應力應變關系

彈性模量II廣義虎克定律

1.彈性模量

對于應力分量與應變分量成線性關系的各向同性彈性體，常用的彈性常數包括：

a彈性模量單向拉伸或壓縮時正應力與線應變之比，即

￡=-（3-1）

￡

b切變模量切應力與相應的切應變之比，即

G=-（3-2）

Y

c體積彈性模量三向平均應力

%=—3—

與體積應變0（=￡x+￡y+￡z）之比，即

《巖（3-3）

d泊松比單向正應力引起的橫向線應變一的絕對值與軸向線應變￡的絕對值之比，即

?=用（3-4；

此外還有拉梅常數入。對于各向同性材料，這五個常數中只有兩個是獨立的。常用彈性常數之間的關

系見表37沖性常數間的關系?？諟叵聫椥猿档牡湫椭狄姳?-2彈性常數的典型值。

2.廣義虎克定律

線彈性材料在復雜應力狀態下的應力應變關系稱為廣義虎克定律。它是由實驗確定.通常稱為物性方程,

反映彈性體變形的物理本質。

A各向同性材料的廣義虎克定律表達式（見表3-3廣義胡克定律表達式）對于圓柱坐標和球坐

標，表中三向應力公式中的x、y>z分別用八。、z和人。、小代替。對于平面極坐標，表中平面應力和

平面應變公式中的x、y、z用八0、z代替。

B用偏量形式和體積彈性定律表示的廣義虎克定律應力和應變張量分解為球張量和偏張量兩部

分時，虎克定律可寫成更簡單的形式，即

體積彈性定律

應力偏量與應變偏量關系式

cr=K8

0°（3-11

Sv=2%J1）

在直角坐標中，i,j=x,y,z：在圓柱坐標中，i,j=r,。，z,在球坐標中i,j=r,6,6。

彈性力學基本方程及其解法

彈性力學基本方程II邊界條件II按位移求解的彈性力學基本方法II按應力求解的彈性力學

基本方程II平面問題的基本方程II基本方程的解法II二維和三維問題常用的應力、位移公式

1.彈性力學基本方程

在彈性力學一般問題中，需要確定15個未知量，即6個應力分量，6個應變分量和3個位移分量。這

15個未知量可由15個線性方程確定，即

(1)3個平衡方程［式(2-1-22)］,或用腳標形式簡寫為

da(孔］

/if"卜。制=。

(ij=xj,z)(2-1-22,)

(2)6個變形幾何方程［式(2-1-29)］,或簡寫為

(i，J="")(2-1-29,)

(3)6個物性方程［式(3-5)或式(3-6)］,簡寫為

13v?

勺=而與_豆/詼（3-5'）

cFy=2G號+48.

或

(3-6)

2.邊界條件

彈性力學一般問題的解，在物體內部滿足上述線性方程組，在邊界上必須滿足給定的邊界條件。彈性

力學問題按邊界條件分為三類。

a應力邊界問題在邊界S。表面上作用的表面力分量為R.F,、艮。面力與該點在物體內的應力分量之

間的關系，即力的邊界條件為

Fy=+*+Jn,(3-12；

4=Qxx+%、+*

式中，Lj=cos(n,j)為邊界上一點的外法線n對j軸的方向余弦。

這一類問題中體積力和表而力是已知的，求解體內各點的位移、應變和應力。

b位移邊界問題在邊界工上給定的幾何邊界條件為

(3-13)

n=uArtuy9=w9v,wJ.a=ui.

式中，u1為表面上給定的位移分量。

這一類問題是已知體積力和表面各點的位移，求解體內各點的位移、應變和應力。

c混合問題部分邊界上給定力，部分邊界上給定位移。

3.按位移求解的彈性力學基本方法

按位移求解時，以3個位移分量為基本未知量，利用幾何方程和物性方程，15個基本方程簡化為以位

移表示的平衡方程：

(2+C7俘+(7▽%+/=。

dx

(4+噂+6*+4=0>(3-14)

伏+G)變+GV%*+九=0

&.

