第頁，共頁第19頁，共19頁汕尾市2024—2025學年度第一學期高中二年級教學質量監測數學本試題共4頁，考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準確，將條形碼準確粘貼在條形碼粘貼處．2．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效．3．答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．考試結束后，請將本試題及答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.60° D.135°【答案】D【解析】【分析】將直線方程化成斜截式，求出其斜率，再由斜率定義即可求得直線的傾斜角.【詳解】由可得，則直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，因，故得.故選：D.2.已知空間向量，，若，則x的值為（）A.4 B.6 C. D.－3【答案】B【解析】【分析】根據向量的線性坐標運算結合向量垂直的坐標運算列式求解即可.【詳解】因為，，所以，又，所以，解得.故選：B3.圓和圓的位置關系是（）A.內切 B.相離 C.相交 D.外切【答案】C【解析】【分析】先求出兩圓的圓心和半徑，再利用圓和圓位置關系的判斷方法即得.【詳解】由兩圓的方程可知，圓心坐標依次為：，，半徑依次為，則，由，可得兩圓相交.故選：C.4.雙曲線C:x2a2?y2A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】結合題設條件可得，再由離心率定義和的關系式即可求得.【詳解】因雙曲線的焦點在軸上，由漸近線方程易得，于是C的離心率為：.故選：B.5.如圖，在平行六面體中，M為AC和BD的交點，若，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意結合空間向量的運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.6.一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1，2，3，4，連續拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數字，記事件A為“第一次向下的數字為1或2”，記事件B為“兩次向下的數字之和為奇數”，則下列結論正確的是（）A. B.事件A與事件B互斥C.事件A與事件B相互獨立 D.【答案】C【解析】【分析】根據古典概型概率公式，分別寫出樣本空間和事件表示的集合，求出相關事件的概率，利用互斥事件，獨立事件的定義與和事件的概率公式計算即可逐一判斷.【詳解】由題意，用兩位數字表示連續拋擲這個正四面體得到的點數，則該試驗的樣本空間為：，則，事件，，事件，.對于A，，故A錯誤；對于B，因，故事件A與事件B相容，故B錯誤；對于C，因，，則，而，因，故事件A與事件B相互獨立，即C正確；對于D，因，，故D錯誤.故選：C.7.兩位游客來到汕尾·保利金町灣的“鯨灣生活館”外的樓梯上拍照留念，此時正好一人站在地面上（B點處），一人站在樓梯斜坡上（A點處），如圖所示．現將樓梯斜坡近似看作斜面，斜面與地面的交線記作直線l，通過測量得到以下數據：斜面與地面所成的坡度角為60°，A點在地面上的投影與B點恰好在直線l的兩側，A點到直線l的距離為AD，測得，B點到直線l的距離為BC，測得，且測得，則A，B兩點間的距離為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量的模長即可求解.【詳解】由于,,由于斜面與地面所成的坡度角為60°，故故,故，因此,故選：A8.已知，函數在上的最大值不超過4，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據的范圍可求得；分別在、和的情況下求得，利用構造不等式求得結果.【詳解】當時，

①當，即時，，滿足題意②當，即時，令,當時，單調遞減；當時，單調遞增又，若最大值不超過，則，即

