第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示最新考綱1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.1.平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個

向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，

一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝

.

其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個

的向量，叫做把向量正交分解.知

識

梳

理不共線有且只有λ1e1＋λ2e2互相垂直(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0[常用結(jié)論與微點提醒]1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，則x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)診

斷

自

測解析

(1)共線向量不可以作為基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×2.(2018·三明月考)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a＋b等于(

) A.(5，7) B.(5，9)

C.(3，7) D.(3，9)

解析

2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故選D.

答案

D答案

A4.(2017·山東卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，則λ＝________.

解析

∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.

答案－35.(必修4P101A3改編)已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標(biāo)為________.答案

(1，5)考點一平面向量基本定理及其應(yīng)用答案

(1)A

(2)C規(guī)律方法1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.考點二平面向量的坐標(biāo)運算【例2】(1)向量a，b滿足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，則b為(

) A.(－3，4) B.(3，4) C.(3，－4) D.(－3，－4)A.1 B.2

C.3

D.4解析

(1)由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，答案(1)A

(2)D規(guī)律方法

1.巧借方程思想求坐標(biāo)：若已知向量兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中注意方程思想的應(yīng)用.2.向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運算，使得向量的線性運算都可以用坐標(biāo)來進行，實現(xiàn)了向量運算的代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算問題.答案(1)D

(2)－3考點三平面向量共線的坐標(biāo)表示解析

(1)a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，3)，∴a＋c＝(m＋1，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)，又(a＋c)∥(a－b)，∴(m＋1)(m－5)＋m＋3＝0，即m2－3m－2＝0，(2)設(shè)P(x，y)，由點P在線段AB的延長線上，規(guī)律方法

1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