Bd2d2

V------k-----1----

杯砂2也2

求解時位移分量在物體內部滿足式(3-14),在位移邊界Su上滿足式(3-13),在應力邊界S。上滿足

式(3-12),但式中的應力分鼠應利用應力-應變關系和應變一位移關系變換為位移的形式。求出位移分最后，

再利用幾何方程和物性方程，求出應變和應力分量。

4.按應力求解的彈性力學基本方程

按應力求解時，以6個應力分量為基本未知量。它們必須滿足平衡方程，同時還要滿足以應力表示的協調

方程，即

3v

+1-v[(+2組=0

,1+vdx2+豹豹

七+信生+匕修+*+割

+型+

Y膂+「+2—=0

G1力

—蕊1

3a為

-------------------十

1+vdxdz

3a2boi

▽%1+vdxdy

3a%。一

▽4+1+vdxdx

式(3-15)和平衡方程式(2-1-22)-起，成為按應力求解彈性問題的基本方程組。按應力求解彈性問題，就

是尋求滿足基本方程式(2-1-22)和式(3-15),以及邊界條件［式(3-12)］的解。

5.平面問題的基本方程

彈性力學平面問題，包括平面應力和平面應變問題兩類。通常利用應力函數將彈怛力學平面問題循化

為解雙調和方程的邊值問題。平面問題基本方程的直角坐標和極坐標表達式見表3-4平面問題的基本方程。表

中除物性方程外，對了其他方程，平面應力和平面應變問題中的形式是相同的。比較一下這兩類問題的基本方

程后可知，只要將平面應力問題的解中的彈性常數E、v改為E/（l-VD、Y/（1-V）后，就得到對應的平面應

變問題的解。因此，對于截面形狀和邊界條件相同的物體，平面應力問題與平面應變問題中的應力分布（。..

Oy.TXy、。2除外）是相同的。

6.基本方程的解法

15個彈性力學基本方程簡化為以位移表示的3個平衡方程［式（3-14）］或以應力表示的6個協調方程［式

（3-15）求解上述方程時，類似在平面問題中應用艾雷應力函數所用的方法，常引用應力函數或位移函數,

以消去應力分量或位移分量，求解以應力函數表示的協調方程，或以位移函數表示的平衡方程。

表3-5帕普科維奇-諾埃伯謝函數和勒夫謝函數列出用帕普科維奇-諾埃伯函數和勒夫函數表示的無體

積力時平衡方程的齊次解。勒夫函數常用于求解軸對稱問題。

7.二維和三維問題常用的應力、位移公式

（見表3-6二維和三維問題常用的應力、位移公式）

能量原理

應變能、應變余能與應變能定理II虛位移定理II最小勢能原理II虛力原理II

最小余能原理II卡氏定理||互等定理||李茲法

直接求解彈性力學基本方程在數學上存在困難，只有一些比較簡單的問題已求得精確解。而能量法把求

解問題的過程轉變為一種極值問題，它比直接求解偏微分方程邊值問題能更方便地得到近似解。因此能量原理

是目前廣泛應用的近似計算方法的基礎。

1.應變能、應變余能與應變能定理

a應變能單位體積的應變能稱為應變能密度，以V表示。W為應變分量￡ij的函數，W可用腳標形式

表示為

取"C%"令G，八”,Z）

對于線彈性體，其值為

W=gb”?號=?+byEy+qj

+%%+Wx+%丫=）（3-28）

線辨性體的總應變能為

V2Jr分v號v業

=（4/++7%'/（3-29）

對各向同性材料，利用虎克定律，應變能密度可用單一的應力分量或應變分量表示為

w

=幸層+寸+2Mb巴++ozzax)

+2(1+?啟+4+&]

=G￡；+￡；+d+蛇2/（I_2?）+J（匕+匕+匕）（3-30）

乙

b應變余能單位體積的應變余能W*為應力分量。ij的函數，W*（。ij）定義為

郎二Jo為一線二＜'一用(3-31)

