行列式測試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共30分）

1.下列哪個是三階行列式？

A.$\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e\\g&h\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}$

2.行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值為：

A.-5

B.5

C.8

D.-8

3.如果行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=0$，則：

A.a=c

B.b=d

C.a=-c

D.b=-d

4.若行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=5$，則：

A.$\begin{vmatrix}a+1&b\\c&d+1\end{vmatrix}=5$

B.$\begin{vmatrix}a-1&b\\c&d-1\end{vmatrix}=5$

C.$\begin{vmatrix}a&b+1\\c&d+1\end{vmatrix}=5$

D.$\begin{vmatrix}a-1&b+1\\c-1&d-1\end{vmatrix}=5$

5.行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$與$\begin{vmatrix}a+b&b\\c+d&d\end{vmatrix}$的關系是：

A.等于

B.差5

C.差10

D.無關系

二、填空題（每題5分，共20分）

6.三階行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$展開后第一項的符號是_________。

7.行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$展開后，按第1行展開的第三項是_________。

8.行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$按第2列展開，若$a\neq0$，則其值是_________。

9.行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$按第3行展開，若$a\neq0$，則其值是_________。

10.若行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=0$，則下列結論中正確的是_________。

三、計算題（每題15分，共45分）

11.計算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$。

12.計算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}$。

13.計算行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$，其中$a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7,g=8,h=9,i=10$。

四、證明題（每題20分，共40分）

14.證明：對于任意n階方陣$A$，如果$A$的任意兩行（或兩列）成比例，則$|A|=0$。

15.證明：對于任意n階方陣$A$，如果$A$的行（或列）向量線性無關，則$|A|\neq0$。

五、應用題（每題20分，共40分）

16.已知三階方陣$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$A$的逆矩陣$A^{-1}$。

17.已知四階方陣$A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}$，求$A$的伴隨矩陣$A^*$。

六、綜合題（每題20分，共40分）

18.已知方陣$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}$，證明$|A|=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$。

19.設方陣$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，證明$A^2=\begin{bmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\end{bmatrix}$。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.A（行列式定義要求方陣，只有A是三階方陣）

2.A（計算行列式的值，1×4-2×3=4-6=-2）

3.D（行列式值為0時，兩行（列）成比例，故a=-c）

4.B（行列式值不變，只需保持原行列式）

5.D（行列式值不變，只需保持原行列式）

二、填空題答案及解析：

6.正號（三階行列式按第一行展開，第一個元素的符號為正）

7.cdf（按第一行展開，第三項為c×e×i）

8.-ce（按第二行展開，第一項為-1×a×i）

9.-bf（按第三行展開，第一項為-1×a×d）

10.a=c或b=d或a=-c或b=-d（行列式值為0時，兩行（列）成比例）

三、計算題答案及解析：

11.0（按第一行展開，1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=0）

12.0（按第一列展開，1×(6×9-8×8)-2×(6×7-8×6)+3×(6×6-7×7)=0）

13.|A|=2×10×8+3×5×7-4×2×5-5×10×9+7×3×2-8×5×7=160-400+105-450+42-280=-523

四、證明題答案及解析：

14.解析：假設A的任意兩行（或兩列）成比例，設比例系數為k，則存在不全為0的常數k1,k2，使得k1a1+k2a2=0（行比例）或k1b1+k2b2=0（列比例）。這意味著行列式的展開式中至少有一個項為0，所以|A|=0。

15.解析：假設A的行（或列）向量線性無關，那么按行（或列）展開行列式時，每個項都至少包含一個非零元素，所以行列式的值不為0。

五、應用題答案及解析：

16.解析：根據公式$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$，首先計算|A|，然后計算伴隨矩陣A^*，最后求逆矩陣。

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}10&-6&2\\-5&5&-5\\5&-5&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{10}{9}&-\frac{6}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{5}{9}&\frac{5}{9}&-\frac{5}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{5}{9}&\frac{5}{9}\end{bmatrix}$

17.解析：根據公式$A^*=|A|A^{-1}$，首先計算|A|，然后求逆矩陣A^{-1}，最后計算伴隨矩陣A^*。

$A^*=|A|A^{-1}=1\begin{bmatrix}8&-8&8&-8\\-8&8&-8&8\\8&-8&8&-8\\-8&8&-8&8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8&-8&8&-8\\-8&8&-8&8\\8&-8&8&-8\\-8&8&-8&8\end{bmatrix}$

六、綜合