單元質(zhì)檢五平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入(時(shí)間:45分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題6分,共72分)1.(2017山西太原一模)復(fù)數(shù)=()A.12i B.1+2i C.12i D.1+2i2.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為BC邊的中點(diǎn),且2=0,則有()A.=2 B.C.=3 D.23.(2017湖北武漢二月調(diào)考)若非零向量a,b滿足a⊥(2a+b),且a與b的夾角為,則=()A. B.C. D.24.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=60°,則=()A.a2 B.a2 C.a2 D.a25.已知復(fù)數(shù)z=,則下列說(shuō)法正確的是()A.z的虛部為4iB.z的共軛復(fù)數(shù)為14iC.|z|=5D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x軸上存在一點(diǎn)P使有最小值,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.(3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ為實(shí)數(shù),(b+λa)⊥c,則λ的值為()A. B. C. D.8.已知點(diǎn)A(1,1),B(1,2),C(2,1),D(3,4),則向量方向上的投影為()A. B. C. D.9.設(shè)ak=,k∈Z,則a2015·a2016=()A. B. C.21 D.210.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cosα,sinα),則向量與向量的夾角的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1),若點(diǎn)M(x,y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A.[1,0] B.[0,1]C.[0,2] D.[1,2]12.已知||=||=2,點(diǎn)C在線段AB上,且||的最小值為1,則|t|(t∈R)的最小值為()A. B.C.2 D.二、填空題(本大題共4小題,每小題7分,共28分)13.(2017湖南邵陽(yáng)一模)設(shè)θ∈,向量a=(cosθ,2),b=(1,sinθ),若a⊥b,則tanθ=.

14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E為BC的中點(diǎn),若F為該矩形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn),則的最大值為.

15.若向量a,b滿足:a=(,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,則|b|=.

16.在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),B(0,1),P是曲線y=上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是.

答案：1.C解析:=12i.2.B解析:由2=0,得=2=2,即=2=2,所以,故選B.3.B解析:∵a⊥(2a+b),且a與b的夾角為,∴a·(2a+b)=2a2+a·b=2|a|2|a||b|=0.又|a|≠0,|b|≠0,∴2|a|=|b|,∴,故選B.4.D解析:如圖,設(shè)=a,=b,則=()·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.5.B解析:∵z==1+4i,∴z的共軛復(fù)數(shù)為14i.故選B.6.C解析:設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,0),則=(x2,2),=(x4,1),=(x2)(x4)+(2)×(1)=x26x+10=(x3)2+1.當(dāng)x=3時(shí),有最小值1.∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0).7.A解析:由題意,得b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ).因?yàn)閏=(3,4),(b+λa)⊥c,所以(b+λa)·c=0,即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,解得λ=,故選A.8.A解析:由題意,得=(2,1),=(5,5),故向量方向上的投影為,故選A.9.B解析:∵a2015==,a2016==(cos0,sin0+cos0)=(1,1),∴a2015·a2016=×1+×1=.故選B.10.D解析:由題意,得=(2+cosα,2+sinα),所以點(diǎn)A的軌跡是圓(x2)2+(y2)2=2,如圖,當(dāng)A為直線OA與圓的切點(diǎn)時(shí),向量與向量的夾角分別達(dá)到最大值和最小值,故選D.11.C解析:滿足約束條件的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.令z==x+y,即y=x+z.當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2)時(shí),在y軸上的截距最大,從而z最大,即zmax=2.當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)S(1,1)時(shí),在y軸上的截距最小,從而z最小,即zmin=0.故的取值范圍為[0,2],故選C.12.B解析:依題意,可將點(diǎn)A,B置于圓x2+y2=4上;由點(diǎn)C在線段AB上,且||的最小值為1,得原點(diǎn)O到線段AB的距離為1,∠AOB=180°2×30°=120°,(t)2=4+4t22t×22cos120°=4t2+4t+4=4+3的最小值為3,因此|t|的最小值為.13.解析:∵a⊥b,∴a·b=0,即cosθ+2sinθ=0,∴=tanθ=.14.解析:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則E.設(shè)F(x,y),則0≤x≤2,0≤y≤1,則=2x+y,令z=2x+y,當(dāng)z=2x+y過(guò)點(diǎn)(2,1)時(shí),取最大值.15.解析:∵a=(,1),∴|a|=2.∵(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,∴(a+2b)·a=0,(a+b)·b=0,即|a|2+2a·b=0,①|(zhì)b|2+a·b=0.②由①②×2,得|a|2=2|b|2,則|b|=.16.[0,+1]解析:如圖,畫(huà)出函數(shù)y=的圖象.這是以O(shè)(0,0)為圓心,以1為半徑的一個(gè)半圓.不妨用虛線把這個(gè)半圓補(bǔ)充為一個(gè)圓.設(shè)的夾角為θ,則θ∈[0°,90°].當(dāng)θ∈[0°,45°]時(shí),cos(45°θ)=,當(dāng)θ∈[45°,90°]時(shí),cos(θ45°)=.由于y=cosx,x∈R是偶函數(shù),所以||=2cos(θ45°),θ∈[0°,90°].=||||cosθ=2cos(θ45°)cosθ=2cos2θ+2sinθcosθ=sin