對線彈性體，

曠=用（3-32）

C用應變能和應變余能表示力與應變的關系應變能密度函數w（￡ij）,表示因彈性變形而儲存于

單位體積內的彈性勢能。應力與應變之間的關系，通過彈性勢函數W表示為

、嚶（53）（3-33；

如果把應變分量表示為應力分量的函數時，則存在如下關系式，即

（，，/=3"）（3-34）

對線彈性體，W*=W,式（3-34）變為

%=￡G，J=XJ,Z）（3-35）

%

d應變能定理如果彈性體在變形過程中無能量耗損，則彈性體內的應變能在數值上等于外力在變形過

程中所作的功，即

U=A（3-36）

式中，A為外力所作的功，包括體積力和面力所作的功。

2.虛位移定理

彈性體在外力作用下處于平衡狀態時，體內各點如果發生一虛位移6ui（所謂虛位移，是指幾何

約束容許的任意、微小的位移，也就是指符合物體的連續條件和位移邊界條件的可能位移），則外力對虛位移所

作的功（虛功），等于虛位移所引起的彈性體的虛應變能，即

8.A=8,U（3-37）

式中，虛功6A包括體積力fi和面力pi在虛位移5ui上所作的功，即

=p；皿dS

因虛位移而引起的虛應變能為

3U=^3.^d7（fj=xtytz）

式（3-37）稱為虛功原理或虛位移原理。虛位移原理等，介于平衡條件。如結構上的外力在虛位移上所作的虛

功等于結構的應變能，則結構必處于平衡狀態。在虛位移原理推導過程中并未應用虎克定律，虛位移原理也適

用于非彈性體。

3.最小勢能原理

如果外力可由一個勢函數V導出，外力勢V=-A,則5V=-bA.由式（3-37）,得變分萬桂

3.n=S.uI5,r=0（338）

式中，

n=u+/-4=1用（與卜/

一+L臍）（3-39）

稱為系統的總勢能，是位移的函數。式（3-38）表明；彈性體處于平衡狀態時，其內力和外力的總勢能

取駐值?？梢宰C明，線彈性體處于平衡狀態時，其總勢能取最小值。因此，式（3-38）稱為最小勢能原理。也

就是說，在所有幾何容許位移中，滿足勢能駐值條件511=0的位移解，使總勢能H取最小值。在應用中，可根

據勢能駐值條件去求解彈性力學問題。

在分析結構穩定問題時，在平衡狀態（611=0），總勢能H可能取極大值（6211<0,不穩定平衡），駐值

（5211=0,臨界狀態）或極小值（6211>0,穩定平衡）。

4.虛力原理

如對變形協調的彈性體施加某種虛力（即平衡條件所容許的，任意微小的力的改變，包括虛應力5。ij

和虛面力5PI），則虛外力在真實位移上的虛余功6A*等7虛應變余能，即

3/?二3./（3-40）

式中（3-40）稱虛力原理或余能原理，它和以位移為變量的虛位移原理相對應。式中

S.A"=￡多/;dS（在幾何邊界S&上,%=〃；）

M=f3。眄翻

JVVV

虛力原理將給出協調條件，如對彈性體施加某種虛力，當外虛余功等于虛應變余能時，彈性體必滿足變形協調

條件。

5.最小余能原理

令

n也.）=W/

也W（3-41）

式中，n*稱為系統的總余能。由式（4-5-40）得變分方程

5n*（^）=0（3-42）

式（3-42）表明，在滿足平衡方程和靜力邊界條件的所有應力中，能適合幾何邊界條件并能產生協調應變場的

止確解，使余能取勝駐值?？梢宰C明，在線彈性小就形情況下，在平衡條件容許的所有應力中，使余能取駐值

的應力，就是使余能為最小值的應力，也就是線彈性小變形問題的正確應力解。因此，式（3-42）稱為最小余

能原理。

6.卡氏定理

當物體的表面力為集中力時，虛力原理的余能駐值表達式可寫為

3ir=5t/?-Z%3Q=0

i.1

式中，Qi-廣義力

qi—廣義位移

由上.式得

19

%=k町b-=12…㈤、(3-43)