③當，即時，，解得：（舍）綜上所述：.故選：C.【點睛】關鍵點點睛；關鍵是能夠得到絕對值內的函數的值域，進而通過分類討論的方式去除絕對值符號，根據單調性求得最值.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.函數，，，用表示，中的較大者，記為．例如，則．下列選項正確的是（）A. B.當時，C.當時， D.在上不單調【答案】BD【解析】【分析】利用作圖思想，可求交點位置，利用數形結合，即可作出判斷.【詳解】由，故A錯誤；作出函數的圖象：由于所以由圖可知：當時，，故B正確；當時，，當時，，故C錯誤；由圖可知在上不單調，故D正確；故選：BD.10.下列說法正確的是（）A.數據28，13，15，31，16，18，20，24的中位數是20B.從小到大順序排列數據3，5，x，8，9，10，其極差與平均數相等，則方差為6.8C.數據，，，…，的平均數為，數據，，，…，的平均數為，則有D.，其中P為平面ABC上的一點，O是平面ABC外一點，則有【答案】CD【解析】【分析】按照中位數的計算方法可判斷A；由極差與平均數相等求得，再求方差可判斷B；【詳解】對于A，將這組數據按從小到大的順序排列：13，15，16，18，20，24，28，31，最中間的兩個是18，20，所以中位數是.故A不正確；對于B，由題意可知：極差為，平均數為，則，解得，所以平均數為，方差為；故B不正確；對于C，因為，所以，則，故C正確；對于D，，因為共面，故，故，故D正確.故選：CD.11.已知雙曲線方程為，和分別為雙曲線的左焦點和右焦點．設直線：和直線：相交于點Q，且恒有，，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.平面上存在定點P，使得為定值C.的最大值為64 D.點Q到直線距離的最大值為4【答案】ABD【解析】【分析】根據題意可得，所以點Q的軌跡為以為直徑的圓，方程為，設點，則，可得其最大值判斷A；由圓的性質可判斷B，D；利用基本不等式判斷C.【詳解】根據題意，雙曲線方程，則，因為恒有，，則有，，解得，所以：，：，又，所以，所以點Q的軌跡為以為直徑的圓，方程為，設點，則當，上式取最大值為，所以的最大值為，A正確；平面上存在定點P（原點O），使得為定值4，B正確；又因為，所以，當且僅當點Q為圓與軸的交點時成立，C錯誤；點Q到直線距離的最大值為圓的半徑4，D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：根據題意發現，從而點Q的軌跡為以為直徑的圓，方程為是解題關鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線與直線平行，則與之間的距離為______．【答案】6【解析】【分析】由可得，利用兩平行直線的距離公式即可求得.【詳解】由可得，因，則，解得，則與之間的距離為.故答案為：6.13.在一家人工智能企業中，有一項重要的軟件開發任務．甲、乙兩位程序員獨立地負責不同模塊的開發工作．甲程序員技術扎實，在以往的項目中表現出色，他成功完成自己負責模塊的概率為，乙程序員富有創新精神，善于解決復雜的技術問題，他成功完成自己負責模塊的概率為，這個軟件開發任務對于公司在人工智能領域的發展至關重要，只有當甲、乙程序員中的至少一人成功完成自己負責的模塊，才能確保整個軟件項目的順利推進．那么，這個軟件開發任務能夠成功完成的概率為______．【答案】##0.7【解析】【分析】根據條件，利用相互獨立事件同時發生的概率公式及對立事件發生的概率公式，即可求解.【詳解】記事件：甲程序員成功完成自己負責的模塊，事件：乙程序員成功完成自己負責的模塊，由題知，又當甲、乙程序員中的至少一人成功完成自己負責的模塊，才能確保整個軟件項目的順利推進，所以這個軟件開發任務能夠成功完成的概率為，故答案為：.14.正方體的棱長為4，P是平面上一動點，E是棱CD上一點，若，且的面積是面積的4倍，則三棱錐體積的最大值是______．【答案】【解析】【分析】由條件先證明，結合面積關系可得，在平面上建立平面直角坐標系，確定點的軌跡方程，結合體積公式求三棱錐體積的最大值.【詳解】由已知平面平面，所以，因為平面平面，所以，所以，又，所以,又的面積是面積的4倍，可得,在平面上以為軸，為軸建立平面直角坐標系，設，則，由得，整理得，即點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以取最大值為，的最大值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓心為C的圓經過，兩點，且圓心C在直線l：上．（1）分別求出直線AB的方程和線段AB的垂直平分線的方程；（2）求圓C的標準方程．【答案】（1），．（2）．【解析】【分析】（1）由題可得AB中點的坐標及斜率，然后利用點斜式即可得出答案.（2）聯立，求出圓心坐標，再由兩點間的距離公式求出圓的半徑，即可得出圓C的標準方程.【小問1詳解】由題意得直線AB的斜率為，直線AB的方程為，即，又因為A，B兩點的坐標為，，所以AB中點的坐標為，因此，線段AB的垂直平分線的方程是，即．