第9節探索性及折疊問題考試要求以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關系或空間角存在的條件，解決折疊問題．考點一探索性問題例1(2024·青島調研)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△AB1C為等邊三角形，四邊形AA1B1B為菱形，AC⊥BC，AC＝4，BC＝3.(1)求證：AB1⊥A1C；(2)線段CC1上是否存在一點E，使得平面AB1E與平面ABC的夾角的余弦值為eq\f(1,4)？若存在，求出點E的位置；若不存在，請說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.對于存在判斷型問題的求解，應先假設存在，把要成立的結論當作條件，據此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍內的解”等．2．對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數，綜合已知和結論列出等式，解出參數．訓練1(2024·武漢模擬)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，側面PAB是等邊三角形，BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，PB⊥AC.(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；(2)設Q為側棱PD上的一點，四邊形BEQF是過B，Q兩點的截面，且AC∥平面BEQF.是否存在點Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求eq\f(PQ,QD)的值；若不存在，請說明理由．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點二折疊問題例2(2023·蘇北四市質檢)已知一圓形紙片的圓心為O，直徑AB＝2，圓周上有C，D兩點．如圖，OC⊥AB，∠AOD＝eq\f(π,6)，點P是eq\o(BD,\s\up8(︵))上的動點．沿AB將紙片折為直二面角，并連接PO，PD，PC，CD.(1)當AB∥平面PCD時，求PD的長；(2)當三棱錐P－COD的體積最大時，求平面OPD與平面CPD夾角的余弦值．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升翻折問題中的解題關鍵是要結合圖形弄清翻折前后變與不變的關系，尤其是隱含的垂直關系．一般地翻折后還在同一個平面上的性質不發生變化，不在同一平面上的性質發生變化．訓練2(2024·成都診斷)如圖①，在等腰直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，以CD為折痕把△ACD折起，使點A到達點P的位置，且∠PBD＝60°，E，F，H分別為PB，BC，PD的中點，G為CF的中點(如圖②)．(1)求證：GH∥平面DEF；(2)求直線GH與平面PBC所成角的正弦值．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________