對于線彈性系統，II*=II，U*=U,式(3-43)變為

s

心一下dU7(1.一102…刈

對于線彈性系統，卡氏定理表述為：系統的應變能對任一奠中的偏導數，等于力作用點以力方向的位移。

7.互等定理

設彈性體有兩種平衡狀態。第一種平衡狀態為面力pi',體積力fi和相應的位移ui'(i=x,y,z);第二種

狀態為面力Pi"體積力fi”和相應的位移ui"?；サ榷ɡ肀硎鰹椋旱谝唤M外力在第二組外力引起的位移上所

作的功，等丁笫二組外力在笫一組外力引起的位移上所作的功，即

［推加+L漏加。工JsE%'dS

U=X,y,Z)(3-45)

互等定理應用于梁的問題時，得影響系數對稱性關系。設載荷為橫向力P，撓度為y,式(3-45)寫成

如果梁上只在xl,x2,…,xn處作用有集中力pl,p2,…，pn°把在xj處作用單位集中引起的在xl處的撓度

記為aij.aij稱為影響系數.由廳等定理得

約=叼(3"6)

8.李茲法

李茲法是基于變位移的最小勢能原理的直接近似求解方法。

根據問題的幾何邊界條件，假設的一組位移解中含有待定參數aj、bj、cjo由最小勢能原理，在所有

假定的幾何容許的位移函數中，真實的位移使總勢取駐值。因此可取如下一系列位移函數的近似解，即

X

(3-47)

/4.

式中，aj、bj、cj為待定參數；uxj(x,y,z)、uyj(x,y,z)、uz(x,y,z)為滿足位移邊界條件的位移函

數。

由勢能駐值條件，令

an=。0=1,2,…，力)

粵1=。0=1,2,???，力(3-48)

obi

=0Q=1,2,???,??)

得到3n個線性方程組，解出aj、bj、cj后，代入式(3-47),就得到問題的位移解。一股只要位移數選擇得

當，只須取有限幾個待定參數，就可得到足夠精確的位移解。

李茲法也可以基于最小余能原理的余能駐值條件，直接求得近似應力解。

表3-7彈性基礎梁的近似解與精確解的比較

熱應力

熱彈性方程II熱傳導方程與溫度場II熱應力問題的應用

物體加熱或冷卻時，體內各部分因溫度變化而伸縮，如果受到約束就產生熱應力。一種約束是由于物體

表面的邊界條件產生的。例如，不同形狀的物體均勻升高溫度T時產生的熱應力為

棒狀物體，兩端固定o=-aET

平板物體，周邊固定o=-aET/(l-v)

塊狀物體，外表面固定o=-aET/(l-2v)

式中，。為線膨脹系數，負號表示壓應力。

如果熱應力超過彈性極限而產生塑性應變&P，冷卻后將產生殘余應力。R。如￡P小于彈性應變￡o

時，殘余應力oR=ep/E

引起物體熱應力的另?種約束為物體內部存在不均勻溫度場，物體各部分因伸縮受陰而產生熱應力。熱彈性問

題主要是指這一類問題

1.熱彈性方程

熱彈性方程與常溫下彈性力學基本方程不同之處在于物性方程，其他平衡方程和幾何方程不變。對于各

向同性均質材料，單元體變溫時各方向膨脹相同，只發生線應變而無切應變，因此只有三個正應力線應變之間

的關系變為

1

二一％一?(4,

1

-也+?)]+仃(3-49)

1

=—O-.?七+5)]+打

E1

或

%=+Jte-(34+2G)aT、

ay=2Gj+48—(34+2G,T,(3—50)

