第4講萬有引力定律及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解開普勒三定律內(nèi)容，會用開普勒第三定律進行相關(guān)計算。2.理解萬有引力定律的內(nèi)容，知道適用范圍。3.掌握計算天體質(zhì)量和密度的方法。1.eq\a\vs4\al(2.,,)1.思考判斷(1)圍繞同一天體運動的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個共同的焦點。(√)(2)行星在橢圓軌道上運行速率是變化的，離太陽越遠(yuǎn)，運行速率越大。(×)(3)只要知道兩個物體的質(zhì)量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)計算物體間的萬有引力。(×)(4)地面上的物體所受地球的萬有引力方向一定指向地心。(√)2.2022年11月30日，天和核心艙與神舟十五號載人飛船成功對接。已知天和核心艙繞地球做圓周運動的軌道離地高度為地球半徑的eq\f(1,16)，不考慮地球自轉(zhuǎn)，則宇航員在天和核心艙受到地球的引力是其在地球表面重力的()A.eq\f(17,16)B.eq\f(16,17)C.eq\f(289,256)D.eq\f(256,289)答案D考點一開普勒三定律的理解和應(yīng)用1.行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。2.開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。3.由開普勒第二定律可得eq\f(1,2)v1·Δt·r1＝eq\f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在兩個位置的速度之比與到太陽的距離成反比，近日點速度最大，遠(yuǎn)日點速度最小。4.開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同。但該定律只能用在同一中心天體的星體之間。例1(多選)如圖1所示，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠(yuǎn)日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0，若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)過M、Q到N的運動過程中()圖1A.從P到M所用的時間等于eq\f(T0,4)B.從Q到N階段，機械能逐漸變大C.從P到Q階段，速率逐漸變小D.從M到N階段，萬有引力對它先做負(fù)功后做正功答案CD解析由行星運動的對稱性可知，從P經(jīng)M到Q所用時間為eq\f(1,2)T0，根據(jù)開普勒第二定律可知，從P到M運動的速率大于從M到Q運動的速率，可知從P到M所用的時間小于eq\f(1,4)T0，選項A錯誤；海王星在運動過程中只受太陽的引力作用，故機械能守恒，選項B錯誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，從P到Q階段，速率逐漸變小，選項C正確；海王星受到的萬有引力指向太陽，從M到N階段，萬有引力對它先做負(fù)功后做正功，選項D正確。例2(多選)如圖2所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動能、與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積。下列關(guān)系式正確的有()圖2A.TA＞TB B.EkA＞EkBC.SA＝SB D.eq\f(Req\o\al(3,A),Teq\o\al(2,A))＝eq\f(Req\o\al(3,B),Teq\o\al(2,B))答案AD解析根據(jù)開普勒第三定律知，A、D正確；由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)和Ek＝eq\f(1,2)mv2可得Ek＝eq\f(GMm,2R)，因RA＞RB，mA＝mB，則EkA＜EkB，B錯誤；根據(jù)開普勒第二定律知，同一軌道上的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積相等，對于衛(wèi)星A、B，SA不等于SB，C錯誤。考點二萬有引力定律的理解和應(yīng)用角度萬有引力定律的理解及簡單計算例3(2023·新課標(biāo)卷，17)2023年5月，世界現(xiàn)役運輸能力最大的貨運飛船天舟六號，攜帶約5800kg的物資進入距離地面約400km(小于地球同步衛(wèi)星與地面的距離)的軌道，順利對接中國空間站后近似做勻速圓周運動。對接后，這批物資()A.質(zhì)量比靜止在地面上時小B.所受合力比靜止在地面上時小C.所受地球引力比靜止在地面上時大D.做圓周運動的角速度大小比地球自轉(zhuǎn)角速度大答案D解析物體的質(zhì)量由物體本身決定，與其所處位置、狀態(tài)均無關(guān)，A錯誤；物資所受地球引力的大小F＝Geq\f(m地m,r2)，故其所受地球引力比靜止在地面上時小，C錯誤；空間站軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星軌道半徑，由開普勒第三定律可知，物資做圓周運動的周期小于地球同步衛(wèi)星的周期，所以物資做圓周運動的角速度大于地球自轉(zhuǎn)角速度，D正確；物資所受合力即為其做圓周運動的向心力，由向心力公式Fn＝mω2r可知，對接后物資所受合外力比靜止在地面上時的大，B錯誤。角度“挖補法”求解萬有引力例4有一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點。