北京市2025屆高三數學二輪復習專題過關檢測

函數

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合

題目要求的一項.

v<1

1.已知函數/'(%)='x-'則/(/(2))=()

10g38x>l,

11

A.2B.-2C.—D.--

22

3

2、已知a=3°/，b=2,c=log30.2,則a,b,c的大小關系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

3、函數/(x)=lnx+2x-6的零點所在的區間是

A、(0,1)B、(1,2)

C、(2,3)D、(3,4)

4、設函數/(x)=1+l°g?x的定義域為D,則對。內的任意實數x,有

log2X

A、/(x)+/(-)=0B、/(x)-/(-)=0

XX

c、/(%)+/(-)=2D、/(%)-/(-)=2

XX

5、下列函數中，使y=/(x+l)-/(x-l)既是奇函數又是增函數的是

1

A、/(%)=—B、/(x)=%9-

X

C、/(x)=exD、f(x)=cosx

6、記水的質量為d=——，并且d越大，水質量越好.若S不變，且4=2.1,人=2.2,則々與

Inn

%的關系為()

A.nx<n2

B.%>%

C.若Svl,則“<%；若S>1,則4>%；

D若S<1,則%>%；若S>1,則

2，+1—JTl%?0

7、若函數/(%)=<'—，恰有兩個零點，則實數機的取值范圍是()

(x-1)Inx,x>Q

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,2]

8、已知(%，弘),(尤2，%)是函數丁=2'圖象上不同的兩點，則下列正確的是()

A.log,22B.log22

,y,+y,,y,1+y,2x,1+x,2

C.log?2>石+々D.log22>2

9、已知實數a,6滿足2"=log〈，log2Z,=(g],給出下列三個結論：

①aZ?>1；②2"=b；③2"+1<e".

其中所有正確結論的序號是()

A.①B.②C.①③D.②③

10、2024年，甲、乙兩公司的盈利規律如下：從2月份開始，甲公司每個月盈利比前一個月多200

萬元，乙公司每個月盈利比前一個月增加10%.記甲、乙兩公司在2023年第〃個月的盈利分別

為。1("),。2(〃)(單位：萬元).已知2(1)=1200,2(1)=11。0,則0](〃)-。2(〃)最大時，

n的值為()

(參考數據：lgl.l?0.0414,lg2?0.3010)

A、7B、8

C、9D、10

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知函數/(x)=4*+log2X,則

12、函數/(x)=ln(l+￡)的定義域為.

13、已知函數/(%)為R上的奇函數，且在[0,+8)上單調遞增，/(2)=1,若

-l</(3x-l)<0,則x的取值范圍是.

14、已知函數/(x)=(若/(%)無最大值，則實數Q的一個取值為_______；若/(X)存在

[3x-x,x^a.

最大值，則a的取值范圍是

x+2,x<-a,

15、設a>0,函數/(x)=<Va2-x2,-a<x<a,,給出下列四個結論:

—Jx-l,x>a.

①/(x)在區間(a-L+8)上單調遞減；

②當時，/(無)存在最大值；

③設加(%,/(%))(玉<a),A^(x2,/(x2))(x2>a),貝！||A/N|>1；

④設網項,/(&))(項<一。),0(%4，/(%4))伍?若IPQI存在最小值，則a的取值范圍是

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數/(x)=k>g°x(a>O,awl).

(1)若=求a的值；

(2)當0<a<l時，若函數8。)=|/(力|在［。,2@上的最大值與最小值的差為3,求。的值；

2+x

17、已知函數/(X)=log”----(a>0且awl).

2-x

(1)判斷函數“X)的奇偶性，并證明

(2)若1求實數a的取值范圍.

18、已知函數/（x）=n（aeR）是定義在R上的奇函數.

（1）求“X）的解析式；

⑵判斷/（X）的單調性并用定義證明；

（3）解關于x的不等式/（4'）+/（2—3x21<0.

19、中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經驗表明，某種烏龍茶用

100回的水泡制，等到茶水溫度降至60回時再飲用，可以產生最佳口感.某實驗小組為探究在室溫

下，剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔Imin測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨

時間變化的如下數據：

時間/min012345

水溫/團100.0092.0084.8078.3772.5367.27

設茶水溫度從100團開始，經過xmin后的溫度為現給出以下三種函數模型：

@y=kx+b（左<0,x>0）；

@y-kax+b（左>0,0<a<i,x>0）；

③y=log“（x+左）+6（<2>1,k>Q,x>0）.

（1）從上述三種函數模型中選出你認為最符合實際的函數模型，簡單敘述理由，并利用前2min

的數據求出相應的解析式；

（2）根據（1）中所求函數模型，求剛泡好的烏龍茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到

0.01）；

（3）考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，試判斷進行實驗時的室溫為多少回，并說明理

由.（參考數據：1g2ao.301,1g3^0.477.）

20、已知函數/（元）=4'"一〃-2抖1,xe[-l,2].