%=2Gq+48-(34+2G[T

按位移求解的熱彈性方程見表3-8按位移求解的熱彈性基本方程。

2.熱傳導方程與溫度場

在熱彈性問題中，物體內應力的分布，取決丁不同瞬時物體內溫度的分布，即溫度場，而溫度場則是根

據物體的初始溫度分布，以及物體與環境之間的熱交換條件，求解熱傳導方程而得到。

A熱傳導方程對于均質各向同性材料，如材料的熱學性能與溫度無關時，熱傳導方程為

生=W町+匕（3-54）

dtco

點22

v=—?---a---1—a

dx2dy2+2

k=—

式中，2

k=、/cp為熱擴散率

人為熱志率

c為比熱容

P為密度

W為單位時間內單位體積熱源的發熱量

由熱傳導定律，熱流密度的大小與溫度梯度成正比，而方向相反，即

其中的比例常數，即為熱導率\。

室溫時常用材料的熱常數，見表3-9熱常數（20C時）。

B溫度場溫度場一般為位置和時間的函數，即

T=T（”,z,Z）

溫度分布與時間無關的溫度場稱為定常溫度場。物體內無熱源時，常溫度場的微分方程簡化為拉普拉斯方程

V2r=0（3-56）

在溫度場的初始條件和邊界條件中，一種情況是給定物體表面的溫度分布函數T=F（x,y,z,t）。另一種情況是

給定物體溫度和周圍環境介質溫度，以及兩者之間的熱交換規律。例如物體冷卻時，傳向周圍介質的熱流密度

為

段=-電-Q（3-57）

on

式中，h為傳熱系數：TB為物體表面溫度：TA為環境介質溫度。

3.熱應力問題的應用

A任意形狀薄平板（圖3?2）設溫度沿板厚方向變化，即T=T（z）。

圖3-2任意形狀平板

（1）無外力約束情況下的熱應力為

%二o?產盧（7；-7+數）,%=0

1-V

（3-58）

（2）板邊固定情況下的熱應力為

,=}+*口々），

%二?+=口一7），「石=。,（3-59；

鳴=巧=-及%/（1-7）

B矩形薄平板

情況（1）（圖3-3）板外部無約束,溫度沿X和Z方向不變，即T=T（y）。平板的熱應力為

ax=E{-aT+c^c1y）trxy=ay=0'

，。二（孫，14a力（3-60）

口見?6JU

圖3-3矩形板情況（1）

情況（2）（圖3-4）平板外部無約束。在x=0的y軸上溫度為T1,離開y軸時溫度急憂劇下降。板中

最低溫度為T0。溫度沿y、z方向不變，這時

最大拉應力在。、p處，即ox=Ea（T1-T0）

OP中點處的最大壓應力，為oy=-EaX（Tl-TO）o

圖3-4矩形板情況（2）

C半無限體中有線熱源（圖3-5）設半無限體表面（oyz面）的溫度為零。線熱源MN〃oz,與表面的

距離為a。單位長度的線熱源，單位時間內發出的熱量為II。這時半無限體的熱應力為

(x+?)-y21廠2211

o-x=M——%---------

々riHr\)\

)成(x+刊+24十Jy

(3-61)

“x+ax-a2ai22\

%=嶺—r~—5-------Aa2-x+尸)

Lr2八r2J

式中

EM

M=------------

4-v)

/-1-[(x-a)2?y2^七?[b+斕+/J

人一物體的熱導率

圖3-5半無限體中的線熱源

D半無限體表面上有點熱源（圖3-6）設單位時間內點熱源。發出的熱量為①表面其他地方完全絕熱,

則物體的溫度分布為

7=-2-,&=（戶

物體內的熱應力為

=EaQ1

b"/成R+z'

（3-62）

\A+zR,

%=%=0

圖3-6半無限體表面上的點熱源

塑性力學基本方程

屈服條件I塑性應力應變關系I滑移線場理論II極限分析定理

1.屈服條件

對于處于單向拉伸（或壓縮）的物體，當應力達到屈服極限時，材料開始進入塑性狀態，對于處于復

雜應力狀態的物體，由彈性狀態過渡到塑性狀態的臨界條件稱為屈服條件。在應力空間將初始屈服的應力點

連成的彈性和塑性的分界面稱為屈服面。描述屈服面的數學表達式稱為屈服函數。常用的各向同性金屬材料

的屈服試驗表明，屈服應力數據點介于屈雷斯卡（Tresca）屈服條件和密賽斯（Mises）屈服條件之間，而

更接近于密賽斯屈服條件。

A屈雷斯卡屈服條件（最大切應力條件）屈雷斯卡屈服條件為：當最大切應力達到某一極限值

時，材料開始進入塑性狀態，即

小%二H——bQg）（3-63）

在主應力空間，當差值I?！浮?1、|?！?。3l、I。3-。"中任一個達到2k時，材料進入塑料性

狀態。因此用屈雷斯卡條件表示的屈服面為由下列六個平面組成的正六邊形柱體（圖3-7a）,即

5-％=±2k

or2-cr3=±2E(

丐一丐=±2k

材料常數k由實驗確定。在拉伸試驗時，。尸2k=。,，即k=0/2。在純剪切試驗時，。「。3=21<=21，,

即卜=八。如果屈雷斯卡條件成立，必有T=1/20,

b)