【小問2詳解】由垂徑定理可知，圓心C在AB的垂直平分線上也在直線l上，聯立，解得，所以圓心C坐標為，圓的半徑為，所以，圓C的標準方程為．16.某校高一年級設有籃球訓練課，期末對學生進行籃球四項指標（往返運球上籃、一分鐘投籃、四角移動、比賽）考核，滿分100分．參加考核的學生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示．（1）由頻率分布直方圖，求出圖中t的值，并估計考核得分的第40百分位數；（2）為了提升同學們的籃球技能，校方準備招聘高水平的教練．現采用分層抽樣的方法（樣本量按比例分配），從得分在內的學生中抽取5人，再從中挑出兩人進行試課，求至少一人來自的概率．【答案】（1），77.5．（2）．【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中各組頻率之和為1列方程求出，再根據百分位數的定義列方程求解即得；（2）根據分層抽樣，先求抽取的5人中分別來自和的人數，設出樣本點，寫出試驗的樣本空間和事件所含的樣本點，利用古典概率模型公式求解即得.【小問1詳解】由題意得：，解得，因為，，設第40百分位數為x，則，解得，即第40百分位數為77.5．【小問2詳解】由題意知，抽出的5位同學中，得分在的有（人），記為，在的有人，記為a,b,c.則“從中挑出兩人進行試課”這個試驗的樣本空間為：，則，設事件M為“至少一人來自”，則，則，因此，所以至少一人來自的概率為．17.函數，已知的圖象上兩相鄰最高點的橫坐標分別為和，點在圖象上，且在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）求a與的值；（2）若，求周長最大值．【答案】（1），．（2）6【解析】【分析】（1）利用輔助角公式將函數化成，結合題設條件即可確定a與的值；（2）根據（1）已得，由求得，方法一：利用正弦定理和恒等變換知識，將表示成，由三角函數的性質即可求得周長的最大值；方法二：利用余弦定理和基本不等式，推理求出周長的最大值.【小問1詳解】．由題意知，，因，則可得，故，由在的圖象上，可得，故．【小問2詳解】（解法一）由（1）知，則，即，因為，所以，所以，解得，由正弦定理，，則得，，因，則．因為，所以，所以，即有，從而，所以周長的最大值為6．（解法二）由（1）知，所以，即，因為，所以，所以，即，在中，由余弦定理，，由（1）知，即，所以，故，即，當且僅當時，等號成立，故，所以周長的最大值為6．18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，是棱（含端點）上一點．（1）若．求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）是否存在這樣的點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）．（3）存在，0或,【解析】【分析】（1）根據平面，由線面垂直的性質得線線垂直，即可根據平面得，結合線面垂直的判定即可求解；（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可根據向量的夾角公式求解；（3）求解平面法向量，根據直線的方向向量與平面法向量的夾角即可求解.【小問1詳解】證明：因為底面，底面，所以，因為底面是正方形，所以，平面所以平面，又因為平面，則有，在中，，是的中點，故有，因為，平面，所以平面，平面，則，又因為，EF，平面，且，所以平面．【小問2詳解】以向量，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，P0,0,1，則，，，．設平面的法向量m=x1,y令，得，所以平面的法向量，設平面的法向量n=x2,y令，得，所以平面的法向量，設平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為．【小問3詳解】由（2）知，，，P0,0,1，，，，，假設存在這樣的點F則有，，設平面的法向量，則即令，得，，所以平面法向量，設直線與平面的夾角為，則，整理得，解得或，因為，所以的值為0或，故有的值為0或．19.已知動點到定點的距離是它到定直線的距離的倍，動點的軌跡與y軸的交點為M，的面積為．（1）求動點P的軌跡方程C；（2）直線l：與點P的軌跡方程C交于D，E兩點，O為坐標原點．試求當t為何值時，恒為定值？并求此時面積的最大值．【答案】（1）（2），1【解析】【分析】（1）由的面積為可求出，再根據題意可得，由此可得，再由結合兩點間的距離公式化簡可求出橢圓的方程.（2）聯立直線與橢圓的方程，利