（I）當a=2時，求/（尤）的最小值;

(II)記/(X)的最小值為g(a)，求g(a)的解析式.

21、在某種藥物研究試驗中發現其在血液內的濃度y(單位：毫克/毫升)與時間/(單位：小

aln(?+l),0<?<2

時)滿足函數關系y=左，其中”，左為大于。的常數.已知該藥物在血液內

—，/>2

的濃度是一個連續變化的過程，且在2小時時達到最大值21n3毫克/毫升.

(1)直接寫出“，上的值；

(2)當該藥物濃度不小于最大值一半時，稱該藥物有效.求該藥物有效的時間長度丁(單位：小時).

參考答案

一、選擇題

1、A2、B3、C4、C5、B6、C7、D8、D9、D10,B

二、填空題

11、112、(-l,0)O(0,-H?)

111

13、［一］§］I*t(答案不唯一);［a?15、②③

三、解答題

16.(1)因為/［：］=log0!=2,可得片=4，

且a>0,awl,所以。=」.

2

(2)因為0<。<1,當xe(0,l)時，loga%>0；當xe(L+8)時，logax<0；

可知g(x)=|〃x)|在(0,1)內單調遞減，在(1,+8)內單調遞增，

且g(a)=l,g⑴=0,

若函數g(x)=|/(x)|在上的最大值與最小值的差為可得2a<1,即0<a<；,

可知g(x)在［a，2a］上單調遞減，則logaa-logaZanlogogng,解得a=:,

所以。的值為

4

17、(1)令^—＞0得—2(尤＜2,故函數/(尤)的定義域為(—2,2),

2-x

?.?對于Vxe(-2,2),

/(―x)+/(x)=log.M+logfl言

Z+XZ—X

2-x2+x

=log.=log」=0

2+x2-x

2

.?./(—X)=—“X),且/⑼=logq=0

??./(%)是奇函數

51

⑵由/m111

>T可化為logfl|>logfl-,

3a

513

若Ovavl,則一〈一,?,.()<〃<一,

3a5

513

若Q>1,則一>—>0,**?CL>—,

3a5

綜上，a的取值范圍是(O,|)U(L+S).

18、(1)由題設知f(-x)=-f(x),則2'+4=1+分2'"恒成立,

八2-x+l1+2X2'+1

所以l+a2=—2，—a，即。+磯2,+1)=0,貝以=—1,

所以〃x)=|^；

(2)/(%)是R上的增函數,證明如下:

任取石，々eR,且石＜々，

2-1-12迎一1（2"'-1）（21'2+1）-（2"+1）（2"2-1）

則/（%）一，（尤2）=

2為+12迎+1

2

由藥<%2，則2丑_2f<0,且（2為+1）（2f+1）>0,故/（%）</（%），

所以函數“力在田上單調遞增；

（3）因為"％）是定義在丑上的奇函數，且/（4，）+/（2—3x2*）<0,

所以/（平）<一/（2-3x2）=/（3x2X—2）,

由（2）知，/（九）在A上單調遞增，

所以4*<3x2*—2,

令2工=/>0，則/—3/+2<0，解得1</<2,故2%（1,2）,

因為函數>=2"在R上單調遞增，所以xe（O,l）.

所以不等式/（4*）+/（2—3x2，）<0的解集為（0.1）.

19、（1）選擇②'=總'+6（左>0,0<?<1,%20）作為函數模型.

由表格中的數據可知，當自變量增大時，函數值減小，所以不應該選擇對數增長模型③；

當自變量增加量為1時，函數值的減少量有遞減趨勢，不是同一個常數，所以不應該選擇一次函數

模型①.

故應選擇②'（左>0,0<a<l,x>0）

\QQ=k+bpt=80

將表中前2min的數據代入，得（92=履+匕，解得。=0.9,

84.8=攵/+匕[b=2Q

所以函數模型的解析式為：y=80x0.9"+20.

（2）由⑴中函數模型，有80x0.9*+20=60，即0.9"=；,所以x=logogg,

-lg2lg20.301

即x=合6.54

lg0.9l-21g31-2x0.477

所以剛泡好的烏龍茶大約放置6.54min能達到最佳飲用口感.

(3)由y=80x09"+20為減函數，且當x越大時，y越接近20,考慮到茶水溫度降至室溫就不

能再降的事實，

所以烏龍茶所在實驗室的室溫約為200.

20、解：(I)設1=23因為xe[-1,2],則red,4],

2

貝I』〃⑺=r-2袱，re[-,4],

2

當0=2時，71(0=？-4r=(r-2)2-4,re[-,4],

2

所以f=2時，/7(r)mmi(2)=-4，即當x=l時，f(x)n.n=-4.

(II)由(I