圖3-7屈服面

B密賽斯屈服條件密賽斯條件為：：當切應力強度和等于剪切屈服極限口時，材料開始屈服；或

者當應力強度明等于拉伸屈服極限。,時，材料開始屈服，即

G=4^2

=9M-山J+⑸-q)2+(6一[J=%

(3-65)

或

5=君"^

_bj+?_orj+(g_bj=與

(3-66)

式中，j'2為應力偏量第二不變量

對于密賽斯條件，TS=OSV3O密賽斯條件與屈雷斯卡條件的最大差別不超過15%0

在主應力空間，密賽斯屈服面為一外接于屈雷斯卡屈服面的圓柱面。在平面應力狀態，設。,=0,則

在。2應力平面上，密賽斯條件為一橢圓，屈雷斯卡條件為內接六邊形（圖3-7b）。

C后繼屈服函數（加載函數）已產生塑性變形的材料，繼續塑性變形的條件，稱為后繼屈服條件。

在主應力空間滿足后繼屈服條件的應力點所連成的曲面，稱為后繼屈服面（加載面）。對于理想塑性材料，

后繼屈服面即為初始屈服面；對于強化材料，后繼屈服而隨塑性變形的歷史而變化。描述后繼屈服面的函數，

稱為后繼屈服函數或加載函數，?般可寫成

0口,m=0（3-67）

式中，H為應變歷史和材料性質的函數。在應力空間，加載面隨H的變化而改變其形狀、大小和位置。目前應

用較多的兩種簡單的強化模型為等向強化模型和隨動強化模型。圖3-8表示按照屈雷斯卡屈服條件在n面

（。>o,+o3=0的面）上的屈服曲線和加載曲線。

圖3-8屈服曲線和加載曲線

等向強化模型的加載函數表示為

<p=f^]-H=0（3-68）

式中，H為決定于塑性應變歷史的單調遞增正函數。加我的是初始屈服的等向擴大，屈服面中心位置小變。這

種模型不考慮材料的包辛格效應。

隨動強化模型的加載函數表示為

W=廠%）?左=。（3?69）

式中，oij表示初始屈服而中心在應力空間的殘茶剩飯量,加載面的大小，形狀保持不變。

2.塑性應力應變關系

塑性應力應變關系有增量（流動）理論和全量（形變）理論兩種類型。

A增量理論材料在塑性變形時，應力與應變之間一般不存在一一對應的關系，增量理論假設在

塑性流動的任一瞬時?，塑性應變增量矢量與加載面正交，即

d…包

對理想塑性材料，力=久若取f為密賽斯屈服函數時，上式變為

a/

何=戒嚴=吟（3-70）

對于剛塑性材料，式（3-70）寫成完全表達式為

=d九Sx，d"=2d兀％

ds-d九.Sdy=2dlr

dez=d/LSg,dy/=2d4:?喬(3-71)

當J；〈d或J；=J㈤;<0時M=0

當J；=J,dJ；=時以=旦渥》

2K

式中,

A/

=^~而￡：__封y+-y+卜封一d邸y

(3-72)

式(3-71)稱為列維-密賽斯(levy-Mises)關系式。

若考慮彈性變形，則對密賽斯理想塑性材料有

—dS+d電

2Gx

4“二%+2d八/

CJ

%—+d祝

2Gyy

心=為7+2心心

CJ

de=—dS+d^(3-73)

z2GzxT

d/=萬40+2"/

CJ

體積彈性定律d〃=d%/K

當J；<勺或J；=片M<附,d<=0

當J；=片,dJ；=0吐dR=>0

式中，塑性功增量

v

dW=5rd4-r^^yJL

++%&丫匕(3-74)

式(3-73)稱為普朗特-勞埃斯(prandtl-Reuss)關系式。

對于具有密賽斯等向強化加載面的強化材料，增量理論公式中的比例因子dX為與材料強化性質有關的非負

標量，當加載時

d-(3-75)

