，則引進新設備后工程隊每天改造(l+20%)x米.

210750-210

依題意得:

r(I420%)」

解得：x=30,

經檢驗，x=30是所列方程的解，且符合題意.

答：引進新設備前工程隊每天建造道路30米.

26.【答案】證明：如圖，延長4。至點G,使DG=￡M,連接BG,

???4D是入ABC的中線,

BD=CD,

在入GBD和△4CD中，

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BD=CD

Z.BDG=/.CDA,

VDG=DA

???△GBD三△ACD(SZS),

GB=AC,Z-BGD=Z.CAD,

EA=EF,

Z.AFE=Z.CAD,

???乙BFD=Z.AFE,

???Z-BGD=Z-BFD,

???FB=GB,

??.FB=AC.

27.【答案】(1)①證明：???BDLAP,

???乙4。8=90。，

??.Z.CBE+乙BPD=90°,

???乙ACB=90°,

???4C4P+NAPC=90。，,

???Z.APC=乙BPD,

Z.CBE=Z.CAP；

②如圖1,作CF1CD交4。于F,

A

E

圖1

???/.ACB=90°,

???乙ACB=乙DCF,

???乙ACB-乙PCF=(DCF一乙PCF,

Z.ACF=Z-PCD,

由①知NCBE=/.CAP,

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???AC=BC,

???△AFC^^BDC(ASA),

CF=CD,AF=BD

???DF=y[2DC,

???AD=AF+DF=DB-V<2DC；

(2)解：補全圖形如下所示：

A

圖2

作CF1CD交BD于F,

???乙DCF=90°,

???Z.ACD+^ACF=90°,

???乙ACB=90°,

???Z.ACF+乙BCF=90°,

???Z.ACD=乙BCF,

???BD140,

???乙408=90°,

???乙DAE+Z-AED=Z-CBE+乙CEB,

???Z.AED=乙CEB,,

???Z-DAE=Z-CBF,

???AC=BC,

???△ACD=ABCF{ASA),

???CD=CF,DA=FB

???DF=yJl.DC,

：.DBFB+DF=DA+42DC.

28.【答案】(1)解:如圖1,過點C作CD1AB于點D,

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VACAB=30°,AC=2,

???CD=|XC=1,

???垂線段最短，

.??盛（點C,線段4B）=1；

22

在RtAAC。中，AD=7AC?—CD2=V2-l=/3,

vAB=473，

???BD=AB-AD=3/3,

在Rt△BCD中，BC=y/BD2+CD2=J（3門『+I2=2y[7,

???&2（點。，線段4B）=2，7；

（