現(xiàn)從球體中挖去半徑為0.5R的小球體，如圖3所示，引力常量為G，則剩余部分對m的萬有引力為()圖3A.eq\f(7GMm,36R2) B.eq\f(14GMm,63R2) C.eq\f(343GMm,2048R) D.eq\f(343GMm,2048R2)答案A解析挖去小球前球與質(zhì)點的萬有引力F1＝Geq\f(Mm,（2R）2)＝eq\f(GMm,4R2)，挖去的球體的質(zhì)量M′＝eq\f(\f(4,3)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(3),\f(4,3)πR3)M＝eq\f(M,8)，被挖部分對質(zhì)點的引力為F2＝eq\f(G\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3R,2)))\s\up12(2))＝eq\f(GMm,18R2)，則剩余部分對質(zhì)點m的萬有引力F＝F1－F2＝eq\f(7GMm,36R2)，故A正確。角度萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是物體的重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖4所示(設(shè)地球質(zhì)量為M)。圖4(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和。越靠近南北兩極g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg，即GM＝gR2(黃金代換)。例5(2024·廣東廣州高三期中)人類社會的快速進步使得碳排放量不斷增加，這導(dǎo)致溫室效應(yīng)加劇，地球南北兩極的生態(tài)環(huán)境遭到一定的破壞。一頭質(zhì)量為m的北極熊在失去家園后，被運送到了位于赤道上的北極熊館加以照料，它在北極和館內(nèi)的重力差為ΔF。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T。根據(jù)以上信息，可求出地球的半徑為()A.eq\f(T2·ΔF,4π2m) B.eq\f(T2·ΔF,2π2m) C.eq\f(mT2·ΔF,4π2) D.eq\f(mT2,4π2·ΔF)答案A解析設(shè)地球的質(zhì)量為m地，北極熊在赤道上時，萬有引力的一部分提供向心力，即eq\f(Gm地m,R2)－mg＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，北極熊在北極時，有eq\f(Gm地m,R2)＝mg′，根據(jù)題意，有ΔF＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，得R＝eq\f(T2·ΔF,4π2m)，A正確，B、C、D錯誤。角度星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解1.星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度g′：mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2)。2.萬有引力的“兩個推論”推論1：在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。例6近幾年來，我國生產(chǎn)的“蛟龍?zhí)枴毕聺撏黄?000m大關(guān)，我國的北斗導(dǎo)航系統(tǒng)也進入緊密的組網(wǎng)階段。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)任一質(zhì)點的萬有引力為零，將地球看成半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中的一顆衛(wèi)星的軌道距離地面的高度為h，“蛟龍?zhí)枴毕聺摰纳疃葹閐，則該衛(wèi)星所在處的重力加速度與“蛟龍?zhí)枴彼谔幍闹亓铀俣鹊拇笮≈葹?)A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R＋h)))eq\s\up12(2)C.eq\f(R3,（R＋h）2（R－d）) D.eq\f(（R－d）（R＋h）,R2)答案C解析設(shè)地球的密度為ρ，在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，由于地球的質(zhì)量M＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立解得g＝eq\f(4,3)πGρR，在深度為d的地球內(nèi)部，“蛟龍?zhí)枴笔艿降厍虻娜f有引力等于半徑為(R－d)的球體表面的重力，“蛟龍?zhí)枴痹诤＠锼幬恢玫闹亓铀俣葹間1＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)，聯(lián)立可得eq\f(g1,g)＝eq\f(R－d,R)，衛(wèi)星在高度h處受到的重力，即為該處受到的萬有引力，即mg2＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，解得加速度g2＝eq\f(GM,（R＋h）2)＝eq\f(R2,（R＋h）2)g，所以eq\f(g2,g1)＝eq\f(R3,（R＋h）2（R－d）)，故C正確。考點三天體質(zhì)量和密度的計算天體質(zhì)量和密度的計算方法類型方法已知量利用公式表達(dá)式備注質(zhì)量的計算利用運行天體r、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天體的質(zhì)量r、vGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)m中＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)，Geq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(v3T,2πG)利用天體表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)m中＝eq\f(gR2,G)—密度的計算利用運行天體r、T、RGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)當(dāng)r＝R時，ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地衛(wèi)星只需測出其運行周期利用天體表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)，m中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)—角度重力加速度法例7我國是第三個對火星探測并將探測器著陸火星的國家，探測器在環(huán)繞火星表面飛行時周期是T。