式中M為強化函數H對其自變量的導數。

B全量理論全量理論用應力和應變的瞬時值表示的塑性應力應變關系，是塑性應力應變增量關

系沿加載途徑的積分形式。當滿足小變形及簡單加載（應力分量成比例」曾長）條件，應力強度ai和應變強度

￡i之間存在單一的函數關系。這時全量理論表達為

凡=2G4,Sp=2G^

S〉=2G，,S*=2G^

S"2G/,S"%,（3-76）

3'=生

3號

q=K6,K=￡73（l-2v）

式中，應變強度

Si~-期）’+（的-&3）'+"-鳥）’（3-77）

3.滑移線場理論

滑移線場理論，是基于塑性材料在屈服流動時.，沿最大切應力方向，成為塑性變形區內的特征性質。

據此來對整個變形區進行應力分布的數值分析。

此處所討論的滑移戲場理論，只限于各向同性的理想剛塑性材料的平面應變問題，并假設屈服條件與

靜水壓力無關。

A應力方程不滑移線場的幾何性質

（1）應力方程在塑性變形區內，連接最大切應變方向的線，稱為滑移線。兩族正交的滑移線組成

的網絡，稱為滑移線場。這兩簇曲線，分別稱為a簇和B簇。從a線到B逆時針轉動時，最大主應力方

向在a線和B線之間。從X軸到a線的逆時針轉角用0表示（圖3-9）。a、B的曲線方程為

以簇線嘰團6

dx（3-78）

磁線的

dx=-cot8.

x

圖3-9a、8線和應力圖

由于主切應力面上的切應力k=和，如果正應力。（。=。,+。丫/2）和0角己知時，滑移線場內任?點的應力僅

取決于。、0的變化，即

3-o■一上sin28,a.=cr+尢sin26,

%=kcos26（3-79）

由單元體平衡條件，應力沿滑移線變化規律為

沿以線G-2k8=常數1/V

沿￡.線b+2第=常數j.]

式（3-80）稱為漢基（Hencky）應力方程

（2）滑移線場的幾何性質

1.沿線性質由應力方程，沿同一滑移線移動時，。和0的變換成正比，即

沿“線Ab=2私8、

沿￡線Ab=2過4-

在直線段上，。和o都是常量。

2.跨線性質（圖3-10）位于兩根同簇滑移線之間的另一-簇滑線段上，Q的變化相等，B|J

"一舔=%一2,

（3-82）

%-=，c-%,

相應地，。的變化也相等，即

/一%=

（3-83）

%―%=/-%.

圖3-10跨線性質

B速度方程和速端曲線在剛塑性體平面應變問題中，沿滑移線上的線應變為零。因此將任一點處

的質點速度沿a線和B線分解為V。和n（圖3T1）,得到速度沿線變化規律為

%+d

.Or

圖3T1速度的分解

沿讖也"/8=0]

沿￡.?線d%-%d6=°J

式(3-84)稱為蓋林格(Geiringer)速度方程。

可以把速度方程改寫成差分方程，求出節點速度，建立速度場。也可以用作圖法作速度圖(速度矢端

曲線)來表示速度分布。由于沿滑移線上線應變為零，同一滑線相鄰兩點的相對速度必與該滑移線線元正交。

因此滑移線上各點的速度矢端曲線與該滑移線線元正交。圖3T2中代表Pi點的速度平面上的映象即為速度圖。

y

b)

