第5節古典概型、概率的基本性質考試要求1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所包含的樣本點及事件發生的概率.3.當直接求某一事件的概率較為復雜時，可轉化為求幾個互斥事件的概率之和或其對立事件的概率．【知識梳理】1．古典概型具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：樣本空間的樣本點只有________；(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性______________．2．古典概型的概率公式設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝________＝eq\f(n（A）,n（Ω）).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．3．概率的性質性質1：對任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________；性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________；性質5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[常用結論與微點提醒]概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，當A∩B＝?，即A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時P(A∩B)＝0.【診斷自測】1．思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發芽”屬于古典概型，其樣本點是“發芽與不發芽”．()(2)擲一枚硬幣兩次，出現“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事件．()(3)從－3，－2，－1，0，1，2中任取一個數，取到的數小于0或不小于0的可能性相同．()(4)從1，2，3這三個數中任取兩個數，其和不小于4的概率為eq\f(2,3).()2．(必修二P237例7改編)單項選擇題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案．如果考生掌握了考查的內容，他可以選擇唯一正確的答案．假設考生有一題不會做，他隨機地選擇一個答案，答對的概率是________．3．袋中裝有大小、形狀完全相同的6個白球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為______________．4．某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環，有3次中9環，有4次中8環，有1次未中靶．假設此人再射擊1次，則中靶的概率約為____________．考點一古典概型例1(1)(2024·東莞調研)甲、乙、丙、丁四人在足球訓練中進行傳球訓練，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙、丙、丁中的任何一個人，以此類推，則經過3次傳球后乙恰好接到1次球的概率為()A.eq\f(14,27) B．eq\f(5,9)C.eq\f(16,27) D．eq\f(17,27)(2)(2024·沈陽模擬)如圖為一個開關陣列，每個開關只有“開”和“關”兩種狀態，按其中一個開關1次，將導致自身和所有相鄰(上、下相鄰或左、右相鄰)的開關改變狀態．若從這十六個開關中隨機選兩個不同的開關先后各按1次(例如：先按(1，1)，再按(4，4))，則(2，3)和(4，1)的最終狀態都未發生改變的概率為________．(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升求樣本空間中樣本點個數的方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點個數較少且易一一列舉出的問題．(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題，注意在確定樣本點時(x，y)可看成是有序的，如(1，2)與(2，1)不同；有時也可看成是無序的，如(1，2)與(2，1)相同．(3)排列組合法：在求一些較復雜的樣本點個數時，可利用排列或組合的知識．訓練1(1)(2023·益陽調研)2022年10月12日“天宮課堂”首次在問天實驗艙中授課，航天員老師們演示和講解的多種實驗，極大地激發了學生的學習興趣．在一次模仿操作實驗中，學生們從標號分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9種不同的種子中隨機抽取2種種子進行實驗，則抽到的2種不同的種子的標號之和恰為10的概率為()A.eq\f(1,9) B．eq\f(1,15)C.eq\f(5,36) D．eq\f(4,45)(2)(2023·全國乙卷)某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為()A.eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)考點二概率的基本性質例2從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個數的概率如表所示：紅燈個數0123456個及6個以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母a的值；(2)求至少遇到4個紅燈的概率；(3)求至多遇到5個紅燈的概率．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升復雜事件概率的求解方法(1)對于一個較復雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當這些事件彼此互斥時，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和．(2)當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時，常常考慮其對立事件，通過求其對立事件的概率，然后轉化為所求問題．訓練2(多選)(2024·河北名校聯考)中國籃球職業聯賽中，某男籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的得分情況如下表：投籃次數投中兩分球的次數投中三分球的次數1005518記該運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，則()A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18C．P(C)＝0.27 D．P(B∪C)＝0.55考點三古典概型的綜合應用例3(2024·南充診斷)某大學“愛牙協會”為了解“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”情況之間的關系，隨機對200名青少年展開了調查，得知這200個人中共有120個人“有蛀牙”，其中“不愛吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的有50人．有2×2列聯表如表所示．有蛀牙無蛀牙總計愛吃甜食不愛吃甜食總計(1)根據已知條件完成如表所示的2×2列聯表，依據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，能否認為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關；(2)若從“無蛀牙”的青少年中用分層隨機抽樣的方法抽取8人做進一步調查，再從抽取的這8人中隨機抽取2人去擔任“愛牙宣傳志愿者”，求抽取的2人都是“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的青少年的概率．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.α0.050.010.005xα3.8416.6357.879________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升有關古典概型與統計結合的題型是高考考查概率的一個重要題型．概率與統計的結合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準確從題中提煉信息是解題的關鍵．復雜事件的概率可將其轉化為互斥事件或對立事件的概率問題．訓練3某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數和中位數；(3)在月平均用電量為[240，260)，[260，280)，[280，300]的三組用戶中，用分層隨機抽樣的方法抽取6戶居民，并從抽取的6戶中任選2戶參加一個訪談節目，求參加節目的2戶來自不同組的概率．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________