火星表面氣體非常稀薄可近似認(rèn)為真空，在火星表面附近以初速度v0水平拋出一個物體，測得拋出點距火星表面高度為h，落到火星表面時物體的水平位移為x，已知引力常量為G，下列說法正確的是()A.火星表面重力加速度大小是eq\f(2hx,veq\o\al(2,0))B.火星的半徑是eq\f(2hT2veq\o\al(2,0),π2x2)C.火星的質(zhì)量是eq\f(h3T4veq\o\al(6,0),2Gπ4x6)D.火星的密度是eq\f(3πx,GT2h)答案C解析設(shè)物體在火星表面附近做類平拋運動的時間為t，水平方向x＝v0t，豎直方向h＝eq\f(1,2)g′t2，聯(lián)立得g′＝eq\f(2hveq\o\al(2,0),x2)，探測器在環(huán)繞火星表面飛行時周期是T，可得加速度為g′＝ω2R＝Req\f(4π2,T2)，聯(lián)立得R＝eq\f(hT2veq\o\al(2,0),2π2x2)，A、B錯誤；在火星表面有mg′＝Geq\f(Mm,R2)，解得M＝eq\f(h3T4veq\o\al(6,0),2Gπ4x6)，C正確；火星的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)，D錯誤。角度環(huán)繞法例8(2023·遼寧卷，7)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對應(yīng)的張角)近似相等，如圖5所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為()圖5A.k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) B.k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)C.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) D.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)答案D解析設(shè)太陽、地球、月球的半徑分別為R太、R地、R月，月球繞地球轉(zhuǎn)動的半徑為r月，地球繞太陽轉(zhuǎn)動的半徑為r地，根據(jù)題意，由幾何關(guān)系，有eq\f(R太,r地)＝eq\f(R月,r月)，根據(jù)萬有引力提供向心力，有eq\f(GM地m月,req\o\al(2,月))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r月，eq\f(GM太M地,req\o\al(2,地))＝M地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r地，星球的密度ρ地＝eq\f(M地,\f(4,3)πReq\o\al(3,地))，ρ太＝eq\f(M太,\f(4,3)πReq\o\al(3,太))，可得eq\f(ρ地,ρ太)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R月,R地)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)，故D正確，A、B、C錯誤。(多選)中國新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實來自火星。某同學(xué)想根據(jù)平時收集的部分火星資料計算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進行比較。下列計算火星密度的公式正確的是(引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響)()火星的小檔案直徑d＝6794km質(zhì)量M＝6.4219×1023kg表面重力加速度g0＝3.7m/s2近火衛(wèi)星周期T＝3.4hA.ρ＝eq\f(3g0,2πGd) B.ρ＝eq\f(g0T2,3πd) C.ρ＝eq\f(3π,GT2) D.ρ＝eq\f(6M,πd3)答案ACD解析設(shè)近火衛(wèi)星的質(zhì)量為m，火星的質(zhì)量為M，對近火衛(wèi)星，火星的萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力，則有eq\f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))\s\up12(2))＝eq\f(m4π2,T2)·eq\f(d,2)，可得M＝eq\f(π2d3,2GT2)，可得火星的密度為ρ＝eq\f(M,\f(4,3)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))\s\up12(3))＝eq\f(6M,πd3)，將M＝eq\f(π2d3,2GT2)代入上式可得ρ＝eq\f(3π,GT2)，故C、D正確；又火星對近火衛(wèi)星的萬有引力近似等于近火衛(wèi)星的重力，則有mg0＝Geq\f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))\s\up12(2))，解得M＝eq\f(g0d2,4G)，因此火星的密度為ρ＝eq\f(M,\f(4,3)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))\s\up12(3))＝eq\f(\f(g0d2,4G),\f(1,6)πd3)＝eq\f(3g0,2πGd)，A正確，B錯誤。A級基礎(chǔ)對點練對點練1開普勒三定律的理解和應(yīng)用1.