圖3-12速度場和速端曲線

(a)物理平面(b)速端曲線

4.極限分析定理

在設計中把加載的極限狀態作為設計準則的分析方法，稱為極限分析。理想剛塑性結構的極限載荷，

是指載荷增加到某一數值時，結構達到極限狀態，這時即使載荷不再增加，塑性變形繼續發展。由于求解彈

塑性結構極限狀態對應的極限載荷比較復雜，因此需要尋求一種計算極限載荷的近似方法，即利用極限分析

上下限定理，來估計極限投荷的近似值范圍。在分析中，把材料假定為理想剛塑性體。

剛塑性材料平面應變問題的真實解，在應力方面體內應滿足平衡方程、屈服條件和應力邊界條件，在

幾何方面應滿足體積不變條件和速度邊界條件，并使外力對速度場作正功率。在實際問題中，要同時滿足全

部條件是困難的。如果只滿足應力方面的條件，這時所得到的應力場稱稱為靜力許可應力場。根據這個應力

場求得的我荷為真實極限載荷的下限。如果只滿足應變和位移條件所求得的速度場，稱為運動許可速度場，

由此求得的載荷為真實極限載荷的上限。如果上下載荷相等，所求得的載荷，即為真實的極限載荷。

A下限定理由任何靜力許可應力場所求得的載荷，恒小于或等于極限載荷,在塑性狀態下，物體

發生一微小變形速度Vi時，在非作用力表面Sv上，任一靜力許可應力場所引起的表面力「i所作的功率，

恒小于或等于極限載荷表面力Ti所作的功率，即

如科(3-85：

B上限定理任一與運動許可速度場相對應的載荷，恒大小或等于極限栽荷。在塑性狀態下，任一運

動許可速度場上所作的功率，恒大于或等于極限載荷表面刀，在真實應變速度場上所作的功率，即

孫埒（3-86）

式中，\出一任一運動許可速度場

k一剪切屈服應力

S*i一速度不連續面

△V*—S得面上速度不連續量

。二和￡"——由V*「導出的應力和應變速度率如果塑性機構按剛性塊在速度不連續面上相互移

動，則上式左邊第一項為零，在許多實際問題中，力的邊界條件

■

f7iVidsT=0

,這時式（3-86）簡化為

^k^^D>^dSY（3-87）

粘彈性

粘彈性模型與木構關系||三維性粘彈性理論的基本方程與對應原理

彈性理論和塑性理論中的應力應變關系，都不考慮時間和速率的影響。近代某些工程材料，在一定條

件下，顯示出與時間有關的性質。例如，金屬、陶瓷和高聚合物在較高溫度下發生蠕變，即在不就應力下應

變隨時間綬慢增加的現象。在定應變卜，應力隨時間綬慢衰減的現象，稱為松弛。具有明顯時間效應的木構

關系的物體，稱為粘彈性理論。

1.粘彈性模型與本構關系

A基本元件粘彈性體的力學模型，可看作具有理想彈性元件（彈簧，用S表示）的組合體。

在簡單拉伸情況下，理想彈性元件（圖3T4a）的應力應變關系為

o=Ec

而理想粘性元件（圖3T4b）的應力應變率關系為

a=n，E（3-88）

圖3-14彈簧阻尼器

式中，n—粘性系數

B馬克思威爾體由S和D串聯的粘彈性模型稱為馬克思威爾體（圖3-15a）用字母M或S-D

表示，其本構方程為

b+=g逐.（3-89）

式中，pl、ql為材料常數，pl=q/E,ql=Ho方程的解含有時間t

在定應力下應變隨時間的變化規律，即蠕變特性為

彳20+0

%

變形隨時間t線性（圖3T5b）,表現出流體粘性性質。

在定應變￡0下的松弛特性（圖3-15c）為

圖3T5馬克思威爾體

（a）粘彈性模型（b）蠕變曲線（c）松弛曲線

C開爾文體（圖376a）為S和D并聯組成的粘彈性模型。用字母K或S/D表示。開爾文體的本構

方程為

圖3-16開爾文體

（a）粘彈性模型（b）蠕變曲線（c）松弛曲線

or=%￡+%￡（3-90）

式中qO=Eql=n

開爾文體在定應力。0下蠕變特性（圖3-16b）為

彳2(1-?/r)

q。

式中T=ql/qO

在定應變￡。的松弛特性（圖3T6c）為

o=qOE0+qlE0,6(t)

其中，6（t）為狄拉克函數，即當1m0時,，6（t）=0；1=0時?，6（t）=+8

D多元件模型的本構方程實際材料的粘彈性特性與上述兩種模型往往不符，因此尋求由更多元件

組成的模型。其本構關系列在表4.5TO中。多元件模型的本構方程的一般形式為

PQ=QE(3-91)

式中，P,Q為線性微分運算算子。引入算子符號D后,

產=$＞。==外dk