(2024·江蘇南京模擬)某行星繞太陽運動的軌道如圖1所示，則以下說法正確的是()圖1A.該行星在a點的向心加速度比在b、c兩點的都大B.該行星在a點的速度比在b、c兩點的速度都更小C.行星與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積是不相等的D.行星繞太陽做勻速圓周運動，太陽在圓心上答案A解析根據(jù)a＝eq\f(v2,r)知該行星在a點的向心加速度比在b、c兩點的都大，A正確；根據(jù)開普勒第二定律可知近日點速度最大，所以該行星在a點的速度比在b、c兩點的速度都更大，B錯誤；由開普勒第二定律知相等時間內(nèi)，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積是相等的，C錯誤；由開普勒第一定律可知，太陽一定在橢圓的一個焦點上，行星繞太陽做橢圓運動，D錯誤。2.(2024·云南師大附中質(zhì)檢)如圖2所示，“天問一號”從地球發(fā)射后，沿著地火轉(zhuǎn)移橢圓軌道從P點運動到Q點。已知地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為1.5×1011m和2.3×1011m，則“天問一號”從P點運動到Q點的時間約為()圖2A.0.2年 B.0.7年C.1.4年 D.2.0年答案B解析分析可知地火轉(zhuǎn)移軌道的半長軸a＝eq\f(1.5×1011＋2.3×1011,2)m＝1.9×1011m，根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝eq\f(req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地))，代入數(shù)據(jù)可得T≈1.4年，則“天問一號”從P點運動到Q點的時間約為t＝eq\f(T,2)＝0.7年，故B正確。3.如圖3所示，1、2分別是A、B兩顆衛(wèi)星繞地球運行的軌道，1為圓軌道，2為橢圓軌道，橢圓軌道的長軸(近地點和遠(yuǎn)地點間的距離)是圓軌道半徑的4倍。P點為橢圓軌道的近地點，M點為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點，TA是衛(wèi)星A的周期。則下列說法正確的是()圖3A.B衛(wèi)星在由近地點向遠(yuǎn)地點運動過程中受到地球引力將先增大后減小B.地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時間內(nèi)掃過的面積為橢圓面積C.衛(wèi)星B的周期是衛(wèi)星A的周期的8倍D.1軌道圓心與2軌道的一個焦點重合答案D解析根據(jù)萬有引力定律有F＝Geq\f(Mm,r2)，B衛(wèi)星在由近地點向遠(yuǎn)地點運動過程中受到地球引力逐漸減小，A錯誤；由題意知B衛(wèi)星半長軸為A衛(wèi)星圓軌道半徑的2倍，根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(R3,Teq\o\al(2,A))＝eq\f(（2R）3,Teq\o\al(2,B))，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時間內(nèi)掃過的面積小于橢圓面積，B、C錯誤；1軌道圓心在地心，2軌道的一個焦點也在地心，所以二者重合，D正確。對點練2萬有引力定律的理解和應(yīng)用4.(2022·全國乙卷，14)2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學(xué)們上了一堂精彩的科學(xué)課。通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們()A.所受地球引力的大小近似為零B.所受地球引力與飛船對其作用力兩者的合力近似為零C.所受地球引力的大小與其隨飛船運動所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運動所需向心力的大小答案C解析航天員所受地球引力大小不為零，在空間站中所受的地球引力完全提供做圓周運動的向心力，飛船對其作用力等于零，故A、B錯誤，C正確；根據(jù)F＝Geq\f(Mm,r2)可知，他們在地球表面上所受引力的大小大于在飛船中所受的萬有引力大小，因此在地球表面所受引力大小大于其隨飛船運動所需向心力的大小，故D錯誤。5.某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T，則該天體的半徑為()A.eq\f(4π2,g1T2) B.eq\f(4π2,g2T2)C.eq\f(（g2－g1）T2,4π2) D.eq\f(（g1＋g2）T2,4π2)答案C解析在“極點”處mg2＝eq\f(GMm,R2)；在其表面“赤道”處eq\f(GMm,R2)－mg1＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，解得R＝eq\f(（g2－g1）T2,4π2)，故C正確。6.(2023·山東卷，3)牛頓認(rèn)為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)，且都滿足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為()A.30πeq\r(\f(r,g)) B.30πeq\r(\f(g,r))C.120πeq\r(\f(r,g)) D.120πeq\r(\f(g,r))答案C解析設(shè)地球半徑為R，由題意知，r＝60R，地球表面的重力加速度為g，則有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球繞地球公轉(zhuǎn)，由萬有引力提供向心力，有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，聯(lián)立解得T＝120πeq\r(\f(r,g))，故C正確。7.質(zhì)量為m的著陸器在著陸火星前，會在火星表面附近經(jīng)歷一個時長為t0、速度由v0減速到零的過程。已知火星的質(zhì)量約為地球的0.1倍，半徑約為地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個豎直向下的勻減速直線運動，此過程中著陸器受到的制動力大小約為()A.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g－\f(v0,t0))) B.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))C.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g－\f(v0,t0))) D.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g＋\f(v0,t0)))答案B解析著陸器向下做勻減速運動時的加速度大小a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(v0,t0)。在天體表面附近，有mg＝Geq\f(mM,R2)，則eq\f(g火,g)＝eq\f(M火,M地)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R火)))eq\s\up12(2)，整理得g火＝0.4g，由牛頓第二定律知，F(xiàn)－mg火＝ma，解得制動力F＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))，B項正確。對點練3天體質(zhì)量和密度的計算8.在中國航天領(lǐng)域迅猛發(fā)展的當(dāng)下，發(fā)射衛(wèi)星進一步探測火星及周邊的小行星帶，能為我國航空探測打下基礎(chǔ)。若測得某小行星表面的重力加速度大小為地球表面重力加速度的eq\f(1,10)，小行星的半徑為地球的半徑的eq\f(1,50)，地球和小行星均視為質(zhì)量分布均勻的球體，則地球的密度是該小行星密度的()A.eq\f(1,5) B.5倍 C.eq\f(1,2) D.2倍答案A解析根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg，ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3，可得ρ＝eq\f(3g,4πGR)，可知地球的密度是該小行星密度的eq\f(1,5)，選項A正確，B、C、D錯誤。9.2022年8月10日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用長征六號運載火箭成功將“吉林一號”組網(wǎng)星中的16顆衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定的環(huán)繞地球運動軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功。這16顆衛(wèi)星的軌道平面各異，高度不同，通過測量發(fā)現(xiàn)，它們的軌道半徑的三次方與運動周期的二次方成正比，且比例系數(shù)為p。已知引力常量為G，由此可知地球的質(zhì)量為()A.eq\f(2πp,G) B.eq\f(4πp,G) C.eq\f(4π2p,G) D.eq\f(2π2p,G)答案C解析衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，由題意可知r3＝pT2，聯(lián)立解得M＝eq\f(4π2p,G)，故C正確。10.(多選)宇航員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R。不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則下列表述正確的是()A.月球表面的自由落體加速度g月＝eq\f(2h,t2)B.月球的質(zhì)量M＝eq\f(2hR2,Gt2)C.月球的密度ρ＝eq\f(3h,2πRGt)D.月球的密度ρ＝eq\f(3h,2πRGt2)答案ABD解析月球表面附近的物體做自由落體運動，有h＝eq\f(1,2)g月t2，則月球表面的自由落體加速度g月＝eq\f(2h,t2)，故A正確；不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月，得月球的質(zhì)量M＝eq\f(2hR2,Gt2)，故B正確；月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq\f(3h,2πRGt2)，故C錯誤，D正確。B級綜合提升練11.(2024·廣東深圳高三期末)2022年10月，太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號丙運載火箭，成功將S－SAR01星發(fā)射升空，這顆衛(wèi)星主要為應(yīng)急管理、生態(tài)環(huán)境主體業(yè)務(wù)提供國產(chǎn)化數(shù)據(jù)保障，若S－SAR01星繞地球做勻速圓周運動的軌道距地面高度為h，地球的半徑為R，地球表面北極的重力加速度為g，引力常量為G。下列說法正確的是()A.地球的質(zhì)量為M＝eq\f(（R＋h）2g,G)B.S－SAR01星軌道處的重力加速度為eq\f(gR2,（R＋h）2)C.地球的平均密度為eq\f(3g,4πG（R＋h）)D.S－SAR01星運行的速度為eq\r(gR)答案B解析根據(jù)地球表面兩極處萬有引力等于重力有eq\f(GMm,R2)＝mg，可得M＝eq\f(gR2,G)，則地球的平均密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3g,4πGR)，故A、C錯誤；根據(jù)eq\f(GMm,（R＋h）2)＝mg′，結(jié)合M＝eq\f(gR2,G)，可得S－SAR01星軌道處的重力加速度g′＝eq\f(gR2,（R＋h）2)，故B正確；根據(jù)eq\f(GMm,（R＋h）2)＝meq\f(v2,R＋h)，結(jié)合M＝eq\f(gR2,G)可得S－SAR01星運行的速度v＝eq\r(\f(gR2